2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.7+多变量的函数问题（第02期）

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题07 多变量的函数问题
一、解答题
1．函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求单调递减区间和极值（其中为自然对数的底数）；
（Ⅱ）若对任意，恒成立.求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.（Ⅱ）
【解析】分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；（Ⅱ）由题意可知，函数f（x）-x在（0，+∞）上递增，即该函数的导数大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后转化为导函数的最值问题来解．21cnjy.com
综上，的单调递减区间为，极小值为2，无极大值.
（Ⅱ）因为对任意，恒成立
所以对任意恒成立，
令，
则在单调递减，
所以在恒成立，
所以恒成立.
令，则.
所以的取值范围是.
点睛：利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可.注意等号！2·1·c·n·j·y
2．已知.
（1）求的单调区间；
（2）若方程有4个不同实数根，求的取值范围；
（3）若存在正实数且，使得不等式成立，求的解集.（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】试题分析：（1）由题意，采用导数法进行求解即可，在求过程中，可先将函数根据其定义域进行分段求，在求解过程中注意函数的定义域；（2）由题意，可将方程左边进行因式分解，化为两个方程，结合函数的单调性、最值，从而问题可得解；（3）由题意，将不等式中的参数与未知数分离，再由两未知数汇总为一个未知数，构造新函数，求新函数的最值，再对三角函数进行求解即可，充分体现了数学转化思想.【来源：21·世纪·教育·网】
试题解析：（1）
∴
（2）
∴
∴
（3）
3．设函数且为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】分析：（1）求出函数的导数，分类讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）有题意可得函数在上为减函数，
，令，讨论
的性质可得实数的取值范围.
详解：
（1），，
.
①当时，；
②当时，或.
综上:①当时，函数的增区间为，减区间为；
②当时，函数的增区间为，减区间为.
.
当时，为减函数；
当时，为增函数.
的最小值为.
∴，
所以的取值范围是.
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
4．设
（1）试讨论f(x)在上的单调性；
（2）令g（x）=ax-a（a<1）当m=-1时，若恰有两个整数x1，x2，使得求实数a的最小值.21世纪教育网版权所有
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论导函数零点，根据导函数符号确定单调性，（2）先分别讨论函数图像，根据图像关系确定整数解，结合整数解列不等关系，求a的取值范围，即得最小值.
（Ⅱ）就是利用导数知识确定的图象： 在内单减，在内单增，是极小值点，且.

直线g(x)=ax-a过定点(1,0),a＞0.
存在的两个整数点是0,-1.
于是，所以，解得
故的最小值是
5．已知函数，.
(I)若函数在区间上均单调且单调性相反,求的取值范围；
(Ⅱ)若,证明:
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
详解：
（Ⅰ），
令
,由已知函数在上单调得:在上单调递增，
，而，
所以得
所以在上单调递减.
所以 在上恒成立，
即,
令
所以在上单调递增，,
所以即上单调递增，
（Ⅱ）在（Ⅰ）中，令在上单调递增，
，即，
令,得，
在(I)中，令,
由在上均单调递减得:
所以即
取得，，
即，由得：
综上:
点睛:本题难在第(Ⅱ)问，它主要是利用了第(I)的结论. 先利用函数在上单调递增得到，再给x赋值证明.再利用在上单调递减，，再给x赋值证明.处理数学问题时，经常要注意利用联系的观点处理问题，学会利用前面的结论处理后面的问题.21·cn·jy·com
6．已知函数，其中为实数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；
（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围.
【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【解析】试题分析：由题意点处的切线方程为，求出的值，继而求出函数的单调性利用单调性将问题中的绝对值去掉，构造新函数来证明结论。www.21-cn-jy.com
（2）函数
.
令，，
当时，可知，
故恒成立，
可知，在区间上为单调递增函数，
不妨设，且，
则变为，
即，
设函数
，
由，得在时为单调递减函数，即，
即，
点睛：本题主要考查的知识点是导数的运用，利用导数求出切线斜率并能给出直线方程，在解答含有绝对值的不等式题目中，要根据定义域和单调性来解答，构造新函数，继续求导来证明计算，在解答本题时注意方法。21教育网