16.1.1二次根式的概念
导学案
学习目标
1．掌握二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.
2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
重点：熟知并正确的理解二次根式的概念.
难点：利用（a≥0）的意义解答具体题目.
一、自学释疑
二次根式应满足哪两个条件？
二、合作探究
探究点一、二次根式的概念及有无意义，被开方数中未知数的取值范围问题.
问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。21教育网
问题2．在式子中，的取值范围是____________.
解：由 得： 。
注意：1、形如（a≥0）的式子是二次根式的概念；即含有根号，根指数要为2.
2、利用“，且（a≥0）”解决具体问题
3、结论：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
强化训练
1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
2.取何值时，下列各二次根式有意义？
① ② ③
探究点二、小组活动、讨论、典型例题
1.已知y=++5，求的值
2.若+=0，求a2014+b2104的值.
强化训练2
1.若有意义，则a的值为___________．
2.已知+＝0，则_____________.
3.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？21世纪教育网版权所有
三、随堂检测
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A.????????? B.?????? ???? C.??????? ? D.
2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. ???????? ??B. ≥1?????????? C.????????? D. ≥
3.要使式子有意义，x的取值范围是( )．
A. x≠1 B. x≠0 C. x＞－1且x≠0 D. x≥－1且x≠0
4．要使有意义，则x应满足（ ）．
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
5.已知，则的值为（ ）
A. ????????????????B. 1??? ??????????C.???? ?????????D.
6.当??? 时，二次根式无意义．
7.小红说：“因为，所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？
8.当??? 时，二次根式有最小值，其最小值是???? ．
我的收获
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
随堂检测
1.C．
2.D．
3.D.
4.D.
5.A．
6.
7.×．
8.，0．
课件21张PPT。八年级下册16.1.1二次根式掌握二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.12首页2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数正的平方根叫做它的算术平方根.1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.0的算术平方根和平方根都是0.正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.3.平方根的性质：4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根.50米a米塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米.塔座?米下球体S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为_______.探究点一、二次根式的概念
问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、解：二次根式有： （x≥0，y≥0）．不是二次根式的有： .、、、（x>0）、、、（x≥0，y≥0）．、-二次根式的定义一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号，a叫做被开方数.请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？，，，，，解析：根指数不是2，是3.，，，均是二次根式，其中 属于“非负数+正数”的形式一定大于零.不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.1. 如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是 .b-3表示一些正数的算术平方根．2.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件3．在式子中，解：由 得： .2、利用“3、结论：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.x的取值范围是____________.注意：1、形如（a≥0）的式子是二次根式的概念；即含有根号，根指数要为2.，且（a≥0）”解决具体问题解：由x-1≥0，得x≥1当x=9时，思考：当x是怎样的实数时 ， 在实数范围内有意义？ 呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.2.x取何值时，下列各二次根式有意义？ ② ③①探究点三、小组活动、讨论、典型例题++5，求的值 +=0，求a2014+b2104的值.1.已知y=2.若21.下列各式一定是二次根式的是（ ）2.若2＜a＜3， 则 等于（ ）
A.5﹣2a B.1﹣2a C.2a﹣1 D.2a﹣53.关于 的下列说法中错误的是（ ）
A. 是无理数 B.3＜ ＜4
C. 是12的算术平方根 D. 不能化简C D D 4.若 ，则x的取值范围是（ ）
A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤15.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣26.若1＜x＜3，则 的值为（ ）
A.2x﹣4 B.﹣2 C.4﹣2x D.27.函数y= 中自变量x的取值范围是（ ）
A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x＜2且x≠1 D.x≠1DA DB （1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ ”称为二次根号，a叫做被开方数.个性化作业1.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ．解：由数轴可得：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，则 =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣2b个性化作业2、已知三角形的三边x、y、z的长满足｜x2－4｜+ + =0，求这个三角形的周长.解：∵｜x2－4｜≥0， ≥0， 且 ｜x2－4｜+ + =0，∴x2－4= 0，x2=4，y－3=0，z-4=0.∴x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.再见16.1.1二次根式的概念
课后作业
1.若+有意义，则(﹣2)a= ．
2.若，则_______ ,_______ ．
3.函数中．自变量x的取值范围是 ．
4.函数y=+中自变量x的取值范围是________．
5.二次根式有意义的条件是________________．
参考答案
1.1．
2.5,6
3.答案为：x≤3．
4.5≥x>-3
5.x≥0且x≠4
16.1.1二次根式的概念
预习案
学习目标
理解二次根式的概念以及二次根式有意义的条件.
一、旧知回顾
1、口答：4的平方根是多少？4的算术平方根是多少？
2、填空：的算术平方根是 ；= .
二、教材助读
1、请同学们预习完成教材中的有关问题，写出这些问题的结果： ；
2、观察上述式子，你有什么发现？
3、您能说说什么样的式子叫二次根式？什么叫二次根号？什么叫被开方数？
4、请指出第一问所列式子的被开方数.
5、你知道在定义中为什么a≥0吗？
三、预习检测
1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y≥0）．21世纪教育网版权所有
2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
我的疑惑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区.
_________________________________________________________________________________________________21教育网
16.1.2 二次根式的性质
导学案
学习目标
1.探索二次根式的性质.
2.用二次根式的性质进行化简计算.
重点：二次根式的性质.
难点：综合运用性质进行化简和计算.
一、自学释疑
讨论二次根式的性质与有什么区别与联系.
