2018小升初数学热点题型 八 探索与发现∣全国通用（含解析）

【精品】2018小升初数学热点题型 |全国通用
八 探索与发现
【要点归纳】
探索规律
探索规律之---算式中的规律
【重点】在数学算式中探索规律，应先观察算式特点，再根据结果的特点，从而根据规律完成这一类题。
如：1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321
11111×11111=
此算式中的特点是:每个算式中的两个因数各数位上的数字都是1，且个数相同。积的特点是积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始至某个数字（此数字即因数的位数），后半部分是从比这个数字少1的数写至1.
探索规律之---数列中的规律
【重点】按一定次序排列的一列数叫数列。
1.规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中，如：1,2,3,4,5,6......相邻两数差为1；1,2,4,8,16,32......相邻两数为2倍关系。21教育网
2.前后几项为一组，以组为，每个单位找关系才可以找到规律，如3,1,0,3,1,0,3,1,0......从左往右，每三项一组；1，1,2,3,5,8,13......从第3个数开始，每个数都是与它相邻的前两个数的和。www-2-1-cnjy-com
3.需将数列本身分解，通过对比才能发现规律，如：12,15,17,30,22,45,27,60，......第1,3,5，...项依次相差5，第2,4,6，...依次相差15.
（三）探索规律之---数图形中的规律
【重点】解答数图形中的题目，要按着一定顺序数，做到不遗漏、不重复。数线段的一般规律公式是:（n-1）+...+2+1（n为线段的总端点数），也可记作（n-1）n。在数角、三角形、长方形等图形的个数时，有时候与数线段的条数联系起来思考。一般情况下，长方形的个数可以用公式“长边上的线段条数×宽边上的线段条数=长方形的个数”，数正方形的个数可以用“n×n+（n-1）（n-1）+...+2×2+1×1”（n为正方形一边上的小格数）。【出处：21教育名师】
（四）探索规律之---方阵中规律
【重点】方阵问题一般分为：实心方阵和空心方阵两种。特点是：方阵每边的人或物的数量相等；相邻两层每边上的数量相差2，即四边形四条边上的数量差8.
1.方阵中每边数与四周数之间的数量关系式为：四周数=（每边数-1）×4，每边数=四周数÷4+1.
2.实心方阵的数量关系为：总数=外层每边数×外层每边数。
3.空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数-层数）×层数。
（五）探索规律之---周期中的规律
【重点】解答周期问题的关键是找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环的，可以从总量中减掉不循环的个数后，再继续计算。如：一串数字3,0,1,8,3,0,1,8,3,0,1,8，...中，3,0,1,8四个数有规律的循环出现。
（六）探索规律之---搭配中的规律
【重点】搭配问题的解题思路类似与乘法原理，即做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同方法......做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事有N=m1×m2×......×mn种不同方法。
发现解决问题的策略
策略一---画图
【重点】1.通过画图列举出所有的情况；2.通过画图直观理解所学内容；3.通过画图分析数量间的关系。
策略二---列表
【重点】1.通过列表整理信息，进行推理；2.通过列表分析数量间的关系，寻找规律。
（三）策略三---猜想与尝试
【重点】通过猜测问题所有可能的情况，并对这些情况分别进行检验，最终得到问题的结果。
（四）策略四---从特例开始找规律
【重点】把复杂的问题简单化，使复杂的问题得以解决。
解决实际问题的过程中用到的策略不止上述这些，还有逻辑推理、列方程、转化法、倒推法......有时候会用到两种或两种以上的多种策略。
【热点题型】
例1 有一列数：1,2,3,2,1，2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4，...这列数中，第2016个数是多少？第2018个数呢？ 2·1·c·n·j·y
【答案】（1）第2016个数是404 （2）第2008个数是406
【解题思路】通过观察这列数，发现规律是：每5个一组，各组的首、尾数与它们所在的组数相同，并且每相邻的两组中，后一组的5个数分别比前一组相对应的数多1，而每个组的5个数的排列是对称的，要求第2016个数是多少，只要确定它在第几组就可以了。
【全程解析】（1）2016÷5=403......1，则第2016个数是第404组的第一个数，这个数为404 （2）因为2016个数是第404组的第一个数，所以第2008个数为406.
