曲线运动万有引力学案
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文档简介
第五章 曲线运动 万有引力与航天
新课程标准要求
1．内容标准
（1）会用运动合成与分解的方法分析抛体运动．
例1 分别以物体在水平方向和竖直方向的位移为横坐标和纵坐标，描绘做抛体运动的物体的轨迹．
（2）会描述匀速圆周运动．向心加速度．
（3）能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力．分析生活和生产中的离心现象．
例2 估测自行车拐弯时受到的向心力．
（4）关注抛体运动和圆周运动的规律与日常生活和联系．
（5）通过有关事实了解万有引力定律的发现过程．知道万有引力定律．认识发现万有引力定律的重要意义．体会科学定律对人类探索未知世界的作用．
例3 通过用万有引力定律发现未知天体的事实，说明科学定律对人类认识世界的作用
（6）会计算人造卫星的环绕速度．知道第二宇宙速度和第三宇宙速度．
（7）初步了解经典时空观和相对论时空观，知道相对论对人类认识世界的影响．
（8）初步了解微观世界中的量子化现象，知道宏观物体和微观粒子的能量变化特点，体会量子认的建立深化了人类对于物质世界的认识．
（9）通过实例，了解经典力学的发展历程和伟大成就，体会经典力学创立的价值与意义，认识经典力学的实用范围和局限性．
例4 了解经典力学对航天技术发展的重大贡献．
例5 了解重物下落与天体运动的多样性与统一性，知道万有引力定律对科学发展所起的重要作用．
（10）体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用．举例说明物理学的进展对于自然科学的促进作用．
2．活动建议
（1）通过查找资料，对比实际弹道的形状与抛物线的差异，浓度做出解释．
（2）调查公路拐弯的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异．
（3）观看有关人造地球卫星、航天飞机、空间站的录像片．
（4）收集我国和世界航天事业发展历史和前景的资料，写出调查报告．
第一单元 运动合成与分解 平抛运动
考点解读 典型例题
知识要点一、曲线运动：1．特点：做曲线运动物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．2．物体做曲线运动的条件：物体所受合外力的方向与初速度方向不在同一直线上．它的加速度方向跟它速度的方向不在同一直线上．说明：（1）如果这个合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动．（2）如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动．（3）做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向．（例1， 针对练习1，2）二、运动的合成与分解：1．定义：由分运动求合运动的过程叫运动的合成．即已知分运动的位移、速度和加速度等，求合运动的位移、速度和加速度等的过程． 叫运动的分解，它是运动的合成的逆过程．2．规律：运动的合成与分解所遵循的法则是平行四边形定则．说明：两个直线运动合成，合运动的性质和轨迹，由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：（1）两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动．（2）一个匀速直线运动和一个匀变速运动的合运动仍是匀变速运动；二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动．（3）两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动，当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动．分解运动的关键是，明确那个运动是合运动，那个运动是分运动．物体可能同时参与多个分运动，实际的运动是合运动．（例2，针对练习3，9）三、平抛运动1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．2．运动的性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，它的轨迹是一条抛物线．3．处理方法：可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．4．做平抛运动的物体在空中飞行的时间由竖直高度决定．产生的水平距离由竖直高度和初速度 决定． 5．平抛运动的规律设平抛运动的初速度为，建立坐标系如下图速度：水平方向 竖直方向 合速度的大小 合速度的方向位移：水平方向 竖直方向 合位移的方向说明：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tamα.做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过从水平抛出到该时刻物体水平位移的中点．（例3，例4， 针对练习4，5，7）疑难探究四、平抛物体运动中的速度变化水平方向分速度保持vx=Vo，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔 t时间的速度的矢量关系如图5-1-6所示．这一矢量关系有两个特点：1．任意时刻v的速度水平分量均等于初速度vo；2．任意相等时间间隔 t内的速度改变量均竖直向下，且 v= vy=g t ． 五、平抛运动的规律的应用平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和．解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特点，并且注意与其它知识的结合点．（例题5，例题6， 针对练习8）六、渡河问题1．过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．2．船沿垂直河岸方向横渡，即v合垂直河岸，过河位移最小．3．要求到达上游确定的某处，应使船的合运动指向该处．说明（1）要求渡船沿着河中确定的航线运动时，有两种处理方法：一是使船的合速度沿着该航线；二是使垂直该航线两侧的分速度互相抵消．（2）在渡河问题中，当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当船速v＞水速u时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽．如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸．此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法．如图5-1-8所示，以水速u矢量的末端为圆心，以船速v矢量的大小为半径作一圆，然后过出发点A作这个圆的切线AE，这就是合速度的方向．AE线就是位移最短的航线．这时航向与河岸的夹角过河时间和航程分别为（例7， 针对练习6）七、类平抛运动在具体的物理情景中，常把复杂的曲线运动，分解成几个简单的直线运动来处理．用类似平抛运动的解决方法解决问题，例如带电粒子在电场中的偏转运动等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系：1．等时性：合运动与分运动经历的时间相等．即同时开始，同时进行，同时停止．2．独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响．3．等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．（例8 ，针对练习10） 【例1】如图5-1-1所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F．在此力作用下，物体以后 A．物体不可能沿曲线Ba运动B．物体不可能沿直线Bb运动C．物体不可能沿曲线Bc运动D．物体不可能沿原曲线返回到A点【例2】如图5-1-2所示，直杆ab搁在半径r的固定圆环上以速度竖直向下匀速平动，求直杆ab运动到图示的位置时，杆与环的交点M的速度的大小________________.(已知ab⊥ON,∠MON=θ)【例3】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是 ( )A．速度的增量 B．加速度C．位移 D．平均速度 【例4】用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置（见图5-1-4）．若已知闪光时间间隔为△t=0.1s，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B点时的竖直分速度大小多大？g取10m／s2，每小格边长均为L=5cm．【例5 】如图5-1-5所示，MN为一竖直墙面，图中x轴与MN垂直．距墙面L的A点固定一点光源．现从A点把一小球以水平速度向墙面抛出，则小球在墙面上的影子运动应是A．自由落体运动B．变加速直线运动C．匀速直线运动D．无法判定【例6】如图5-1-7所示，水平屋顶高H=5m,墙高h，墙到房子的距离L，墙外马路宽S，小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度．【例7】河宽L=300m，河水流速u=1m/s，船在静水中的速度v=3m/s．欲按下列要求过河时，船的航向应与河岸成多大角度？过河时间为多少？（1）以最短的时间过河；（2）以最小的位移过河；【例8】如图5-1-9所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B点，已知A点的高度h，则小球到达B点时的速度大小为______.
典型例题答案
【例1】解析：本题考查曲线运动条件．物体受力方向与速度方向不在一条直线上时，物体将做曲线运动．力的方向是指向轨迹弯曲的一侧的，AB曲线向下弯曲，说明力F沿某一方向指向AB弯曲一侧；若换成－F，其方向反向另一侧，故曲线要向上弯曲，物体可能沿Bc运动；如果物体在B点不受力，从B点开始沿Bb方向做匀速直线运动；如果物体受力不变，则物体可能沿Ba曲线运动．故此时只有可能沿曲线Bc运动．
答案：ABD
说明：此题考查物体做曲线运动的条件，必须根据受力与运动轨迹的关系进行判断．
【例2】解析：由题目知交点M做圆周运动，交点M又同时参与水平和竖直两个方向上的运动．如图5-1-3 所示，由图可知，的方向沿M点的切线方向，与杆ab成θ角，由运动的分解知为v和v1的合速度，故=
【例3】解析：平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g,由加速度定义a= v／ t，可知速度增量 v =g t，所以相等时间内速度的增量和加速度是相等的．位移和平均速度是矢量，平抛运动是曲线运动，相等时间内位移和平均速度的方向均在变化．综上所述，该题的正确答案是A、B.
答案： AB
【例4】解析：由于小球在水平方向作匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度．小球在竖直方向作自由落体运动，由竖直位移的变化根据自由落体的公式即可算出竖直分速度．
因A、 B（或B、C）两位置的水平间距和时间间隔分别为
xAB=2L=2×5cm=10cm=0.1m
tAB=△t=0.1s．
所以，小球抛出的初速度为
设小球运动至B点时的竖直分速度为vBy、运动至C点时的竖直分速度为vCy，B、C间竖直位移为yBC，B、C间运动时间为tBC．根据竖直方向上自由落体运动的公式得
v2Cy-v2By=2gyBC，
即（vBy+gtBC）2-v2By=2gyBC
式中yBC=5L=0.25m
tBC=△t=0.1s，
代入上式得B点的竖直与速度大小为
【例5 】解析：设小球从A点抛出后经过时间t，其位置B坐标为(x，y)，连接AB并延长交墙面于C(x′，y′)．显然C点就是此时刻小球影子的位置(如图5－1－10)所示)．
令AB与x轴夹角为α，则
依几何关系，影子位置y′＝L·tanα．故
令 gL/2v0＝k，则y′＝k·t．
即影子纵坐标y′与时间t是正比例关系，所以该运动为匀速直线运动，应选C项．
答案： C
【例6】解析：小球速度很小，则不能跃过墙；小球速度很大，则飞到马路外面．两临界状态就是过墙时与落在路右侧．设球刚好越过墙时，此时球水平初速度为v1，则
得
设球越过墙刚好落在马路右边，此时球水平速度为则
，
得
小球离开屋顶时的速度5m／s13m／s
【例7】解析：（1）最短过河时间为
船的航向与河岸成90°角．船的运动情况如图5-1-11所示，船到达下游某处C．
（2）以最小位移过河时船的运动情况如图5-1-12所示．设船的航向（船速）逆向上游与河岸成α角．由
vcosα=u，
过河时间:
【例8】．解析：小球在光滑斜面上做类平抛运动，沿斜面向下的加速度a=gsinθ
由A运动至B的时间为t
沿斜面向下的位移为
=at2
所以t==
小球到达B点的水平速度为vB.沿斜面向下的速度为
vy=at=gsinθ·=
故小球在B点的速度为
v==．
针对练习
1．关于曲线运动性质的说法正确的是( )
A．变速运动一定是曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动
2．麦收时节，农用拖拉机牵拉震压器在麦场上打麦时，做曲线运动．关于震压器受到的牵引力F和摩擦力F1的方向，下面四个图中正确的是（ ）
3．如图5－1－14示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是( )
A．加速拉
B．减速拉
C．匀速拉
D．先加速后减速拉
4．对于平抛运动，下列条件中可确定物体初速度的是（ ）
A．已知水平位移
B．已知下落高度
C. 已知物体的位移
D．已知落地速度的大小
5．将一个小球以速度水平抛出，要使小球能够垂直打到一个斜面上，斜面与水平方向的夹角为α．那么下列说法中正确的是（ ）
①若保持水平速度不变，斜面与水平方向的夹角越大，小球的飞行时间越长
②若保持水平速度不变，斜面与水平方向的夹角越大，小球的飞行时间越短
③若保持斜面倾角不变，水平速度越大，小球的飞行时间越长
④若保持斜面倾角不变，水平速度越大，小球的飞行时间越短
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．一条河宽100m，水流速度为3m／s，一条小船在静水中的速度为5m／s，关于船过河的过程，下列说法正确的是( )
A．船过河的最短时间是20s
B．船要垂直河岸过河需用25s的时间
C．船不可能垂直河岸过河
D．只要不改变船的行驶方向，船过河一定走一条直线
7．以速度v0水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是（ ）
A．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小
B．此时小球的速度大小为v0
C．小球运动的时间为2 v0/g
D．此时小球速度的方向与位移的方向相同
8．正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个．不计阻力则( )
A．这5个球在空中排成一条直线
B．这5个球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距离相等
9．如图5-1-15所示，在离水面高为H的岸边，有人以v0的匀速率收绳使船靠岸，当船与岸上的定滑轮水平距离为s时，船速大小是 .
