课件21张PPT。义务教育教科书（北师大版）数学八年级上册2.7 二次根式(1)第二章 实数1、 11的算术平方根是 ．
2、 面积为a（a＞０）的正方形的边长为 ．
3、直角三角形的两直角边分别是1和2，则斜边 是 ． （其中b=24,c=25）. 温故知新:二次根式的产生的意义及应用上述式子有什么共同特征？ 2.7 二次根式(1)学习目标：１．了解二次根式和最简二次根式的概念，
掌握二 次根式的双重非负性的特点．
２．探索并掌握二次根式的性质，会利用
二次根式性质化简二次根式．
探究学习:二次根式的概念问题:
1. 认为一个式子若是二次根式，应满足几个条件？ 二次根式的概念：2.判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式．二次根式有：，不是二次根式的有：探究学习:二次根式的判别(双重非负性)探究学习:二次根式的双重非负性探究学习:二次根式性质的探究（1）请同学们先计算下列式子，然后回答下面的问题：问题1：结合计算的结果，你发现每组中两个式子有何关系？６６２０２０探究学习:二次根式性质的探究问题2：从上面得出的结论，
你发现了什么规律？
能用字母表示这个规律吗？问题3：表示的规律中的字母都可以是什么数即有什么限制条件吗？探究学习:二次根式性质的探究 对于被开方数开方开不尽时，我们的公式也一样成立吗?公式仍成立： 请同学们判断下列等式是否成立?（√）（√）（×）例1 化简：解：例题解析:化简二次根式最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式二次根式成为最简二次根式的条件是：探究学习:最简二次根式的概念Ｃ巩固训练:化简二次根式巩固训练：
下列二次根式中，是最简二次根式的（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．例2 化简：例题解析:化简二次根式的提升例2 .化简：例题解析:化简二次根式的提升------被开方数50分解为平方数25与2的乘积．------求出最简结果．巩固练习：
化简：（１） ；
（２） ；
（３） ．
．巩固训练:化简二次根式的提升 通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？先想一想，然后小组内说一说，再分享给大家． A组：
1．下列根式一定是最简二次根式的是（ ）．2．在①中一定是二次根式的有（ ）个．3.若 为二次根式，则m的取值为（ ）
A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞25．化简：⑴ (2) (3) (4)； ⑶（４）A. B. C. D.A.１个 B.２个 C.３个 D.４个加油，你是最棒的！DBA1达标检测:本节知识的综合落实B组：１．判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正：
２*．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）．
A．１ B．－１ C．—2a D. 2a-1达标检测:本节知识的提升（不成立）（不成立）Ａ作业布置必做题：
课本43页，习题2.9第1题（2）（4）（7）（8），第2题． 祝愿同学们：象雄鹰一样
飞的更高，
飞的更远！ 2.7.1二次根式测评练习
A组：
1．下列根式一定是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在①，②，③，④，⑤，⑥中，⑦
一定是二次根式的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．化简：(1)；(2)； (3)．
B组：
判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正.
（1）=×；
（2） ==2（a为任意实数）．
参考答案：
Ａ组：
1.Ｃ；2.Ｂ；3.(1)15；(2)；(3)．
Ｂ组：
解：(1)不成立．因为被开方数不能为负，、无意义．
改正：==6．
(2)不成立．因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取值范围是不等于零的任何实数．
2.7.1二次根式教学设计
教学目标：
知识与技能：（1）了解二次根式和最简二次根式的概念，掌握二次根式的双重非负性特点．
（2）探索并掌握二次根式的性质，会利用二次根式的性质化简二次根式．
过程与方法：引导学生认识从特殊到一般的认知规律，大胆猜测结果，从例子中归纳出一般适用方法．
情感态度与价值观：通过探索规律，培养学生学习的主动性，使学生敢于探索，鼓励学生大胆猜想，积极与他人交流，增强学习数学的信心．21·cn·jy·com
教学重点与难点：
重点：探索二次根式的性质，掌握二次根式化简的方法.
