名校物理之高考专题十三 临界和极值问题
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专题十三 临界和极值问题
【考纲要求】II
【重点知识梳理】
1．关于物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的解题方法是：掌握原理，具体分析，统观全局，抓住要害。物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点的最小合力。 不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。同时，在具体的问题中，要分清绳（或沿圆环内侧运动）与杆（或管）的区别。即绳对球只能提供拉力且绳对球的拉力方向只能沿绳指向圆心。因此，在绳的约束下物体能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度；而杆对球即可能是拉力也可能是压力。在杆（或管）约束下能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度v≥0。
2 ．极限类推法解决问题的关键是如何对物理过程初状态和极限状态巧妙的赋值。或对转折点的取值。取值既要遵循客观事实，又要使问题简化，使状态变化趋势明朗化。
【分类典型例题】
题型一：竖直平面内作圆周运动的临界问题
解决这类问题需要注意：我们不能只盯着最高点，而要对小球作全面的、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。
［例1］如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
［解析］小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37 ，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得：
即：
由动能定理有：
联立①、②可求出此时的高度h。
［变式训练1］如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中、分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A．处为拉力，为拉力
B．处为拉力，为推力
C．处为推力，为拉力
D．处为推力，为推力
题型二：关于摩擦力的临界与极值问题
解决这类问题需要注意：对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，使隐蔽的临界条件暴露，从而找到解题的突破口，根据有关规律求出极值。
［例2］如图所示，在电场强度E=5 N/C的匀强电场和磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，沿平行于电场、垂直于磁场方向放一长绝缘杆，杆上套一个质量为m=10-4 kg，带电量q=2×10-4 C的小球，小球与杆间的动摩擦因数μ=0.2，小球从静止开始沿杆运动的加速度和速度各怎样变化？
［解析］带电小球在竖直方向上受力平衡，开始沿水平方向运动的瞬间加速度：
a1==8 m/s2
小球开始运动后加速度：
a2=［qE-μ(mg-qvB)］/m，由于小球做加速运动，洛伦兹力F磁增大，摩擦力Ff逐渐减小，当mg=F磁时，Ff =0，加速度最大，其最大值为：a3==10 m/s2.
随着速度v的增大，F磁＞mg，杆对球的弹力N改变方向，又有摩擦力作用，其加速度：a4=［qE-μ(qvB-mg)］/m.可见Ff随v的增大而增大，a4逐渐减小.当Ff=F电时，加速度a5=0，此时速度最大，此后做匀速运动。
由qE=μ(qvB-mg)解得v=15 m/s.
结论：小球沿杆运动的加速度由8 m/s2逐渐增大到10 m/s2，接着又逐渐减小到零，最后以15 m/s的速度做匀速运动
［变式训练2］如图所示，质量M＝4kg的木板长L＝1.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m=1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，先用一水平恒力F＝28N向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F至少应作用多长时间（g=10m/s2）？
【能力训练】
1．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
2．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为 （ ）
A．dv2/ B．0 C．dv1/v2 D．dv2/v1
3．在如图所示的电路中，R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r。设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U。当R5的滑动触点向图中a端移动时 （ ）
A．I 变大，U变小 B．I 变大，U变大
C．I 变小，U变大 D．I 变小，U变小
4．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？
5．如图所示，两轮靠皮带传动，绷紧的皮带始终保持3m/s的速度水平的匀速运动。一质量为1kg的小物体无初速度的放到皮带轮的A处，若物体与皮带的动摩擦因数μ＝0.2，AB间距为5.25m。
（1）求物体从A到B所需的时间；
（2）要使物体经B点后水平抛出，则皮带轮半径R不能超过多大？
6． 如图所示，正交的电磁场方向均在水平方向上，电场强度为E，磁感应强度为B，质量为m、带电量为q的小球与水平桌面间的动摩擦因数为μ，已知qE ＞μmg，当小球由静止释放后，求小球的最大速度？（桌面绝缘且足够大）.