10．如图5-1-16所示，某人从高出水平地面h高的坡上水平击出一个高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击点水平距离为L的A穴．该球被击出时初速度的大小为 ．
单元达标
1．关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动
2．一个物体以初速度v0从A点开始在光滑水平面上运动．平面上另一固定物体施加一个水平力在该物体上，使物体运动轨迹为图5-1-17中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A、B两点并与该轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为图示的5个区域．则关于对该施力物体位置的判断，下面说法中正确的是（ ）
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体一定在③区域
3．某人在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图5－1-18中能表示出速度矢量的演变过程的是（ ）
4．一船在静水中的速度为6米/秒，要横渡流速为8米/秒的河，下面说法正确的是（ ）
A．河宽60米，过河的最少时间为10秒
B．船不能渡过此河
C．船能行驶到正对岸
D．船在最短时间内过河，船对地的速度为6米/秒
5．物体从某一高处平抛，其初速度为V0，落地速度为V，不计阻力，则物体在空中飞行时间为( )
A． B．
C． D．
6．在“研究平抛运动”实验中，某同学只记录了小球运动途中的A、B、C三点的位置，取A点为坐标原点，则各点的位置坐标如图5-1-19所示，当g＝10 m/s2时，下列说法正确的是（ ）
A．小球抛出点的位置坐标是（0，0）
B．小球抛出点的位置坐标是（-10，-5）
C．小球平抛初速度为2m/s
D．小球平抛初速度为1m/s
7．在离地某—高度的位置上，分别以v1和v2的水平初速度，同时向左右两个方向抛出两个小球，小球随即开始作平抛运动，当两个小球的速度方向相互垂直时，以下正确的叙述有（ ）
A．可以确定从起抛至此时小球运动的时间
B．可以确定从起抛至此时小球下落的高度
C．可以确定两个小球此时相距的水平距离
D．可以确定小球此时至落地的时间
8．质量为m的小球以v0的水平初速度从O点抛出后，恰好击中斜角为的斜面上的A点．如果A点距斜面底边（即水平地面）的高度为h，小球到达A点时的速度方向恰好与斜面方向垂直，如图5-2-20，则以下正确的叙述为（ ）
A．可以确定小球到达A点时，重力的功率；
B．可以确定小球由O到A过程中，动能的改变
C．可以确定小球从A点反弹后落地至水平面的时间
D．可以确定小球起抛点O距斜面端点B的水平距离
9．如图5-2-21所示，重物A、B质量均为M由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在光滑水平面上，用外力水平向左推A，当A的水平速度为VA时，如图中虚线所示．此过程中水平推力做的功为______．
10．甲、乙两船在静水中的航行速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河、乙船想以最短航程过程，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用的时间之比t甲︰t乙＝ ．
11．物体由h = 20m高处以初速度υ0 = 5m/s水平抛出，因受与υ0方向相反的风力影响，在水平方向上物体具有大小恒为a = 2.5m/s2的加速度．求：（g取10m/s2）
（1）物体的水平射程；
（2）物体落地时速度的大小和方向．
12．如图5-1-22所示，女排比赛时，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m处正对球网跳起将球水平击出．
(1)若击球的高度为2.5m,为使球既不触网又不越界,求球的速度范围．
(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大球不是触网就是越界
第二单元 圆周运动
考点解读 典型例题
知识要点一、基本概念1．线速度:是描述质点绕圆周运动快慢的物理量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的定义式为：．2．角速度: 是描述质点绕圆心圆周运动快慢的物理量,其定义式为：,国际单位为rad/s．3．周期和频率:周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量,用周期和频率计算线速度的公式为, 用周期和频率计算角速度的公式为.4．向心加速度: 是描述质点线速度方向变化快慢的物理量, 向心加速度的方向指向圆心,其大小的定义式为或．5．向心力: 向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其作用效果是只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小,其大小可表示为或．方向时刻与运动的方向垂直.它是根据效果命名的力.说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力．如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力．（例1，针对练习1，4，10）二、匀速圆周运动:1．定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等．在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等．2．特点：在匀速圆周运动中, 线速度的大小不变, 线速度的方向时刻改变. 所以匀速圆周运动是一种变速运动．做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.3．实例分析（1）水平转盘上的物体和水平路面上转弯的机车特点：摩擦力提供向心力（2）圆锥摆特点：合外力（或绳的拉力的分力）提供向心力（3）火车拐弯按设计速度行驶，向心力由重力和支持力的合力提供，否则挤压内轨或外轨．（例2，针对练习2，3，5，6）三、一般的圆周运动（非匀速周运动）不仅速度的方向时刻改变，速度大小也变化．既有向心加速度，又有沿圆周切线方向的加速度．向心力不在是物体受到的合外力，而是物体受到的合外力在半径方向上的分力．四、离心运动:1．定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动．2．特点：（1）当F合=的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做圆周运动.（2）当F合<的情况，即物体所受力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动. 了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动．（3）当F合＞的情况，即物体所受力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势．（例3，针对练习7）疑难探究五、怎样解有关圆周运动与牛顿定律的综合问题？圆运动并不是什么特殊的运动，它遵从力学的基本规律，解题时依然要分析过程，弄清物理图景，认真地选定研究对象并分析力(不能在实际受力之外臆造一个向心力)，，画受力图；确定物体(质点)圆周运动轨道平面、圆心和半径；要将各力分解到切线和法线方向上，法向的合力必然指向圆心且解题思路和主要步骤：1．审清题意，确定研究对象．2 ．选取参考系，确定物体(质点)圆周运动轨道平面、圆心和半径．向心力公式F=mv2/r，是根据向心加速度a=v2/r和牛顿第二定律F=ma推导出来的．公式中的半径是指质点的轨道曲率半径；公式中的速度是指质点相对于静止或作匀速直线运动的参考系(即惯性系)的速度．3 ．对物体作受力分析，画受力图；确定向心力的来源．4 ．据牛顿定律及向心力公式列方程；5 ．求解、讨论．（例4，例5，针对练习8，9）六、临界问题的分析与计算 圆周运动中临界问题的分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体受力的特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题．1．在竖直面内做圆周运动的物体竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件是：则绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力． 竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力．2．当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题．（例6，例7，针对练习11，12） 【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？ 【例2】如图5-2-2所示装置在动力机带动下绕竖直轴OO'以固定的角速度ω匀速转动，MN为一光滑杆，质量分别为mA和mB的两物块穿在杆上，并由一根原长为L0，劲度系数为k的轻质弹簧相连接，且mB=2mA=2m0．问：A、B放在什么位置，它们可以与杆相对静止？【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（ ）A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C．当转台转速增加时，C最先发生滑动D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动【例4】质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动，如图5-2-3所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？ 【例5】如图5-2-4所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？【例6】如图5-2-5所示，一内壁粗糙的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的直径大得多)，在圆管中有—个直径比细管内径略小的小球(可视为质点)，小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为6mg．此后小球作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服摩擦力所做的功是( )A．3mgR B．2mgR C．mgR D．mgR/2【例7】如图5-2-6所示的装置中，质量为M的物体与质量为m的物体用细绳连接，物体M与转台一起以恒定角速度做匀速圆周运动，设最大静摩擦力为fm,试求M不发生相对滑动做匀速圆周运动时转动半径R的可能范围．
典型例题答案
【例1】解析：由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系
ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．
因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比
ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．
因A轮边缘的线速度
vA=ωARA=2ωBRB=2vB，
所以A、B、C三轮边缘线速度之比
vA∶vB∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
说明：在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系．同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比．在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带及和皮带相接触的两轮边缘上的各点线速度的大小相等．
【例2】解析：设A、B与OO'的距离分别为RA和RB时，它们相对杆静止．此时它们应以角速度ω分别做半径为RA和RB的匀速圆周运动．再分析它们的受力情况，以B为研究对象，它在水平方向上只受弹力F，弹簧现长L=RA+RB，则
F=k(RA+RB-L0)=mBω2RB ①
因一根弹簧上弹力处处相等，所以A与B受的向心力大小相等，根据F=mω2R，且A与B的F和ω相同，则R∝1/m．所以
RA：RB=mB：mA=2：1，
L=RA+RB=3RB，即RB=L/3．
代入①式 kL-kL0=2m0ω2· L/3
所以
得出
【例3】解析： A、 B、 C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．故A错．
三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fA=mAω2rA=2mω2r，
fB=mBω2rB=mω2r，
fC=mCω2rc =mω2·2r=2mω2r．
即物体B所受静摩擦力最小．B正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．
答案：BC
【例4】解析：A、B小球受力如图5-2-7所示，在竖直方向上A与B处于平衡态．在水平方向上根据匀速圆周运动规律
．
TA∶TB = 3∶2
答案：TA∶TB = 3∶2
【例5】解析：小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零．由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答．对小球进行受力分析如图5-2-8所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T·sinθ-N·cosθ=mω2r ①
y方向上应有
N·sinθ+T·cosθ-G=0 ②
∵r = L·sinθ ③
由①、②、③式可得T = mgcosθ+mω2Lsinθ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有 Tsinθ=mω2r ④
T·cosθ-G=0 ⑤
由④⑤式可得
即小于的角速度至少为
【例6】解析：设小球通过最底点时的速度为v1，高点速度为v2，则有：
小球在最高点有：mg= ①
小球在最低点有：6mg-mg=m ②
小球从最低点到最高点，由动能定理得；
Wf-mg2R= ③
解得：Wf=- mgR/2
答案：D．
【例7】解析：m、M与ω不变，半径越大，物体M所需的向心力越大．设是可能的最大半径，物体M会受到指向圆心的摩擦力作用，如图5-2- 9(a).
则有
若M的转动半径较小，绳子的拉力T=mg大于M所需的向心力，物体M将要向圆心运动，此时摩擦力方向背离圆心，此时物体M会受到背离圆心的摩擦力作用．设R//为物体M的最小圆半径，如图5-2- 9(b).
则有
即物体做匀速圆周运动的半径范围为
．
针对练习
1．下列关于圆周运动的叙述中正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动的物体的合外力一定指向圆心
B．做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心
C．做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心
D．做圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心，其速度方向就不与合外力垂直
2．质量为m的飞机，以速率v在水平面上做半径为r的匀速圆周运动，空气对飞机的作用力的大小等于( )
A．m B．m
C．m D．mg
3．如图5-2-10所示，竖直放置的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量相同的小球P、Q，各自在不同水平面内做匀速圆周运动，则下列关系正确的是（ ）
A．线速度VP＞VQ
B．角速度ωP＞ωQ
C．向心加速度aP＞aQ
D．漏斗对小球压力NP＞NQ
4．如图5－2－11，细线吊着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动．关于小球的受力情况，正确的是( )
A．重力、绳子的拉力、向心力
B．重力、绳的拉力
C．重力
D．以上说法均不正确
5．如图5-2-12所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速圆周运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（ ）
A．0
B．2
C．2μmgR
D．μmgR/2
6．关于铁道转弯处内外铁轨间的高度关系，下列说法中正确的是 ( )
A．内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故
B．因为列车转弯处有向内倾倒的可能，做一般使内轨略高于外轨，以防列车翻倒
C．外轨比内轨略高，这样可使列车顺利转弯，减少车轮与铁轨的挤压
D．以上说法均不对
7．如图5-2-13所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的两个物体A和B，它们和圆盘的动摩擦因数相同，两个物体恰好处于将滑动而还没有发生滑动的状态．烧断细线，则 （ ）
A．两物体都沿半径方向滑动
B．两物体都沿切线方向滑动
C．两物体都不发生滑动
D．A物体不滑动，B物体发生滑动
8．如图5-2-14所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点，小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法中正确的是（ ）
A．小滑块在A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．小滑块在B点时，N=Mg，摩擦力方向向右
C．小滑块在C点时，N＝(M＋m)g，M与地面无摩擦
D．小滑块在D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
9．如图5-2-15所示，细绳一端系着质量m=0.1kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M=0. 5kg的物体B相连，B静止于水平地面上，当A以O为圆心做半径，r=0.2m的匀速圆剧运动时，地面对B的支持力，则物块A的角速度的大小为 ．(g=10m／s2)
10．某种变速自行车,有六个飞轮和三个链轮,如图5-2-16所示,链轮和飞轮的齿数如下表所示，后轮的直径为660mm(俗称“二六”自行车)，人骑该车行进的速度为4m／s，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小为 .
名称 链轮 飞轮
齿数 48 38 28 15 16 18 21 24 28
11．如图5-2-17所示，质量m=100g的小物块，从距地面h=2．0m处的斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径r=0．4m的圆轨道，若物体运动到圆轨道的最高点A时，物块对轨道的压力恰好等于它自身所受的重力，求物块从开始下滑到滑至A点的运动过程中，克服阻力做的功．(g=10m/s2)
12．铁道部第五次进行铁路大提速后，京深线上长沙到广州依然未能实现第五次大提速．原因主要是此线段上弯道太多，改造工程太大．铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为R的圆弧轨道转弯，如图5-2-18所示．已知内外铁轨的倾角为．
(1)列车的速率v0为多大时，才能使车轮对铁轨的侧压力正好为零
(2)如果火车的实际速率vv0，则车轮施于铁轨一个平行于斜面的侧压力F，试证其大小为：
(3)如果不改变内外轨间的倾角a而强行提速，车轮将对铁道的 轨产生侧向挤压而造成事故．
单元达标
1．如图5-2-19所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r.b点在小轮上,到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑.则( )
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
2．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型容器，筒壁坚直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为（ ）
A．游客处于超重状态
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力
D．筒壁对游客的支持力等于重力
3．如图5-2-20所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下.两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大环对轻杆的拉力大小为（ ）
A.（2m+2M）g
B.Mg－2mv2/R
C.2m(g+v2/R)+Mg
D.2m(v2/R－g)+Mg
4．当汽车以10m/s的速度通过某拱桥顶点时，车对桥顶的压力为车重的3/4，为了避免车沿粗糙桥面上行驶至该桥顶时所受摩擦力为零，则汽车通过桥顶速度不应（ ）
A．v≥15m/s B．v≥20m/s
C．v≥25m/s D．v≥30m/s
5．如图5-2-21所示，轻杆的一端有一小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时对小球的作用力，则F（ ）
A．一定是拉力
B．一定是推力
C．一定等于0
D．可能是拉力，也可能是推力，也可能等于0
6．如图5-2-22所示，一球质量为m，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间下列说法正确的是（ ）
A．小球的线速度突然加大
B．小球的向心加速度突然增大
C．小球的角速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
7．如图5-2-23所示，手持一根长为L的轻绳的一端在水平桌面上做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系质量为m的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力（ ）
A．手对木块不做功
B．木块不受桌面的摩擦力
C．绳的拉力大小等于
D．手拉木块做功的功率等于
8．如图5-2-24所示，MN是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则以下说法中正确的是（ ）
A．有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处的一条与a缝平行的窄条上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处的一条与S缝平行的窄条上
C．有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与S缝平行的窄条上
D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
9．质量相等的两汽车以相同的速度v分别通过半径为R的凸形桥顶P与凹形桥底P′时两桥面所受的压力之比为FP∶FP′=________.
10.如图5-2-25所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置的示意图.A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮.车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ；小车速度的表达式为v= ;行程的表达式为s= .
11．在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图5-2-26所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍．求：（g=10m/s2）
（1）C球通过最低点时的线速度；
（2）杆AB段此时受到的拉力．
12．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图5-2-27甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的、之间来回滑动．、点与O点连线与竖直方向之间夹角相等且都为，均小于100，图5-2-27乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t=0为滑块从A点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量．(g取10m/s2)
第三单元 万有引力与航天
考点解读 典型例题
知识要点一、开普勒定律：1．开普勒定律内容：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积；（3）所有行星的轨道的半长轴R的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等．公式R3/T2=k..2．理解：（1）此处常量k.仅决定于太阳质量，用特例（圆轨道卫星）容易推出其值与行星的质量无关，仅与中心星体的质量有关．（2）所有的星体运动的轨道都是椭圆，平时为了研究问题的方便，近似看成圆，常把星体的运动按匀速圆周运动处理．二、万有引力定律1．内容：自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，跟它们之间距离r的二次方成反比．2．公式：，G引力常量，G的标准值为G=6.67259×10-11N·m2/kg2 ,通常取G= 6.67×10-11N·m2/kg2．m1, m2是两个物体的质量，r是两个质点之间的距离．3．万有引力定律适用的条件严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用．两个质量分布均匀的球体间相互作用，可用万有引力定律计算，r是两个质点之间的距离是两个球球心间的距离．两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，r是两个物体质心之间的距离．4．对万有引力定律的理解：（1）普适性 ：万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一．万有引力常量也具有普适性．卡文迪许通过扭秤装置测得G=6.67×10-11N·m2／kg2，它是一个仅和m、r、F单位选择有关，而与物体性质无关的恒量．（2）相互性： 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，他们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．（3）宏观性： 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义．在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计．万有引力定律的发现，把地面上物体和天体的运动规律统一起来，打破了天体运动的神秘论，增强了人们认识自然、认识宇宙的信心．（例1，针对练习1）三、人造地球卫星和宇宙速度1．万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力, 解决人造地球卫星有关问题关键是，把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来，即：说明：近地卫星受到的万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力，因此所有人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心．按匀速圆周运动处理．在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态．（例2，针对练习3，4）2．宇宙速度：（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s ,是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．第一宇宙速度又叫环绕速度．说明：“环绕速度”与“发射速度”不同．卫星环绕地球运动时所需的向心力等于地球对卫星的万有引力，即：从上式可知，卫星的环绕地球的速度v，跟圆周轨道半径r的平方根成反比，也就是离开地心越远，环绕速度就越小．用火箭把卫星送入高空，沿途必须克服地球引力做功，更多消耗一部分能量，理论计算表明，这些能量再加上卫星运转时所具有的能量，要比发射一个近地卫星需要的能量大得多．所以，第一宇宙速度7.9km／s是在地球表面发射人造地球卫星所需的最小“发射速度”，也是环绕地球做圆周运动的最大“环绕速度”．（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的脱离速度．第二宇宙速度又叫脱离速度．（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的逃逸速度．第三宇宙速度又叫逃逸速度．3．地球同步卫星：它是相对地面静止的卫星，其运行周期为24h，它只能定位于赤道正上方．（例3，例4，针对练习10）疑难探究四、万有引力与重力1．重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力) 如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）． 2．天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有 同样可以推得在天体表面h重力加速度重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．（例5，针对练习2，11）五、估算天体的质量和密度把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据 得： 因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．又由ρ=可以求出中心星体的密度（例4，例6，针对练习7，9） 六、同步卫星问题同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星只能处于赤道面上．如图5-3-3所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动．这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步． 因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的．（例7，针对练习5）七、能量问题及变轨道问题只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心体)的引力势能．离中心星体近时速度大, 离中心星体远时速度小.如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．（例8，针对练习6，8）八、星球的自转问题根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同．放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．（例9，针对练习12） 【例1】如图5-3-1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2球型空腔后，对位于球心和孔穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 【例2】已知地球半径R地=6.37×106m，g地=9.81m/s2，试计算在距地面高度为h=2×106m的圆形轨道上卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T．【例3】两个人造地球卫星，其轨道半径之比R1∶R2=2∶1，求两卫星的（1）a1∶a2＝？ （2）v1∶v2=？（3）ω1∶ω2=？ （4）T1∶T2=？【例4】地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据和过程；（2）若已知第一宇宙速度大小为V=7.9km/s，地球半径R=6.4×103km，万有引力常数G=6.67×10－11N·m2/kg2，求地球质量．（保留两位有效数值）【例5】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知单摆在海面处的周期是T0．而在该高山上，测得该单摆周期为T．求此高山离海平面高度h为多少？（把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体）【例6】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）【例7】试根据地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R=6.4×106m，地球自转的周期 T= 24h估算同步卫星距地面的高度．【例8】2003 年10 月15 日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过21 小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的一个焦点是地球的球心，如图5-3-4所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A 点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法正确的是（ ）①飞船的速度逐渐增大 ②飞船的速度逐渐减小③飞船的机械能EA=EB ④飞船的机械能EA < EB A ．② ④ B ．② ③ C ．① ④ D ．① ③ 【例9】地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）A．F1=F2>F3 B．a1=a2=g>a3C．v1=v2=v>v3 D．ω1=ω3<ω2
典型例题答案
【例1】解析：由于题目中并没有告诉两者之间的距离与球的半径的关系，因此不能把挖去一部分的球看成质点，不能直接利用万有引力定律来计算引力的大小，可设想先将的部分补上，把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．
完整的均质球体对球外质点m的引力为
这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2 之和
F=F1+F2．
因为半径为R/2的小球的质量
所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力
【例2】解析：(1)由
得
其中r=R地＋h，由此得线速度
(2)
总结以上可以看出，天体运动习题的解决，关键是把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来．
【例3】解析：在人造卫星的运动中，万有引力提供了所需的向心力，由此根据牛顿定律列出方程，再根据题意找出有关比例即可．
【例4】解析：（1）设绕地卫星质量为m，因其绕地运行，轨迹半径与地球半径R可认为近似相等．卫星绕地球运行的向心力由它与地球间的万有引力提供.即
即为第一宇宙速度.