难点：利用二次根式的性质化简二次根式．
教法与学法：
本节课主要采取情境导入法、目标导学法、启发式教学法、讲练结合法，多媒体直观教学法．学法采用自主学习与合作探究相结合的学习方法，采取“兵教兵”的方式，充分发挥学习小组的作用，提高学习积极性和参与度．运用灵活多变、循序渐进的教学手段，多指导启发，多鼓励肯定，多元化评价，突出学生主体地位，教师主导作用，教学相长，实现教学目标，增强数学学习和应用意识.．
（课前准备：多媒体课件，教材．）
教学过程:
本节课设计了六个教学环节．第一环节：复习回顾，导入新课；第二环节：探究学习，感悟新知；第三环节：例题解析，应用新知；第四环节：回顾反思，提炼升华；第五环节：达标检测，反馈提高；第六环节：布置作业，课堂延伸．2·1·c·n·j·y
教学过程:
一、复习回顾，导入新课
活动内容１：初步感受二次根式产生的意义及应用
前面我们学习了勾股定理和平方根等内容，请利用所学知识回答下列问题．（多媒体出示问题）
问题1： 11的算术平方根是多少？
问题2： 面积为a（a＞0）的正方形的边长是多少？
问题3：直角三角形的两直角边分别是1和2，则斜边是多少？
问题4：上述式子有什么共同特征？
处理方式：学生应容易得知前三个问题答案，直接口答完成，教师在黑板上板书结果分别是：，（a＞0），．随即教师再给出下面的几个例子，，（其中b=24,c=25），形成一组式子，让学生观察总结它们的共同特征，通过问题4的解决（都是开平方运算，并且被开方数都是非负数），从而引出新课题．
设计意图：利用学生已学过的算术平方根，正方形的边长，直角三角形边的长度等实际问题给出二次根式的例子，既符合学生的认知规律，又让学生对知识有熟悉感，进而有学习的信心和兴趣，熟悉中又提出新问题，激发学生的求知欲，同时让学生体会二次根式产生的实际意义和广泛应用，同时也让学生感到学数学是学有所用的，为新课的学习做好铺垫．
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：二次根式概念的探究
像这样的式子就是我们本节课要学习的二次根式（板书课题）．首先我们认识一下什么叫二次根式．（给出概念）21世纪教育网版权所有
二次根式概念：一般地， 形如的式子叫做二次根式．a叫做被开方数．
请同学们结合二次根式的概念回答下面的问题．
问题1：你认为一个式子是二次根式应满足几个条件？
问题2：判断下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
，，，（x>0），， ，，，（x≥0，y≥0）．
问题3：当是多少时，二次根式在实数范围内有意义，其中的最小整数值是多少？
问题4：时结果一定是什么数？
参考性答案：
1．二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数a是非负数．
2．二次根式有：，（x>0），，，，（x≥0，y≥0）；
不是二次根式的有：，，．
3、由二次根式定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，即时，才能有意义，的最小整数值是１．21cnjy.com
4、时，结果一定是非负数．
处理方式：点出课题后，二次根式的概念直接给出，然后引导性的4个问题放手给学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评．点拨内容为：问题（1）师强调被开方数的条件；问题（2）给学生说明二次根式中a可以是数，可以是代数式；问题（4）指出二次根式的双重非负性．问题解决了，对于定义的理解和应用就水到渠成的完成了．【来源：21·世纪·教育·网】
设计意图：概念直接给出，是为留更多的时间让学生通过自主探究、合作交流，通过问题的解决加深对二次根式的认识和理解，比空洞的讲解文字定义更直观具体，易于理解接受．对于问题４二次根式的双重非负性，起到过渡作用，为二次根式性质的探究作了铺垫．
活动内容２：二次根式性质的探究
二次根式除了具有双重非负性外还具有其它的什么性质呢？（多媒体出示）
（1）请同学们先计算下列式子，然后回答下面的问题：
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ．
问题1：观察上面的结果，你可以得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：字母表示的规律其中的字母可以是什么数，有什么限制条件吗？
答案：１．每组式子对应相等；
２．；
３．．
（2）同学们有没有发现我们计算的这些被开方数都是能开方开得尽的数，那对于被开方数开方开不尽时，我们的结论也一样成立吗？请同学们大胆猜想一下，然后通过完成下面的问题验证你的猜想是否正确．（多媒体出示）21*cnjy*com
用计算器计算：＝ ， ＝ ； ＝ ，＝ ．
处理方式：学生在学案上独立计算，然后展示结果，问题由小组讨论交流，互相补充．教师将相等的两个算式用等号连接，最终归纳出（，），（，ｂ＞0 ），得出二次根式的性质，教师随即板书，适时点拨指导．点拨性语言例如：公式中字母a≥0，b≥0（或b＞0）这条件是公式的一部分，不应忽略；二次根式性质可用文字语言叙述为积的算术平方根等于积中各因式算术平方根的积，商的算术平方根等于算术平方根的商．21教育网
设计意图：通过具体的简单的数字运算，快速直接的得出结果，然后通过学生的讨论、交流、猜想、验证等探究过程最后归纳总结出二次根式的性质（a≥0，b≥0），（a≥0， b＞0）．问题分为两组即被开方数开的尽的数和被开方数开不尽的数，是为最简二次根式做铺垫，同时渗透探索规律的一般方法由特殊到一般．
三、例题解析，应用新知
活动内容1：利用性质化简二次根式．
我们为什么要学习二次根式的性质呢？是为了用二次根式性质去化简二次根式．下面请同学们试着将几个二次根式进行化简．（多媒体出示）www-2-1-cnjy-com
例1 化简：
（1）；（2）；（3）；（4）．
参考答案：
解：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
处理方式：第(1)题教师分析示范，规范做题格式，（2）（3）（4）题找3个学生在黑板前板书，其余学生在学案上完成．校正答案时，教师可进行有针对性的提问，让学生明确公式中的a、b在中分别指什么，让学生进一步理解并规范如何用二次根式的性质化简二次根式．尤其（４）题教师点拨公式的拓展（，，），并板书公式拓展．2-1-c-n-j-y
设计意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里例题直接利用性质化简二次根式，顺理成章的呈现了下一环节中二次根式的概念．
活动内容２：最简二次根式的概念探究．
问题：大家会利用二次根式的性质将二次根式化成简单的形式，化简结果有整式，有二根式．观察化简结果中二次根式中的被开方数又有什么特征？
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
处理方式：提出问题，学生共同观察化简结果，讨论交流，逐步总结最简二次根式的概念，教师及时板书最简二次根式概念，并强调满足的2个条件．最后点拨学生二次根式化简的结果应为整式，最简二次根式．【来源：21cnj*y.co*m】
设计意图：通过经历化简的过程后，观察结果，思考总结得出结论即二次根式的的概念，让学生养成学后善于反思总结的好习惯．【版权所有：21教育】
巩固训练１：
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）.
