第十讲 多边形及其内角和与外角和培优竞赛辅导（含答案）
文档属性
| 名称 | 第十讲 多边形及其内角和与外角和培优竞赛辅导（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 927.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-05-22 20:43:00 | ||
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文档简介
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第十讲 多边形及其内角和与外角和
知识要点梳理
知识点一：多边形及有关概念
1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结：对于一个n边形，（n≥3）它有 个顶点， 个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形
www.21-cn-jy.com
凸多边形 凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做 边形．【出处：21教育名师】
知识点二：正多边形
叫做正多边形。
注意：各边相等的多边形不是正多边形如菱形 ，各内角也分别相等的多边形 不是正多边形如矩形 。
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形的内角和等于 。
(2)n边形共有 条对角线，如六边形共有 条对角线。
例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
知识点四：多边形的内角和公式
1.公式：n边形的内角和公式为： （n≥3）
n边形内角和与边数n 关，每增加1条边，内角和增加 。
2.正边形的每个内角的度数为 。
多边形的外角和公式
公式：多边形的外角和等于 °.
注意：n边形的外角和等于360°，它与边数的多少 关。
例1：四边形ABCD中，如果∠A+∠C =180°，则∠B +∠D的度数是 。
例2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 。
例3. 正八边形的每个内角为 , 度，每一个外角为 度。
例4．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是 。
例5．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 。
知识点五：镶嵌的概念和特征
1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
2、实现镶嵌的条件： ；相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面，只有 的地砖可以用。
注意：任意形状、大小完全相同的 也可以铺满地面。
任意形状、大小完全相同但不规则的 地砖也可以铺成无空隙的地板，因为四边形的内角和都等于360°。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形，正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌。
又如，用一个正三角形、两个正方形、 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，
用 个正三角形、 个正方形、 个正十二边形也能够铺满地面。
用 个正方形、 个正六形、 个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边， 内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.
4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.
基础夯实
1、（1）六边形的内角和是 ，外角和是 ．
（2）一个多边形的内角和与外角和都是360°，这个多边形是 边形．
（3）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 度，共有 条对角线。
（4）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 度，外角和 ．
（5）一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为 ．
2、 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，多边形的边数是____________.
3、正n边形的一个外角等于它的一个内角的，则n=________.
4、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中，能铺满地面的多边形是________________________.
5、用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.
6、用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=_____,n=______.
7、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_________m．
8、一个多边形，它的外角最多有________ 个是钝角．
9、一个多边形截去一个角后是四边形，则原多边形可能是________ 边形．
10、一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是________边形，
11、一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是1780度，求这个多边形的边数n和这个内角的度数？
典型例题：
例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=25°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
例2、如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
培优检测
一、填空题
1、三角形中，三个内角的比为1∶3∶6，它的三个内角度数分别是________.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm，则周长c的取值范围是________.
3、等腰三角形两边分别是3和6，则周长为________________.
4、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的，则n=________.
5、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.
6、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是________.
7、n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°，则n=________.则这个外角的度数_____.
8、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为_______.
8题图 21世纪教育网版权所有
9、如图上,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°, ∠C=38°,那么∠P的度数为_____________.【来源：21·世纪·教育·网】
二、选择题
1、如图3，AD是高，AE是△ABC的角平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ( )。
A．20° B．30° C．10° D．15°
2、下列说法①等边三角形是等腰三角形；②多边形的外角最多有三个钝角；③多边形的外角最少有三个钝角；④多边形的内角最少有二个锐角，正确的个数有( )个。
A．1 B．2 C．3 D．4
3、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形是( )。
A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边形 D．正十五边形
三、解答题
1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2．
求∠BPC
（拔高）
已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
（1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．2·1·c·n·j·y
（2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21·世纪*教育网
（3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21*cnjy*com
（4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）【来源：21cnj*y.co*m】
第十讲 多边形及其内角和与外角和答案
知识要点梳理
知识点一：多边形及有关概念
1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结：对于一个n边形，（n≥3）它有 n 个顶点， n 个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形
21*cnjy*com
凸多边形 凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做 n 边形．
知识点二：正多边形
各边相等且各内角也分别相等的多边形 叫做正多边形。
注意：各边相等的多边形不是正多边形如菱形 ；各内角也分别相等的多边形 不是正多边形如矩形 。
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形 不相邻的 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引 （n-3）条对角线，将n边形分成 （n-2）个三角形，n边形的内角和等于 （n-2）180°。
(2)n边形共有 条对角线，如六边形共有 9 条对角线。
例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( A )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
知识点四：多边形的内角和公式
1.公式：n边形的内角和公式为：（n-2）180° （n≥3）
n边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加 180° 。
2.正边形的每个内角的度数为180°-或（n-2）180° 。
多边形的外角和公式
公式：多边形的外角和等于 360 °.
