2018高考数学备考关键问题指导高端精品专题10+非主干知识

专题十 非主干知识
【高考考场实情】
非主干板块知识具有下列主要特征：相对独立性（内容相对分散、相互间的知识关联性不明显）、内容基础性（多数内容可归属高中数学学科内容体系中的预备知识）、学科工具性（从数学表达和交流的角度体现为学科的语言工具、从数学思维的角度体现为运算和推理的工具）．此外，还具有课时占比相对少、占分比例比较大（理科20%，文科16.7%）、考查难度相对低等特点．基于前述特征和特点，容易理解该板块备考关键问题的解决在提高毕业班教学质量中的意义．【来源：21cnj*y.co*m】
【考查重点难点】
非主干板块指的是在整个高中课程内容体系中，由“六大主干”以外的内容组合在一起构成的一个特殊板块（含集合、算法初步、平面向量、不等式、常用逻辑用语、推理与证明、数系的扩充和复数的引入、计数原理等内容）．
【存在问题分析】
（一）对某些基本概念模糊不清
【指点迷津】本专题中，存在对集合的概念和符号含义、平面向量的有关基础知识（特别是向量的投影概念和运算的几何形式）、常用逻辑用语中命题的否定与否命题的概念、复数的模与共轭复数等概念、计数原理与排列组合的辨析等模糊不清的问题．
【例1】（2017年课标卷Ⅰ文1）已知集合，，则
A． B．
C． D．
【解析】由，得．选A．
【名师点评】本题主要考查解不等式、集合的交并运算等基础知识以及数形结合思想．作为整卷的开篇安顿应试心理试题，期望所有考生都能做对．然而，本题正确率只有85.79%，错选率最高的选项为C（人数3721，比例7.94%），主要错因是混淆交集与并集的符号，其次是疏忽了和2的大小关系．此外，还有高达3.72%的考生错选选项D（人数1742），主要错因是一次不等式求解出错．由此说明仍有少量学生对集合的概念和符号模糊不清，产生问题的主要原因在于：①集合复习的难度定位往往过高，急于综合而忽视基础；②对后进生的关注不够．
【例2】（2017年课标卷Ⅰ理3）设有下面四个命题
：若复数满足，则； ：若复数满足，则；
：若复数，满足，则； ：若复数，则．
其中的真命题为
A．， B．， C．， D．，
【名师点评】本题形式上交汇了命题真假的判断，但考查主体仍为复数的基本概念和简单运算，以及“选项排除”和“反例证伪”等的推理论证能力．表象上有四个命题的真假判断，似乎要求较高，若结合“只有一个选项正确”的信息，实际上只需判断两个命题的真假，有6种具体的解题思路．本题正确率只有66.50%，错选率最高的选项为D（人数17227，比例15.00%），主要错因是不懂共轭复数的符号、或概念不清（福建卷都有交代符号含义）．此外，还有高达11.96%的考生错选选项A（人数13739），主要错因是不善于使用特例法进行“反例证伪”，或无法提取虚数单位定义中的来加以利用．由此可见，仍有大量学生对复数的某些基本概念模糊不清，产生问题的主要原因在于：①没有落实好复数基础知识的教学，或教学过程不规范；②因复数内容相对独立，再现机会少而较易成为知识的盲区．21世纪教育网版权所有
【例3】（2015年课标卷Ⅰ理3）设命题：，，则为
A．， B．，
C．， D．，
【解析】命题：，．的含义：在中不存在使得成立的．换成符号语言表述，即：，．
【名师点评】对于常用逻辑用语，主要考查命题概念及真假判断，全称量词和存在量词的意义的理解，充要条件含义的理解，属概念辨析．在选择题或填空题考查这部分知识时，都属安定考试心理的容易题，应努力确保所有考生都能做对！本题中若有选项“，”，考生错误率还会更高．本题中易混淆的是命题的否定与否命题的概念，体现为常用逻辑用语中出现的概念模糊问题． 产生问题原因主要在于：①很少给学生自我反思感悟的机会，②此类试题训练较少．
（二）知识置景的应用意识和化归与转化意识不强
【指点迷津】设置一种新情景，在新情景中应用相关知识解决问题，需要经历将新情景转化为适合知识直接应用的熟悉情景，体现为某种数学模型的建立过程．知识置景应用意识和化归与转化意识不强，在本板块中的二项式定理应用和排列组合应用上，表现得更为突出．
