2018小升初数学热点题型 三 式与方程∣全国通用（含解析）

【精品】2018小升初数学热点题型 |全国通用
三 式与方程
【要点归纳】
代数式的写法。
【重点】1.代数式--像x，2x+y，ab，2（a+b），等这样用加减乘除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。21教育名师原创作品
2.代数式的书写要求:
（1）在代数式中字母与字母相乘时，乘号通常简写作“?”或者省略不写，如a×b写作“a?b”或“ab”；
（2）相同字母相乘时写成幂的形式，如a?a写成a2；
（3）数字与字母相乘时，数字写在字母前面，乘号省略，如y×10写作“10y”；若数字是带分数，应把带分数变成假分数，如a×1应写作“a”；
（4）数字与数字相乘时，“×”不能省略；
（5）在代数式中出现除法运算时，将被除数作分子，除数作分母写成分数形式，如4÷a写作“”。
【难点】1.一个字母在不同的数量关系中可以表示不同的数量。但在同一个数量关系中只能表示一种数量。
2.a2=a?a，2a=a+a，当a=2或a=0时，a2=2a。
3.代数式中不含“=”“>”“<”“≠”（读作不等号）。
二、等式与方程
【重点】1.等式--表示相等关系的式子；方程--含有未知数的等式。
2.一元一次方程--只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程。
3.根据相关定义正确判断哪些是等式、哪些是方程、哪些是代数式。
【难点】如何辨别“一元一次方程”。（小学阶段只学习了简单的一元一次方程）
【提示】一元一次方程:（1）两边都是整式；（2）只含有一个未知数（3）未知数的次数都是1。三者缺一不可。
三、等式的基本性质
【重点】等式基本性质是解方程的依据。
性质1.等式两边同时都加上（或减去）同一个数（或同一个整式），所得的结果仍然是等式，即如果a=b，那么a+c=b+c。
2.等式两边同时都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍然是等式，即如果a=b，那么ac=bc，=（c≠0）.
3.如果a=b，那么b=a。（对称性）
4.如果a=b，b=c，那么a=c。（传递性）
【难点】在解题过程中，根据等式这一性质，一个量与它相等的量代替，简称等量代换。
方程的解与解方程
【重点】方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值。解方程:求方程解的过程。
简易方程的解法:（1）对于只有一步运算的方程，可以用加、减、乘、除各部分之间的关系求解。对于含有两、三步运算的方程，先根据方程确定运算顺序，再根据四则运算各部分之间的关系求出方程的解。
把求出的未知数的值，分别代入原方程两边计算，如果原方程的等号两边相等，则所求得的未知数的值就是原方程的解。
【难点】对于方程的解与解方程概念的理解。方程的解是一个值；解方程是一个过程。
列方程解决问题
【重点】列方程解决问题的一般步骤。
审--审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
找--找出能够表示问题含义的一个等量关系（可借助示意图、表格）；
设--设未知数；
列--根据等量关系列出需要的式子，从而列出方程；
解--解所列出的方程；
答--检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。
【难点】如何解决列方程的关键问题--确定数量关系
【提示】列方程解决问题时，如果直接设定未知数x不能解决问题时，就尝试采用间接设定未知数的方法来解决。
【热点题型】
例1 省略乘号，写出下面各式。
6×a b×c x×5 b×b m×1 x?y?4
【答案】6a bc b2 m 4xy
【解题思路】解决本题必须十分清楚代数式书写时规则，熟练掌握并理解了正确书写代数式也就不难解决此题了。
【全程解析】1.省略乘号后，必须把数字写在字母前面。2.数字1与任何字母相乘时，可以省略不写。3.b×b可以写成b2。所以正确答案依次分别是
6×a --6a、 b×c--bc 、 x×5--5x、 b×b--b2、 m×1 --m、 x?y?4--4xy
【考点点拨】本题主要考查学生代数式的书写规则，难度低。
例2 填一填。
工地上有a吨水泥，用了b天，共用去2.1吨，照这样的速度，剩下的水泥还能用（ ）天。
甲数是a，乙数比甲数的5倍少19，则乙数是（ ）。
【答案】（1）（a-2.1）÷（2.1÷b） （2）5a-19
【解题思路】（1）要求剩下的水泥还能用多少天，就要知道剩下的水泥和平均每天用多少吨，分别用含有字母的式子表示这两个量，然后相除即可。（2）读懂题目即可解决问题。21*cnjy*com
【全程解析】（1）剩下的水泥=a-2.1（吨），每天用水泥=2.1÷b，所以剩下的水泥还能用的天数=（a-2.1）÷（2.1÷b）；（2）乙数=5×甲数减去19即可，乙数=5a-19.