注意：n边形的外角和等于360°，它与边数的多少无 关。
例1：四边形ABCD中，如果∠A+∠C =180°，则∠B +∠D的度数是180°。
例2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 8 。
例3. 正八边形的每个内角为135 度，每一个外角为 45度。
例4．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是正八边形 。
例5．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是12。
知识点五：镶嵌的概念和特征
1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。21cnjy.com
2、实现镶嵌的条件： 在一个顶点处各正多边形的内角和为360° ；相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面，只有 正三角形，正方形，正六边形 的地砖可以用。
注意：任意形状、大小完全相同的 三角形 也可以铺满地面。
任意形状、大小完全相同但不规则的 四边形 地砖也可以铺成无空隙的地板，因为四边形的内角和都等于360°。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形，正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌，注意：正五边形与正十边形不能铺满地面。
又如，用一个正三角形、两个正方形、 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，
用 2 个正三角形、 1 个正方形、 1 个正十二边形也能够铺满地面。
用 1 个正方形、 1 个正六形、 1 个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边， 内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.
4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.
基础夯实
1、（1）六边形的内角和是 720° ，外角和是 360° ．
（2）一个多边形的内角和与外角和都是360°，这个多边形是 四 边形．
（3）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 36 度，共有 35 条对角线。
（4）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 180° 度，外角和 不变 ．
（5）一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为 540° ．
2、 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，多边形的边数是__7__.
3、正n边形的一个外角等于它的一个内角的，则n=___8_____.
4、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中，能铺满地面的多边形是____正方形、等腰三角形、正六边形.
5、用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有__2_____个正三角形和___2 个正六边形,或在每个顶点处有____4__个正三角形和___1____个正六边形.
6、用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=__1___,n=____2__.
7、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____240_____m．
8、一个多边形，它的外角最多有____3____ 个是钝角．
9、一个多边形截去一个角后是四边形，则原多边形可能是__三，四或五_ 边形．
10、一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是___四_____边形，
11、一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是1780度，求这个多边形的边数n和这个内角的度数？
答案：解：设除去的内角为α，则（n-2） 180°=1780°+α，
∵1780°÷180°=9…160°，
∴n-2=9+1=10，
解得n=12，
α=20°．因此，这个多边形的边数n的值是12．
典型例题：
例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=25°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；21教育网
（2）．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．
例2、如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
答案：（1）∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．
（2）不变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）
=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°．
培优检测
一、填空题
1、三角形中，三个内角的比为1∶3∶6，它的三个内角度数分别是18°，54°，108°_.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm，则周长c的取值范围_.
3、等腰三角形两边分别是3和6，则周长为___15____.
4、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的，则n=___8__.
5、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引__9__条对角线.
6、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是_135°或45°.
7、n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°，则n=___10__.则这个外角的度数_60°.
8、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为__20°.
