2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略+立体几何与空间向量

核心考点解读——立体几何与空间向量
平面的基本性质(I)
空间点、线、面的位置关系（II）
空间直线、平面平行的判定定理与性质定理（II）
空间直线、平面垂直的判定定理与性质定理（II）
空间向量在立体几何中的应用（II）
1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题一般从宏观的角度，结合实际观察、判断空间点、线、面的位置关系，确定命题的真假；解答题中则从微观的角度，严密推导线面平行、垂直，利用空间向量的有关形式表示、求解空间的距离、夹角等.
2.从考查内容来看，主要考查空间点、线、面位置关系的命题的判断及证明，重点是根据平行、垂直的判定定理与性质定理证明线面平行、垂直，难点则是如何计算空间中有关角与距离的问题.
3.从考查热点来看，证明空间线面平行、垂直是高考命题的热点，结合平行、垂直的判定定理及性质定理，通过添加辅助线的方式证明是常考的方式.要注意结合空间几何体的特征严格推理论证.
1.平面的基本性质
(1)熟悉三个公理的三种语言的描述（自然语言、图形语言、符号语言），明白各自的作用，能够依据这三个公理及其推论对点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系作简单的判断.
(2)掌握确定一个平面的依据：不共线的三点确定一个平面、直线与直线外一点确定一个平面、两相交直线确定一个平面、两平行直线确定一个平面.
2.空间直线、平面的位置关系
(1)空间两条直线与直线的位置关系：相交、平行、异面.
判断依据：是否在同一个平面上；公共点的个数情况.
理解平行公理与等角定理：
平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行；
等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2)直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行或相交
判断依据：直线与平面的公共点的个数.
理解直线与平面平行的定义.
(3)空间两个平面的位置关系：相交、平行
判断依据：没有公共点则平行，有一条公共直线则相交.
3.空间直线、平面平行的判定定理与性质定理
(1)线面平行的判定定理与性质定理
1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.
符号语言：.
要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.
2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.
符号语言：.
当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.
3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号语言：.
要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线.
4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：.
5)平行关系的转化
(2)直线、平面垂直的判定定理与性质定理
1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.
符号语言：.
要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.
2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：.
此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.
3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.
符号语言：.
要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.
4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：.
要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.
5)垂直关系的转化
4.空间向量在立体几何中的应用
(1)空间向量的坐标运算
设，则，
，，
，
，
，
.
空间两点间的距离为.
注意上述空间向量坐标运算公式的正确应用.
(2)直线的方向向量与平面的法向量
i)直线的方向向量：与直线平行的向量，记作.
ii)平面的法向量：若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作.
iii)平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.
(3)利用空间向量证明空间线面平行、垂直
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
若，则；
若，则；
若，则；
若，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，可利用上述求法向量的过程证明.
若，则；
若，则.
(4)利用空间向量求直线、平面所成的角
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为.
直线所成的角为，则，计算方法：；
直线与平面所成的角为，则，计算方法：；
平面所成的二面角为，则，计算方法：，然后观察直观图中所表示的二面角的平面角大小，以确定是锐二面角还是钝二面角.
(5)利用空间向量求空间距离
设点A是平面外一点，B是平面内一点，平面的一个法向量为，则点A到平面的距离为.
(6)利用空间向量证明线面平行、垂直及计算空间角、距离的关键在于将所在直线的方向向量和平面的法向量正确表示，而正确表示直线的方向向量与平面的法向量的关键在于空间直角坐标系的正确建立及相关点的坐标的正确表示.求解空间角时公式选用要正确，特别是直线与平面所成的角用向量表示时得到的是正弦值，而直线与直线所成的角与二面角则是余弦值，要注意区分.
1．（2017高考新课标III，理16）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：21世纪教育网
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
2.(2016高考新课标I，理11)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为21教育网
A． B．
C． D．
3.（2016高考新课标II，理14）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，mα，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）
4．（2017高考新课标I，理18）如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.