【考点点拨】本题主要一方面考查能否用字母表示比较复杂一点的数量关系，另一方面考查如何找数量关系，难度中等。
例3 判断下面说法的正误，并在括号里打上“√”或“×”。
1.5x+6是方程 。 （ ） 2.等式就是方程。 （ ）
3.3x=0是方程。 （ ） 4.2x-（2x-3）=3是方程。（ ）
【答案】1× 2× 3√ 4×
【解题思路】解决本题，一定要清楚方程必须具备的条件（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。
【全程解析】1.含有未知数，但不是等式，所以“×”；2.满足了等式的条件，但不一定含有未知数，所以“×”；3.两个条件都满足，3x=0是方程，所以“√”；4.进行简化后变成3=3，不含未知数，所以“×”。21*cnjy*com
【考点点拨】本题主要考查学生关于方程成立的主要条件，难度中。
例4 解方程。
1. 12x-3=8x+17 2. 25.2x÷3=6.3×4
3. 12÷（0.5x-1）=4 4. =
【答案】1.x=5 2.x=3 3.x=8 4.x=3
【解题思路】运用方程的解法的一般步骤进行求解。
【全程解析】解 1. 12x-3=8x+17 2. 25.2x÷3=6.3×4
12x-8x=17+3 25.2x=6.3×4×3
4x=20 25.2x=75.6
X=5 x=75.6÷25.2
X=3
3. 12÷（0.5x-1）=4 4. =
0.5x-1=12÷4 3×（5x-1）=7×6
0.5x-1=3 5x-1=7×6÷3
X=4÷0.5 5x=15
X=8 x=3
【考点点拨】本题主要考查学生方程解法的掌握程度，为小升初常见题型之一，难度中。
例5 列方程解决下面问题。
1. 果品店购进20箱苹果，购进苹果的箱数是橘子箱数的。商店购进了多少箱橘子？
2. 妙想和乐乐一共收集128枚邮票，妙想收集的邮票数是乐乐的3倍。妙想、乐乐各收集多少枚邮票?
【答案】1.商店购进了25箱橘子 2.妙想收集了96枚邮票，乐乐收集了32枚邮票。
【解题思路】在1题中，橘子的箱数是单位“1”，且是未知量，直接设为未知数x，根据“橘子的箱数×=苹果的箱数”列方程解答。在2题中，是一个和倍问题，其中的乐乐的邮票数是单位“1”，且是未知的量，直接设为未知数x，并且可以表示出妙想的邮票数为3x。再根据“妙想的邮票数+乐乐的邮票数=128”列出方程即可解答。
【全程解析】1.解：设商店购进了x箱橘子。2.解：设乐乐收集了x枚邮票，则妙想收集了3x枚邮票。
x=20 3x+x=128
x÷=20÷ 4x=128
X=25 x=32
3x=32×3=96
答：商店购进了25箱橘子. 答：妙想收集96枚邮票，乐乐收集32枚邮票。
【考点点拨】本题是对列方程解决问题知识点的运用，小升初常见易考题型，难度适中。
【小升初考试真题】
例1 服装店销售一款服装，一件服装标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多_____元。（黑龙江绥化?3分）
【答案】120
【解题思路】求标价比进价多多少元，必须知道它们各自的价格分别是多少元 。标价为120，只要求出进价即可解决问题。利润=售价-进价，利润率=利润÷进价，清楚了计算公式，也就可以解答了。
【全程解析】设这款服装每件进价为x元，由题意，得300×0.8（八折）-x=60 .
