2018高考数学最后一个月专题2.4+立体几何解答题（文）

典例4　(本小题满分12分)(2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.21cnjy.com
OD′＝.
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B－D′A－C的正弦值.
审题路线图(1)利用比例关系＝可得AC∥EF由勾股定理D′H2＋OH2＝D′O2D′H⊥OHD′H⊥平面ABCD.21·cn·jy·com
(2)以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H－xyz平面ABD′的一个法向量m＝(4，3，－5)平面ACD′的一个法向量n＝(0，－3，1)二面角B－D′A－C的正弦值是.
规 范 解 答·分 步 得 分
构 建 答 题 模 板
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，OH，EF?平面ABCD，
所以D′H⊥平面ABCD.6分
所以可取m＝(4，3，－5).9分
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的一个法向量，则
即
所以可取n＝(0，－3，1).10分
于是cos〈m，n〉＝＝＝－.
sin〈m，n〉＝.
因此二面角B－D′A－C的正弦值是.
12分
第一步：利用平面几何性质，得AC∥EF.
第二步：借助数学计算，证明D′H⊥OH.
第三步：根据线面垂直的判断定理，得D′H⊥平面ABCD.
第四步：依题设建系，确定相关点、直线方向向量的坐标.
第五步：分别计算求得平面ABD′与平面ACD′的法向量.
第六步：由法向量夹角的余弦，得到二面角的正弦值.
评分细则　(1)第(1)问证出AC∥EF给2分；通过D′H⊥OH证线面垂直给2分，缺1个条件扣1分；利用线面垂直的判断定理证D′H⊥平面ABCD同样给分；21世纪教育网版权所有
(2)第(2)问建立空间直角坐标系时缺少条件扣1分；求法向量每个2分；最后由法向量夹角的余弦，得到二面角的正弦值1分，缺少条件不扣分．21教育网
跟踪演练4　(2017·天津卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.www.21-cn-jy.com
(1)求证：MN∥平面BDE；
(2)求二面角C－EM－N的正弦值；
(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

(3)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，进而可得＝(－1，－2，h), ＝(－2，2，2).
由已知，得|cos〈，〉|＝
＝＝，
整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝，或h＝.
所以，线段AH的长为或.