二、合作探究
探究一：探究二次根式的性质1及应用
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 21世纪教育网版权所有
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
（1）（a≥0）是一个什么数呢？
（2）根据算术平方根的意义填空：
（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；
（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．
（3）你从中发现了什么规律？
典例解析：
例1 计算 1. 2.
例2 在实数范围内分解因式：
注意：本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.21教育网
举一反三：
计算：
活动2：探究二次根式的性质2及应用
（1）2；0.1；；0……的平方和算术平方根分别是什么？你知道它们之间的关系吗？
（2）-2；-0.1；；……的平方和算术平方根分别是什么？你知道它们之间的关系吗？
的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于_________.
典例精析
例3 化简：
举一反三：
1.计算：
2.辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
议一议：如何区别与？
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
举一反三：
实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.
例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简
三、随堂检测
1.化简得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4
2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ②; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）; ⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧
4.化简：
（1）＝ ; （2）＝ ; （3） ; （4） .
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .
6.利用a ＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9； (2)5； (3) 2.5； (4) 0.25； (5)； (6)0 .
我的收获
_________________________________________________________________________________________________________________________________________
参考答案
随堂检测
1、C
2.D
3.C
4.3；4；7；81
5.1
6.；；；；；
课件26张PPT。八年级下册16.1.2 二次根式的性质 探索二次根式的性质.运 用二次根式的性质进行化简计算.12问题1 下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 a a≥01 我们都是非负数哟问题2 若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？ 算术平方根之门 平方之门 0 -4 -1 1 16 4 1 a a为任意数我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数.思考 你发现了什么？ 正方形的边长为 ，
用边长表示正方形的面积为 ，
又∵面积为a，
即 . 活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？ 这个式子是不是对所有的二次根式都成立呢？探究一：探究二次根式的性质1及应用活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
...算术平方根平方运算 0
2
4
...a(a≥0) 02 = 0
...观察两者有什么关系？ 22 = 4420根据活动2直接写出结果，然后根据活动2的探究过程说明理由： 是2的算术平方根，根据算术平方根的意义，
是一个平方等于2的非负数.因此 .
同理， 分别是0,4， 的算术平方根，即得上面的等式.即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.例1 计算： 解：(2)可以用到幂的哪条基本性质呢？积的乘方：
（ab）2=a2b2例2 在实数范围内分解因式： 解： 本题逆用了 在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用. 计算： 解:
...平方运算算术平方根 2
0.1
0
...a(a≥0)
2
. ..观察两者有什么关系？ 填一填： ＝a (a≥0).活动2：探究二次根式的性质2及应用
...平方运算算术平方根 -2
-0.1
... 2
...观察两者有什么关系？ a(a＜0)
思考：当a＜0时， =？-aa (a≥0)-a (a＜0)即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.例3 化简：解： 计算： 解:辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．（ ）（ ）（ ）（ ）××√√从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a≥0a取任何实数a|a|意义表示一个非负数a的算术平方根的平方表示一个实数a的平方的算术平方根例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）=-2a.ab实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简： .解：根据数轴可知b＜a＜0，
∴a+2b＜0，a-b＞0，
则
=|a+2b|+|a-b|
=-a-2b+a-b=-3b． 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例5 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|
=a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c）
=a+b+c-b-c+a+b+a-c
=3a+b-c．分析：利用三角形三边关系三边长均为正数，a+b＞c两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜01.化简 得（ ）
A. ±4 B. ±2 C. 4 D.-4C2. 当1A.3 B.-3 C.1 D.-1D3.下列式子是代数式的有 ( )①a2+b2 ; ② ; ③13; ④x=2; ⑤3×（4 －5）; ⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧A.3个 B.4个 C.5个 D.6个C 4.化简：
（1） ＝ ; （2） ＝ ; （3） ; （4） .3748116.利用a ＝ （a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .二次根式定义性质本节课都学到了什么？解：由题意得-a2≥0，又∵a2≥0，
∴a2=0，∴a=0，
∴ (1)已知a为实数，求代数式 的值.解：由题意得a+2≥0，-4-2a≥0，
∴a=-2，
∴ .(2)已知a为实数，求代数式 的值.个性化作业再见16.1.2 二次根式的性质
课后作业
1、填空
（1）()2=___________. （2）_______； （3）_______；21世纪教育网版权所有
2. x是的平方根，y是64的立方根，则x+y的值为( )(
A.3 B.7 C.3，7 D.1，7(
53 下列各式： (a≥0)；|a|；a2中，非负数有( )．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. 若－＝(x＋y)2，则x－y的值为( )．
A. －1 B. 1 C. 2 D. 321教育网
5．已知那么a的取值范围是( )．
A． B． C． D．
6.实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a－b|－的结果是( )
A.2a－b B.b C.－b D.－2a+b
7.下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．计算：
(1) ； (2)； (3)()2(x≥0)；
(4)()2； (5)()2； (6)()2.
参考答案
2、D
3、D
4、C
5、D
6、C
7、A
8、(1) (2) (3)x＋1 (4)a2 (5)a2＋2a＋1 (6)4x2－12x＋9
16.1.2 二次根式的性质
预习案
预习目标
掌握二次根式的基本性质：；
一、旧知回顾
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：( )2=（x+ ）(y- )
二、教材助读
1.计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
2.计算：
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当
3.计算： 当
三、预习检测
1.将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
2.化简下列各式：
（1） （2） （3） （4）= （）
3.化简下列各式
（1） (2)
4.化简下列各式
（1） （2）（x＜-2）
我的疑惑
把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。
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