专题十三参考答案：
［变式训练1］ AB
［变式训练2］s
【能力训练】
1．C 2．C 3．D 4 ． 5R/2 5．（1）2.5s （2）0.9m
6．提示：由能量守恒定律有：qEvmt-μ(qvmB+mg)vmt=0
vm=-
图（2）
图（1）
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专题十三 临界和极值问题
【考纲要求】II
【重点知识梳理】
1．关于物体在竖直平面内作圆周运动的临界问题的解题方法是：掌握原理，具体分析，统观全局，抓住要害。物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点的最小合力。 不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。同时，在具体的问题中，要分清绳（或沿圆环内侧运动）与杆（或管）的区别。即绳对球只能提供拉力且绳对球的拉力方向只能沿绳指向圆心。因此，在绳的约束下物体能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度；而杆对球即可能是拉力也可能是压力。在杆（或管）约束下能在竖直面内作圆周运动的条件是最高点速度v≥0。
2 ．极限类推法解决问题的关键是如何对物理过程初状态和极限状态巧妙的赋值。或对转折点的取值。取值既要遵循客观事实，又要使问题简化，使状态变化趋势明朗化。
【分类典型例题】
题型一：竖直平面内作圆周运动的临界问题
解决这类问题需要注意：我们不能只盯着最高点，而要对小球作全面的、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。
［例1］如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
［解析］小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37 ，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得：
即：
由动能定理有：
联立①、②可求出此时的高度h。
［变式训练1］如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中、分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A．处为拉力，为拉力
B．处为拉力，为推力
C．处为推力，为拉力
D．处为推力，为推力
题型二：关于摩擦力的临界与极值问题
解决这类问题需要注意：对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，使隐蔽的临界条件暴露，从而找到解题的突破口，根据有关规律求出极值。
［例2］如图所示，在电场强度E=5 N/C的匀强电场和磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，沿平行于电场、垂直于磁场方向放一长绝缘杆，杆上套一个质量为m=10-4 kg，带电量q=2×10-4 C的小球，小球与杆间的动摩擦因数μ=0.2，小球从静止开始沿杆运动的加速度和速度各怎样变化？
［解析］带电小球在竖直方向上受力平衡，开始沿水平方向运动的瞬间加速度：
a1==8 m/s2
小球开始运动后加速度：
a2=［qE-μ(mg-qvB)］/m，由于小球做加速运动，洛伦兹力F磁增大，摩擦力Ff逐渐减小，当mg=F磁时，Ff =0，加速度最大，其最大值为：a3==10 m/s2.
随着速度v的增大，F磁＞mg，杆对球的弹力N改变方向，又有摩擦力作用，其加速度：a4=［qE-μ(qvB-mg)］/m.可见Ff随v的增大而增大，a4逐渐减小.当Ff=F电时，加速度a5=0，此时速度最大，此后做匀速运动。
由qE=μ(qvB-mg)解得v=15 m/s.
结论：小球沿杆运动的加速度由8 m/s2逐渐增大到10 m/s2，接着又逐渐减小到零，最后以15 m/s的速度做匀速运动
［变式训练2］如图所示，质量M＝4kg的木板长L＝1.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m=1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，先用一水平恒力F＝28N向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F至少应作用多长时间（g=10m/s2）？
【能力训练】
1．用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
2．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为 （ ）
A．dv2/ B．0 C．dv1/v2 D．dv2/v1
3．在如图所示的电路中，R1、R2、R3和R4皆为定值电阻，R5为可变电阻，电源的电动势为E，内阻为r。设电流表A的读数为I，电压表V的读数为U。当R5的滑动触点向图中a端移动时 （ ）
A．I 变大，U变小 B．I 变大，U变大
C．I 变小，U变大 D．I 变小，U变小
4．如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而作圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？
5．如图所示，两轮靠皮带传动，绷紧的皮带始终保持3m/s的速度水平的匀速运动。一质量为1kg的小物体无初速度的放到皮带轮的A处，若物体与皮带的动摩擦因数μ＝0.2，AB间距为5.25m。
（1）求物体从A到B所需的时间；
（2）要使物体经B点后水平抛出，则皮带轮半径R不能超过多大？
6． 如图所示，正交的电磁场方向均在水平方向上，电场强度为E，磁感应强度为B，质量为m、带电量为q的小球与水平桌面间的动摩擦因数为μ，已知qE ＞μmg，当小球由静止释放后，求小球的最大速度？（桌面绝缘且足够大）.
专题十三参考答案：
［变式训练1］ AB
［变式训练2］s
【能力训练】
1．C 2．C 3．D 4 ． 5R/2 5．（1）2.5s （2）0.9m
6．提示：由能量守恒定律有：qEvmt-μ(qvmB+mg)vmt=0
vm=-
图（2）
图（1）
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