解得x=180.所以标价比进价多300-180=120（元）
【考点点拨】本题是利用列方程解决商品销售的典型试题，小升初易考多见题型，解题关键--明确利润的相关公式，难度较难。
例2 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？（2016?福建福州?8分）
【答案】这个班有45学生
【解题思路】本题是关于分配问题，此类题型解题关键在于（本题中图书）总数不变。本题的等量关系就是：第一种分法的图书数=第二种分法的图书数。
【全程解析】解：设这个班有x名学生。
依题意，得3x+20=4x-25
解得x=45
答：这个班有45学生。
【考点点拨】本题是关于分配问题的题型，此类型解题关键在于，找出试题中的总数，难度稍难。
【易错诊断】
易错点1--列方程时单位不统一
例1 甲、乙两人分别从相距1500米的A、B两地出发，相向而行，3分钟后相遇，已知乙的速度是每秒5米，求甲的速度。www.21-cn-jy.com
【错误辨析】本题的等量关系是：甲走的路程+乙走的路程=1500m。列方程时，同学们经常忘记不统一单位。本题中乙的速度是每秒5米，甲的速度设为xm/s，所以时间也应该变成3×60=180s。
【正确答案】解：设甲的速度为xm/s，根据题意，得
180x+180×5=1500，解得x=
答：甲的速度是m/s
【考点点拨】本题主要考查若题目中有几个不同单位，一定要先统一单位，然后列式计算，难度易。
易错点2--不能正确寻找等量关系
例2 某商品进价为1000元，标价为1500元。商店要求以不低于进价的5%的利润率打折出售，则最低可以打几折出售此商品？
【错解】解：设最低可以打x折出售此商品，根据题意，得
1500x-1000=5%×1000，解得x=0.7
答：最低可以打0.7折出售此商品。
【错误辨析】本题的等量关系是：×100%=利润率。在打折问题中，利润=售价-进价，※而非标价-进价。则实际售价就是标价乘以折扣率，这里的x表示几折，如9折就是即(×标价-进价)÷进价×100%=利润率。
【正确答案】解：设最低可以打x折出售此商品，根据题意，得
1500×-1000=5%×1000，解得x=7
答：最低可以打7折出售此商品。
【考点点拨】本题考查学生对于等量关系的分析思路是否准确无误，难度稍难。
易错点3--解题过程中不能正确寻找标准量
例3 下面的填法对吗？若不对，请改正。
填空：甲数是a，比乙数的1.5倍少b，乙数是多少？用含有字母表示乙数的式子是（1.5a-b）。
【错误辨析】本题中甲数a是解决问题的标准量，要求乙数必须清楚乙数与甲数的数量关系是：甲数=1.5×乙数-b，乙数等于甲数a加上比乙数少的b，然后再除以1.5方可以，即乙数=（a+b）÷1.5，而非（1.5a-b）。21教育网
【正确答案】乙数=(a+b)÷1.5。
【考点点拨】本题主要考查在题目中如何准确寻找数量关系，如果没能准确找出题中的数量关系，必然引起解题错误，难度较难。【来源：21cnj*y.co*m】
易错点4--解题过程中，运算律运用的不准确、不熟练。
例4 解方程：5x=3（x+4）
【错解】解：5x=3x+4
5 x-3x=4
x=2
【错误辨析】本题错误主要是在解方程过程中，乘法的分配律利用的不符合规则。即3（x+4）=3x+3×4=3x+12，而非是3x+4。
【正确】解：5x=3x+12
5x-3x=12
x=6
【考点点拨】本题主要考查在解方程及一些常见的计算试题中，关于乘法分配律的运用熟练程度，难度中。
【趁热打铁】
一、填空欢乐谷
1.姐姐今年12岁，弟弟比姐姐小a岁，弟弟今年（ ）岁。
2.一本故事书的价钱是12.8元，买n本，应付（ ）元。
3.爸爸用x元买了20千克的大米，大米每千克（ ）元。
4.大车每次运货a吨，小车每次运货b吨，两车每次共运货（ ）吨。大车运2次，小车运3次，两车共运货（ ）吨。
5.徒弟每小时加工x个零件，师傅每小时加工的个数比徒弟的1.5倍少8个。师傅每小时加工（ ）个。
6.一款手机的售价是x元，打七五折后的价钱是（ ）元，比原价便宜了（ ）元。
7.一个正方体的棱长为a厘米，它的全部棱长总和是（ ）厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，它的体积是（ ）立方厘米。
8.一张贺卡的单价是a元，小明买了5张这样的贺卡，用去（ ）元；小亮买了n张这样的贺卡，付出10元，应找回（ ）元。
9.某校排练团体操，有108名男生和84名女生参加，如果男生和女生都排成每行a人，男生比女生多排几行？用含有字母的式子表示是（ ）或（ ）。
二、判断快车。
1.a×a=2a。 （ ）
2.3千克西红柿a元，求1千克西红柿多少元的算式是a÷3. （ ）
3.a＋a＋a=a3。 （ ）
4.a（x+y）表示a个x加上y。 （ ）
5.a与0.5的积一定比a与0.5的和大。 （ ）
6.（2+x）÷6与+表示的结果相同。 （ ）
7.方程都是等式，等式都是方程。 （ ）
8.2x-16是方程。 （ ）
9.x+=6是方程。 （ ）
10.-x<是方程。 （ ）
11.方程5-3.2x=3.4与方程3.2x+3.4=5的解相同。 （ ）
三、选择超市。
1.比x的10倍少6.5的数是（ ）。
A.6.5-10x B.10x-6.5 C.x-10×6.5 D.6.5+10x21世纪教育网版权所有
2. 8（x+3）错写成8x+3，结果比原来（ ）。
A.少24 B.多24 C.少21 D.多21
3.如果是真分数，是假分数，那么下列选项正确的是（ ）。
A.a≥8 B.a=8 C.<8 D.a>8
4.妈妈今年a岁，丽丽今年a-29，5年后丽丽（ ）岁。
A.a-24 B.24 C.29 D.a-5
5.如果3x+4=25，那么4x+3=（ ）。
A.25 B.7 C.31 D.