【考点点拨】本题主要考查学生通过过程数列找出其中的规律，小升初考试中的难点题型之一，难度系数 难。
例2 数出下列图形中长方形的个数分别是多少。
A B A1 B1 A2 B2

D C
D1 C1
D2 C2
甲 乙 丙
【答案】甲图中长方形个数是6个 乙图中长方形的个数是18个 丙图中长方形的个数是36个。
【解题思路】一般情况下，长方形的个数可以用公式“长边上的线段条数×宽边上的线段条数=长方形的个数”，并且与数线段的条数联系起来。甲图中长边的线段有6条、宽边的线段有1条，故长方形的个数=6×1=6（个）同理可得乙图中、丙图中的长方形个数【来源：21·世纪·教育·网】
【全程解析】甲图中的长方形个数=6×1=6（个） 乙图中的长方形个数=6×3=18（个） 丙图中的长方形个数=6×6=36（个）
【考点点拨】本题主要考查学生通过数图形中的长、宽边的线段条数，根据算式分别求出各图形中的长方形个数，难度系数 较难。
例3 小明在正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，最外层每边有多少个棋子？如果把整个棋盘摆满，还需要多少个棋子？
【答案】最外层每边有11个棋子 还需要81个棋子
【解题思路】首先根据“每边的个数=总数÷4+1”求出每边的棋子数，再根据“每向里一层每边棋子减少2”，求出从外边数第二层中每边各有多少棋子。利用求实心方阵总数的方法就可以求出还需要多少棋子。
【全程解析】最外层每边棋子数=40÷4+1=11（个） 第二层每边棋子数=11-2=9（个） 还需要棋子数：9×9=81（个）
【考点点拨】本题主要考查利用方阵中每边数与四周数之间的数量关系，实心方阵的数量关系，空心方阵的数量关系求实心或空心方阵的人数或物体数量，难度系数 较难。
例4 学校六年级开设数学和科技两个兴趣小组，参加数学兴趣小组的人数有16人，参加科技兴趣小组的有20人，两个兴趣小组都参加的有5人。两个兴趣小组一共有多少人？ 16人 20人
【答案】答：两个兴趣小组一共有31人. 5人
【解题思路】如图可知：有5人既参加了数学兴趣
小组，又参加了科技兴趣小组，即在16人中包含有这5人，在20人中也包含这5人。重复包含的5人加了两次，故解题时需要减去重复计算的5人即可。
【全程解析】一共的人数=16+20-5=31（人）。
【考点点拨】本题主要考查学生通过画图列举出所有的情况，直观理解题目内容，结合图形分析清楚各数量间的关系，是小升初的易考题型之一，难度系数 稍难。
例5 赵、丁、钱三人中，一位是工人，一位是教师，一位是农民。已知（1）赵比教师体重重；（2）钱和教师体重不同；（3）赵和农民是朋友。你能猜出谁是
工人，谁是教师，谁是农民吗？
【答案】赵是工人 丁是教师 钱是农民
【解题思路】解决此类题目，可先列表，然后根据表格进行推理判断。
【全程解析】根据下表（1）（3）可知：赵是工人；再根据（2）可知：和“赵是朋友”可以判断出钱是农民，那么丁一定是教师。
工人
农民
教师
赵
√
×
×
丁
×
×
√
钱
×
√
×
【考点点拨】本题主要考查学生利用列表法和推理法两个知识点解决问题，难度系数 较难。
【易错诊断】
例1 乒乓球双打比赛，运动员情况如下：（1）关超比李明年轻；（2）赵琦比他的两个对手年龄大；（3）关超比张辉大；（4）李明比赵琦大。请分析一下他们四个人的年龄顺序（从大到小），判断谁是谁的伙伴。
【错解】李明 关超 赵琦 李辉；李明与赵琦是伙伴，关超与张辉是伙伴。
【错误辨析】此题没有认真审题，对题中条件考虑不全面。从条件（1）（4）可知：李明年龄大一些；又从（2）看出赵琦的对手不可能是李明，因为赵琦比李明小；所以赵琦的两个对手应是关超和张辉，他们俩是伙伴、李明和赵琦是伙伴；又从（4）中可知：四人年龄的大小。
【正确答案】他们四个人的年龄顺序：李明、赵琦、关超、张辉；其中李明与赵琦是伙伴，关超与张辉是伙伴。
【考点点拨】本题是考查学生逻辑推理能力，难度系数 难。
例2 学校举行运动会，三年一班参加跳绳比赛有18人，参加踢毽比赛的有19人，既参加跳绳又参加踢毽的有6人，参加两项比赛的共有多少人？
【错解】18+19=37（人）
答：参加两项比赛的共有37人.