【例4】（2017年课标卷Ⅰ理6）展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． 本题正确率只有87.05%，错选率最高的选项为A（人数10080，比例8.78%），错因或是展开式中含项的组成不清楚，或是组合数公式用错．将本题与作为填空题、实测难度可达0.82的2016年课标卷Ⅰ理14题“的展开式中，的系数是 ．”进行比较，可以得出其主要错因：①应试心理不冷静，心存侥幸而“简单粗暴”地直接求解展开式中的系数；②多项式展开运算很不熟练，不习惯于在多项式展开的新情景下应用二项式定理解决问题，体现为计数原理及二项式定理的情景应用能力欠缺．产生问题原因主要在于没有能够针对全国卷的特点进行必要的情景应用训练．
（三）在考试情景中应试心理不够冷静
【指点迷津】知识的建构与内化、能力的形成与提升是素养养成的基础，心理素质等情感态度也是需要培育的基本素养．全国卷算法框图的考查往往融入更多的知识内涵、要求更高的思维含量和读图（框图）理解能力，从而显得相对困难，使得考生在考试情景中由于应试心理不够冷静，而容易出现解题失误．
【例5】（2017年课标卷Ⅰ理8文10）如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入2·1·c·n·j·y
A．和 B．和
C．和 D．和
【名师点睛】本题主要考查算法框图的识别与算法含义的解读能力、循环结构等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力．本题文理同题：理科正确率76.61%，错选率最高的选项为C（人数13408，比例11.67%），其次是B（人数10378，比例9.03%）；文科正确率65.99%，错选率最高的选项为C（人数7742，比例16.52%），其次是B（人数6024，比例12.85%）．2016年全国卷Ⅰ中算法框图的试题也是文理同题，理科第9题，文科第10题：理科正确率93.40%，错选率最高的选项为B（人数3664，比例3.43%）；文科正确率89.84%，错选率最高的选项为B（人数2086，比例4.54%）．比较两年试题实测数据，发现主要错因并非读不懂程序框图，也不是算法初步的教学出现问题，根本原因在于读题审题上：错选B，主要问题在于没有从图中读出“不满足判断框条件时退出循环”；错选C，主要问题在于没有从题干中读出“偶数”的题意要求；不注意题干中 “偶数”题意要求的人数更多．其次，对于如2017年这种“逆袭”框图中算法过程条件的，要求较高思维水平、较高推理论证能力的试题，理科相比文科有明显的优势．上述错因都可归因为考试情景中应试心理不够冷静，产生问题的主要原因在于平时考试较少关注心理调适训练，较少提供独立思考与感悟、自我反思与纠错的机会．【版权所有：21教育】
（四）处理向量试题中方法选择的能力不强
【指点迷津】向量考查的难易跨度较大，而近两年文、理试题恰好都为试卷的第13题，均属容易题，但实测数据很不理想．问题原因主要是基础知识的教学还不到位，再者，表现为在处理向量试题中解题方法的选择能力不强．
【例6】全国课标卷Ⅰ近两年的平面向量试题：
1．（2017年理13）已知向量，的夹角为60°，，，则_______．
2．（2017年文13）已知向量，．若向量与垂直，则 ．
3．（ 2016年理13）设向量，，且，则 ．
4．（2016年文13）设向量，，且，则 ．
3．思路1：直接进行坐标运算，由得，解得；思路2：由展开得，解得；思路3：据，由向量加法运算的几何意义，发现与垂直，再求解．
4．思路1：利用和数量积的坐标运算公式，解得；用斜率公式求解，，解得．
【名师点睛】2017年理科主要考查向量的数量积运算和向量的模的问题，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想；2017年文科主要考查向量的加法和垂直的坐标运算，考查运算求解能力．由于缺乏可用于寻找原因的考生错答答案信息，所以集中近两年共四题的信息进行如下表的比较．
科类
理科
文科
年份
平均分
难度值
平均分
难度值
2017年
2.71
0.54
3.69
0.74
2016年
3.82
0.76
3.87
0.77
