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新北师大版七下数学《第5章 生活中的轴对称》
单元测试卷
温馨提示：本卷满分100分，考试时间120分钟
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分）
1．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′
（2）∠BAC=∠B′A′C′
（3）直线L垂直平分CC′
（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列图案是轴对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，点P是∠AOB内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（ ）21教育网
A． B． C． D．
6．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND的周长为（ ）【21·世纪·教育·网】
A．28 B．26 C．25 D．22
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）21·世纪*教育网
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA1的长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．3或4 B．4或3 C．3或4 D．3或4
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是（ ）2-1-c-n-j-y
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD=3.5，DE=6，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．2.5
12．如图是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，直角顶点C恰好落在三角板△A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A=30°，B1C=2时，则此时AB的长为（ ）www.21-cn-jy.com
A．6 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13．在线段、角、圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中不是轴对称图形的是 ．
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN= ．2·1·c·n·j·y
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
16．在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC= ．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）
如图，点A，B在直线l的同侧．
（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．
（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．
18．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N．
（1）求线段BN的长；
（2）连接CD，与MN交于点E，写出与点E相关的两个正确结论：① ；
② ．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD=2DE，联结AE．21世纪教育网
（1）求线段CD的长；
（2）求△ADE的面积．
21．（6分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．21·cn·jy·com
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
22．（6分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC=25°，∠BAE=25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
23．（8分）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．
定义：在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是 ；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看： ；
从对角线看： ．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看： ；
如图，四边形ABCD中， ．求证：四边形ABCD是筝形
应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．
24．（8分）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．21cnjy.com
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
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新北师大版七下数学《第5章 生活中的轴对称》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分）
1．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
解：因为三角形是轴对称图形，则该三角形是等腰三角形，
根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
故选：A．
2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，下列结论中正确的有（ ）
（1）△ABC≌△A′B′C′
（2）∠BAC=∠B′A′C′
（3）直线L垂直平分CC′
（4）直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：（1）正确；
（2）正确；
（3）正确；
（4）“直线BC和B′C′的交点不一定在直线L上”，应是一定在直线L上的．
故选：B．
3．下列图案是轴对称图形的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，轴对称图形共有2个．
故选：B．
4．如图，点P是∠AOB内的一点，且OP=5，且∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．www.21-cn-jy.com
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，2-1-c-n-j-y
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=5．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5，
故选：A．
5．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，
∴D的作法正确，
故选：D．
6．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND的周长为（ ）【21cnj*y.co*m】
A．28 B．26 C．25 D．22
解：如图，由题意得：BM=MN（设为λ），CN=DN=3；
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=9，∠C=90°，MC=9﹣λ；
由勾股定理得：λ2=（9﹣λ）2+32，
解得：λ=5，
∴五边形ABMND的周长=6+5+5+3+9=28，
故选：A．
7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）【21教育名师】
A．3 B．4 C．5 D．6
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=AB DE=×10 DE=15，
解得DE=3．
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD 的平分线上时，CA1的长为（ ）21教育网
A．3或4 B．4或3 C．3或4 D．3或4
解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M．
∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上，
∴设CM=A′M=x，则BM=7﹣x，
又由折叠的性质知AB=A′B=5，
∴在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M2=A′B2﹣BM2=25﹣（7﹣x）2，
∴25﹣（7﹣x）2=x2，
∴x=3或x=4，
∵在等腰Rt△A′CM中，CA′=A′M，
∴CA′=3或4．
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是（ ）21cnjy.com
A．30° B．35° C．40° D．50°
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC，
设∠C=x°，则∠EAC=x°，
∵∠ABC=90°，∠BAE=20°，
∴x+x+20+90=180，解得：x=35，
∴∠C=35°，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4cm，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD=3.5，DE=6，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．2.5
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，
