2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.1+利用导数研究函数的单调性（第02期）

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题01 利用导数研究函数的单调性
一、解答题
1．已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若函数有两个极值点，且，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析
【解析】分析：（1）求出函数的定义域为及函数的导数，令，分和分类讨论，即可得到函数的单调区间；2·1·c·n·j·y
当时，即时，，，
所以函数在上单调递增.
当时，即时，
令得，，
当时，即时，在 上，， ;
在上，，.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
当时，即时，在上，，;
在上，，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，
在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增.
∴证明成立，等价于证明成立.
∵，∴.
设函数，
求导可得.
易知在上恒成立，
即在上单调递增，
∴，即在上恒成立，
∴函数有两个极值点，且时，.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用及不等关系的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.21教育网
2．已知函数，其中为自然对数的底数，设函数的导数为．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
（2）由（1）可得，则可化为，
所以，由题意可知，当时，恒成立，
所以当时，，
由（1）可得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，
所以，解得，故实数的取值范围为．
3．已知函数.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当时，证明：.（为自然对数的底数）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）函数的定义域为.
.
①当时，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
③当时，.
易知恒成立，函数在上单调递增；
④当时，.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，不等式化为.
记，则.
显然在上单调递增，
且，.
所以在上有唯一的零点，且.
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
由，即，得，
所以 ，
而易知函数在上单调递减，
所以，
所以.
所以，即.
4．已知函数且.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数，若存在使不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】分析：第一问首先对函数求导，利用函数单调增，确定导数在给定区间上大于等于零恒成立，对进行讨论，求得结果，第二问根据存在满足条件的值，将其转化为最值来处理，对函数求导，研究函数的单调性，确定出函数的相应的最值，最后求得范围.21cnjy.com
详解：(1) 当时，函数是上的单调递增函数，符合题意；
当时，，令，则
分析知，在上单调递减，在上单调递增
又∵函数在区间上单调递增，
∴，
∴
综上，实数的取值范围是.
∴，即
∴在上单调递增，
∴，
∴.
即实数的取值范围为.
点睛：该题所考查的是有关导数的综合应用问题，这里涉及到函数的单调性的讨论，函数的最值的求解，借助导数，研究函数的单调性，在解题的过程中，涉及到构造新函数的问题，这里需要时刻保持头脑清醒以及问题的等价转化.21·cn·jy·com
5．已知函数，
（Ⅰ）若，且是函数的一个极值，求函数的最小值；
（Ⅱ）若，求证：，.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】分析：（I）由函数的解析式可得．结合，可得， 利用导函数研究函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为． www.21-cn-jy.com
详解：（I），定义域为，
．
由题意知，即，解得，
所以，，
又、、（）在上单调递增，
可知在上单调递增，又，
所以当时，；当时，．
得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为．
（II ）若，得，
由在上单调递增，可知在上的单调性有如下三种情形：
①当在上单调递增时，
可知，即，即，解得，
，令，则，
所以单调递增，，所以；
③当在上先减后增时，得在上先负后正，
所以，，即，取对数得，
可知 ，
所以；
综上①②③得：，．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．21世纪教育网版权所有
6．已知函数f(x)＝ (x>0)
(1) 证明： f(x)为减函数；
(2) a＞2时，证明：总存在x0>0，使得 f(x0)<
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）求导 ，即证，构造，易证在上单调递减，即，从而得证；
（2）作差 ，令g(x)= +1 则，易证所以在(0，)单调递减，取x0=，则g(x0)0【来源：21·世纪·教育·网】
所以<0，故命题得证.
详解：（1） ，令 则
，∵，
∴在上 即在上单调递减
∴
又∵，∴ 故在上单调递减
（2）
=
令g(x)= +1 则
g’(x)= ，由a>2知：
当0取x0=，则g(x0)0
所以<0，故命题得证。
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.