8题图 www-2-1-cnjy-com
9、如图上,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°, ∠C=38°,那么∠P的度数为___40°_.【版权所有：21教育】
二、选择题
1、如图3，AD是高，AE是△ABC的角平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ( A )。
A．20° B．30° C．10° D．15°
2、下列说法①等边三角形是等腰三角形；②多边形的外角最多有三个钝角；③多边形的外角最少有三个钝角；④多边形的内角最少有二个锐角，正确的个数有( B )个。
A．1 B．2 C．3 D．4
3、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形是( D )。
A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边形 D．正十五边形
三、解答题
1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2．
求∠BPC
答案为：110°．
∵∠ABC=∠ACB，∠A=40°，
∴∠ACB=（180°-40°）=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠ACB=70°，
在△BPC中，∠BPC=180°-（∠2+∠3）=180°-70°=110°．
（拔高）
已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
（1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
（2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21·cn·jy·com
（3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21教育名师原创作品
（4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）
【解答】解：（1）∠P=90°+∠A．
证明：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A．2-1-c-n-j-y
（2）∠A+∠BDC=2∠DPC．
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠DCP，
∵∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角，
∴∠ACP=∠DPC﹣∠A，
∠DCP=∠BDC﹣∠DPC，
∴∠DPC﹣∠A=∠BDC﹣∠DPC，
∴∠A+∠BDC=2∠DPC；
（3）∠D+∠A=2∠P．
∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠DBP=∠ABP，∠ACP=∠DCP，
∵∠D+∠DBP=∠P+∠DCP，∠A+∠ACP=∠P+∠ABP，
∴两式相加，可得：∠D+∠A=2∠P；
（4）2∠BPC=∠BAC+∠BDC．
解法一：如图4，作射线PD，射线AP，
∵∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角，
∴∠BDC=∠PBD+∠BPC+∠DCP，①
同理可得，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，②
又∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，
∴由②﹣①，可得
∠BPC﹣∠BDC=∠BAC﹣∠BPC，
∴2∠BPC=∠BAC+∠BDC．
解法二：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，
四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠D=360°，
∴∠ABD+∠ACD=∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠P=360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P=0，
∴2∠P=∠D+∠A
图3
D
A
C
E
B
图3
D
A
C
E
B
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第十讲 多边形及其内角和与外角和
知识要点梳理
知识点一：多边形及有关概念
1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结：对于一个n边形，（n≥3）它有 个顶点， 个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形
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凸多边形 凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做 边形．【出处：21教育名师】
知识点二：正多边形
叫做正多边形。
注意：各边相等的多边形不是正多边形如菱形 ，各内角也分别相等的多边形 不是正多边形如矩形 。
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形的内角和等于 。
(2)n边形共有 条对角线，如六边形共有 条对角线。
例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
知识点四：多边形的内角和公式
1.公式：n边形的内角和公式为： （n≥3）
n边形内角和与边数n 关，每增加1条边，内角和增加 。
2.正边形的每个内角的度数为 。
多边形的外角和公式
公式：多边形的外角和等于 °.
注意：n边形的外角和等于360°，它与边数的多少 关。
例1：四边形ABCD中，如果∠A+∠C =180°，则∠B +∠D的度数是 。
例2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 。
例3. 正八边形的每个内角为 , 度，每一个外角为 度。
例4．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是 。
例5．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是 。
知识点五：镶嵌的概念和特征
1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。
2、实现镶嵌的条件： ；相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面，只有 的地砖可以用。
注意：任意形状、大小完全相同的 也可以铺满地面。
任意形状、大小完全相同但不规则的 地砖也可以铺成无空隙的地板，因为四边形的内角和都等于360°。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形，正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌。
又如，用一个正三角形、两个正方形、 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，
用 个正三角形、 个正方形、 个正十二边形也能够铺满地面。
用 个正方形、 个正六形、 个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边， 内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.
4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.
基础夯实
1、（1）六边形的内角和是 ，外角和是 ．
（2）一个多边形的内角和与外角和都是360°，这个多边形是 边形．
（3）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 度，共有 条对角线。
（4）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 度，外角和 ．
（5）一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为 ．
2、 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，多边形的边数是____________.
3、正n边形的一个外角等于它的一个内角的，则n=________.
4、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中，能铺满地面的多边形是________________________.
5、用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有_______个正三角形和_____ 个正六边形,或在每个顶点处有______个正三角形和________个正六边形.
6、用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=_____,n=______.
7、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_________m．
8、一个多边形，它的外角最多有________ 个是钝角．
9、一个多边形截去一个角后是四边形，则原多边形可能是________ 边形．
10、一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是________边形，
11、一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是1780度，求这个多边形的边数n和这个内角的度数？
典型例题：
例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=25°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
例2、如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
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一、填空题
1、三角形中，三个内角的比为1∶3∶6，它的三个内角度数分别是________.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm，则周长c的取值范围是________.
3、等腰三角形两边分别是3和6，则周长为________________.
4、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的，则n=________.
5、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引_____条对角线.
6、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是________.
7、n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°，则n=________.则这个外角的度数_____.
8、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为_______.