【错误辨析】主要错误在于解题时，没有将重复计算的人数减去，因为有6人是两项比赛都参加的，所以在计算时应该减去重复部分。2-1-c-n-j-y
【正确答案】18+19-6=31（人）。
【考点点拨】本题主要考查学生在解决问题时要分析清楚各数量间的关系，把重复计算的因素考虑进去，是小升初的易考题型之一，难度系数 稍难。
例3 在公路两边按树间距8米栽树1402棵，如果两端都栽，那么这条公路长（）米。
A.5600 B.5616 C.5608 D.5806
【错解】选C
【错误辨析】两端都栽，间隔数找错了，不能是1402÷2×8=701×8=5608（米），应该是间隔数=棵数-1.【来源：21cnj*y.co*m】
【正确答案】1402÷2-1=700（个） 700×8=5600（米） 谷正确答案选A。
【考点点拨】本题主要考查学生关于植树问题中各种变形题的综合分析问题与解决问题的能力，小升初考试中常见易考的难点题型之一，难度系数 稍难。
例4 果园里有梨树120棵，杏树的棵数是桃树的，桃树的棵数是梨树的，杏树有多少棵？
【错解】120××=75×=100（棵）
【错误辨析】本题错在连续求一个数的几分之几的应用题运算顺序错误。解题中错找了单位“1”，应该是先把梨树看成单位“1”求出桃树后，再把桃树看成单位“1”求出杏树即可。【版权所有：21教育】
【正确答案】120××=160×=100（棵）
答：杏树有100棵.
【考点点拨】本题主要考查学生解分数应用题时的单位“1”确定以及解题过程中的运算顺序，(不要误以为结果正确即可，这一点应引起学生高度注意)，此题型为小升初常见易考题目之一，难度系数 适中。
例5 15个同学在操场上围成一圈做游戏，每相邻两个同学之间的间距都是2米，这个圆的周长是多少米？
【错解】（15-1）×2=28（米）
【错误辨析】解决植树问题的方法不灵活，15个同学围成一圈，相当于圆形植树问题，而圆形植树属于直线植树只有一端栽树的问题，也就是间隔数=棵数。15个同学就是15个间隔，每个2米。
【正确答案】15×2=30（米）
【考点点拨】本题也是考查学生关于植树问题的各种类型的灵活应变分析及解题能力，是小升初常见易考难点题型之一，难度系数 适中。
【趁热打铁】
一、填空欢乐谷
1.妈妈带明明上公园，明明挑选了2件上衣和3条裤子，如果进行搭配，有（ ）种不同的穿法。
2.6名同学进行乒乓球比赛，如果每2名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（ ）场。
有一架天平和1克、2克、5克的砝码各一个，用这3个砝码在天平上能称出（ ）种不同重量的物体。
饲养小组笼中共有鸡兔100只，总腿数是344条，那么，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。
2元一张的人民币和5元一张的人民币共63张，共计171元，2元一张的人民币有（ ）张，5元一张的人民币有（ ）张。
一张桌子32元，一把椅子24元，现在买桌子和椅子共38件，付款1096元，买桌子（ ）张，买椅子（ ）把。
老师教小朋友练习投篮，如果投中一次，老师奖给小朋友3个笑脸，如果投不中，则退给老师2个，小明共投10次，得到15个笑脸。则小明有（ ）次没有投中。
男、女生各一人踢毽子，女生先踢1分钟，然后男生、女生各踢2分钟，一共踢了325个，已知女生比男生每分钟多踢15个，则男生每分钟踢（ ）个，女生每分钟踢（ ）个。
电影院有座位2000个，前排票价是每张4角，后排票价是每张2角5分。已知前排票比后排票的总价少110元，该电影院前排有座位（ ）个，后排有座位（ ）个。21*cnjy*com
“？”处应该填什么图形。



？
二、判断快车
1.明明家到学校有两条路，学校到公园有三条路，那么，明明家经过学校到公园，一共有5种不同的走法。（ ）