数据信息反映平面向量试题尚存极大的成绩提升空间！向量试题的解答基本上就三种思路，直接的向量运算、向量的坐标运算和利用几何意义构造图形分析求解．比较理科试题：若用几何法，两年的难度差异不明显，故从实测数据可揭示考生一般不习惯于几何分析法，说明考生对处理向量问题的方法掌握得不够全面或选择应用还不灵活；模的平方处理法，2017年试题相较2016年试题，没有提示而显得更难，说明在处理向量模的问题上考生有明显的欠缺．比较文科试题，说明增加一步向量加法的坐标运算，对难度影响不大，或说向量加法的坐标运算掌握得比较理想．综合比较文科、理科试题，还可得出结论：数量积运算的掌握程度不如坐标运算的掌握程度；运算过程出错的证据不充分．实测数据反应向量教学还很不到位，充分证据说明有些学生向量的基础知识甚至是空白的！21cnjy.com
（五）读题析题中图表辅助意识不强
【指点迷津】解答试题前，必然经历阅读理解题意和析题以形成解题思路或预设解题方案的过程．在读题与析题的过程中充分发挥“图、表”的辅助功能，是数学的学科特色．这里的“图”指的可能是某个几何图形或图象（曲线），也可能是问题思考的思维导图；“表”指的是由试题中已知条件和待求结论的数据信息构成的数据表．读题析题中的图表辅助意识或应用意识不强，在本板块中主要体现在算法初步（循环过程的数据变化表）、平面向量（代数向量及运算的几何含义）、不等式（含参二次不等式和线性规划问题）．
【例7】（2016年课标卷Ⅰ理16文16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【解析】（1）读题提取试题情景信息并将信息结构化
产品A
产品B
材料甲
1.5 kg/件
0.5 kg/件
材料乙
1 kg/件
0.3 kg/件
工时
5工时/件
3工时/件
利润
2100元/件
900元/件
（2）建立数学模型（现实问题数学化）
设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，
得约束条件 即 目标函数．
（3）求模型解（实际问题的数学解）
含画直线、断区域、确定可行域（如图）、变换目标函数、观察最优解位置：
将变形，得，当直线经过点时，取得最大值．
【名师点睛】本题表象上考查线性规划问题所涉及的有关基础知识，实际上考查了抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和数形结合思想，特别彰显了对数学应用意识的考查，实现了对数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养的综合检测．理科平均分0.85，难度0.17，区分度0.37；文科平均分0.42，难度0.08，区分度仅0.14．2017年全国卷Ⅰ理科第14题，平均分3.59，难度0.72；2017年全国卷Ⅰ文科第7题，平均分4.01，难度0.80．www.21-cn-jy.com
（1）对比2016与2017实测数据，可以发现：考生对于线性规划问题所涉及的有关基础知识掌握得比较理想，主要问题在于运用数学知识分析解决实际问题的能力很低，数学建模素养不高．2016试题是线性规划知识的实际应用试题，该试题情景设置，表述很简捷但篇幅仍较长，内容结构很清晰但数据信息特多，非经数学训练、用数学特有的图表方式，极难对试题的条件信息和问题解决的目标要求形成清晰的结构化认识，也就难于正确地建立好问题解决的数学模型．2-1-c-n-j-y
（2）单纯考察2017试题与实测数据，可发现纯线性规划试题仍有进一步提分的空间．以文科试题为例，80%的考生正确选择选项D，但这部分考生未必都真会做．错选选项C的高达15.06%，错选很集中，错选考生的水平不一定低于正选考生的水平（对个体而言）！究其错选C的原因，有下列可能：①可行域判断出错；②目标函数的斜率看错；③直线与直线的方向差异关系（倾斜度关系）弄错；④解题过程的草图过草，或揭示草图中点线位置关系的某些关键点标错． 【出处：21教育名师】
前述分析主要说明学科特色的图表应用意识不强，产生问题原因主要在于：教学过程中对读题与析题的示范不够，对数学模型意识的培育重视不够．21*cnjy*com
（六）关键信息的提取能力及信息转换能力不强