（1） 由，则
【例5】解析：根据单摆周期公式有：
由万有引力公式得：
联立解得：
【例6】解析：根据牛顿第二定律有
从上式中消去飞行器质量m后可解得
根据密度公式有
说明：要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的．
【例7】解析：设地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，卫星的质量为m，离地面的高度为h．则
将g=9.8m/s2 R=6.4×106m T= 24h= 86400s
代入得 h=36000km
【例8】解析：在飞船作椭圆运动的过程中，只有万有引力作用，飞船绕地球转动机械能守恒.所以，③是正确的．从A点到B点万有引力做负功，动能变小，重力势能增大．所以，从A点到B点的过程中飞船的速度逐渐减小，②是正确的．
答案：B
【例9】解析：放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
设地球自转的角速度为，R为地球的半径，物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比
角速度
线速度
向心力
向心加速度．
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星相比
答案：D
针对练习
1．对于万有引力定律公式中的r，下列说法正确的是（ ）
A．对卫星而言，是指轨道半径
B．对地球表面的物体而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个质量分布均匀的球体而言，使之球心之间的距离
D. 对人造卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
2．地球半径为R，在离地面h高度处与离地面H高度处的重力加速度之比为（ ）
A． B．
C． D．
3．假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大为原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（ ）
A．v=r，可知卫星的运行线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2
C．根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4
D．根据上述B和C给出的公式，可知卫星的线速度将减小到原来的
4．火星有两颗卫星，分别为火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
5．地球上站着两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星相对自己静止不动，则这两位观察者的位置及两颗卫星到地球中心的距离是（ ）
A．一人在南极，一人在北极，两颗卫星到地球中心的距离一定相等
B．一人在南极，一人在北极，两颗卫星到地球中心的距离可以不等
C．两人都在赤道上，两颗卫星到地球中心的距离可以不等
D．两人都在赤道上，两颗卫星到地球中心的距离一定相等
6．设一号飞船在离地h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ek，重力势能为Ep，二号飞船在离地2h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ekˊ，重力势能为Epˊ，两飞船质量相等，则下列关系正确的是：（ ）
A．Ek< Ekˊ B．Ep> Epˊ
C．Ek+Ep< Ekˊ+ Epˊ D．Ek+Ep= Ekˊ+ Ep
7．已知下面的哪些数据，可以计算出地球的质量M（G已知）( )
A．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳中心的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球到地球中心的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行时的速度和运动周期
D．地球同步卫星离地面的高度
8．2004年9月18日，欧盟和中国草签了中国参与伽利略项目的协议，这标志着欧洲和我们都将拥有自己的卫星导航定位系统．伽利略系统将由27颗运行卫星和3颗预备卫星组成，可以覆盖全球，预计于2008年投入使用．卫星的轨道高度为km，倾角为560，当某颗工作卫星出现故障时，预备卫星可及时顶替工作．若某颗预备卫星处于略低于工作卫星的轨道上，以下说法中正确的是 ( )
A．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度
B．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度
C．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向后喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上加速
D．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向前喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上减速
9．若在相距甚远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为Ta，卫星b绕行星B的周期为Tb，这两颗行星的密度之比 ．
10．月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，地球半径是月球半径的4倍，那么登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度大小是 （已知人造地球卫星的第一宇宙速度为v1）．
11．一物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在航天飞机中，当航天飞机以a=g/2的加速度随火箭向上加速升高的过程中，某时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互挤压力为120N，求此时航天飞机距地面的高度．（地球半径取6.4×106m,g取10m/s2）
12．(2003年全国理综24题）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，它的自转周期为T=．同该中子星的最小密度应是多少才难维持该星体的稳致因自转而瓦解．计算时星体可视为均匀球体．（引力常数G=6.67×10－11m3/）
达标练习
1．科学家曾在“和平号”空间站上做了许多科学实验和测量，在下列测量中能够完成的是（ ）
A．用弹簧秤测拉力 B．用温度计测温度
C．用天平测质量 D．用摆钟测时间
2．假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力的加速度g地之比等于（ ）
A．p/q2 B．pq2 C．p/q D．pq
3．我国先后发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星，运行轨道不同．“风云一号”采用极地圆形轨道，轨道平面与赤道平面垂直，通过地球两极，每12h 巡视一周，每天只能对同一地区进行一次观测，“风云二号”采用地球同步轨道，轨道平面在赤道平面内，能对同一地区进行连续观测．对于这两颗卫星，有以下叙述
①“风云一号”卫星比“风云二号”卫星观测区域大
②“风云一号”卫星比“风云二号”卫星轨道半径大
③“风云一号”卫星比“风云二号”卫星运行周期长
④“风云一号”卫星比“风云二号”卫星运行速度大
以上叙述中正确的是( )
Ａ．①② B．②③ C．③④ Ｄ．①④
4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（ ）
Ａ．T＝2π
B．T＝2π
C．T＝
Ｄ．T＝
5. 如图5-3-5所示，是某次发射人造卫星的示意图．卫星先在近地圆周轨道1上运动，然后改在椭圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动．a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点．人造卫星在轨道1上的速度为v1，在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在轨道3上的速度为v3，则以上各速度的大小关系是（ ）
A． v1＞v2a＞v2b＞v3
B．v1 < v2a < v2b < v3
C.v2 a＞v1＞v3 ＞v2b
D．v2 a＞v1＞v2b＞v3
6．美国天文学家于今年3月15日宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女神“塞德娜”命名的红色天体．如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，是迄今为止发现的离太阳最远的太阳系行星，该天体半径约为1 000km，约为地球半径的．由此可以估算出它绕太阳公转的周期最接近 ( )
Ａ．15年 Ｂ．60年 Ｃ．470年 Ｄ．104年
7．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢的减小．根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
Ａ．公转半径R较大
Ｂ．公转周期T较小
Ｃ．公转速率v较大
Ｄ．公转角速度ω较小
8．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g．则飞船在上述圆轨道上运行的动能（ ）
A．等于
B．小于
C．大于
D．等于
9．假如地球的自转速度加快，使赤道上的物体完全漂浮起来，那么地球自转一周的时间等于
小时．（地球半径,结果取两位有效数字）
10．地球绕太阳公转的周期和公转半径分别为T和R，月球绕地球公转的周期和公转半径分别为t和r．则太阳质量和地球质量的比值为 ．
11．神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h＝342km的圆形轨道．已知地球半径R＝6.37×103km，地面处的重力加速度g＝10m/s2．试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）
12．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运周期为T，求两星的总质量．
_________________________________________章末整合_____________________________________
知识结构
体验新课标
1．计算机上常用的“3.5英寸、1.44MB”软磁盘的磁道和扇区如图2--所示，磁盘上共有个80磁道(即80个不同半径的同心圆)，每个磁道分成18个扇区（每个扇区为圆周），每个记忆区可记录512个字节．电动机使磁盘以300r/min匀速转动．磁头在读、写数据时是不动的．磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道．（1）一个扇区通过磁头所用的时间是多少？
（2）不计磁头转移磁道的时间，计算机每秒内可从软盘上最多读取多少个字节？
2．不久前在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同．他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，(1)他对座位的压力是多大
(2)在圆周运动的过程中他曾有眼睛“黑视”的情况发生，“黑视”在何处最严重 (不考虑空气阻力，g取10m／s2)
3．将来人类离开地球到宇宙中生活，可以设计成如图5-1所示的宇宙村，它是一个圆形的密封建筑，人们生活在圆环的边上．为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以让它旋转．设这个建筑物的直径为200m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少(r／s)时，人类感觉到像生活在地球上一样承受10m／s2的加速度 如果转速超过了上述值，人们将有怎样的感觉
4.离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图5-2所示，是它的示意图，当盛着液体的试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，说明它为什么能使密度较大的物质加速沉淀？
5．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来如图5-3，我们把这种情况抽象为图5-4的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滑下，小球进入圆轨道下端后沿原轨道运动，实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R，h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力．
6．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球是哪一年
高考链接
1．( 2006天津)在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的大小仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
2．（2006重庆）宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）
A． B．
C． D．
3．( 06全国卷Ⅰ)我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量为地球质量的1/80，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为 ( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
4．（04北京）1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6400km，地球表面重力加速度为g．这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A.400g B. C.20g D.
5．（ 04陕西、海南、西藏、内蒙理综）我们的银河系的恒星中大约有四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点Ｃ做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为Ｔ．S1到Ｃ点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为Ｇ．由此可求出Ｓ2的质量为 ( )
A． B．
C． D．
6．（05全国卷Ⅱ）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T．仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．月球绕地球运行速度的大小
7. （05天津）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km．已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）( )
A．9.0×1016kg B．6.4×1017kg
C．9.0×1025kg D．6.4×1026kg
8．（05全国Ⅱ）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
9. (06四川)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，
(1)该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
(2)若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？
10．（06全国Ⅱ）如图5－5所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切。在C处放一小物块，给它一水平向左的水平初速度V0=5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求CD间的距离S。取重力加速度g=10m/s2
11．（04全国统考）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的—·个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T．火星可视为半径为r0的均匀球体．
12．（06天津）神奇的黑洞是近代引力理论预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的点O做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图5－6所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率V和运行周期T0
（1）可见星A所受暗星的B引力FA等效为位于O点处质量为m/的星体(视为质点)对它的引力。设A和B的质量分别为m1、m2，试求m/（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率V、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大小太阳质量m0的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星的速率＝2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6 m0，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
(G＝6.67×10-11N.m2/kg2, m0=2.0×1030kg)
新信息题扫描
1．（06山西）为了节约用水，就大力发展节水农业．节水农业采用喷灌方法进行灌溉，喷灌“龙头”距地面h高时，水从“龙头”水平喷出，水平射程可达l0h，每分钟喷出水的质量为m，水泵吸水液面距地面H(重力加速度用g表示)，则( )
A．水从喷水“龙头”喷出时初速度为
B．水从喷水“龙头”喷出时初速度为
C．每分钟水泵对水做功为mg(H+h)
D．每分钟水泵对水做功为mg(H+26h)
2．（06南昌）如图5-7所示，在一次空地演习中，离地Ｈ高处的飞机以水平速度秒，发射一颗炮弹欲轰炸地面目标Ｐ，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则、的关系应满足（ ）
A．＝
Ｂ．＝
Ｃ．＝
Ｄ．＝
3．（06黄冈）在粗糙水平木板上放一物块，沿图5-8所示的逆时针方向在竖直平面内作匀速圆周运动，圆半径为R，速率为水平直径，bd为竖直直径．设运动中木板始终保持水平，物体相对于木板静止，则（ ）
A．物块始终受两个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a运动到d，物块处于超重状态
D．从b运动到a，物块处于超重状态
4．（06郑州）2001年10月28日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在有一个超大型黑洞，命名为MCG6-30-15,由于黑洞的强大的引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，则下列那一组数据可以估算该黑洞的质量( )
A．地球绕太阳公转的周期和速度
B．太阳的质量和运行速度
C．太阳的质量和太阳到MCG6-30-15的距离
D．太阳运行速度和太阳到MCG6-30-15的距离
5．（06开封）由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族的航天梦想已变成现实．神舟五号飞船升空后，先运行在近地点高度200km，远地点高度350km的椭圆轨道上．实施变轨后进入343km的圆轨道，设变轨后做匀速圆周运动，共运行n周，起始时刻为，结束时刻为，运行速度为V，半径为r．则计算其运行周期可用（ ）
① ②
③ ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（06黄冈）有两个行星A和B（A和B之间的相互作用不计），它们各有一颗靠近其表面的卫星，若这两颗卫星的周期相等，由此可知（ ）
A．行星A、B表面重力加速度之比等于它们的半径之比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．行星A、B的质量一定相等
D．行星A、B的密度一定相等
7．（06北京）我国于1986年2月1日成功发射了一颗地球同步卫星，于1999年12月20日又成功发射了“神舟号”试验飞船，飞船的太空中飞行了21h，环绕地球运动了14圈，又顺利返回地面，假设卫星和飞船都做匀速圆周运动，那么卫星与飞船在各自轨道上运行时（ ）
①卫星运行周期比飞船大
②卫星运动速度比飞船大
③卫星运动的加速度比飞船大
④卫星离地面高度比飞船大
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
8. （06北京）星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=．已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6．不计其它星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为（ ）
A． B．
C． D．
9．（06湖南）行驶在平直公路上的变速自行车的轮盘（脚踏所连接的轮）的角速度不变，若轮盘半径变为原来的2倍，飞轮（和后轮相连的轮）的半径变为原来的1.5倍，则自行车的行驶速度变为原来的 倍．
10．（06天津）自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．若自行车以速度v转过半径为R的弯道．则自行车的倾角为 自行车所受的地面的摩擦力大小为 ．
11．（06湖北）物体沿质量为M、半径为R星球的表面做匀速圆周运动所需的速度V1叫做该星球第一宇宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度V2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度．理论上可以证明．一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速C=3.0×108m，则该星球上的任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流．从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”．试分析一颗质量为M=2.0×1031kg的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时取引力常量G=6.7×10-11Nm2/kg2，答案保留一位有效数字．）
12．（06太原）2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射，这标志着我国的航天事业发展到了很高的水平，为了使飞船顺利升空，飞船需要一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于超重状态.人们把这种状态下宇航员对座椅的压力与静止在地球表面时所受重力的比值，称为耐受力值，用k表示.在选拔宇航员时，要求他的状态的耐受力值为4≤k≤12.宇航员杨利伟的k值为10.神舟五号发射后经变轨以7.8×103m/s的速度沿圆形轨道环绕地球运行.已知地球半径R=6.4×103km，地球表面重力加速g=10m/s2.求：
（1）当飞船沿竖直方向加速升空时，杨利伟承受了巨大的压力，在他能够承受的最大压力的情况下，飞船的加速是多大？
（2）飞船在上述圆形轨道的上运行时距地面的高度h
本章答案
第一单元 运动的合成与分解 平抛运动
针对练习：1. B 2. C 3. B 4. C 5. C 6. ABD 7. C 8. AD 9. 10.
