2018年高考秘籍－破解导数压轴题策略：3.导数不等式的证明－切线法

导数中的不等式证明
【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！?放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。21教育网
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度3 切线法
【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求证：当时，.
【解析】（1），，
由题设得， ………﹝导数的几何意义的应用﹞
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，
所以函数在上单调递增，
由于曲线在处的切线方程为，，可猜测函数的图象恒在切线的上方. ………﹝多步设问，层层递进，上问结果，用于下问﹞
先证明当时，.
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，所以，
所以存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，即，当且仅当时取等号，
所以当时，， ………﹝切线放缩法是一种崭新的放缩途径﹞
变形可得，
又由于，当且仅当时取等号（证明略），……﹝灵活借助于放缩﹞
所以，当且仅当时取等号.
【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.21世纪教育网