【指点迷津】尽管好的试题中每个已知信息都应是试题解答之需，但有些信息是问题解决的突破口、或解题思路的重要启示，即问题解决的关键信息．条件的显化或信息的转换，使之可直接用于解题，是试题解答的必经过程．关键信息的提取能力及信息转换能力不强，在本板块中的考查创新意识的推理题中，表现得尤为突出．
【例8】（2017年课标卷Ⅱ理7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
【名师点睛】此类试题通常称为推理题．若从未做过或极少接触过此类显性的逻辑推理试题，要做好解答难度极大．此类试题着重考查理性思维能力，也可归为考查应用意识试题，解此类试题要求有较高的阅读理解并有效提取关键信息的能力、推理论证能力，要求具备整体与局部思想，具备批判性思维能力等．解题关键在于能否捕捉到“四人中有2位优秀，2位良好，甲看乙、丙的成绩，仍不知自己的成绩”信息并依此推断，“乙、丙两人必为一优一良，甲、丁两人也必为一优一良”．
本板块内容的考查，基本上都以选择题或填空题的形式出现，特别是选择题．选择题选项的内容既要发挥问题思考的导向（目标导向），同时选项间的逻辑关系也是隐含的试题条件信息，因此，有关试题规范的一些命题技术性知识，教师在自身明确的基础上，还需让学生也有所了解！
【解决问题对策】
（一）正确认识集合课程的功能价值，落实后进生群体的基础教学
【指点迷津】高考中集合主要考查集合的含义、元素与集合的关系、集合语言（列举法和描述法）、集合间的包含与相等的含义及子集的识别、交集与并集的含义及简单求解．集合课程的主要功能价值，在于为数学学科提供了基本的语言工具，是符号语言的基础，其基本概念、符号含义是所有学生都能理解和掌握的．然而，实际教学中往往操之过急，拔高要求，注重其与其它知识的综合运用，定位过高而疏忽了对学生，特别是后进学生群体的关注和帮扶．尽管总体上其平均分的提升空间已不大，但以2017年全国卷Ⅰ文科第1题为例的0.5分空间仍相当可观！下述例9意在说明集合教学的难度控制问题．
【例9】若集合，，则等于
A． B． C． D．
（二）准确针对复数课程的独立特点，并重落实概念与运算的训练
【指点迷津】“数系的扩充和复数的引入”的考查，主要是基于知识点覆盖的需要，着重考查复数的模、复数相等、共轭复数等概念，考查复数代数表示法及其几何意义，复数代数形式的四则运算．实际教学中：容易被复数内容“单薄、简单”所蒙蔽，未能注意到对学生而言可能是“模糊、抽象”的另一面，平白丧失其“高性价比”课程特点的福利；未能针对复数内容相对独立的课程特点，规划好使知识不断再现和强化的教学安排，使部分考生临近考试时反而出现了知识的“盲区”；常因集中关注代数形式运算的训练，而忽视了对概念再现的关注．还有，与集合类似，复数试题平均分的提升，希望主要寄托在后进生群体！
【例10】若为纯虚数，则 ．
【解析】由为纯虚数，得，，所以．填1．
（三）把握国卷计数原理的命题特点，落实全国卷题型的变式训练
【指点迷津】计数原理（文科不要求）在高考中，着重考查用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题，适当考查对两计数原理的理解和用原理解决一些简单的实际问题，结合考查对排列、组合概念的理解及用排列数和组合数公式解决一些简单的实际问题． 注意到所有试题都是曾考试题的变式题的特点，要切实落实好全国卷题型的变式训练！解答错因分析中发现，二项式定理试题尚未完全摆脱福建卷考查形式的“思维定势”影响，仍停留在二项直接展开的低要求上，忽视全国卷强化在新情景下考查应用意识的命题特点，因大意而平白丧失其“高性价比”课程特点的福利；未能针对计数原理及二项式定理相对独立的课程特点，规划好使知识应用能力不断发展的教学安排．21教育网
【例11】若展开式中各项系数和为128，则展开式中系数是___________．
．
（四）准确把握算法课程的价值取向，落实框图类试题的解题示范
【指点迷津】高考对算法初步着重考查包含顺序、条件分支、循环三种基本结构的算法框图的识图能力和框图算法含义的解读能力，考查对算法的含义和算法的思想的了解．尽管福建卷对算法的考查，曾出现过对课程功能定位有误导嫌疑的、有争议的不良示范，但仅凭直观的试题位置差异或人云亦云地跟风认为，“全国卷算法初步的考查难度与要求明显高于福建卷”，而没有真正弄明白难在哪里、出错根源，盲目增加试题的难度和训练的数量，没有在平时的教学中做好”读题、审题、析题、解题”等过程性的教师示范，导致考生没有养成良好的解题习惯和做好认真、冷静审题的心理准备．其实，突破算法初步试题的关键不在于试题的难度，而在于方法的掌握、过程的体验、心理的调适．www-2-1-cnjy-com