单元达标：1. BC 2. AC 3. C 4. A 5. B 6. BD 7. ABC 8. ABD 9. 2MV2A
10. 解析：设水速为u，甲合速为v，乙合速为v/．
如图，由两图中速度合成三角形相似有,即，航程相同，t甲:t乙=v/;v= V乙2：v甲2
11. 解析：（1）竖直方向有h = g t2
得t = eq \A(\R() ) =2s
故水平射程 eq \A( s) = υ0t - a t2 =5m
（2）落地时υx = υ0 - at = 0
υy = gt = 20m/s
所以落地时速度大小υ = υy = 20m/s
落地时速度方向竖直向下
12.
解析:如图（1）所示，设球刚好触网而过，此过程球水平射程s=3m，球下落高度
h=h2-h1=(2.5—2)m=0.5m，
所以球飞行时间：s
可得球被击出时的下限速度v1==3m/s，
设球恰好落在边界线上，此过程球水平射程s2=12m，球飞行时间：
可得球被击出时的上限速度：v2=t=12m/s
欲使球既不触网也不出界，则球被击出时的速度应满足：3m/s(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图（2）所示，球触网
所以
球压线：
所以
由以上式子消去v，解得：
即当击球的速度小于时，无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是越界
第二单元 圆周运动
针对练习：1. ABD2. A 3. AB 4. B 5. D 6. C 7. D 8. B 9. 10rad/s 10. 3.8 rad/s
11. 解析：设物块克服阻力做的功为wf，物块在A点的速度为vA，由动能定理得：
mg(h-2r)-Wf= ①
对物块在A时进行受力分析，设N为轨道对物块的压力，由牛顿第二定律得：
N+mg=m ②
设物块对轨道的压力为N/，据牛顿第三定律知：N/与N大小相等，据题意；N/=mg ③
N=N/=mg ④
联立①②③④并代人数据得：wf=0.8J
12. 解析：(1)当车轮对铁轨的侧压力刚好为零时，火车只受到重力Mg和支持力FN的作用，如图所示，由于火车在弯道工作匀速圆周运动，故这两个力的合力必指向圆心，有：
Mgtanθ=M
所以v0=，
(2)当v≠v0时，铁轨施于车轮一个平行于斜面的侧向支持力F/，此力可能沿斜面向上或向下．假设F/沿斜面向下，如图所示，火车在三个力作用下匀速圆周运动，它们的合力必沿水平方向指向圆心，故有：
FNCOSa=Mg+F/sina (1)
FNsina+F/cosa=M (2)
化简得:Mgtana+=M
因为tanα=
,cosα==
所以:F/=Mg
由牛顿第三定律，火车车轮施于铁轨的力
F=-F/=- Mg
可见不管F沿斜面向上或向下，都有：
︱F︱= Mg
(3)当v>v0时，火车所需的向心力要增加，外轨必须提供侧压力以增加向心力，故车轮施加的侧压力作用于外轨
单元达标：1. CD2. C 3. C 4. B 5. D 6. BCD 7. D 8. ABC 9. (gR-v2)∶（gR＋v2）
10. 车轮半径R和齿轮的齿数p 2πRn/p 2πRN/p
解析:小车的速度等于车轮的周长与单位时间内车轮转动圈数的乘积.设车轮的半径为R，单位时间内车轮转动圈数为k，则有v=2πRk
若齿轮的齿数为p，则齿轮转一圈电子电路显示的脉冲数即为p，已知单位时间内的脉冲数为n，所以单位时间内齿轮转动圈数为，由于齿轮与车轮同轴相连，它们在单位时间内转动圈数相等，即k=
由以上两式可得，v=
同理，设车轮转动的累计圈数为K，则有s=2πRK，
且K=，所以s=
可见，要测出小车的速度v和行程s，除单位时间内的脉冲数n和累计脉冲数N外，还必须测出车轮半径R和齿轮的齿数p.
11. 解析：（1）C球通过最低点时，受力如图且作圆周运动，F向=TBC－mg
即2mg－mg=
得VC=，即为所求.
（2）以最低点B球为研究对象，其受力如图B球圆周运动的
F向=TAB－gm－2mg
即TAB－3mg=，且VB=VC
得TAB=3.5mg 即为所求.
12. 解析：由图乙得小滑块A、A/之间做简谐运动的周期T=s，由得：R=0.1m
在最高点A，有Fmin=mgcosθ，式中Fmin=0.495N
在最高点B，有Fmax-mg=m,Fmax=0.495N
从A到B过程中，滑块机械能守恒，mv2=mgR(1-cosθ)
由②③④⑤解得：cosθ=0．99，则m=0.05kg
滑块机械能E=mv2=mgR(1—cosθ)=5×10-4J
从以上分析可求出小滑块质量m=0.05kg，容器的半径R=0.1 m，滑块运动的守恒量是机械能E=5×10-4J.
第三单元 万有引力与航天
针对练习：1. AC2. D 3. CD 4. AC 5. D 6. C 7. BC 8. C 9. 10.
11. 解析：，故
由图可得
解得：
又因为
联立可得：
12. 解析：考虑中子是赤道外一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小块物为m，则有
①
②
③
由以上各式得
④
代入数据解得
单元达标：1. AB2. A 3. D 4. AD 5. C 6. Ｄ 7. BC 8. B 9. 1.4 10.
11. 解析：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有
地面附近
由已知条件
解以上各式得
代入数值，得：
12. 解析：设两星质量分别为M1 M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1 12．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件
可得
l1 +12=R
联立解得
说明：双星是一个整体，围绕着它们的质心转动，所以角速度ω相同，两星之间由万有引力相维系，它们到质心的距离与它们的质量成反比
体验新课标：1. 解析：磁盘转动的周期为T=0.2s
（1）扫描每个扇区的时间t=T/18=1/90s
（2）每个扇区的字节数为512个，1s内读取的字节数为90X512=46080个．
2. 解析：(1)在最高点2mg为向心力，速度为V1
在最低点，
这时压力：FN=mg+F向
=
(2)由于超重，血压降低，脑部缺血造成“黑视”，在最低点时最严重.
3. 解析：宇宙村中人受到桶壁对人的支持力提供人做圆周运动的向心力，且向心加速度的值为10m／s2
设宇宙村转动的转速为nr／s，则（2πn）2R=10
所以
若超过上述值，人将有超重感．
4. 解析：离心沉淀器转动时，密度较大的物质需要的向心力大，因此当转速增大时，密度较大的物质所需向心力首先得不到满足，发生离心现象，因而可以加速刻度较大物质的沉淀．
5. 解析：小球在最高点时不掉下来的条件是：圆轨道对小球的弹力FN≥0，
此时有 （1）
而在整个运动过程中，由机械能守恒定律有
（2）
由以上各式联列可解得h≥2.5R 即h至少要等于2.5R．
6. 解析：根据开普勒第三定律：
得到：
代入数据得：
则哈雷彗星下次出现的时间是：1986+76=2062年．
高考链接：1. D2. B 3. B 4. B 5. D6. BD 7. D 8. CD
9. 解析：(1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有
mg星= ①
解得 g星= ②
(2)设人能上升的最大高度为h,由功能关系得
mg星h= ③
解得 h= ④
10. 解析：物块从C到A过程，由机械能守恒得
①
从A到D过程，由平抛知识得
②
③
由①②③式得
代入数据得m
11. 解析：以g/表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m/表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
设v表示着陆器第二次落到水星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量为v0，有
由经上各式解得
12. 解析：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω，由牛顿运动定律，有
设A、B之间的距离为r，又r= r1+r2，由上述各式得
①②③④⑤
由万有引力定律有
将①式代入得
令
②
（1） 由牛顿第二定律有③
又可见星A的轨道半径 ④
由②③④解得 ⑤
（3）将m1=6 m0代入⑤式得
代入数据得 ⑥
设m2=n m0（n>0），将其代入⑥式，得
⑦
可见的值随n的增大而增大，试令n=2，得
⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必而在于2倍的m0，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
新信息题扫描：1. D2. D 3. C 4. D 5. A 6. AD 7. B 8. C 9. 4/3
10. 解析：骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜．从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力．
（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：
得
（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即f = Mgtgα
11. 解析：环绕速度 ……（1）
…… （2）
代入数值，得r=3×104 m … …（3）
12. 解析：（1）N=kmg=10mg
N－mg=ma
（2）
∴GM=gR2
∴
又r=R+h
解得
图5-2-24
图5-2-23
图5-2-22
O
图5-2-20
图5-2-21
图5-2-25
图5-2-18
图5-1
图5-2-16
图5-2-14
图5-1-6
图5-7
图5-2-19
A
C
B
D
图5-2-13
图5-118
图5-3-5
图5-1-20
图5-2-11
图5-2-10
图5-2-5
图（1）
图（2）
图5-2
图5-1-1
图5- 1-19
图5-1-17
D
万 有 引 力
人造地球卫星：
第三宇宙速度：16.7km/s
第二宇宙速度：11.2km/s
第一宇宙速度：7.9km/s
宇宙速度
宇宙航行
计算天体质量
发现未知天体
理论成就
称量地球质量：
公式：
引力常量
内容
发现
万有引力
第三定律（周期定律）
第二定律（面积定律）
第一定律（轨道定律）
开普勒行星
运动定律
离心现象
离心运动的条件：F供＝0或F供＜ F需
向心力：
向心加速度：
周期：
角速度：
线速度：
运动性质：变速运动
图5-1-8
图5-1-9
图5-2-12
图5-2-17
图5-3-1
B
C
A
O m v0
图5-2-1
图5-2-3
图5-1-15
运动性质：匀变速曲线运动
图5-2-6
规律
平抛运动
运动性质：一定时变速运动
图5-1-7
C
B
研究的基本方法：运动的合成与分解
B
图5－6
A
图5-5
A
图5-1-13
图5-2-9
图5-2-4
匀速圆周运动
图5-2-8
图5-3-2
图5-3-3
图5-3-4
B
A
图5-1-3
图5-1-2
图5-4
图5-1-21
图5-1-11
图5-1-5
图5-1-10
图5-1-12
图5-1-16
图5-1-22
图5-2
图5-3
图5-1-4
图5-2-7
图5-1-14
图5-2-15
图5-8
图5-2-26
图5-2-27
图5-2-2
h
质点在某点的速度，沿曲线在这一点的切线方向
条件：所受合外力的方向与它的初速度不在同一条直线上
曲线运动
曲线运动 万有引力
159
新课程标准要求
1．内容标准
（1）会用运动合成与分解的方法分析抛体运动．
例1 分别以物体在水平方向和竖直方向的位移为横坐标和纵坐标，描绘做抛体运动的物体的轨迹．
（2）会描述匀速圆周运动．向心加速度．
（3）能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力．分析生活和生产中的离心现象．
例2 估测自行车拐弯时受到的向心力．
（4）关注抛体运动和圆周运动的规律与日常生活和联系．
（5）通过有关事实了解万有引力定律的发现过程．知道万有引力定律．认识发现万有引力定律的重要意义．体会科学定律对人类探索未知世界的作用．
例3 通过用万有引力定律发现未知天体的事实，说明科学定律对人类认识世界的作用
（6）会计算人造卫星的环绕速度．知道第二宇宙速度和第三宇宙速度．
（7）初步了解经典时空观和相对论时空观，知道相对论对人类认识世界的影响．
（8）初步了解微观世界中的量子化现象，知道宏观物体和微观粒子的能量变化特点，体会量子认的建立深化了人类对于物质世界的认识．
（9）通过实例，了解经典力学的发展历程和伟大成就，体会经典力学创立的价值与意义，认识经典力学的实用范围和局限性．
例4 了解经典力学对航天技术发展的重大贡献．
例5 了解重物下落与天体运动的多样性与统一性，知道万有引力定律对科学发展所起的重要作用．
（10）体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用．举例说明物理学的进展对于自然科学的促进作用．
2．活动建议
（1）通过查找资料，对比实际弹道的形状与抛物线的差异，浓度做出解释．
（2）调查公路拐弯的倾斜情况或铁路拐弯处两条铁轨的高度差异．
（3）观看有关人造地球卫星、航天飞机、空间站的录像片．
（4）收集我国和世界航天事业发展历史和前景的资料，写出调查报告．
第一单元 运动合成与分解 平抛运动
考点解读 典型例题
知识要点一、曲线运动：1．特点：做曲线运动物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．2．物体做曲线运动的条件：物体所受合外力的方向与初速度方向不在同一直线上．它的加速度方向跟它速度的方向不在同一直线上．说明：（1）如果这个合外力是大小和方向都恒定的，即所受的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动．（2）如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂直，物体就做匀速圆周运动．（3）做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合外力的大致方向．（例1， 针对练习1，2）二、运动的合成与分解：1．定义：由分运动求合运动的过程叫运动的合成．即已知分运动的位移、速度和加速度等，求合运动的位移、速度和加速度等的过程． 叫运动的分解，它是运动的合成的逆过程．2．规律：运动的合成与分解所遵循的法则是平行四边形定则．说明：两个直线运动合成，合运动的性质和轨迹，由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：（1）两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动．（2）一个匀速直线运动和一个匀变速运动的合运动仍是匀变速运动；二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动．（3）两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动，当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动．分解运动的关键是，明确那个运动是合运动，那个运动是分运动．物体可能同时参与多个分运动，实际的运动是合运动．（例2，针对练习3，9）三、平抛运动1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．2．运动的性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，它的轨迹是一条抛物线．3．处理方法：可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．4．做平抛运动的物体在空中飞行的时间由竖直高度决定．产生的水平距离由竖直高度和初速度 决定． 5．平抛运动的规律设平抛运动的初速度为，建立坐标系如下图速度：水平方向 竖直方向 合速度的大小 合速度的方向位移：水平方向 竖直方向 合位移的方向说明：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tamα.做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过从水平抛出到该时刻物体水平位移的中点．（例3，例4， 针对练习4，5，7）疑难探究四、平抛物体运动中的速度变化水平方向分速度保持vx=Vo，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔 t时间的速度的矢量关系如图5-1-6所示．这一矢量关系有两个特点：1．任意时刻v的速度水平分量均等于初速度vo；2．任意相等时间间隔 t内的速度改变量均竖直向下，且 v= vy=g t ． 五、平抛运动的规律的应用平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和．解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特点，并且注意与其它知识的结合点．（例题5，例题6， 针对练习8）六、渡河问题1．过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度．当航向垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短．2．船沿垂直河岸方向横渡，即v合垂直河岸，过河位移最小．3．要求到达上游确定的某处，应使船的合运动指向该处．说明（1）要求渡船沿着河中确定的航线运动时，有两种处理方法：一是使船的合速度沿着该航线；二是使垂直该航线两侧的分速度互相抵消．（2）在渡河问题中，当要求用最小位移过河时，必须注意，仅当船速v＞水速u时，才能使合速度方向垂直河岸，过河的最小位移才等于河宽．如果船速小于水速，将无法使合速度垂直河岸．此时为了方便地找出以最小位移过河的航向，可采用几何方法．如图5-1-8所示，以水速u矢量的末端为圆心，以船速v矢量的大小为半径作一圆，然后过出发点A作这个圆的切线AE，这就是合速度的方向．AE线就是位移最短的航线．这时航向与河岸的夹角过河时间和航程分别为（例7， 针对练习6）七、类平抛运动在具体的物理情景中，常把复杂的曲线运动，分解成几个简单的直线运动来处理．用类似平抛运动的解决方法解决问题，例如带电粒子在电场中的偏转运动等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系：1．等时性：合运动与分运动经历的时间相等．即同时开始，同时进行，同时停止．2．独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响．3．等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．（例8 ，针对练习10） 【例1】如图5-1-1所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为－F．在此力作用下，物体以后 A．物体不可能沿曲线Ba运动B．物体不可能沿直线Bb运动C．物体不可能沿曲线Bc运动D．物体不可能沿原曲线返回到A点【例2】如图5-1-2所示，直杆ab搁在半径r的固定圆环上以速度竖直向下匀速平动，求直杆ab运动到图示的位置时，杆与环的交点M的速度的大小________________.(已知ab⊥ON,∠MON=θ)【例3】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是 ( )A．速度的增量 B．加速度C．位移 D．平均速度 【例4】用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置（见图5-1-4）．若已知闪光时间间隔为△t=0.1s，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B点时的竖直分速度大小多大？g取10m／s2，每小格边长均为L=5cm．【例5 】如图5-1-5所示，MN为一竖直墙面，图中x轴与MN垂直．距墙面L的A点固定一点光源．现从A点把一小球以水平速度向墙面抛出，则小球在墙面上的影子运动应是A．自由落体运动B．变加速直线运动C．匀速直线运动D．无法判定【例6】如图5-1-7所示，水平屋顶高H=5m,墙高h，墙到房子的距离L，墙外马路宽S，小球从房顶水平飞出落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度．【例7】河宽L=300m，河水流速u=1m/s，船在静水中的速度v=3m/s．欲按下列要求过河时，船的航向应与河岸成多大角度？过河时间为多少？（1）以最短的时间过河；（2）以最小的位移过河；【例8】如图5-1-9所示，将质量为m的小球从倾角为θ的光滑斜面上A点以速度v0水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B点，已知A点的高度h，则小球到达B点时的速度大小为______.
