2018年高考数学（理）抢分秘籍09+不等式、推理与证明

秘籍09 不等式、推理与证明
1．已知a=21.2，b=（）–0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为
A．c【答案】A
【解析】∵a=21.2>2，b=（）–0.8=20.8<21=2，且b>1，c=log542．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是
A．a2–b2>0 B．cosa–cosb>0
C． D．e–a–e–b<0
【答案】D
两个实数比较大小的方法
（1）作差法，其步骤为：
作差?变形?定号（确定正负号，即判断差与0的大小）?得出结论．
含根号的式子作差时一般先乘方再作差．
（2）作商法，其步骤为：作商?变形?判断商与1的大小?得出结论．
（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
3．若a，b，c为实数，且aA．ac2ab>b2
【答案】D
4．若aA． B． C．a D．a2>b2
【答案】B
【解析】A，aa–b>a，则两边同除以a（a–b）可得，故B错误，C，根据幂函数的单调性可知，C正确，D，ab2，故D正确，故选B．2·1·c·n·j·y
不等式的性质
1．（1）a>b，ab>0?<；（2）a<0b>0，d>c>0?>．21·世纪*教育网
2．若a>b>0，m>0，则
（1）<；>（b–m>0）；（2）>；<（b–m>0）．
5．求下列不等式的解集：
（1）–x2+8x–3>0；
（2）ax2–（a+1）x+1<0．
【答案】（1）{x|4–【解析】（1）因为82–4×（–1）×（–3）=52>0，
所以方程–x2+8x–3=0有两个不相等的实根：x1=4–，x2=4+．
又二次函数y=–x2+8x–3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4–①当a=1时，=1，（x–）（x–1）<0无解；
②当a>1时，<1，解（x–）（x–1）<0得③当01，解（x–）（x–1）<0得1综上所述，当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；
当a=0时，解集为{x|x>1}；
当0当a=1时，解集为空集；
当a>1时，解集为{x|1．一元一次不等式的解法
不等式ax>b的解：
（1）当a>0时，x>．
（2）当a<0时，x<．
（3）当a=0时，若b≥0，则无解；若b<0，则x∈R．
2．一元二次不等式的解法
（1）对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解．
（2）解含参数的一元二次不等式的步骤
①若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
③确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集．
（3）三个“二次”间的关系
Δ=b2–4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
（a>0）的图象
ax2+bx+c=0
（a>0）的根
有两个相异的实数
根x1，x2（x1有两个相等的实数
根x1=x2=–
没有实数根
ax2+bx+c>0
（a>0）的解集
{x|xx2}
{x|x≠–}
R
ax2+bx+c<0
（a>0）的解集
{x|x1φ
φ
3．分式不等式的解法
分式不等式进行等价转化的方向有两个，一是根据符号法则（同号商为正，异号商为负）将其转化为不等式组；二是根据商与积的符号之间的关系直接转化为整式不等式．21教育网
（1）>0?f（x）g（x）>0；（2）<0?f（x）g（x）<0；
（3）≥0? （4）≤0?
4．高次不等式的解法（穿针引线法）：
设，解不等式（或）时，将方程的根从小到大依次标到数轴上，作为针眼．用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼．数轴上方的部分为正，即为不等式的解；数轴下方的部分为负，即为不等式的解．21cnjy.com
注意：
（1）要求的最高次项系数为正；（即：每一个的系数为正，且，若，则不等式两边同时乘以，并改变不等号的方向）
（2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过）
（3），；
，；
（或）；
（4），当时，的符号是确定的；
（5）永远从数轴右上方开始；
（6）最后结果数轴上方的部分为不等式的解，数轴下方的部分为不等式的解；
（7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；
（8）穿针引线法可以用于解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等．
6．已知x，y满足不等式组，则x–2y的最大值为
A．6 B．2 C．–1 D．–2
【答案】C

线性规划的目标函数主要有三种形式：
（1）截距式：，主要根据目标函数对应的直线的纵截距判断最值；
（2）斜率式：，主要根据可行域内的点与定点的连线的斜率判断最值；
（3）距离式：，主要根据可行域内的点与定点的距离的平方判断最值．
7．已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵正实数x，y满足2x+y=1，则1，化为：xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．∴xy的最大值为．故选A．21*教*育*名*师
均值不等式：，（，），当且仅当时等号成立．
使用均值不等式，注意一正二定三相等的条件；求最值时，要注明等号成立条件．
8．根据给出的数塔猜测123456×9+7=
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
…
A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113
【答案】B
【解析】由1×9+2=11；
12×9+3=111；
123×9+4=1111；
1234×9+5=11111；
…
归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，
∴123456×9+7=1111111，故选B．
9．下列表述正确的是
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②
【答案】D
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象．也具有这些特征的推理．
特点
由部分到整体，由个别到一般的推理．
由特殊到特殊的推理
一般
步骤
（1）通过观察个别对象发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）．
（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；
（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
1．已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足ama=a，则的最小值为
A．1 B．
C．2 D．
【答案】A
数列与不等式的交汇问题．解决此类问题要熟记数列的公式，结合均值不等式，要注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等．www-2-1-cnjy-com
2．当时，8xA． B．
C． D．（）
【答案】B
【解析】∵，∴8x∈（1，2]，又当时，8x∵，∴a∈．故选B．
不等式恒成立问题，与函数的知识点交汇，可以借助图象，数形结合解决问题．
3．设a，b，c，d都是小于1的正数，
求证：4a（1–b），4b（1–c），4c（1–d），4d（1–a）这四个数不可能都大于1．
【答案】证明详见解析．
【解析】假设4a（1–b）>1，4b（1–c）>1，4c（1–d）>1，4d（1–a）>1，
则有a（1–b）>，b（1–c）>，c（1–d）>，d（1–a）>．
所以>，>，
>，>．
又因为≤≤，
≤≤，
所以>>，>>．
将上面各式相加得2>2，矛盾．
所以4a（1–b），4b（1–c），4c（1–d），4d（1–a）这四个数不可能都大于1．
1．直接证明
（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立2-1-c-n-j-y
（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止．
2．间接证明——反证法
（1）定义
假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法．