2.5个茶杯的价钱分别是8角、6角、5角、4角和3角，3个茶盘的价钱是9角、7角和2角，如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成11种不同价钱的茶具。（）
3.按规律填空：1、3、7、15、31、（ ）。括号里应填51.（ ）
4.一批钢材，用小卡车装，需45辆；用大卡车装，需36辆。已知每辆大卡车比小卡车多装4吨，这批钢材共有720吨。（ ）
5.智力测验有10道题，每答对一道得3分，每答错一道扣2分，小红答完了10道题，只得了20分，她答对了10道题。（ ）
三、选择超市
1.鸡、兔同关在一个笼子里，共有48个头，100只脚，问鸡有多少只，下面列式正确的是（ ）。
A.（4×48-100）÷（4-2） B.（100-2×48）÷（4-2）
C.48-（4×48-100）÷（4-2） D.100÷2-48
2.3,5,7,9,17,33,65，（ ）。按规律填空，括号里应填（ ）。
A.71 B.81 C.96 D.129
3.老师带领同学们去看电影，共买了甲、乙两种电影票50张，其中甲票每张5元，乙票每张3.5元，共花了196元。那么买甲票（ ）张。
A.10 B.14 C.12 D.13
4.观察下图，找出变化规律，说出第117个字母是（ ）。
LTFHLTFHLTFH......
A.L B.T C.F D.H
5.50元1千克的茶叶和80元1千克的茶叶共10千克，一共用去710元。两种茶叶各有（ ）。
A.3千克和7千克 B.5千克和5千克
C.4.5千克和5.5千克 D.4千克和6千克
6.某商店托运50箱啤酒，合同规定每箱运费20元，若损坏一箱，除了不给运费外，还要赔偿损失100元，运后结算时共付运费760元，问损坏了几箱啤酒？列式正确的是（ ）。21教育名师原创作品
A.（20×50-760）÷（100-20） B.（20×50-760）÷（100+20）
C.（100×50+760）÷（100-20） D.（100×50+760）÷（20+100）
四、解答竞技场
1.有若干个猎手带若干只狗去打猎，数头一共360，数腿一共890，有多少猎手，有多少只狗？
2.兰兰、小月、小英和东东四人画鸡，每人画一只，有黑公鸡、白公鸡、黑母鸡、白母鸡。又知：（1）兰兰画的鸡正在啼；（2）小月与兰兰画的鸡都是黑色；（3）小英和小月画的都是母鸡。问白公鸡是谁画的？21*cnjy*com
3.一元钱买了8分邮票和4分邮票一共17张，买的4分邮票和8分邮票相差多少张？
4.甲、乙两人进行射击比赛，约定是每中一发记8分，脱靶一发扣3分，两人各打10发子弹，共得116分，其中甲比乙多22分，问甲、乙各中多少发？
5.松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天中有几天下雨？
五、闯关我能行
1. 4个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满四个人的水桶所需时间分别是5分、4分、3分、6分。现在只有一个水龙头可用。问按怎样的顺序，可使4人总的等候时间最短？这个时间是多少？
2.如图所示，有四个正方体，每个正方体的六个面上的ABCDEF六个字母的排列顺序相同，F对面的字母是（ ）

B A F D
E
F D C F
【趁热打铁】
答案及解析
填空欢乐谷
1.【答案】6
【解析】本题是用画图法解决问题知识点的运用。以一件上衣和一条裤子搭配的方法搭配，先选定一件上衣，再与三条裤子分别搭配，用画图法表示如下：
1号裤子 1号裤子
1号上衣 2号裤子 2号上衣 2号裤子
3号裤子 3号裤子
2.【答案】15
【解析】本题是对列表法解决问题和从特例开始寻找规律两个知识点的综合运用，把每个参赛者都抽象成一个点，用两点间的线段表示每场比赛。数线段的一般规律公式是:（n-1）+...+2+1（n为线段的总端点数），也可记作（n-1）n。故比赛场次=×（6-1）×6=15（场）。21cnjy.com
3.【答案】7