典型例题答案
【例1】解析：本题考查曲线运动条件．物体受力方向与速度方向不在一条直线上时，物体将做曲线运动．力的方向是指向轨迹弯曲的一侧的，AB曲线向下弯曲，说明力F沿某一方向指向AB弯曲一侧；若换成－F，其方向反向另一侧，故曲线要向上弯曲，物体可能沿Bc运动；如果物体在B点不受力，从B点开始沿Bb方向做匀速直线运动；如果物体受力不变，则物体可能沿Ba曲线运动．故此时只有可能沿曲线Bc运动．
答案：ABD
说明：此题考查物体做曲线运动的条件，必须根据受力与运动轨迹的关系进行判断．
【例2】解析：由题目知交点M做圆周运动，交点M又同时参与水平和竖直两个方向上的运动．如图5-1-3 所示，由图可知，的方向沿M点的切线方向，与杆ab成θ角，由运动的分解知为v和v1的合速度，故=
【例3】解析：平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g,由加速度定义a= v／ t，可知速度增量 v =g t，所以相等时间内速度的增量和加速度是相等的．位移和平均速度是矢量，平抛运动是曲线运动，相等时间内位移和平均速度的方向均在变化．综上所述，该题的正确答案是A、B.
答案： AB
【例4】解析：由于小球在水平方向作匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度．小球在竖直方向作自由落体运动，由竖直位移的变化根据自由落体的公式即可算出竖直分速度．
因A、 B（或B、C）两位置的水平间距和时间间隔分别为
xAB=2L=2×5cm=10cm=0.1m
tAB=△t=0.1s．
所以，小球抛出的初速度为
设小球运动至B点时的竖直分速度为vBy、运动至C点时的竖直分速度为vCy，B、C间竖直位移为yBC，B、C间运动时间为tBC．根据竖直方向上自由落体运动的公式得
v2Cy-v2By=2gyBC，
即（vBy+gtBC）2-v2By=2gyBC
式中yBC=5L=0.25m
tBC=△t=0.1s，
代入上式得B点的竖直与速度大小为
【例5 】解析：设小球从A点抛出后经过时间t，其位置B坐标为(x，y)，连接AB并延长交墙面于C(x′，y′)．显然C点就是此时刻小球影子的位置(如图5－1－10)所示)．
令AB与x轴夹角为α，则
依几何关系，影子位置y′＝L·tanα．故
令 gL/2v0＝k，则y′＝k·t．
即影子纵坐标y′与时间t是正比例关系，所以该运动为匀速直线运动，应选C项．
答案： C
【例6】解析：小球速度很小，则不能跃过墙；小球速度很大，则飞到马路外面．两临界状态就是过墙时与落在路右侧．设球刚好越过墙时，此时球水平初速度为v1，则
得
设球越过墙刚好落在马路右边，此时球水平速度为则
，
得
小球离开屋顶时的速度5m／s13m／s
【例7】解析：（1）最短过河时间为
船的航向与河岸成90°角．船的运动情况如图5-1-11所示，船到达下游某处C．
（2）以最小位移过河时船的运动情况如图5-1-12所示．设船的航向（船速）逆向上游与河岸成α角．由
vcosα=u，
过河时间:
【例8】．解析：小球在光滑斜面上做类平抛运动，沿斜面向下的加速度a=gsinθ
由A运动至B的时间为t
沿斜面向下的位移为
=at2
所以t==
小球到达B点的水平速度为vB.沿斜面向下的速度为
vy=at=gsinθ·=
故小球在B点的速度为
v==．
针对练习
1．关于曲线运动性质的说法正确的是( )
A．变速运动一定是曲线运动
B．曲线运动一定是变速运动
C．曲线运动一定是变加速运动
D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动
2．麦收时节，农用拖拉机牵拉震压器在麦场上打麦时，做曲线运动．关于震压器受到的牵引力F和摩擦力F1的方向，下面四个图中正确的是（ ）
3．如图5－1－14示，在河岸上用细绳拉船，为了使船匀速靠岸，拉绳的速度必须是( )
A．加速拉
B．减速拉
C．匀速拉
D．先加速后减速拉
4．对于平抛运动，下列条件中可确定物体初速度的是（ ）
A．已知水平位移
B．已知下落高度
C. 已知物体的位移
D．已知落地速度的大小
5．将一个小球以速度水平抛出，要使小球能够垂直打到一个斜面上，斜面与水平方向的夹角为α．那么下列说法中正确的是（ ）
①若保持水平速度不变，斜面与水平方向的夹角越大，小球的飞行时间越长
②若保持水平速度不变，斜面与水平方向的夹角越大，小球的飞行时间越短
③若保持斜面倾角不变，水平速度越大，小球的飞行时间越长
④若保持斜面倾角不变，水平速度越大，小球的飞行时间越短
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．一条河宽100m，水流速度为3m／s，一条小船在静水中的速度为5m／s，关于船过河的过程，下列说法正确的是( )
A．船过河的最短时间是20s
B．船要垂直河岸过河需用25s的时间
C．船不可能垂直河岸过河
D．只要不改变船的行驶方向，船过河一定走一条直线
7．以速度v0水平抛出一小球，如果从抛出到某时刻小球的竖直分位移与水平分位移大小相等，以下判断正确的是（ ）
A．此时小球的竖直分速度大小等于水平分速度大小
B．此时小球的速度大小为v0
C．小球运动的时间为2 v0/g
D．此时小球速度的方向与位移的方向相同
8．正在水平匀速飞行的飞机，每隔1秒钟释放一个小球，先后共释放5个．不计阻力则( )
A．这5个球在空中排成一条直线
B．这5个球在空中处在同一抛物线上
C．在空中，第1、2两球间的距离保持不变
D．相邻两球的落地点间距离相等
9．如图5-1-15所示，在离水面高为H的岸边，有人以v0的匀速率收绳使船靠岸，当船与岸上的定滑轮水平距离为s时，船速大小是 .
10．如图5-1-16所示，某人从高出水平地面h高的坡上水平击出一个高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击点水平距离为L的A穴．该球被击出时初速度的大小为 ．
单元达标
1．关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动
2．一个物体以初速度v0从A点开始在光滑水平面上运动．平面上另一固定物体施加一个水平力在该物体上，使物体运动轨迹为图5-1-17中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A、B两点并与该轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为图示的5个区域．则关于对该施力物体位置的判断，下面说法中正确的是（ ）
A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体一定在③区域
3．某人在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，图5－1-18中能表示出速度矢量的演变过程的是（ ）
4．一船在静水中的速度为6米/秒，要横渡流速为8米/秒的河，下面说法正确的是（ ）
A．河宽60米，过河的最少时间为10秒
B．船不能渡过此河
C．船能行驶到正对岸
D．船在最短时间内过河，船对地的速度为6米/秒
5．物体从某一高处平抛，其初速度为V0，落地速度为V，不计阻力，则物体在空中飞行时间为( )
A． B．
C． D．
6．在“研究平抛运动”实验中，某同学只记录了小球运动途中的A、B、C三点的位置，取A点为坐标原点，则各点的位置坐标如图5-1-19所示，当g＝10 m/s2时，下列说法正确的是（ ）
A．小球抛出点的位置坐标是（0，0）
B．小球抛出点的位置坐标是（-10，-5）
C．小球平抛初速度为2m/s
D．小球平抛初速度为1m/s
7．在离地某—高度的位置上，分别以v1和v2的水平初速度，同时向左右两个方向抛出两个小球，小球随即开始作平抛运动，当两个小球的速度方向相互垂直时，以下正确的叙述有（ ）
A．可以确定从起抛至此时小球运动的时间
B．可以确定从起抛至此时小球下落的高度
C．可以确定两个小球此时相距的水平距离
D．可以确定小球此时至落地的时间
8．质量为m的小球以v0的水平初速度从O点抛出后，恰好击中斜角为的斜面上的A点．如果A点距斜面底边（即水平地面）的高度为h，小球到达A点时的速度方向恰好与斜面方向垂直，如图5-2-20，则以下正确的叙述为（ ）
A．可以确定小球到达A点时，重力的功率；
B．可以确定小球由O到A过程中，动能的改变
C．可以确定小球从A点反弹后落地至水平面的时间
D．可以确定小球起抛点O距斜面端点B的水平距离
9．如图5-2-21所示，重物A、B质量均为M由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在光滑水平面上，用外力水平向左推A，当A的水平速度为VA时，如图中虚线所示．此过程中水平推力做的功为______．
10．甲、乙两船在静水中的航行速度分别为v甲和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲船想以最短时间过河、乙船想以最短航程过程，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用的时间之比t甲︰t乙＝ ．
11．物体由h = 20m高处以初速度υ0 = 5m/s水平抛出，因受与υ0方向相反的风力影响，在水平方向上物体具有大小恒为a = 2.5m/s2的加速度．求：（g取10m/s2）
（1）物体的水平射程；
（2）物体落地时速度的大小和方向．
12．如图5-1-22所示，女排比赛时，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m处正对球网跳起将球水平击出．
(1)若击球的高度为2.5m,为使球既不触网又不越界,求球的速度范围．
(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大球不是触网就是越界
第二单元 圆周运动
考点解读 典型例题
知识要点一、基本概念1．线速度:是描述质点绕圆周运动快慢的物理量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的定义式为：．2．角速度: 是描述质点绕圆心圆周运动快慢的物理量,其定义式为：,国际单位为rad/s．3．周期和频率:周期和频率都是描述圆周运动快慢的物理量,用周期和频率计算线速度的公式为, 用周期和频率计算角速度的公式为.4．向心加速度: 是描述质点线速度方向变化快慢的物理量, 向心加速度的方向指向圆心,其大小的定义式为或．5．向心力: 向心力是物体做圆周运动时受到的总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加速度(由此而得名)，其作用效果是只改变线速度的方向，而不改变线速度的大小,其大小可表示为或．方向时刻与运动的方向垂直.它是根据效果命名的力.说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力，也可能是电场力、磁场力或其他性质的力．如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力．（例1，针对练习1，4，10）二、匀速圆周运动:1．定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内通过的弧长都相等．在相同的时间物体与圆心的连线转过的角度都相等．2．特点：在匀速圆周运动中, 线速度的大小不变, 线速度的方向时刻改变. 所以匀速圆周运动是一种变速运动．做匀速圆周运动的物体向心力就是由物体受到的合外力提供的.3．实例分析（1）水平转盘上的物体和水平路面上转弯的机车特点：摩擦力提供向心力（2）圆锥摆特点：合外力（或绳的拉力的分力）提供向心力（3）火车拐弯按设计速度行驶，向心力由重力和支持力的合力提供，否则挤压内轨或外轨．（例2，针对练习2，3，5，6）三、一般的圆周运动（非匀速周运动）不仅速度的方向时刻改变，速度大小也变化．既有向心加速度，又有沿圆周切线方向的加速度．向心力不在是物体受到的合外力，而是物体受到的合外力在半径方向上的分力．四、离心运动:1．定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体逐渐远离圆心的运动，叫离心运动．2．特点：（1）当F合=的情况，即物体所受力等于所需向心力时，物体做圆周运动.（2）当F合<的情况，即物体所受力小于所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运动. 了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是沿半径方向远离圆心的运动．（3）当F合＞的情况，即物体所受力大于所需向心力时，表现为向心运动的趋势．（例3，针对练习7）疑难探究五、怎样解有关圆周运动与牛顿定律的综合问题？圆运动并不是什么特殊的运动，它遵从力学的基本规律，解题时依然要分析过程，弄清物理图景，认真地选定研究对象并分析力(不能在实际受力之外臆造一个向心力)，，画受力图；确定物体(质点)圆周运动轨道平面、圆心和半径；要将各力分解到切线和法线方向上，法向的合力必然指向圆心且解题思路和主要步骤：1．审清题意，确定研究对象．2 ．选取参考系，确定物体(质点)圆周运动轨道平面、圆心和半径．向心力公式F=mv2/r，是根据向心加速度a=v2/r和牛顿第二定律F=ma推导出来的．公式中的半径是指质点的轨道曲率半径；公式中的速度是指质点相对于静止或作匀速直线运动的参考系(即惯性系)的速度．3 ．对物体作受力分析，画受力图；确定向心力的来源．4 ．据牛顿定律及向心力公式列方程；5 ．求解、讨论．（例4，例5，针对练习8，9）六、临界问题的分析与计算 圆周运动中临界问题的分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体受力的特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题．1．在竖直面内做圆周运动的物体竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点)时，物体速度的临界条件是：则绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只能提供拉力不能提供支持力． 竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点)时，物体的临界速度：杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力．2．当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时，常会出现临界值问题．（例6，例7，针对练习11，12） 【例1】如图5-2-1所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动．A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？ 【例2】如图5-2-2所示装置在动力机带动下绕竖直轴OO'以固定的角速度ω匀速转动，MN为一光滑杆，质量分别为mA和mB的两物块穿在杆上，并由一根原长为L0，劲度系数为k的轻质弹簧相连接，且mB=2mA=2m0．问：A、B放在什么位置，它们可以与杆相对静止？【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A的质量为2m，B、C各为m．A、B离转轴均为r，C为2r．则（ ）A．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B．若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C．当转台转速增加时，C最先发生滑动D．当转台转速继续增加时，A比B先滑动【例4】质量相等的小球A、B分别固定在轻杆OB的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O点匀速转动，如图5-2-3所示，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比？ 【例5】如图5-2-4所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？【例6】如图5-2-5所示，一内壁粗糙的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的直径大得多)，在圆管中有—个直径比细管内径略小的小球(可视为质点)，小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为6mg．此后小球作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服摩擦力所做的功是( )A．3mgR B．2mgR C．mgR D．mgR/2【例7】如图5-2-6所示的装置中，质量为M的物体与质量为m的物体用细绳连接，物体M与转台一起以恒定角速度做匀速圆周运动，设最大静摩擦力为fm,试求M不发生相对滑动做匀速圆周运动时转动半径R的可能范围．