8题图 21世纪教育网版权所有
9、如图上,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°, ∠C=38°,那么∠P的度数为_____________.【来源：21·世纪·教育·网】
二、选择题
1、如图3，AD是高，AE是△ABC的角平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ( )。
A．20° B．30° C．10° D．15°
2、下列说法①等边三角形是等腰三角形；②多边形的外角最多有三个钝角；③多边形的外角最少有三个钝角；④多边形的内角最少有二个锐角，正确的个数有( )个。
A．1 B．2 C．3 D．4
3、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形是( )。
A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边形 D．正十五边形
三、解答题
1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2．
求∠BPC
（拔高）
已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
（1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．2·1·c·n·j·y
（2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21·世纪*教育网
（3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21*cnjy*com
（4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）【来源：21cnj*y.co*m】
第十讲 多边形及其内角和与外角和答案
知识要点梳理
知识点一：多边形及有关概念
1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.
总结：对于一个n边形，（n≥3）它有 n 个顶点， n 个内角。
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形
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凸多边形 凹多边形
(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做 n 边形．
知识点二：正多边形
各边相等且各内角也分别相等的多边形 叫做正多边形。
注意：各边相等的多边形不是正多边形如菱形 ；各内角也分别相等的多边形 不是正多边形如矩形 。
知识点三：多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形 不相邻的 的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
(1)从n边形一个顶点出发可以引 （n-3）条对角线，将n边形分成 （n-2）个三角形，n边形的内角和等于 （n-2）180°。
(2)n边形共有 条对角线，如六边形共有 9 条对角线。
例1：若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( A )
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
知识点四：多边形的内角和公式
1.公式：n边形的内角和公式为：（n-2）180° （n≥3）
n边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加 180° 。
2.正边形的每个内角的度数为180°-或（n-2）180° 。
多边形的外角和公式
公式：多边形的外角和等于 360 °.
注意：n边形的外角和等于360°，它与边数的多少无 关。
例1：四边形ABCD中，如果∠A+∠C =180°，则∠B +∠D的度数是180°。
例2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是 8 。
例3. 正八边形的每个内角为135 度，每一个外角为 45度。
例4．一个正多边形，它的每一个外角都是45°，则该正多边形是正八边形 。
例5．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是12。
知识点五：镶嵌的概念和特征
1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。21cnjy.com
2、实现镶嵌的条件： 在一个顶点处各正多边形的内角和为360° ；相邻的多边形有公共边。
3、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角和为360°。
(2)只用一种正多边形镶嵌地面
用相同的正多边形地砖铺地面，只有 正三角形，正方形，正六边形 的地砖可以用。
注意：任意形状、大小完全相同的 三角形 也可以铺满地面。
任意形状、大小完全相同但不规则的 四边形 地砖也可以铺成无空隙的地板，因为四边形的内角和都等于360°。
(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形，正五边形与正十边形都可以作平面镶嵌，注意：正五边形与正十边形不能铺满地面。
又如，用一个正三角形、两个正方形、 一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，
用 2 个正三角形、 1 个正方形、 1 个正十二边形也能够铺满地面。
用 1 个正方形、 1 个正六形、 1 个正十二边形也能够铺满地面。
规律方法指导
1．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少. 每增加一条边， 内角的和就增加180°（反过来也成立），且多边形的内角和必须是180°的整数倍.
2．多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.
3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；多边形的外角中最多有三个钝角，最少没有钝角.
4．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法.
5．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决.
三角形是一种基本图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用.
基础夯实
1、（1）六边形的内角和是 720° ，外角和是 360° ．
（2）一个多边形的内角和与外角和都是360°，这个多边形是 四 边形．
（3）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 36 度，共有 35 条对角线。
（4）多边形边数增加一条，则它的内角和增加 180° 度，外角和 不变 ．
（5）一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为 540° ．
2、 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，多边形的边数是__7__.
3、正n边形的一个外角等于它的一个内角的，则n=___8_____.
4、在正方形、等腰三角形、正六边形、正七边形、正八边形中，能铺满地面的多边形是____正方形、等腰三角形、正六边形.
5、用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处有__2_____个正三角形和___2 个正六边形,或在每个顶点处有____4__个正三角形和___1____个正六边形.
6、用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形,则m=__1___,n=____2__.