【例12】公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．刘徽应用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”．如图是应用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为
（参考数据：，）
A．12 B．24
C．36 D．48
【解析】将算法循环过程（思维过程）展现为下表内容的填写过程：
循环退出条件
6
不满足
12
不满足
24
满足，退出循环
由上表可知，输出的值为24．
【新题好题训练】
1．全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：这个题目考查了韦恩图的应用，一般先读懂韦恩图所代表的集合的含义，再将区域用集合的交并补形式表示出来，最终求解即可.21·cn·jy·com
2．命题：若向量，则与的夹角为钝角；命题：若，则.下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当方向相反时，，但夹角是180°，不是钝角，命题是假命题；
若，则或，∴，从而，命题是真命题．
所以是真命题，
故选D．
3．甲，乙，丙三位同学被选中参加校运会的仪仗队，现编排这三位同学分别站在队伍的前三排（每两人均不在同一排），则甲或乙站第一排的概率为（ ）21*cnjy*com
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】安排三位同学分别站在前3排（每两人均不在同一排）基本事件总数为6，甲或乙在第一排有4种，甲或乙站第一排的概率为，21教育名师原创作品
故选A．
4．已知，若，则（ ）
A. -5 B. -20 C. 15 D. 35
【答案】A
∴．
选A．
5．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入，，则输出的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. 7 D. 14
【答案】C
6．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合，从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 执行如图所示的程序框图，可知：
第一次循环：满足，，输出；
第二次循环：满足，；
第三次循环：满足，，
此时终止循环，所以输出的集合，
所以从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为,
故选C．
7．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。其书中的更相减损法的思路与右边的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的 分别为 12，15，则输出的 等于( )21·世纪*教育网
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
8．设复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：将式子变形为z等于一个表达式的形式，在对表达式进行化简，分母乘以自身的共轭复数即可化为实数.
详解：
故选D
点睛：复数 的模长为，以及涉及到复数的除法运算，一般是使得分母乘上分母的共轭复数可以将分母化为实数.
9．复数的共轭复数是，是虚数单位，则的值是（ ）
A. 6 B. 5 C. -1 D. -6
【答案】A
10．命题“，”的否定是__________．
【答案】.
【解析】命题“，”的否定是;．
即答案为..