2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.3+最值问题（第02期）

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题03 最值问题
一、解答题
1．已知函数.
（Ⅰ）若函数在处的切线过原点，求的值及切线的方程；
（Ⅱ）若，且存在使得，求整数的最大值.（参考数据：）.
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)2.
【解析】分析：(Ⅰ) 由题意可得，则，，结合直线的斜率得到关于a的方程，解方程可得，则切线方程为.21世纪教育网版权所有
详解：(Ⅰ) 因为，
所以，
所以，，
所以切线的斜率，即，所以，
所以切线的斜率，
由切线过原点得其方程为.
(Ⅱ)当时，，
，
令，则是单调递减函数，
因为，，
所以在上存在，使得，
即，
所以当时，，
时，，
即当时，，
时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值是.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以若存在，使得，则，
故整数的最大值为2.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．21教育网
2．已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的最大值；
（2）证明 ：.
【答案】（1）0（2）见解析
【解析】分析：(1)由题意可得，明确函数的单调性，从而得到函数的最大值；
解得则，
所以，
令，得，令得，
所以当时，.
（2）由（1）得的最大值为0，
所以，即，
从而，
要证，
即，
故只需证，
即证成立；
令
则，
令，则，
令，得，
因为单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减.
当时，，单调递增， 即单调递增，
因为，，
由零点存在定理可知，，使得，
故当或时，单调递增；
当时，单调递减，
所以的最小值是或.
由，得，
，
因为，所以，
故当时，，所以原不等式成立.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
3．已知函数.
（1）讨论的导函数零点的个数；
（2）若函数的最小值为，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，根据求导公式和法则，可得函数的导函数为，构造函数，易知在上为单调递增，则，因此若或时，函数没有零点，所以函数只有一个零点1；若或时，函数存在唯一个零点，所以函数有两个零点.21cnjy.com
（2）由（1）知，可对的取值范围，结合函数的单调性，进行分段讨论，对参数各段取值，逐一求出函数的最小值是否为，若是即满足题意，综合全部从而可确定参数的取值范围.
（2）当时， ，则函数在处取得最小值
当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，
使得.
若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，
又，故不符合题意.
若，则， ，函数在上单调递增，
又，故不符合题意.
若，则，设正数
则，
与函数的最小值为矛盾.
综上所述， ，即.
4．已知函数（是常数）.
（1）求的单调区间与最大值；
（2）设在区间（为自然对数底数）上的最大值为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）求导后根据函数的单调性可得单调区间，然后可得最值．（2）对实数进行分类讨论，分别求出函数的最值后再结合条件求出实数即可．21·cn·jy·com
故当时，有极大值，也为最大值，且．
（2）因为，
所以，，则．
①若，则，从而在上是增函数，
∴，不合题意．
②若，
则由，得；由，得，
∴在上为增函数，在为减函数，
∴，
由题意得，
解得．符合题意．
综上可得．
点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值．对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏．
（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断．www.21-cn-jy.com
5．已知函数（且）.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；并求此时在上的最大值；
（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】【试题分析】(1)求得函数定义域和函数导数,将代入函数的导数,利用导数值为解方程求得的值.再根据函数的单调性求出函数在区间上的最大值.(2)对函数求导后,对分成,两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得的取值范围.2·1·c·n·j·y
【试题解析】
解：（1）函数的定义域为，，
，∴
在上，单调递减，在上，单调递增，
所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；
又，，.
当时，在的最大值为
（2）由于
①当时，，是增函数，
且当时，
当时，，
，取，则，
所以函数存在零点
【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值点必须满足左减右增或者左增右减.
6．已知函数（a为实数）.
（1）当时，求函数的图像在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值；
（3）若存在两个不等实数，使方程成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）.
（2）.
（3）.
【解析】试题分析：（1）当时，对函数求导，再分别求出和，即可求得函数的图像在处的切线方程；（2）先利用导数研究函数的单调性，再对进行分类讨论，根据单调性，即可求得在区间上的最小值；（3）存在两个不等实数，使方程成立等价于有两个不等的解，令，利用导数研究函数的单调性，结合图象，即可求得实数的取值范围.【来源：21·世纪·教育·网】
试题解析：(1)当时，，故切线的斜率为，所以切线方程为，即.
(2) ，
当时，在区间上，为增函数，所以，当时，在区间内，为减函数，在区间上，为增函数，所以.21·世纪*教育网
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题.（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.