【解析】本题是对数字组合问题知识点的运用。1克、2克、5克分别可以称1克、2克、5克、3克、6克、7克、8克一共7组称法。
4.【答案】28 72
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼知识点的综合运用。可以用假设法解答。题中假设100只都是兔，那么鸡的只数=（100×4-344）÷（4-2）=28（只），兔的只数=100-28=72（只）。
5.【答案】48 15
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼知识点的综合运用。可以用假设法解答。题中假设63张都是5元的，那么2元的张数=（63×5-171）÷（5-2）=48（张），5元的张数=63-48=15（张）。
6.【答案】23 15
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。可以用假设法解答。题中假设买的38件都是桌子，那么椅子的把数=（38×32-1096）÷（32-24）=15（把），桌子的张数=38-15=23（张）。
7.【答案】3
【解析】本题可以采用列方程的方法解决问题。设没投中的x次，则投中的是（10-x ）次 依题意 可得3（10-x）-2x=15 解得x=3.
8.【答案】600 1400
【解析】本题可以采用列方程的方法解决问题。设前排的座位数x个，则后排的座位数是（2000-x）个 依题意 可得2.5（2000-x）-4x=1100 解得x=600
后排座位数=200-600=1400（个）。
9.【答案】
【解析】本题通过观察图形可以发现第三幅图都是把第二幅图形镶嵌在第一幅图形中，由此可以判断？处应该是 。
判断快车
1.【答案】×
【解析】本题也是搭配问题知识点的运用。明明家到学校的两条路可以分别与学校到公园 的三条路组合。此类问题可以用公式进行计算，即2×3=6（种）不同走法。故本题结论是错误的×。
2.【答案】√
【解析】本题与上一题的思路是一样的，也是搭配问题知识点的运用。搭配的方法一共是5×3=15（种），搭配和的价格分别是：17、15、10、15、13、8、14、12、7、13、11、6、12、10、5，可以看出搭配后价格相同的一共有4组，重复部分去掉4个。故本题结论是正确的√。
3.【答案】×
【解析】本题是数列中的规律知识点的运用，规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。通过观察可以发现这组数据中后一项依次比前一项多2、4、8、16...，所以下一项应该多32，也就是括号里应该填63，故本题结论是错误的×。
4.【答案】√
【解析】本题利用列方程解决问题。设每辆小卡车装钢材x吨，则大卡车是（x+4）吨。依题意 可得：36（x+4）=45x 解得x=16 所以16×45=720（吨）。故本题结论是正确的√。
5.【答案】×
【解析】本题利用列方程解决问题。设答对x道，则答错的是（10-x）。
依题意 可得3x-2（10-x）=20 解得x=8 故本题结论是错误的×。
选择超市
1.【答案】A
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼知识点的综合运用。可以用假设法解答。题中假设48个头都是兔，那么鸡的只数=（48×4-100）÷（4-2）（只），故本题的正确答案选A。21·cn·jy·com
2.【答案】D
【解析】本题是探索规律之---数列中的规律，规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中。通过观察可以发现这组数据中后一项依次比前一项多2、2、2、8、16、32...，从第五项开始，下一项比前一项依次增加8的倍数，所以65后面下一项应该多64，即64+65=129，故本题正确答案选D。
3.【答案】B