A． B． C． D．
2.计算：
（1）；（2）；（3）．
处理方式：（１）直接学生判断口答，（２）学生练习本上完成，然后个别投影展示．
设计意图：（１）直观的判断最简二次根式，（２）是让学生亲自动手体验化简成功后的快乐．
活动内容3：二次根式化简的提升．
例2 化简：
（1）；（2）；（3）．
答案：（1）；
（2）；
（3）=．
问题1：你怎么发现含有开得尽方的因数的？你怎么判断是最简二次根式的？
问题2：将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流．
处理方式：让三名学生到黑板板演，其他学生在学案上完成．教师巡视，学生完成后展示学生出现的问题，进行矫正及时点评点拨．题(1)说明含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略乘号．）；(2)小题指出第二步需要分母有理化，简要讲解分母有理化；(3)小题可据学生情况可适当的的拓展练习归纳．点拨性语言例如：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号前面．从而明确：被开方数若有开得尽方的因数，一般需要进行化简．二次根式化简后结果可以是整式，最简二次根式，根式中不含分母，分母中不含根号等最简形式．www.21-cn-jy.com
设计意图：进一步巩固利用二次根式的性质化简二次根式，再一次规范做题格式．
巩固训练2：
化简：（1）；（2）；（3）；（4）．
处理方式：学生思考并独立完成．请4位学生黑板上扮演过程，其余学生学案上完成．教师巡视，学生完成后让学生对板演的同学进行评价，教师点评表扬．展示出现的问题，进行矫正及时点拨，点拨性语言例如：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数．②被开方数为带分数时，还要先化为假分数，是直接开不尽的小数时，要化成分数再利用性质化简．21教育名师原创作品
设计意图：通过巩固练习加深对知识的理解与应用，规范解题格式，培养学生举一反三灵活转化的能力．
四、回顾反思，提炼升华
师：有句话说得好“行成于思而毁于随”．.下面请同学们思考一下通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识，同时再指出本节课的重难点，学习更明确．
五、达标检测，反馈提高
师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）21*cnjy*com
A组：
1．下列根式一定是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．在①，②，③，④，⑤，⑥中，⑦
一定是二次根式的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．化简：(1)；(2)； (3)．
B组：
判断下列等式是否成立？若不成立，请说明理由并改正.
（1）=×；
（2） ==2（a为任意实数）．
参考答案：
Ａ组：
1.Ｃ；2.Ｂ；3.(1)15；(2)；(3)．
Ｂ组：
解：(1)不成立．因为被开方数不能为负，、无意义．
改正：==6．
(2)不成立．因为a作为分母不能为零，所以a不能为任意实数，即a的取值范围是不等于零的任何实数．
处理方式：学生独立完成后，出示优秀生答案，指导学生校对答案，互相批改，并统计学生答题情况．根据学情进行点拨，然后留时间让学生纠错整理．21·世纪*教育网
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．试题分层，对学生培优补差，充分体现不同的人学不同的数学．【出处：21教育名师】
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本43页，习题2.9第1题（2）（4）（7）（8），第2题．
选做题：1．课本43页，习题2.9第4题．
2．（探究题）化简下列两组式子：
①=＿，=＿； ②=＿，=＿；
③=＿，=＿； ④=＿，=＿．
你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流． 请再任意先几个数验正你发现的规律．
同学们，数学需要大家在勇敢地探索，不断地质疑中学习，同时还要脚踏实地、仔细认真的落实所学知识，知行合一，进步更快．在本节课的学习中大家给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！希望大家能在课下把我们所学的知识落实好，认真完成作业．
板书设计：
§2.7二次根式(1) 作业：
二次根式的概念
最简二次根式的概念
二次根式的性质：
例1化简：
解：(1)
(2)
（3）
（4）
例2 化简
解：(1)
(2)
（3）
学 生 活 动 区