7、如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____240_____m．
8、一个多边形，它的外角最多有____3____ 个是钝角．
9、一个多边形截去一个角后是四边形，则原多边形可能是__三，四或五_ 边形．
10、一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角，这种多边形是___四_____边形，
11、一个n边形除了一个内角之外，其余各内角之和是1780度，求这个多边形的边数n和这个内角的度数？
答案：解：设除去的内角为α，则（n-2） 180°=1780°+α，
∵1780°÷180°=9…160°，
∴n-2=9+1=10，
解得n=12，
α=20°．因此，这个多边形的边数n的值是12．
典型例题：
例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=25°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．
解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；21教育网
（2）．
设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180﹣n﹣m）°，
∴∠BAD=（180﹣n﹣m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+（180﹣n﹣m）°=90°+n°﹣m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°﹣（90°+n°﹣m°）=（m﹣n）°=（∠ACB﹣∠B）．
例2、如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
答案：（1）∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．
（2）不变化．
∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）
=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°．
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一、填空题
1、三角形中，三个内角的比为1∶3∶6，它的三个内角度数分别是18°，54°，108°_.
2、三角形a、b两边的长分别是7cm和9cm，则周长c的取值范围_.
3、等腰三角形两边分别是3和6，则周长为___15____.
4、正n边形的一个外角等于它相邻的一个内角的，则n=___8__.
5、正n边形的一个内角等于150°，则从这个多边形的一个顶点出发可引__9__条对角线.
6、直角三角形两锐角平分线相交所成的角的度数是_135°或45°.
7、n边形的内角和加上一个外角的总和为1500°，则n=___10__.则这个外角的度数_60°.
8、如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为__20°.
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9、如图上,BP平分∠ABC交CD于F,DP平分∠ADC交AB于E,AB与CG相交于G,如果∠A=42°, ∠C=38°,那么∠P的度数为___40°_.【版权所有：21教育】
二、选择题
1、如图3，AD是高，AE是△ABC的角平分线，∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE= ( A )。
A．20° B．30° C．10° D．15°
2、下列说法①等边三角形是等腰三角形；②多边形的外角最多有三个钝角；③多边形的外角最少有三个钝角；④多边形的内角最少有二个锐角，正确的个数有( B )个。
A．1 B．2 C．3 D．4
3、现有正三角形、正十边形与第三种正多边形能铺平整的地面，则第三种正多边形是( D )。
A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边形 D．正十五边形
三、解答题
1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2．
求∠BPC
答案为：110°．
∵∠ABC=∠ACB，∠A=40°，
∴∠ACB=（180°-40°）=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠3=∠1+∠3=∠ACB=70°，
在△BPC中，∠BPC=180°-（∠2+∠3）=180°-70°=110°．
（拔高）
已知△ABC，D为△ABC所在平面上一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．
（1）若D点是△ABC中BC边上一点，如图1所示，判断∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．
（2）若D点是△ABC中AB边上一点，如图2所示，判断∠BDC、∠BPC、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21·cn·jy·com
（3）若D点是△ABC外任一点，如图3所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论．21教育名师原创作品
（4）若D点是△ABC内一点，如图4所示，判断∠D、∠P、∠A之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明）
【解答】解：（1）∠P=90°+∠A．
证明：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A．2-1-c-n-j-y
（2）∠A+∠BDC=2∠DPC．
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠DCP，
∵∠DPC是△ACP的外角，∠BDC是△ACD的外角，
∴∠ACP=∠DPC﹣∠A，
∠DCP=∠BDC﹣∠DPC，
∴∠DPC﹣∠A=∠BDC﹣∠DPC，
∴∠A+∠BDC=2∠DPC；
（3）∠D+∠A=2∠P．
∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠DBP=∠ABP，∠ACP=∠DCP，
∵∠D+∠DBP=∠P+∠DCP，∠A+∠ACP=∠P+∠ABP，
∴两式相加，可得：∠D+∠A=2∠P；
（4）2∠BPC=∠BAC+∠BDC．
解法一：如图4，作射线PD，射线AP，
∵∠BDE是△BDP的外角，∠CDE是△CDP的外角，
∴∠BDC=∠PBD+∠BPC+∠DCP，①
同理可得，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，②
又∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，
∴由②﹣①，可得
∠BPC﹣∠BDC=∠BAC﹣∠BPC，
∴2∠BPC=∠BAC+∠BDC．
解法二：∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD=∠ABP，∠PCD=∠ACP，
四边形BPDC中，∠P+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠D=360°，
∴∠ABD+∠ACD=∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A+∠ABD+∠ACD+360°﹣∠P=360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P=0，
∴2∠P=∠D+∠A
图3
D
A
C
E
B
图3
D
A
C
E
B
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