6.比X的3倍多5的数是36，所列方程错误的是（ ）。
A.3X=36-5 B.3X+5=36 C.3X-5=36 D.36-3X=5【版权所有：21教育】
7.一个数扩大3倍加上8等于23，如果这个数先加上8再扩大3倍，那么结果与原数相比（ ）。
A.多8 B.多23 C.多16 D.多24
8.两个数相加的和比其中一个数大15，比另一个数大32，两个数的和是（ ）。
A.15 B.32 C.17 D.47
9.等式3×（ +10）+ =38中， 所代表的数是（ ）。
A.2 B.4 C.3 D.1
计算平台
1.解方程。
13+50x=63 52+2x=3x-1
2.用方程解。
（1）一个数的6倍与的和是，这个数是多少？
（2）一个数比它的60%多15，求这个数。
五、解答竞技场--用方程解决问题
1.某服装厂加工服装，前5天加工了600套，还剩下60%没有加工，一共需要加工多少套才能完成任务？
2.10元和5元的人民币共405元，已知10元的张数是5元张数的4倍，那么两种面值的钱各多少张？
3.一个梯形的面积是7.67平方分米，上底是2.5分米，下底是3.4分米，高是多少分米？
4.一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的25%，这两天共修了900米。这条公路长多少米？
5.用一辆汽车运一堆货物，运了3次后还剩9.2吨没有运。已知这堆货物共有20吨，汽车每次运多少吨？
六、闯关我能行
1.电影院原有座位32排，平均每排坐38人，扩建后增加到40排，可以多坐704人，扩建后平均每排坐多少人？21cnjy.com
2.一个植树小组去植树，如果每人植5棵，还剩下14棵树苗；如果每人植7棵，就缺少4棵树苗。这个小组有多少人?一共有多少树苗？21·cn·jy·com
【趁热打铁】
答案及解析
填空欢乐谷
1.【答案】12-a
【解析】弟弟比姐姐小a岁，就用姐姐今年的年龄-弟弟今年的年龄即可。即12-a。
2.【答案】12.8n
【解析】一本书的价格是12.8元，买了n本，就是总价=单价×数量，即12.8n（元）
3.【答案】x÷20
【解析】爸爸用x元是总价，20千克是数量，求大米的单价，就是总价÷数量，即x÷20
4.【答案】a+b 2a+3b
【解析】两车每次运的吨数就是求两车的和，即a+b；大车运2次就是2a，小车运3次就是3b，两车共运即2·1·c·n·j·y
5.【答案】1.5x-8
【解析】师傅每小时加工的个数=1.5×徒弟-8，徒弟每小时加工x个，即1.5x-8.
