2018年数学高考秘籍－破解导数压轴题之不等式恒成立问题：11不等式恒成立（1）

恒成立或有解问题的解决策略
恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．21教育网
【考点突破】
【典例1】（东北三省四市2018届高三二模） 已知函数．
（1）不等式有解，求实数的取值范围；
（2）对于都有恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）思路一：不等式有解，等价于有解，只需，
令，则
………﹝绝对值函数须改写为分段函数﹞
所以，即，所以实数的取值范围是．
【审题点津】不等式有解，只需满足即可；不等式有解，只需满足即可；这是变量分离法解决不等式有解问题的数学本质之所在.21cnjy.com
思路二：不等式有解，等价于有解，只需，
令，则
，如图所示，，………﹝函数问题的解决要始终以“形”为主导﹞
所以，即，所以实数的取值范围是．
【审题点津】不等式有解，只需满足在直线下方有函数的部分图象即可；不等式有解，只需满足在直线上方有函数的部分图象即可.这也是直观想象素养的体现.21·cn·jy·com
思路三：不等式有解，等价于有解，只需，
由绝对值不等式的性质可知，当且仅当，即时取等号，………﹝含有双绝对值的函数注意绝对值不等式的活用﹞www.21-cn-jy.com
所以，即，所以实数的取值范围是．
【审题点津】此法灵活地应用绝对值不等式的性质，简洁自然，
，当且仅当时取右等号，当且仅当时取左等号；
，当且仅当时取右等号，当且仅当时取左等号。
（2）思路一：对于都有恒成立，等价于当时，恒成立．只需即可.
令，则 ………﹝直接构造“左减右”的差函数﹞
，
①当时，，
当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
②当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
综上，．
【审题点津】不等式恒成立，则需满足即可；不等式恒成立，则需满足即可.
思路二：对于都有恒成立，等价于当时，恒成立，只需即可.
令，则 ………﹝利用变量分离法，再构造函数﹞
，
①当时，，
当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减， ………﹝分段函数分段求解须注意此类解决的前提﹞
所以，所以，
②当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
综上，． ………﹝分段函数分段求解后，注意结论的整合﹞
【审题点津】不等式恒成立，则需满足即可；不等式恒成立，则需满足.这是变量分离法解决不等式恒成立问题的数学本质之所在.21世纪教育网
【拓展演练1】（2018年马鞍山市第三次教学质量监测）已知函数.
（1）求证：；
（2）若函数在区间有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）略，（2）.
【拓展演练2】（惠州市2018届高三第三次调研考试）设函数.
（1）解不等式；
（2），恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）.