2018高考数学（文）名师押题高端精品冲刺高考最后一个月专题14+解析几何大题

命题特点和预测：
7年7考，每年1题．特点：全国Ⅰ卷中，2011-2015载体连续5年都是圆！年全国Ⅰ卷在小题中已经考查了椭圆、双曲线、抛物线，大题中一般不再考查；全国Ⅰ卷用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算！2016年终于不用圆了，但在小题中依然考了圆！2017年也没有考圆。2018年高考解析几何大题应该继续在抛物线或椭圆上做文章。
（二）历年试题比较：
年份
题目
2017年
【2017新课标1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．
2016年
【2016新课标1文数】（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
2015年
2014年
【2014全国1，文20】已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积
2013年
【2013课标全国Ⅰ，文21】(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
2012年
【2012全国1，文22】已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r；
(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．
2011年
【2011全国1，文22】
已知为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
(1)证明：点P在C上；
(2)设点P关于点的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【解析与点睛】
（2017年）【答案】（1）1；（2）．
【解析】
由题设知，即，解得．
所以直线AB的方程为．
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21世纪教育网版权所有
（2016年）【答案】（I）2；（Ⅱ）没有.
【解答】
解得，，因此.
所以为的中点，即.
（Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：
直线的方程为，即.代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点.www.21-cn-jy.com
【考点】直线与抛物线
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.【出处：21教育名师】
圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．【版权所有：21教育】
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．2·1·c·n·j·y
由l与圆M相切得＝1，解得k＝.
当k＝时，将代入，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝或|AB|＝.
即y＝2(t＋1)x－t2＋1.
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，
即，
化简得t2(t2－4t－6)＝0，
解得t0＝0，，.
抛物线C在点(ti，(ti＋1)2)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y＝2x＋1，①
y＝2(t1＋1)x－t12＋1，②
y＝2(t2＋1)x－t22＋1，③
②－③得.
将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．
所以D到l的距离.
（2011年）【分析】(1) 联立方程利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标,代入椭圆方程验证即可证明点P在C上.21*cnjy*com
(2)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互为相反数即可，在求正切值时要注意利用到角公式.
思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.
所以点P在C上.
（2）方法一：
由①②得、的交点为
,
（三）命题专家押题
题号
试 题
1.
1．已知抛物线，直线，设为直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）当点在轴上时，求线段的长；
（2）求证：直线恒过定点.
2.
2．已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与曲线交于两点，的中点在直线上，求（为坐标原点）面积的取值范围.
3.
3．已知椭圆过点，两个焦点为，椭圆的离心率为为坐标原点.
(1) 求椭圆 的方程；
(2)过左焦点作直线交椭圆于 两点（异于左右顶点），求的内切圆半径的最大值．
4.
4．设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值。
5.
5．已知点在圆上运动，且存在一定点，点为线段的中点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过且斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点，是否存在实数使得，并说明理由.
6
6．已知椭圆： 过点，且两个焦点的坐标为， .
（1）求的方程；
（2）若， ， （点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点， 为坐标原点，且，求所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.
7
7．在直角坐标系中，椭圆 的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点， ， 为椭圆的上顶点， 的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线交椭圆于， ，且满足，求的面积.
8
8．在平面直角坐标系中，设动点到坐标原点的距离与到轴的距离分别为，，且，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求.
9
9．已知圆的圆心为原点，其半径与椭圆的左焦点和上顶点的连线线段长度相等.
（1）求圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的动直线（其斜率不为0）交圆于两点，试探究在轴正半轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
10
10．已知直线过点，且与抛物线相交于两点，与轴交于点，其中点在第四象限，为坐标原点.
(Ⅰ)当是中点时，求直线的方程；
(Ⅱ)以为直径的圆交直线于点，求的值.
【详细解析】
1.【答案】（1）4（2）直线过定点(1，2)．
∴
（2）证明：设，
由（1）得∴，
点睛：本题考查导数的几何意义、直线和抛物线的位置关系、直线恒过定点等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．21cnjy.com
2.【答案】(1) 点的轨迹方程为;(2) 面积的取值范围为.
【解析】分析：（1）利用待定系数法（定义法）求点M的轨迹方程. （2）先求出面积的表达式 ，再求函数的取值范围.www-2-1-cnjy-com
详解：（1）因为，所以为的中点，
因为，所以，
所以点在的垂直平分线上，所以，
因为，所以点在以为焦点的椭圆上，
因为，所以，
所以点的轨迹方程为.