典型例题答案
【例1】解析：由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR得两轮角速度大小的关系
ωB∶ωC=RC∶RB=2∶1．
因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，所以A、B、C三轮角速度之比
ωA∶ωB∶ωC=2∶2∶1．
因A轮边缘的线速度
vA=ωARA=2ωBRB=2vB，
所以A、B、C三轮边缘线速度之比
vA∶vB∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
说明：在分析传动问题时，要抓住不等量和相等量的关系．同一个转轮上的角速度相同，而线速度跟该点到转轴的距离成正比．在不考虑皮带打滑的情况下，传动皮带及和皮带相接触的两轮边缘上的各点线速度的大小相等．
【例2】解析：设A、B与OO'的距离分别为RA和RB时，它们相对杆静止．此时它们应以角速度ω分别做半径为RA和RB的匀速圆周运动．再分析它们的受力情况，以B为研究对象，它在水平方向上只受弹力F，弹簧现长L=RA+RB，则
F=k(RA+RB-L0)=mBω2RB ①
因一根弹簧上弹力处处相等，所以A与B受的向心力大小相等，根据F=mω2R，且A与B的F和ω相同，则R∝1/m．所以
RA：RB=mB：mA=2：1，
L=RA+RB=3RB，即RB=L/3．
代入①式 kL-kL0=2m0ω2· L/3
所以
得出
【例3】解析： A、 B、 C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r，已知rA=rB＜rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC．故A错．
三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=mω2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fA=mAω2rA=2mω2r，
fB=mBω2rB=mω2r，
fC=mCω2rc =mω2·2r=2mω2r．
即物体B所受静摩擦力最小．B正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg．由fm=Fn，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于rC＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动．转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动．C正确，D错．
答案：BC
【例4】解析：A、B小球受力如图5-2-7所示，在竖直方向上A与B处于平衡态．在水平方向上根据匀速圆周运动规律
．
TA∶TB = 3∶2
答案：TA∶TB = 3∶2
【例5】解析：小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零．由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答．对小球进行受力分析如图5-2-8所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T·sinθ-N·cosθ=mω2r ①
y方向上应有
N·sinθ+T·cosθ-G=0 ②
∵r = L·sinθ ③
由①、②、③式可得T = mgcosθ+mω2Lsinθ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有 Tsinθ=mω2r ④
T·cosθ-G=0 ⑤
由④⑤式可得
即小于的角速度至少为
【例6】解析：设小球通过最底点时的速度为v1，高点速度为v2，则有：
小球在最高点有：mg= ①
小球在最低点有：6mg-mg=m ②
小球从最低点到最高点，由动能定理得；
Wf-mg2R= ③
解得：Wf=- mgR/2
答案：D．
【例7】解析：m、M与ω不变，半径越大，物体M所需的向心力越大．设是可能的最大半径，物体M会受到指向圆心的摩擦力作用，如图5-2- 9(a).
则有
若M的转动半径较小，绳子的拉力T=mg大于M所需的向心力，物体M将要向圆心运动，此时摩擦力方向背离圆心，此时物体M会受到背离圆心的摩擦力作用．设R//为物体M的最小圆半径，如图5-2- 9(b).
则有
即物体做匀速圆周运动的半径范围为
．
针对练习
1．下列关于圆周运动的叙述中正确的是（ ）
A．做匀速圆周运动的物体的合外力一定指向圆心
B．做圆周运动的物体，其加速度可以不指向圆心
C．做圆周运动的物体，其加速度一定指向圆心
D．做圆周运动的物体，只要所受合外力不指向圆心，其速度方向就不与合外力垂直
2．质量为m的飞机，以速率v在水平面上做半径为r的匀速圆周运动，空气对飞机的作用力的大小等于( )
A．m B．m
C．m D．mg
3．如图5-2-10所示，竖直放置的锥形漏斗，内壁光滑，内壁上有两个质量相同的小球P、Q，各自在不同水平面内做匀速圆周运动，则下列关系正确的是（ ）
A．线速度VP＞VQ
B．角速度ωP＞ωQ
C．向心加速度aP＞aQ
D．漏斗对小球压力NP＞NQ
4．如图5－2－11，细线吊着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动．关于小球的受力情况，正确的是( )
A．重力、绳子的拉力、向心力
B．重力、绳的拉力
C．重力
D．以上说法均不正确
5．如图5-2-12所示，质量为m的物块与转台之间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始做匀速圆周运动，在这一过程中，摩擦力对物体做的功为（ ）
A．0
B．2
C．2μmgR
D．μmgR/2
6．关于铁道转弯处内外铁轨间的高度关系，下列说法中正确的是 ( )
A．内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故
B．因为列车转弯处有向内倾倒的可能，做一般使内轨略高于外轨，以防列车翻倒
C．外轨比内轨略高，这样可使列车顺利转弯，减少车轮与铁轨的挤压
D．以上说法均不对
7．如图5-2-13所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的两个物体A和B，它们和圆盘的动摩擦因数相同，两个物体恰好处于将滑动而还没有发生滑动的状态．烧断细线，则 （ ）
A．两物体都沿半径方向滑动
B．两物体都沿切线方向滑动
C．两物体都不发生滑动
D．A物体不滑动，B物体发生滑动
8．如图5-2-14所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动，A、C为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点，小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力有关说法中正确的是（ ）
A．小滑块在A点时，N＞Mg，摩擦力方向向左
B．小滑块在B点时，N=Mg，摩擦力方向向右
C．小滑块在C点时，N＝(M＋m)g，M与地面无摩擦
D．小滑块在D点时，N＝(M＋m)g，摩擦力方向向左
9．如图5-2-15所示，细绳一端系着质量m=0.1kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M=0. 5kg的物体B相连，B静止于水平地面上，当A以O为圆心做半径，r=0.2m的匀速圆剧运动时，地面对B的支持力，则物块A的角速度的大小为 ．(g=10m／s2)
10．某种变速自行车,有六个飞轮和三个链轮,如图5-2-16所示,链轮和飞轮的齿数如下表所示，后轮的直径为660mm(俗称“二六”自行车)，人骑该车行进的速度为4m／s，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小为 .
名称 链轮 飞轮
齿数 48 38 28 15 16 18 21 24 28
11．如图5-2-17所示，质量m=100g的小物块，从距地面h=2．0m处的斜轨道上由静止开始下滑，与斜轨道相接的是半径r=0．4m的圆轨道，若物体运动到圆轨道的最高点A时，物块对轨道的压力恰好等于它自身所受的重力，求物块从开始下滑到滑至A点的运动过程中，克服阻力做的功．(g=10m/s2)
12．铁道部第五次进行铁路大提速后，京深线上长沙到广州依然未能实现第五次大提速．原因主要是此线段上弯道太多，改造工程太大．铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为M的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为R的圆弧轨道转弯，如图5-2-18所示．已知内外铁轨的倾角为．
(1)列车的速率v0为多大时，才能使车轮对铁轨的侧压力正好为零
(2)如果火车的实际速率vv0，则车轮施于铁轨一个平行于斜面的侧压力F，试证其大小为：
(3)如果不改变内外轨间的倾角a而强行提速，车轮将对铁道的 轨产生侧向挤压而造成事故．
单元达标
1．如图5-2-19所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,a是它边缘上的一点.左侧是一轮轴,大轮的半径为4r,小轮的半径为2r.b点在小轮上,到小轮中心的距离为r.c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上.若在传动过程中,皮带不打滑.则( )
A．a点与b点的线速度大小相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．a点与d点的向心加速度大小相等
2．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型容器，筒壁坚直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为（ ）
A．游客处于超重状态
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力等于重力
D．筒壁对游客的支持力等于重力
3．如图5-2-20所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点），同时从大环两侧的对称位置由静止滑下.两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大环对轻杆的拉力大小为（ ）
A.（2m+2M）g
B.Mg－2mv2/R
C.2m(g+v2/R)+Mg
D.2m(v2/R－g)+Mg
4．当汽车以10m/s的速度通过某拱桥顶点时，车对桥顶的压力为车重的3/4，为了避免车沿粗糙桥面上行驶至该桥顶时所受摩擦力为零，则汽车通过桥顶速度不应（ ）
A．v≥15m/s B．v≥20m/s
C．v≥25m/s D．v≥30m/s
5．如图5-2-21所示，轻杆的一端有一小球，另一端有光滑的固定轴O．现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时对小球的作用力，则F（ ）
A．一定是拉力
B．一定是推力
C．一定等于0
D．可能是拉力，也可能是推力，也可能等于0
6．如图5-2-22所示，一球质量为m，用长为L的细线悬挂于O点，在O点正下L/2处钉有一根长钉，把悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子瞬间下列说法正确的是（ ）
A．小球的线速度突然加大
B．小球的向心加速度突然增大
C．小球的角速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
7．如图5-2-23所示，手持一根长为L的轻绳的一端在水平桌面上做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动，绳始终保持与该圆周相切，绳的另一端系质量为m的木块，木块也在桌面上做匀速圆周运动，不计空气阻力（ ）
A．手对木块不做功
B．木块不受桌面的摩擦力
C．绳的拉力大小等于
D．手拉木块做功的功率等于
8．如图5-2-24所示，MN是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动，设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时初速度的方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上，如果R、v1和v2都不变，而ω取某一合适的值，则以下说法中正确的是（ ）
A．有可能使微粒落在N筒上的位置都在a处的一条与a缝平行的窄条上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处的一条与S缝平行的窄条上
C．有可能使微粒落在N筒上的位置分别在某两处如b处和c处与S缝平行的窄条上
D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
9．质量相等的两汽车以相同的速度v分别通过半径为R的凸形桥顶P与凹形桥底P′时两桥面所受的压力之比为FP∶FP′=________.
10.如图5-2-25所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置的示意图.A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮.车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ；小车速度的表达式为v= ;行程的表达式为s= .