6.【答案】75%x x-75%x
【解析】手机原价是x元，打折后的现价=原价×打折，七五折是75%，所以现价=75%x，比原价便宜的钱数=原价-现价=x-75%x【来源：21·世纪·教育·网】
7.【答案】12a 6a2 a3
【解析】正方体的棱长总和=12×棱长，表面积=6×一个面的面积，体积=棱长×棱长×棱长，所以棱长总和是12a，表面积是6a2，体积是a3。www-2-1-cnjy-com
8.【答案】5a 10-an
【解析】总价=单价×数量=5a，找回的钱数=总的钱数-用去的钱数=10-an。
9.【答案】108÷a-84÷a （108-84）÷a
【解析】每行有a人，男生一共有108÷a行；女生一共有84÷a。所以，男生比女生多排的行数为108÷a-84÷a或者（108-84）÷a。2-1-c-n-j-y
二、判断快车
1.【答案】×
【解析】不符合代数式的书写规则，本题是两数是乘积关系而非加减关系，即是a2，不是2a。
2.【答案】√
【解析】求西红柿的单价就是总价÷数量，即a÷3，所以本题判断正确。
3.【答案】×
【解析】不符合代数式的书写规则，本题三个数是加减关系而非乘积关系，即是a+a+a=3a，而不是a3。21·世纪*教育网
4.【答案】×
【解析】解读代数式的意义不正确，应该是a个x与y的和，即a（x+y）。
5.【答案】×
【解析】忽略了a的取值范围，它们的大小关系与a取什么值有关。
6.【答案】√
【解析】（2+x）÷6==+，所以结果是相同的。
7.【答案】×
【解析】方程是等式是正确的；但是等式不都是方程。需要清楚方程与等式的定义范畴与区别。
8.【答案】×
【解析】本题不符合方程所具备的条件，只含有未知数，而不是等式。
9.【答案】√
【解析】本题符合方程具备的条件，既是等式又含有未知数。
10.【答案】×
【解析】本题不符合方程所具备的条件，含有未知数，但不是等式而是不等式。
11.【答案】√
【解析】5-3.2x=3.4根据等式性质可以变形为3.2x+3.4=5，所以它们的解相同。
三、选择超市
1.【答案】B
【解析】只要按代数式的书写规则正确表示出来即可。 B.10x-6.5
2.【答案】C
【解析】用原来的代数式减去写错的代数式即可，即8（x+3）-8x+3=21，选C
3.【答案】D
【解析】首先要清楚真分数、假分数的定义，即分母大于分子真分数；分子大于或等于分母为假分数。所以本题a>8选D【出处：21教育名师】
4.【答案】A
【解析】5年后的年龄用今年的年龄加上5即可。a-29+5=a-24选A.
5.【答案】C
【解析】通过方程3x+4=25求出x=7，然后代入到4x+3=4×7+3=31，选C.
6.【答案】C
【解析】只要选出正确的结果即可。通过列式可知3X+5=36，所以列式错误的为C，故选择C。
7.【答案】C
【解析】首先求出这个数为23-8=15÷3=5，然后（5+8）×3=39,39-23=16，故选C.
8.【答案】D
【解析】通过分析可知，两个加数分别是15、32，15+32=47，故选D。
9.【答案】A
【解析】3× +30+ =38 4 =8 =2，故选A。
四、计算平台
1.【答案】X=1 x=53
【解析】13+50x=63 52+2x=3x-1
50x=63-13 3x-2x=52+1
X=1 x=53
2.【答案】（1）x= （2）x=37.5
【解析】（1）设一个数为x，6x+ = （2）设一个数为x，x-60%x=15
6x=- 40%x=15
6x= x=15÷0.4
X= x=37.5
五、解答竞技场
1.【答案】x=1500
【解析】解：设一共需要加工x套。（1-60%）x=600 x=1500
答:一共需要加工1500套才能完成任务.
2.【答案】x=9 9×4=36
【解析】解：设5元的张数有x张。10×4x+5x=405 x=9 9×4=36
答：5元面值的有9张，10元面值的有36张。
3.【答案】x=2.6
【解析】解：设高是x分米。（2.5+3.4）x÷2=7.67 x=2.6
答：高是2.6分米。
4.【答案】x=2000
【解析】解：设这条公路长x米。x+25%x=900 x=2000
答：这条公路长2000米.
5.【答案】x=3.6
【解析】解：设汽车每次运x吨。3x+9.2=20 x=3.6
答：汽车每次运36吨.
六、闯关我能行
1.【答案】x=48
【解析】解：设扩建后平均每排坐x人。38×32=40x-704 x=48
答:扩建后平均每排坐48人.
2.【答案】x=9 （小时） 59（棵）
【解析】解:设这个小组有x人。5x+14=7x-4 x=9 5×9+14=59（棵）
答:这个小组有9人，一共有59棵树苗。