【解析】本题可以采用列方程的方法解决问题。设买甲票x张，则买乙票（50-x）张。依题意 可得5x+3.5（50-x）=196 解得x=14 故正确答案选B。
4.【答案】A
【解析】探索规律之---数列中的规律，前后几项为一组，以组为，每个单位找关系才可以找到规律。本题通过观察分析变化规律是每4个字母为一次循环分别是L T F H...，所以下一个字母应该是L，故正确答案选A。
5.【答案】A
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。可以用假设法解答。假设10千克茶叶都是80元1千克，50元1千克的有（80×10-710）÷（80-50）=3（千克）那么80元的茶叶是10-3=7（千克），故正确答案选A。21世纪教育网版权所有
6.【答案】B
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。可以用假设法解答。假设一箱都没有损坏则实际损坏的箱数=（50×20-760）÷（100+20）（箱），故正确答案选择B。
解答竞技场
1.【答案】猎手275个 狗85只
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。可以用假设法解答。假设360头都是狗，则猎手是（360×4-890）÷（4-2）=275（个），那么狗的只数=360-275=85（只）。
答：有275个猎手，有85只狗.
2.【答案】白公鸡是东东画的
【解析】解决此类题目，可先列表，然后根据表格进行推理判断。
兰兰
小月
小英
东东
黑公鸡
√
√
×
白公鸡
√
×
×
黑母鸡
×
√
√
白母鸡
×
×
√
通过（1）、（2）可知兰兰画的是黑公鸡、小月画的是黑母鸡；通过（2）、（3）可知小月是黑母鸡，小英画的一定是白母鸡；所以剩下的的白公鸡一定是东东画的，故正确答案是白公鸡是东东画的。www.21-cn-jy.com
3.【答案】1张
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。可以用假设法解答。假设买的17张邮票都是8分的，则买的4分邮票的张数=（17×8-100）÷（8-4）=9（张），那么8分的邮票=17-8=9（张）9-8=1（张）。
答：买的4分邮票和8分邮票相差1张.
4.【答案】甲中9发 乙中7发
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。可以用假设法解答。甲得分=（116+22）÷2=69（分），乙得分=69-22=47（分）。假设甲中了10发，则没中的是=（10×8-69）÷（8+3）=1（发），则甲中了10-1=9（发）；同理，假设乙中了10发，则没中的是=（10×8-47）÷（8+3）=3（发），则乙中了10-3=7（发）。21·世纪*教育网
5.【答案】6天
【解析】本题是对猜想与尝试解决问题和鸡兔同笼（相同）知识点的综合运用。先求出一共有几天：112÷14=8（天）。假设8天都是晴天，则雨天有=（20×12-112）÷（20-16）=6（天）。
闯关我能行
1.【答案】3×4＋4×3＋5×2＋6=40（分）
【解析】这是一道合理安排时间的题目，也是统筹与规划的题目。因为每个人的打水时间一定，要使每个人排队和打水时间的总和最小，就要使每个人的等候时间最短。如果让打水时间最长的人先打，其余3个人等候的时间就长，所以就要让打水时间最少的人先打，依次顺序打水，这样等候时间总和最短。即先安排用3分钟的打水，其他3人各等候3分钟，共需3×4分钟，再安排用4分钟的打水，其他2人需要各等候4分钟，共需4×3分钟，依次计算.....
所用总时间为：3×4＋4×3＋5×2＋6=40（分）
2.【答案】A
【解析】这是一道推理题，要知道F对面字母是什么，只要知道哪些字母与它相邻就可以啦。通过图形可知与F相邻的分别是：F--B F--C F--D F--E 所用F对面是A。