11．在一根长为L的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为m的小球B和C，如图5-2-26所示，杆可以在竖直平面内绕固定点A转动，将杆拉到某位置放开，末端C球摆到最低位置时，杆BC受到的拉力刚好等于C球重的2倍．求：（g=10m/s2）
（1）C球通过最低点时的线速度；
（2）杆AB段此时受到的拉力．
12．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，图5-2-27甲表示小滑块(可视为质点)沿固定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的、之间来回滑动．、点与O点连线与竖直方向之间夹角相等且都为，均小于100，图5-2-27乙表示滑块对器壁的压力F随时间t变化的曲线，且图中t=0为滑块从A点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中(包括图中)所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑块运动过程中的守恒量．(g取10m/s2)
第三单元 万有引力与航天
考点解读 典型例题
知识要点一、开普勒定律：1．开普勒定律内容：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积；（3）所有行星的轨道的半长轴R的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等．公式R3/T2=k..2．理解：（1）此处常量k.仅决定于太阳质量，用特例（圆轨道卫星）容易推出其值与行星的质量无关，仅与中心星体的质量有关．（2）所有的星体运动的轨道都是椭圆，平时为了研究问题的方便，近似看成圆，常把星体的运动按匀速圆周运动处理．二、万有引力定律1．内容：自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，跟它们之间距离r的二次方成反比．2．公式：，G引力常量，G的标准值为G=6.67259×10-11N·m2/kg2 ,通常取G= 6.67×10-11N·m2/kg2．m1, m2是两个物体的质量，r是两个质点之间的距离．3．万有引力定律适用的条件严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用．两个质量分布均匀的球体间相互作用，可用万有引力定律计算，r是两个质点之间的距离是两个球球心间的距离．两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，r是两个物体质心之间的距离．4．对万有引力定律的理解：（1）普适性 ：万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一．万有引力常量也具有普适性．卡文迪许通过扭秤装置测得G=6.67×10-11N·m2／kg2，它是一个仅和m、r、F单位选择有关，而与物体性质无关的恒量．（2）相互性： 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，他们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．（3）宏观性： 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义．在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计．万有引力定律的发现，把地面上物体和天体的运动规律统一起来，打破了天体运动的神秘论，增强了人们认识自然、认识宇宙的信心．（例1，针对练习1）三、人造地球卫星和宇宙速度1．万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力, 解决人造地球卫星有关问题关键是，把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来，即：说明：近地卫星受到的万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力，因此所有人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心．按匀速圆周运动处理．在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态．（例2，针对练习3，4）2．宇宙速度：（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s ,是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．第一宇宙速度又叫环绕速度．说明：“环绕速度”与“发射速度”不同．卫星环绕地球运动时所需的向心力等于地球对卫星的万有引力，即：从上式可知，卫星的环绕地球的速度v，跟圆周轨道半径r的平方根成反比，也就是离开地心越远，环绕速度就越小．用火箭把卫星送入高空，沿途必须克服地球引力做功，更多消耗一部分能量，理论计算表明，这些能量再加上卫星运转时所具有的能量，要比发射一个近地卫星需要的能量大得多．所以，第一宇宙速度7.9km／s是在地球表面发射人造地球卫星所需的最小“发射速度”，也是环绕地球做圆周运动的最大“环绕速度”．（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的脱离速度．第二宇宙速度又叫脱离速度．（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的逃逸速度．第三宇宙速度又叫逃逸速度．3．地球同步卫星：它是相对地面静止的卫星，其运行周期为24h，它只能定位于赤道正上方．（例3，例4，针对练习10）疑难探究四、万有引力与重力1．重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力) 如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）． 2．天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有 同样可以推得在天体表面h重力加速度重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．（例5，针对练习2，11）五、估算天体的质量和密度把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据 得： 因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．又由ρ=可以求出中心星体的密度（例4，例6，针对练习7，9） 六、同步卫星问题同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星只能处于赤道面上．如图5-3-3所示，若同步卫星位于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力Fa或Fb的一个分力Fa1或Fb1是它环绕地球的向心力，另一个分Fa2或Fb2将使卫星向赤道平面运动．这样，同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振动，从而卫星与地球不能同步． 因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的．（例7，针对练习5）七、能量问题及变轨道问题只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心体)的引力势能．离中心星体近时速度大, 离中心星体远时速度小.如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．（例8，针对练习6，8）八、星球的自转问题根据万有引力定律与牛顿定律，我们可以区分随地球自转的向心加速度和环绕运行的向心加速度的不同．放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．（例9，针对练习12） 【例1】如图5-3-1所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2球型空腔后，对位于球心和孔穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？ 【例2】已知地球半径R地=6.37×106m，g地=9.81m/s2，试计算在距地面高度为h=2×106m的圆形轨道上卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T．【例3】两个人造地球卫星，其轨道半径之比R1∶R2=2∶1，求两卫星的（1）a1∶a2＝？ （2）v1∶v2=？（3）ω1∶ω2=？ （4）T1∶T2=？【例4】地球质量为M，半径为R，万有引力常量为G发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度．（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据和过程；（2）若已知第一宇宙速度大小为V=7.9km/s，地球半径R=6.4×103km，万有引力常数G=6.67×10－11N·m2/kg2，求地球质量．（保留两位有效数值）【例5】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知单摆在海面处的周期是T0．而在该高山上，测得该单摆周期为T．求此高山离海平面高度h为多少？（把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体）【例6】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面112km的空中沿圆形轨道绕月球飞行，周期是120.5min．已知月球半径是1740km，根据这些数据计算月球的平均密度．（G=6.67×10-11Nm2／kg2）【例7】试根据地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R=6.4×106m，地球自转的周期 T= 24h估算同步卫星距地面的高度．【例8】2003 年10 月15 日，我国成功地发射了“神舟”五号载人飞船，经过21 小时的太空飞行，返回舱于次日安全返回．已知飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆．椭圆的一个焦点是地球的球心，如图5-3-4所示，飞船在飞行中是无动力飞行，只受地球引力作用，在飞船从轨道A 点沿箭头方向运行到B点的过程中，有以下说法正确的是（ ）①飞船的速度逐渐增大 ②飞船的速度逐渐减小③飞船的机械能EA=EB ④飞船的机械能EA < EB A ．② ④ B ．② ③ C ．① ④ D ．① ③ 【例9】地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所受到的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受到的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受到的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ）A．F1=F2>F3 B．a1=a2=g>a3C．v1=v2=v>v3 D．ω1=ω3<ω2
典型例题答案
【例1】解析：由于题目中并没有告诉两者之间的距离与球的半径的关系，因此不能把挖去一部分的球看成质点，不能直接利用万有引力定律来计算引力的大小，可设想先将的部分补上，把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可得解．
完整的均质球体对球外质点m的引力为
这个引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2 之和
F=F1+F2．
因为半径为R/2的小球的质量
所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力
【例2】解析：(1)由
得
其中r=R地＋h，由此得线速度
(2)
总结以上可以看出，天体运动习题的解决，关键是把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来．
【例3】解析：在人造卫星的运动中，万有引力提供了所需的向心力，由此根据牛顿定律列出方程，再根据题意找出有关比例即可．
【例4】解析：（1）设绕地卫星质量为m，因其绕地运行，轨迹半径与地球半径R可认为近似相等．卫星绕地球运行的向心力由它与地球间的万有引力提供.即
即为第一宇宙速度.
（1） 由，则
【例5】解析：根据单摆周期公式有：
由万有引力公式得：
联立解得：
【例6】解析：根据牛顿第二定律有
从上式中消去飞行器质量m后可解得
根据密度公式有
说明：要计算月球的平均密度，首先应求出质量M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月球对它的万有引力提供的．
【例7】解析：设地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，卫星的质量为m，离地面的高度为h．则
将g=9.8m/s2 R=6.4×106m T= 24h= 86400s
代入得 h=36000km
【例8】解析：在飞船作椭圆运动的过程中，只有万有引力作用，飞船绕地球转动机械能守恒.所以，③是正确的．从A点到B点万有引力做负功，动能变小，重力势能增大．所以，从A点到B点的过程中飞船的速度逐渐减小，②是正确的．
答案：B
【例9】解析：放在地面上的物体随地球自转的向心加速是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供．而环绕环绕地球运行的向心加速度完全由地球对其的引力提供．对应的计算方法也不同．
设地球自转的角速度为，R为地球的半径，物体在赤道上随地球自转和地球同步卫星相比
角速度
线速度
向心力
向心加速度．
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星和地球同步卫星相比
答案：D
针对练习
1．对于万有引力定律公式中的r，下列说法正确的是（ ）
A．对卫星而言，是指轨道半径
B．对地球表面的物体而言，是指物体距离地面的高度
C．对两个质量分布均匀的球体而言，使之球心之间的距离
D. 对人造卫星而言，是指卫星到地球表面的高度
2．地球半径为R，在离地面h高度处与离地面H高度处的重力加速度之比为（ ）
A． B．
C． D．
3．假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大为原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（ ）
A．v=r，可知卫星的运行线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的1/2
C．根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4
D．根据上述B和C给出的公式，可知卫星的线速度将减小到原来的
4．火星有两颗卫星，分别为火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比（ ）
A．火卫一距火星表面较近
B．火卫二的角速度较大
C．火卫一的运动速度较大
D．火卫二的向心加速度较大
5．地球上站着两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星相对自己静止不动，则这两位观察者的位置及两颗卫星到地球中心的距离是（ ）
A．一人在南极，一人在北极，两颗卫星到地球中心的距离一定相等
B．一人在南极，一人在北极，两颗卫星到地球中心的距离可以不等
C．两人都在赤道上，两颗卫星到地球中心的距离可以不等
D．两人都在赤道上，两颗卫星到地球中心的距离一定相等
6．设一号飞船在离地h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ek，重力势能为Ep，二号飞船在离地2h高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为Ekˊ，重力势能为Epˊ，两飞船质量相等，则下列关系正确的是：（ ）
A．Ek< Ekˊ B．Ep> Epˊ
C．Ek+Ep< Ekˊ+ Epˊ D．Ek+Ep= Ekˊ+ Ep
7．已知下面的哪些数据，可以计算出地球的质量M（G已知）( )
A．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳中心的距离
B．月球绕地球运行的周期及月球到地球中心的距离
C．人造地球卫星在地面附近绕行时的速度和运动周期
D．地球同步卫星离地面的高度
8．2004年9月18日，欧盟和中国草签了中国参与伽利略项目的协议，这标志着欧洲和我们都将拥有自己的卫星导航定位系统．伽利略系统将由27颗运行卫星和3颗预备卫星组成，可以覆盖全球，预计于2008年投入使用．卫星的轨道高度为km，倾角为560，当某颗工作卫星出现故障时，预备卫星可及时顶替工作．若某颗预备卫星处于略低于工作卫星的轨道上，以下说法中正确的是 ( )
A．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度大于工作卫星的速度
B．预备卫星的周期大于工作卫星的周期，速度小于工作卫星的速度
C．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向后喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上加速
D．为了使该颗预备卫星进入工作卫星的轨道上，应考虑启动火箭发动机向前喷气，通过反冲作用使卫星从较低轨道上减速
9．若在相距甚远的两颗行星A与B的表面附近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星A的周期为Ta，卫星b绕行星B的周期为Tb，这两颗行星的密度之比 ．
10．月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6，地球半径是月球半径的4倍，那么登月舱靠近月球表面环绕月球运行的速度大小是 （已知人造地球卫星的第一宇宙速度为v1）．
11．一物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在航天飞机中，当航天飞机以a=g/2的加速度随火箭向上加速升高的过程中，某时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互挤压力为120N，求此时航天飞机距地面的高度．（地球半径取6.4×106m,g取10m/s2）
12．(2003年全国理综24题）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，它的自转周期为T=．同该中子星的最小密度应是多少才难维持该星体的稳致因自转而瓦解．计算时星体可视为均匀球体．（引力常数G=6.67×10－11m3/）
达标练习
1．科学家曾在“和平号”空间站上做了许多科学实验和测量，在下列测量中能够完成的是（ ）
A．用弹簧秤测拉力 B．用温度计测温度
C．用天平测质量 D．用摆钟测时间
2．假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力的加速度g地之比等于（ ）
A．p/q2 B．pq2 C．p/q D．pq
3．我国先后发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星，运行轨道不同．“风云一号”采用极地圆形轨道，轨道平面与赤道平面垂直，通过地球两极，每12h 巡视一周，每天只能对同一地区进行一次观测，“风云二号”采用地球同步轨道，轨道平面在赤道平面内，能对同一地区进行连续观测．对于这两颗卫星，有以下叙述
①“风云一号”卫星比“风云二号”卫星观测区域大
②“风云一号”卫星比“风云二号”卫星轨道半径大
③“风云一号”卫星比“风云二号”卫星运行周期长
④“风云一号”卫星比“风云二号”卫星运行速度大
以上叙述中正确的是( )
Ａ．①② B．②③ C．③④ Ｄ．①④
4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（ ）
Ａ．T＝2π
B．T＝2π
C．T＝
Ｄ．T＝
5. 如图5-3-5所示，是某次发射人造卫星的示意图．卫星先在近地圆周轨道1上运动，然后改在椭圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动．a点是轨道1、2的交点，b点是轨道2、3的交点．人造卫星在轨道1上的速度为v1，在轨道2上a点的速度为v2a，在轨道2上b点的速度为v2b，在轨道3上的速度为v3，则以上各速度的大小关系是（ ）
A． v1＞v2a＞v2b＞v3
B．v1 < v2a < v2b < v3
C.v2 a＞v1＞v3 ＞v2b
D．v2 a＞v1＞v2b＞v3
6．美国天文学家于今年3月15日宣布，他们发现了可能成为太阳系第十大行星的以女神“塞德娜”命名的红色天体．如果把该行星的轨道近似为圆轨道，则它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的470倍，是迄今为止发现的离太阳最远的太阳系行星，该天体半径约为1 000km，约为地球半径的．由此可以估算出它绕太阳公转的周期最接近 ( )
Ａ．15年 Ｂ．60年 Ｃ．470年 Ｄ．104年
7．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢的减小．根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
Ａ．公转半径R较大
Ｂ．公转周期T较小
Ｃ．公转速率v较大
Ｄ．公转角速度ω较小
8．“神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道．已知飞船的质量为m，地球半径为R，地面处的重力加速度为g．则飞船在上述圆轨道上运行的动能（ ）
A．等于
B．小于
C．大于
D．等于
9．假如地球的自转速度加快，使赤道上的物体完全漂浮起来，那么地球自转一周的时间等于
小时．（地球半径,结果取两位有效数字）
10．地球绕太阳公转的周期和公转半径分别为T和R，月球绕地球公转的周期和公转半径分别为t和r．则太阳质量和地球质量的比值为 ．
11．神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h＝342km的圆形轨道．已知地球半径R＝6.37×103km，地面处的重力加速度g＝10m/s2．试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）
12．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两星中心距离为R，其运周期为T，求两星的总质量．
_________________________________________章末整合_____________________________________
知识结构
体验新课标
1．计算机上常用的“3.5英寸、1.44MB”软磁盘的磁道和扇区如图2--所示，磁盘上共有个80磁道(即80个不同半径的同心圆)，每个磁道分成18个扇区（每个扇区为圆周），每个记忆区可记录512个字节．电动机使磁盘以300r/min匀速转动．磁头在读、写数据时是不动的．磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道．（1）一个扇区通过磁头所用的时间是多少？
（2）不计磁头转移磁道的时间，计算机每秒内可从软盘上最多读取多少个字节？
2．不久前在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同．他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，(1)他对座位的压力是多大
(2)在圆周运动的过程中他曾有眼睛“黑视”的情况发生，“黑视”在何处最严重 (不考虑空气阻力，g取10m／s2)
3．将来人类离开地球到宇宙中生活，可以设计成如图5-1所示的宇宙村，它是一个圆形的密封建筑，人们生活在圆环的边上．为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以让它旋转．设这个建筑物的直径为200m，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少(r／s)时，人类感觉到像生活在地球上一样承受10m／s2的加速度 如果转速超过了上述值，人们将有怎样的感觉
4.离心沉淀器可以加速物质的沉淀，如图5-2所示，是它的示意图，当盛着液体的试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，说明它为什么能使密度较大的物质加速沉淀？
5．游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来如图5-3，我们把这种情况抽象为图5-4的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端滑下，小球进入圆轨道下端后沿原轨道运动，实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半径为R，h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力．
6．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆．天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现．哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星．哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，它下次飞近地球是哪一年
高考链接
1．( 2006天津)在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的大小仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
2．（2006重庆）宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）。据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为（ ）
A． B．
C． D．
3．( 06全国卷Ⅰ)我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量为地球质量的1/80，月球的半径约为地球半径的1/4，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为 ( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
4．（04北京）1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6400km，地球表面重力加速度为g．这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A.400g B. C.20g D.