∴BD=DF=3.5，FE=CE，
∴CE=DE﹣DF=6﹣3.5=2.5．
故选：D．
12．如图是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC和△A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，直角顶点C恰好落在三角板△A1B1C1的斜边A1B1上．当∠A=30°，B1C=2时，则此时AB的长为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．8 C．9 D．10
解：连接C1C，
∵M是AC的中点，△ABC，△A1B1C1是两块完全一样的含30°角三角板重叠在一起的，
∴AM=CM=A1C1，
即CM=A1M=C1M，
∴∠A1=∠1，∠2=∠3，
∴A1+∠3=∠1+∠2=90°=∠A1CC1，
∴△B1C1C为直角三角形，
∵∠A1=30°，
∴∠B1=60°，
∴∠B1C1C=30°，
∴BC=B1C1=2B1C=4，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC=8．
故选：B．
二．填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13．在线段、角、圆、等腰三角形、平行四边形、正方形中不是轴对称图形的是 平行四边形 ．
解：线段是轴对称图形；
角是轴对称图形；
等腰三角形是轴对称图形；
平行四边形不是轴对称图形；
正方形是轴对称图形．
故答案为：平行四边形．
14．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN= 32° ．21·世纪*教育网
解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为
解：如图所示：在AB上取点F′，使AF′=AF，过点C作CH⊥AB，垂足为H．
在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10．
CH=，
∵EF+CE=EF′+EC，
∴当C、E、F′共线，且点F′与H重合时，FE+EC的值最小，最小值为，
故答案为：
16．在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC= 45° ．
解：过C作CE⊥AB于点E，
则有∠AEC=∠BEC=90°，
∵∠CAB=45°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠CAB=45°，∠BCE=60°，
∴AE=CE，
∵AD为三角形的中线，
∴BD=CD=DE=BC，
∴∠BED=30°，
∴△CED是等边三角形，
∴DE=CE=AE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠DAE=∠BED=15°，
∴∠ADC=∠CDE﹣∠ADE=45°．
故答案为：45°．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）
如图，点A，B在直线l的同侧．
（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．
（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．
解：（1）如图所示：
（2）如图所示；
理由：∵NB﹣NA≤AB，
∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．
18．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=9，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N．
（1）求线段BN的长；
（2）连接CD，与MN交于点E，写出与点E相关的两个正确结论：① DE=EC ；
② ∠DEM=90° ．
解：（1）∵D是AB的中点，
∴BD=AB=3．
设BF=x，则CF=9﹣x．
由翻折的性质可知：DF=CF=9﹣x．
在△BDF中，由勾股定理得：DF2=BD2+FB2，即（9﹣x）2=32+x2．
解得：x=4．
∴BF的长为4．
（2）如图：结论：①DE=EC；②∠DEM=90°，
故答案为DE=EC，∠DEM=90°
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）求出△ABC的面积；
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A1，B1，C1的坐标．
解：（1）如图所示：△ABC的面积：×3×5=7.5；
（2）如图所示：
（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．
20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD=2DE，联结AE．21世纪教育网
（1）求线段CD的长；
（2）求△ADE的面积．
解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DH=DC=x，
则AD=3﹣x．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵，
∴，
∴，即CD=；
（2），
∵BD=2DE，
∴，
∴．
21．（6分）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．21·cn·jy·com
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
（1）证明：∵∠A=∠ABE，
∴EA=EB，
∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A=46°，
∴∠ABE=∠A=46°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，
∠F=90°﹣∠ABC=23°．
22．（6分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上，点B在直线l2上，点A在直线l3上，l2与AC交于点D，且∠BAC=25°，∠BAE=25°．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度数．
（1）证明：∵l2∥l3
∴∠ABD=∠BAE=25°，
∵∠BAC=25°
∴∠ABD=∠BAC，
∴△ABD是等腰三角形，
23．（8分）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．
定义：在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形
性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：
从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是 其中一条对角线所在直线 ；
从边看：筝形有两组邻边分别相等；
从角看： 筝形只有一组对角相等 ；
从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分 ．
判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．
方法1：从边看：运用筝形的定义；
方法2：从对角线看： 有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分 ；
如图，四边形ABCD中， AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO ．求证：四边形ABCD是筝形
应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．
解：性质：从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线．
从角看：筝形只有一组对角相等；
从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
判定：结合性质定理，可得出：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．
结合方法二可知缺少的条件为：AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．
证明：按照题意，画出图形1．
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD．
又∵AB=，BC=，AO≠CO，
∴AB≠BC，
∴由筝形定义得，四边形ABCD是筝形．
应用：筝形面积为对角线乘积的一半；
∵S筝形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD AO+BD CO=BD（AO+CO）=BD AC，
∴筝形面积为对角线乘积的一半．
故答案为：其中一条对角线所在直线；筝形只有一组对角相等；有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分；AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．【21·世纪·教育·网】
24．（8分）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．www-2-1-cnjy-com
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，（2分）
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°（3分）
∴△ODE是等边三角形；（4分）
（2）答：BD=DE=EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°，（6分）
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，（7分）
同理，EC=EO，
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．（8分）
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