5．（2017高考新课标ⅠⅠ，理19）如图，四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．21·cn·jy·com
（1）证明：直线平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．
6．（2017高考新课标Ⅲ，理19）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．www.21-cn-jy.com
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.2·1·c·n·j·y
7.(2016高考新课标I，理18)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．21·世纪*教育网
（I）证明：平面ABEF平面EFDC；
（II）求二面角EBCA的余弦值．
8.(2016高考新课标III，理19)如图，四棱锥P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.2-1-c-n-j-y
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
9．(2015高考新课标I，理18)如图,四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.21cnjy.com
(I)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(II)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
1．已知表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，试判断棱上是否存在与点，不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【21cnj*y.co*m】
1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝1,AC＝2,BC＝,D,E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为【21教育名师】
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．如图，四棱锥中，平面SAD平面SAB，BCSA，，，.
（1）证明：在线段上是否存在点，使得平面；
（2）求二面角的余弦值.
真题回顾：
1.②③【解析】由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，，连结AD，等腰中，,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知,为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.
由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线与所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.21-cnjy*com
2.A【解析】如图，设平面平面=，平面平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.过作，交的延长线于点E,连接，则为.连接，过B1作，交的延长线于点，则为.连接BD，则，则所成的角即为所成的角，为，故所成角的正弦值为.
3.②③④【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.
4.（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则
即可取.设是平面的法向量，则
即可取.则，
所以二面角的余弦值为.
5.（1）取的中点，连接，．因为是的中点，所以∥，，
由得∥，又，所以，四边形是平行四边形，∥．又平面，平面，故平面．
（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，设，则，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以，，即． ①
又M在棱PC上，设，则 ． ②
由①②解得(舍去)，．所以，从而．
设是平面ABM的法向量，则即
所以可取．于是 ，因此二面角的余弦值为．
6.（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO=AO.又由于是正三角形，故.
所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC．
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.
设是平面DAE的法向量，则即 可取.
设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.
所以二面角D?AE?C的余弦值为.
7.（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．
（II）过作，垂足为，由（I）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（I）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．
由已知，，所以平面．又平面平面，故，．
由，可得平面，所以为二面角的平面角，．
从而可得．所以，，，．
设是平面的法向量，则，即，所以可取．
设是平面的法向量，则，同理可取．则．故二面角EBCA的余弦值为．
8.（I）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，. 又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（II）取的中点，连结.由得，从而，且
.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，
，，，，，，.
设为平面的一个法向量，则即 可取.
于是.
9.(I)连接BD，设BDAC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
(II)如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由(Ⅰ)可得A(0，－，0)，E(1,0, )，F(－1,0，)，C(0，，0)，∴=(1，，)，=(1,,) 故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.21*cnjy*com
名校预测
1．【答案】D【解析】由题意，，，则或，所以充分条件不成立；又当，时，不能得到，所以必要条件不成立，故选D．www-2-1-cnjy-com
2．【解析】（1）因为四边形是平行四边形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）知，平面，如图，分别以AB，AC所在直线为x轴、y轴，平面内过点且与直线垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，21*教*育*名*师
则，，，，，由，，可得，所以，，假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，
整理得，因为，所以，故无解，
所以棱上不存在与点，不重合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为．
专家押题
1．【答案】A【解析】取AC的中点F,连接DF,BF,因为D,E分别是AC1和BB1的中点,所以DF=BE,且DF//BE,所以四边形DEBF是平行四边形,所以DE//BF,过点F作FG垂直于BC，交BC于点G，由题意得（或其补角）等于直线DE与平面BB1C1C所成的角,因为AB＝1,AC＝2,BC＝,所以，CF=FA=FB=1,所以∠FBG=30°.即直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A．【21·世纪·教育·网】
2．【解析】（1）如图，取的中点，的中点，连接.因为分别为的中点，所以，且.又，，所以四边形为平行四边形，所以.【21教育】
因为平面，平面，所以平面.故在线段上存在一点，使得平面.
（2）因为，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，故，又，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，其中，，，，，所以，，，，
设为平面的法向量，则,即，令，所以，即为平面的一个法向量.
设为平面的法向量，则,即，令，所以，即为平面的一个法向量. 所以．
又二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.