5．（ 04陕西、海南、西藏、内蒙理综）我们的银河系的恒星中大约有四分之一是双星．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点Ｃ做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为Ｔ．S1到Ｃ点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为Ｇ．由此可求出Ｓ2的质量为 ( )
A． B．
C． D．
6．（05全国卷Ⅱ）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T．仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）
A．月球的质量 B．地球的质量
C．地球的半径 D．月球绕地球运行速度的大小
7. （05天津）土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到10m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104km延伸到1.4×105km．已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）( )
A．9.0×1016kg B．6.4×1017kg
C．9.0×1025kg D．6.4×1026kg
8．（05全国Ⅱ）把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得（ ）
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
9. (06四川)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，
(1)该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
(2)若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？
10．（06全国Ⅱ）如图5－5所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5m，轨道在C处与水平地面相切。在C处放一小物块，给它一水平向左的水平初速度V0=5m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求CD间的距离S。取重力加速度g=10m/s2
11．（04全国统考）在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的—·个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T．火星可视为半径为r0的均匀球体．
12．（06天津）神奇的黑洞是近代引力理论预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的点O做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图5－6所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率V和运行周期T0
（1）可见星A所受暗星的B引力FA等效为位于O点处质量为m/的星体(视为质点)对它的引力。设A和B的质量分别为m1、m2，试求m/（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率V、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大小太阳质量m0的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星的速率＝2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6 m0，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
(G＝6.67×10-11N.m2/kg2, m0=2.0×1030kg)
新信息题扫描
1．（06山西）为了节约用水，就大力发展节水农业．节水农业采用喷灌方法进行灌溉，喷灌“龙头”距地面h高时，水从“龙头”水平喷出，水平射程可达l0h，每分钟喷出水的质量为m，水泵吸水液面距地面H(重力加速度用g表示)，则( )
A．水从喷水“龙头”喷出时初速度为
B．水从喷水“龙头”喷出时初速度为
C．每分钟水泵对水做功为mg(H+h)
D．每分钟水泵对水做功为mg(H+26h)
2．（06南昌）如图5-7所示，在一次空地演习中，离地Ｈ高处的飞机以水平速度秒，发射一颗炮弹欲轰炸地面目标Ｐ，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度竖直向上发射炮弹拦截．设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则、的关系应满足（ ）
A．＝
Ｂ．＝
Ｃ．＝
Ｄ．＝
3．（06黄冈）在粗糙水平木板上放一物块，沿图5-8所示的逆时针方向在竖直平面内作匀速圆周运动，圆半径为R，速率为水平直径，bd为竖直直径．设运动中木板始终保持水平，物体相对于木板静止，则（ ）
A．物块始终受两个力作用
B．只有在a、b、c、d四点，物块受到的合外力才指向圆心
C．从a运动到d，物块处于超重状态
D．从b运动到a，物块处于超重状态
4．（06郑州）2001年10月28日，欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在有一个超大型黑洞，命名为MCG6-30-15,由于黑洞的强大的引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速运转，则下列那一组数据可以估算该黑洞的质量( )
A．地球绕太阳公转的周期和速度
B．太阳的质量和运行速度
C．太阳的质量和太阳到MCG6-30-15的距离
D．太阳运行速度和太阳到MCG6-30-15的距离
5．（06开封）由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族的航天梦想已变成现实．神舟五号飞船升空后，先运行在近地点高度200km，远地点高度350km的椭圆轨道上．实施变轨后进入343km的圆轨道，设变轨后做匀速圆周运动，共运行n周，起始时刻为，结束时刻为，运行速度为V，半径为r．则计算其运行周期可用（ ）
① ②
③ ④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（06黄冈）有两个行星A和B（A和B之间的相互作用不计），它们各有一颗靠近其表面的卫星，若这两颗卫星的周期相等，由此可知（ ）
A．行星A、B表面重力加速度之比等于它们的半径之比
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．行星A、B的质量一定相等
D．行星A、B的密度一定相等
7．（06北京）我国于1986年2月1日成功发射了一颗地球同步卫星，于1999年12月20日又成功发射了“神舟号”试验飞船，飞船的太空中飞行了21h，环绕地球运动了14圈，又顺利返回地面，假设卫星和飞船都做匀速圆周运动，那么卫星与飞船在各自轨道上运行时（ ）
①卫星运行周期比飞船大
②卫星运动速度比飞船大
③卫星运动的加速度比飞船大
④卫星离地面高度比飞船大
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
8. （06北京）星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=．已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6．不计其它星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为（ ）
A． B．
C． D．
9．（06湖南）行驶在平直公路上的变速自行车的轮盘（脚踏所连接的轮）的角速度不变，若轮盘半径变为原来的2倍，飞轮（和后轮相连的轮）的半径变为原来的1.5倍，则自行车的行驶速度变为原来的 倍．
10．（06天津）自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动．若自行车以速度v转过半径为R的弯道．则自行车的倾角为 自行车所受的地面的摩擦力大小为 ．
11．（06湖北）物体沿质量为M、半径为R星球的表面做匀速圆周运动所需的速度V1叫做该星球第一宇宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度V2，就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度．理论上可以证明．一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速C=3.0×108m，则该星球上的任何物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流．从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”．试分析一颗质量为M=2.0×1031kg的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时取引力常量G=6.7×10-11Nm2/kg2，答案保留一位有效数字．）
12．（06太原）2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射，这标志着我国的航天事业发展到了很高的水平，为了使飞船顺利升空，飞船需要一个加速过程，在加速过程中，宇航员处于超重状态.人们把这种状态下宇航员对座椅的压力与静止在地球表面时所受重力的比值，称为耐受力值，用k表示.在选拔宇航员时，要求他的状态的耐受力值为4≤k≤12.宇航员杨利伟的k值为10.神舟五号发射后经变轨以7.8×103m/s的速度沿圆形轨道环绕地球运行.已知地球半径R=6.4×103km，地球表面重力加速g=10m/s2.求：
（1）当飞船沿竖直方向加速升空时，杨利伟承受了巨大的压力，在他能够承受的最大压力的情况下，飞船的加速是多大？
（2）飞船在上述圆形轨道的上运行时距地面的高度h
本章答案
第一单元 运动的合成与分解 平抛运动
针对练习：1. B 2. C 3. B 4. C 5. C 6. ABD 7. C 8. AD 9. 10.
单元达标：1. BC 2. AC 3. C 4. A 5. B 6. BD 7. ABC 8. ABD 9. 2MV2A
10. 解析：设水速为u，甲合速为v，乙合速为v/．
如图，由两图中速度合成三角形相似有,即，航程相同，t甲:t乙=v/;v= V乙2：v甲2
11. 解析：（1）竖直方向有h = g t2
得t = eq \A(\R() ) =2s
故水平射程 eq \A( s) = υ0t - a t2 =5m
（2）落地时υx = υ0 - at = 0
υy = gt = 20m/s
所以落地时速度大小υ = υy = 20m/s
落地时速度方向竖直向下
12.
解析:如图（1）所示，设球刚好触网而过，此过程球水平射程s=3m，球下落高度
h=h2-h1=(2.5—2)m=0.5m，
所以球飞行时间：s
可得球被击出时的下限速度v1==3m/s，
设球恰好落在边界线上，此过程球水平射程s2=12m，球飞行时间：
可得球被击出时的上限速度：v2=t=12m/s
欲使球既不触网也不出界，则球被击出时的速度应满足：3m/s
所以
球压线：
所以
由以上式子消去v，解得：
即当击球的速度小于时，无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是越界
第二单元 圆周运动
针对练习：1. ABD2. A 3. AB 4. B 5. D 6. C 7. D 8. B 9. 10rad/s 10. 3.8 rad/s
11. 解析：设物块克服阻力做的功为wf，物块在A点的速度为vA，由动能定理得：
mg(h-2r)-Wf= ①
对物块在A时进行受力分析，设N为轨道对物块的压力，由牛顿第二定律得：
N+mg=m ②
设物块对轨道的压力为N/，据牛顿第三定律知：N/与N大小相等，据题意；N/=mg ③
N=N/=mg ④
联立①②③④并代人数据得：wf=0.8J
12. 解析：(1)当车轮对铁轨的侧压力刚好为零时，火车只受到重力Mg和支持力FN的作用，如图所示，由于火车在弯道工作匀速圆周运动，故这两个力的合力必指向圆心，有：
Mgtanθ=M
所以v0=，
(2)当v≠v0时，铁轨施于车轮一个平行于斜面的侧向支持力F/，此力可能沿斜面向上或向下．假设F/沿斜面向下，如图所示，火车在三个力作用下匀速圆周运动，它们的合力必沿水平方向指向圆心，故有：
FNCOSa=Mg+F/sina (1)
FNsina+F/cosa=M (2)
化简得:Mgtana+=M
因为tanα=
,cosα==
所以:F/=Mg
由牛顿第三定律，火车车轮施于铁轨的力
F=-F/=- Mg
可见不管F沿斜面向上或向下，都有：
︱F︱= Mg
(3)当v>v0时，火车所需的向心力要增加，外轨必须提供侧压力以增加向心力，故车轮施加的侧压力作用于外轨
单元达标：1. CD2. C 3. C 4. B 5. D 6. BCD 7. D 8. ABC 9. (gR-v2)∶（gR＋v2）
10. 车轮半径R和齿轮的齿数p 2πRn/p 2πRN/p
解析:小车的速度等于车轮的周长与单位时间内车轮转动圈数的乘积.设车轮的半径为R，单位时间内车轮转动圈数为k，则有v=2πRk
若齿轮的齿数为p，则齿轮转一圈电子电路显示的脉冲数即为p，已知单位时间内的脉冲数为n，所以单位时间内齿轮转动圈数为，由于齿轮与车轮同轴相连，它们在单位时间内转动圈数相等，即k=
由以上两式可得，v=
同理，设车轮转动的累计圈数为K，则有s=2πRK，
且K=，所以s=
可见，要测出小车的速度v和行程s，除单位时间内的脉冲数n和累计脉冲数N外，还必须测出车轮半径R和齿轮的齿数p.
11. 解析：（1）C球通过最低点时，受力如图且作圆周运动，F向=TBC－mg
即2mg－mg=
得VC=，即为所求.
（2）以最低点B球为研究对象，其受力如图B球圆周运动的
F向=TAB－gm－2mg
即TAB－3mg=，且VB=VC
得TAB=3.5mg 即为所求.
12. 解析：由图乙得小滑块A、A/之间做简谐运动的周期T=s，由得：R=0.1m
在最高点A，有Fmin=mgcosθ，式中Fmin=0.495N
在最高点B，有Fmax-mg=m,Fmax=0.495N
从A到B过程中，滑块机械能守恒，mv2=mgR(1-cosθ)
由②③④⑤解得：cosθ=0．99，则m=0.05kg
滑块机械能E=mv2=mgR(1—cosθ)=5×10-4J
从以上分析可求出小滑块质量m=0.05kg，容器的半径R=0.1 m，滑块运动的守恒量是机械能E=5×10-4J.
第三单元 万有引力与航天
针对练习：1. AC2. D 3. CD 4. AC 5. D 6. C 7. BC 8. C 9. 10.
11. 解析：，故
由图可得
解得：
又因为
联立可得：
12. 解析：考虑中子是赤道外一块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为，质量为M ，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小块物为m，则有
①
②
③
由以上各式得
④
代入数据解得
单元达标：1. AB2. A 3. D 4. AD 5. C 6. Ｄ 7. BC 8. B 9. 1.4 10.
11. 解析：设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有
地面附近
由已知条件
解以上各式得
代入数值，得：
12. 解析：设两星质量分别为M1 M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l1 12．由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件
可得
l1 +12=R
联立解得
说明：双星是一个整体，围绕着它们的质心转动，所以角速度ω相同，两星之间由万有引力相维系，它们到质心的距离与它们的质量成反比
体验新课标：1. 解析：磁盘转动的周期为T=0.2s
（1）扫描每个扇区的时间t=T/18=1/90s
（2）每个扇区的字节数为512个，1s内读取的字节数为90X512=46080个．
2. 解析：(1)在最高点2mg为向心力，速度为V1
在最低点，
这时压力：FN=mg+F向
=
(2)由于超重，血压降低，脑部缺血造成“黑视”，在最低点时最严重.
3. 解析：宇宙村中人受到桶壁对人的支持力提供人做圆周运动的向心力，且向心加速度的值为10m／s2
设宇宙村转动的转速为nr／s，则（2πn）2R=10
所以
若超过上述值，人将有超重感．
4. 解析：离心沉淀器转动时，密度较大的物质需要的向心力大，因此当转速增大时，密度较大的物质所需向心力首先得不到满足，发生离心现象，因而可以加速刻度较大物质的沉淀．
5. 解析：小球在最高点时不掉下来的条件是：圆轨道对小球的弹力FN≥0，
此时有 （1）
而在整个运动过程中，由机械能守恒定律有
（2）
由以上各式联列可解得h≥2.5R 即h至少要等于2.5R．
6. 解析：根据开普勒第三定律：
得到：
代入数据得：
则哈雷彗星下次出现的时间是：1986+76=2062年．
高考链接：1. D2. B 3. B 4. B 5. D6. BD 7. D 8. CD
9. 解析：(1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有
mg星= ①
解得 g星= ②
(2)设人能上升的最大高度为h,由功能关系得
mg星h= ③
解得 h= ④
10. 解析：物块从C到A过程，由机械能守恒得
①
从A到D过程，由平抛知识得
②
③
由①②③式得
代入数据得m
11. 解析：以g/表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m/表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
设v表示着陆器第二次落到水星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量为v0，有
由经上各式解得
12. 解析：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设为ω，由牛顿运动定律，有
设A、B之间的距离为r，又r= r1+r2，由上述各式得
①②③④⑤
由万有引力定律有
将①式代入得
令
②
（1） 由牛顿第二定律有③
又可见星A的轨道半径 ④
由②③④解得 ⑤
（3）将m1=6 m0代入⑤式得
代入数据得 ⑥
设m2=n m0（n>0），将其代入⑥式，得
⑦
可见的值随n的增大而增大，试令n=2，得
⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必而在于2倍的m0，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
新信息题扫描：1. D2. D 3. C 4. D 5. A 6. AD 7. B 8. C 9. 4/3
10. 解析：骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜．从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向α角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心O，合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力．
（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：
得
（2）由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F，即f = Mgtgα
11. 解析：环绕速度 ……（1）
…… （2）
代入数值，得r=3×104 m … …（3）
12. 解析：（1）N=kmg=10mg
N－mg=ma
（2）
∴GM=gR2
∴
又r=R+h
解得
图5-2-24
图5-2-23
图5-2-22
O
图5-2-20
图5-2-21
图5-2-25
图5-2-18
图5-1
图5-2-16
图5-2-14
图5-1-6
图5-7
图5-2-19
A
C
B
D
图5-2-13
图5-118
图5-3-5
图5-1-20
图5-2-11
图5-2-10
图5-2-5
图（1）
图（2）
图5-2
图5-1-1
图5- 1-19
图5-1-17
D
万 有 引 力
人造地球卫星：
第三宇宙速度：16.7km/s
第二宇宙速度：11.2km/s
第一宇宙速度：7.9km/s
宇宙速度
宇宙航行
计算天体质量
发现未知天体
理论成就
称量地球质量：
公式：
引力常量
内容
发现
万有引力
第三定律（周期定律）
第二定律（面积定律）
第一定律（轨道定律）
开普勒行星
运动定律
离心现象
离心运动的条件：F供＝0或F供＜ F需
向心力：
向心加速度：
周期：
角速度：
线速度：
运动性质：变速运动
图5-1-8
图5-1-9
图5-2-12
图5-2-17
图5-3-1
B
C
A
O m v0
图5-2-1
图5-2-3
图5-1-15
运动性质：匀变速曲线运动
图5-2-6
规律
平抛运动
运动性质：一定时变速运动
图5-1-7
C
B
研究的基本方法：运动的合成与分解
B
图5－6
A
图5-5
A
图5-1-13
图5-2-9
图5-2-4
匀速圆周运动
图5-2-8
图5-3-2
图5-3-3
图5-3-4
B
A
图5-1-3
图5-1-2
图5-4
图5-1-21
图5-1-11
图5-1-5
图5-1-10
图5-1-12
图5-1-16
图5-1-22
图5-2
图5-3
图5-1-4
图5-2-7
图5-1-14
图5-2-15
图5-8
图5-2-26
图5-2-27
图5-2-2
h
质点在某点的速度，沿曲线在这一点的切线方向
条件：所受合外力的方向与它的初速度不在同一条直线上
曲线运动
曲线运动 万有引力
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