2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略+直线与圆

核心考点解读——直线与圆
直线的倾斜角与斜率（II）
直线与方程（II）
直线的位置关系（II）
圆与方程（II）
直线与圆、圆与圆的位置关系（II）
1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.
2.从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.
3.从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想.
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：.直线的斜率：；过两点的直线的斜率为.
(2)掌握的图象，能够通过倾斜角表示斜率，也能够利用斜率求倾斜角.
(3)当时，越大，直线的斜率也越大；当时，越大，直线的斜率也越大.
(4)所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
2.直线与方程
(1)点斜式：；
斜截式：；
两点式：；
截距式：；
一般式：.
(2)能够根据条件选用合适的直线方程形式表示直线，知道点斜式、斜截式、两点式、截距式的适用条件，并由此考虑特殊情况下的直线是否存在,如在点斜式中，斜率不存在时直线表示为等.
3.两条直线的位置关系
(1)两条直线的位置关系：相交、平行、重合.能够从直线的斜截式、一般式的角度，结合直线的斜率和截距进行判断；能够通过联立方程，通过解方程组的角度进行判断.
(2)理解直线系方程
已知直线，则
与平行的直线系方程为；
与垂直的直线系方程为.
已知直线与相交，则过这两条直线的交点的直线系方程为（其中不包括直线）.
通过待定系数的方式求解相关直线方程.
(3)点到直线的距离
已知点，则.
已知点，直线，则点到直线的距离为.
理解并掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能作简单的应用.
4.圆与方程
(1)圆的标准方程：；
(2)圆的一般方程：.
注意：能够从圆的定义理解、推理得到圆的方程.根据圆的标准方程可以直接确定圆的圆心和半径，标准方程与一般方程可以进行互化，知道不一定是圆的方程，必须满足条件.
5.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离.
(2)判断直线与圆的位置关系的方法：
几何法：利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较判断.若，则相离；若，则相切；若，则相交.
代数法：将圆的方程与直线的方程联立，消元后，得到关于或的方程，通过判别式进行判断.若，则相交；若，则相切；若，则相离.
(3)直线与圆相交所得的弦长
i)利用圆心到直线的距离、半径与弦长的一半构造直角三角形求解；
ii)将直线的方程与圆的方程联立，结合弦长公式计算.
弦长公式：.
6.圆与圆的位置关系
设两圆心之间的距离为，两圆半径分别为，若，则两圆外离；若，则两圆外切；若，则两圆相交；若，则两圆内切；若，则两圆内含.
1.(2016高考新课标I，理4)圆的圆心到直线的距离为1，则a=
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得
，解得，故选A．
【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．
若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．21世纪教育网
如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；
如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；
如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．
提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．
2. (2016高考新课标III，理16)已知直线：与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若,则_________________.
【答案】4
【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
【名师点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．21·世纪*教育网
3．（2017高考新课标II，理20）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．2-1-c-n-j-y
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【解析】（1）设，设，．
由得．
因为在C上，所以．
因此点P的轨迹方程为．
（2）由题意知．设，
则，．
由得，又由（1）知，故．
所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．21*cnjy*com
4．（2017高考新课标III，理20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.【21教育名师】
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
【解析】由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.21cnjy.com
5．(2016年高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).【21教育】
（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得求实数t的取值范围.

【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x?y+m=0，
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以，解得m=5或m=?15.
故直线l的方程为2x?y+5=0或2x?y?15=0.
（3）设
因为，所以，①
因为点Q在圆M上，所以②
将①代入②，得.
于是点既在圆M上，又在圆上，
从而圆与圆有公共点，
所以 解得.
因此，实数t的取值范围是.
6．(2015高考新课标II，理7)过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则
A.2 B.8 C.4 D.10
【答案】C
【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，所以其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C.【21·世纪·教育·网】
【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦的长，属于中档题．【21cnj*y.co*m】
7．(2015高考新课标I，理14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .21*教*育*名*师
【答案】
【解析】一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上.可知椭圆的右顶点坐标为（4，0），上、下顶点坐标（0，±2）.设圆心为(，0)，则半径为，所以，解得，故圆的方程为.www-2-1-cnjy-com
【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点(或右顶点)，由圆的性质知，圆心在x轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，求出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.21-cnjy*com
1．（【全国市级联考】广东省揭阳市2018年高三高考第二次模拟考试数学试题）已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为2·1·c·n·j·y
A． B． C．或 D．或
2．（云南省曲靖市第一中学2018届高三4月高考复习质量监测卷（七）数学试题）若直线平分圆，则的最小值为
A． B．2 C． D．
3．（辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第三次模拟考试数学试题）若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为21教育网
A． B． C． D．
4．（云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统））已知直线与圆相交于、两点，若，则实数的值等于
A．?7或?1 B．1或7
C．?1或7 D．?7或1
5．（辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2018届高三12月联考）已知以点（，且）为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为坐标原点．
（1）求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
1．过点作圆的弦，其中最短的弦长为 ．
2．已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．
（1）求圆的方程；
（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．
名校预测
1．【答案】D
【解析】圆的方程整理为标准方程为，作于点，由圆的性质可知△ABC为等腰三角形，其中，则，即圆心到直线的距离为，据此可得：，即，解得：或.故选D．www.21-cn-jy.com
2．【答案】C
【解析】将化为，
因为直线平分圆，
所以，又，
则（当且仅当，即时取等号）.故选C．
3．【答案】C
【解析】若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C．
4．【答案】C
【解析】由圆可知，圆心坐标为，圆半径为，由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，解得或.
故选C．
5．【解析】（1）因为圆过原点，
所以半径，
设圆的方程是，
令，得，；
令，得，，
所以，即的面积为定值4．
（2）因为，，
所以垂直平分线段．
因为，
所以，
所以，解得或．
当时，圆心的坐标为，，此时点到直线的距离，圆与直线相交于两点，符合题意；
当时，圆心的坐标为， ，此时点到直线的距离，圆与直线不相交，所以不符合题意，舍去．21·cn·jy·com
所以所求圆的方程为．
专家押题
1．【答案】
【解析】由题设可知点在圆内,故当直线时,所求弦长最短,由于,所以所求弦长为．故应填．
2.【解析】（1）设圆心，由已知得圆心到直线的距离为，
∴，又∵圆心在直线的下方，∴，∴．
故圆的方程为．
（2）由题意设的斜率为的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为．
由方程组，得点的横坐标为．
∵，
∴，
由于圆与相切，所以，∴；
同理，，∴，
∴，∵，∴，∴，
∴，
∴的面积的最大值为，最小值为．