原点到直线的距离，
所以 ，
即，故面积的取值范围为.
点睛：本题的难点在第（2）问，求面积的取值范围，一般利用函数的方法处理. 先求出面积的表达式 ，再求函数的取值范围.这是高中数学处理取值范围问题常用方法.
3.【答案】(1)；(2).
（2）设内切圆半径为，则
∴当最大时，最大。
设
代入得：

点睛：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．21·cn·jy·com
4.【答案】（1）；（2）6
【解析】分析：第一问根据题中条件，利用椭圆的定义以及性质，求得的大小，再根据椭圆中的关系，求得的值，从而求得椭圆的方程，第二问根据题中的条件，可以断定是弦的中点，从而确定出四边形是平行四边形，应用面积公式求得结果.2-1-c-n-j-y
详解：（1）依题意，，
因为，所以，
所以椭圆方程为；
（2）设 ，
点睛：该题是圆锥曲线的综合问题，在解题的过程中，需要死咬椭圆的定义以及几何量的关系求得结果，第二问主要是先确定出四边形的形状，之后将面积转化为函数，应用基本不等式求得结果.
5.【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】分析：（1）由中点坐标公式，可得，.点在圆上，据此利用相关点法可得轨迹方程为.
（2）设，，联立直线与圆的方程可得，
由直线与圆有两个交点可得，结合韦达定理可得， .则.解得或1，不合题意，则不存在实数使得.
详解：（1）由中点坐标公式，得
由，得，
且，，
∴
.
.
解得或1，不满足.
∴不存在实数使得.
点睛：与圆有关的探索问题的解决方法：
第一步：假设符合要求的结论存在．
第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解．
第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．
第四步：给出明确结果．
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．
6.【答案】(1) ；(2) .
试题解析：
（1）由已知得，
∴，则的方程为；
（2）设代入得
，
设，则，
，
设，由，得
，
∵点在椭圆上，∴，即，∴，
点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21教育网
7.【答案】（1）；（2）
【解析】【试题分析】(1)将代入椭圆方程,求得点的纵坐标,利用中点的坐标建立一个方程.利用的面积联立第二个方程,结合,解方程组求得的值,即求得椭圆的方程.(2)对两边平方化简得.当直线斜率不存在时,求得两点的坐标,验证可知不符合题意.当直线斜率存在时,设出直线方程,联立直线方程和椭圆的方程,消去后斜率韦达定理,利用得,列方程求得直线的斜率.最后利用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形面积.【来源：21·世纪·教育·网】
【试题解析】
（1）设，由题意可得，即.
∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①
又由题知， 为椭圆的上顶点，∴的面积，
整理得，即，②
联立，消去，得，
∴， ，（*）
由得.
将， 代入整理得，
展开得，
将（*）式代入整理得，解得，
∴， ，
的面积为 ，
代入计算得，即的面积为.
8.【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】(1)设,利用,解方程,化简可得轨迹方程.(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用弦长公式和点到直线距离公式求得三角形面积的表达式,由此求得弦的值.21*cnjy*com
所以 .
【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查椭圆有关三角形面积有关问题的求解.求解动点的轨迹方程,一般方法有定义法和代入法,本题中,给定动点满足的方程,故设出点的坐标后,分别用表示出,化简后可得到所求轨迹方程.注意验证是否所有的点都满足.21·世纪*教育网
9.【答案】（1）（2）当点为时，
【解析】分析：(1)根据题意，求出圆的标准方程；（2）假设存在符合条件的点.设，，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为.【来源：21cnj*y.co*m】
由得，利用根与系数关系表示
可得，斜率不存在也满足，说明存在符合条件的点.
详解：（1）由题知，椭圆的左焦点为，上顶点为，
.
即.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与圆的交点坐标分别为，，显然满足.
所以当点为时，.
点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；21教育名师原创作品
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
点睛：本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力；对于圆锥曲线中的定值定点问题，一般是可以先有特殊位置得到定点，再证明一般情况。或者由特殊情况推出一般情况。证明过定点问题，一般是求谁设谁，或者像这个题一样求出交点坐标，用这两个点表示出直线方程。
10.【答案】（1）（2）4
又三点共线，则可设为且，
联立方程，化简得到,
由韦达定理得,又在上，所以,
因为在以为直径的圆上,所以，即,
又，所以,即,
所以.