2018年高考秘籍求解空间角的突破策略：1异面直线成角

异面直线所成的角
立体几何的研究对象是立体图形，它是平面图形的延伸和拓展，从平面到空间，从二维到三维，从具体到抽象，是中学数学的一个重要转折点，是数学思维的一个飞跃，也是学生学习的一个难点。立体几何始于构图、行于识图、通于析图、止于用图，对学生的数学抽象、直观现象、逻辑推理、数学运算等核心素养提出了较高的要求。21教育网
在高考的立体几何试题中，空间角的求解是常考查的问题，按照求解过程所依据的理论的不同，可以将空间角的求解策略分成两类：一类是以立体几何的相关定理和公理为依据的化归法，其“三步曲”是：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是学习的难点；一类是依据空间向量理论而求解的向量法，空间向量的引入使得很多较难的空间角的计算问题有了解决的通法，减少了学生的思维含量，但也要求数学运算素养的提升．21·cn·jy·com
例1：（四川省泸州市2018届高三第一次诊断性考试）在正方体中，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）21世纪教育网
A. B. C. D.
解析：连接，由于为的中点，为的中点，则，所以为异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为2，在中，，，
所以.
故异面直线与所成角的正切值为.故选C.
点评：异面直线所成的角的求解通法有化归法，其突破策略是：①利用异面直线所成的角的定义构造角，可以固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊位置；②作出异面直线所成的角或证明图形中的某个角为所求的角；③通过解三角形来求解。
例2：（2017届安徽师大附中、马鞍山二中12月高三阶段性测试）已知四棱锥中，底面是梯形，，，，顶点在平面内的射影在上，．www.21-cn-jy.com
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与所成角为60°，求二面角的余弦值．
解析：（1）因为平面，平面，
所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，则，，
设，则，
因为，所以，
因为直线与所成角为60°，
所以，即，
解得，所以，此时，
设平面的一个法向量为，则
，即，取，则，
同理，可求平面的一个法向量为，
所以，
因为二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值．
点评：异面直线所成的角的求解也可以借助于向量法求解.设分别为异面直线的方向向量，异面直线成角的范围是，而向量的夹角的范围是，则．21cnjy.com