（2）适用范围
①否定性命题；
②命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语．
4．二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S．则由四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W=
A．4πr4 B．4πr2 C．2πr4 D．πr4
【答案】C
5．下列推理正确的是
A．把a（b+c）与loga（x+y）类比，则有：loga（x+y）=logax+logay
B．把a（a+b）与sin（x+y）类比，则有：sin（x+y）=sinx+siny
C．把（ab）n与（x+y）n类比，则有（x+y）n=xn+yn
D．把（a+b）+c与（xy）z类比，则有：（xy）z=x（yz）
【答案】D
【解析】根据对数运算法则，可得A不正确；利用和角的正弦公式，可得B不正确；利用乘方运算，可得C不正确；利用乘法的结合率，即可知D正确．故选D．
6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，…，则按照以上规律，若9具有“穿墙术”，则n=
A．25 B．48 C．63 D．80
【答案】D
【解析】由2，3，4，5，…，可得若9具有“穿墙术”，则n=92–1=80．故选D．
1．运用归纳推理的思维步骤：
①发现共性，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；
②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）．一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．www.21-cn-jy.com
2．类比推理应用的题型及相应方法
（1）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助定义．
（2）类比性质：对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程．
（3）类比方法：一些处理问题的方法类似，可以把这种方法类比应用到其他问题中，注意知识的迁移．
求解类比推理题的关键：①会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题（猜想）．
1．若a>1，0A．log2018a>log2018b B．logbaC．（a–c）ac>（a–c）ab D．（c–b）ac>（c–b）ab
2．已知a>0，b>0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于
A．4 B．8 C．16 D．32
3．方程x2–2ax+1=0的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为
A．11 C．–14．关于x的不等式x2–（a+1）x+a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是
A．（4，5） B．（–3，–2）∪（4，5）
C．（4，5] D．[–3，–2）∪（4，5]
5．不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则P∈B的概率为
A． B． C． D．
6．函数，则不等式f（x）>1的解集为
A．（1，2） B． C． D．[2，+∞）
7．若a>0，b>0，lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为
A．8 B．6 C．4 D．2
8．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为
A．12 B． C． D．2
9．已知点P（x，y）的坐标满足条件，且点P在直线3x+y–m=0上．则m的取值范围是
A．[–9，9] B．[–8，9] C．[–8，10] D．[9，10]
10．设，则
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a
11．设正实数a，b，c满足a2–3ab+4b2–c=0，则当取得最大值时，最大值为
A．0 B．1 C． D．3
12．设a>b>0，cA．ac>bd B． C． D．ac213．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是21·cn·jy·com
A．类比推理 B．三段论推理 C．归纳推理 D．传递性推理
14．用圆的下列性质，类比球的有关性质：
圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C=2πr；④圆的面积为S=πr2．【21·世纪·教育·网】
球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S=4πr2；④球的体积为V=πr3．
其中，类比所得结论正确的有
A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①③④
15．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
16．周末，某高校一学生宿舍甲、乙、丙、丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自在做的事情的一些判断：21*cnjy*com
①甲不在看书，也不在写信；
②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；
④丙不在看书，也不在写信．
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是
A．玩游戏 B．写信 C．听音乐 D．看书
17．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是【21cnj*y.co*m】
A．丙被录用了 B．乙被录用了
C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
18．已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数，，
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
19．不等式2>（）3（x–1）的解集为__________．
20．已知a，b，c为正实数，且，则的最小值为__________．
21．已知实数x,y满足约束条件,则的取值范围是__________．
1．【答案】C
【解析】根据对数函数的单调性可得log2018a>log2018b正确，logba1，00，∴（a–c）ac<（a–c）ab，故C不正确，∵c–b<0，∴（c–b）ac>（c–b）ab正确，故选C．
2．【答案】B
【解析】a>0，b>0，且a+2b=8，则ab=a?2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选B．21-cnjy*com
4．【答案】D
【解析】∵关于x的不等式x2–（a+1）x+a<0，∴不等式可能为（x–1）（x–a）<0，当a>1时得1[–3，–2）∪（4，5]．故选D．
5．【答案】A
【解析】分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为4×4=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则P∈B的概率为；故选A．
6．【答案】A
【解析】∵函数，不等式f（x）>1，即①，或②，解①求得18．【答案】A
【解析】画出约束条件表示的平面区域，如图所示．目标函数z=x+y化为y=–x+z，由，解得A（6，6）；所以目标函数z过点A时取得最大值，为zmax=6+6=12．故选A．
9．【答案】C
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
则目标函数3x+y–m=0转化为m=3x+y，目标函数过点A时，取得最小值，过点B时取得最大值；由，求得A（–3，1），由，求得B（3，1），则m=3x+y的最小值为3×（–3）+1=–8，最大值为3×3+1=10；∴m的取值范围是[–8，10]．故选C．【21教育名师】
10．【答案】D
【解析】，，，∴a<0，01，即c>b>a，故选D．
11．【答案】B
【解析】正实数a，b，c满足a2–3ab+4b2–c=0，可得c=a2–3ab+4b2，，由+≥2=4，当且仅当a=2b取得等号，则a=2b时，取得最大值，且c=2b2，=–（–1）2+1，当b=1时，取得最大值，且为1．故选B．
14．【答案】C
【解析】由类比的规则可得点类比线，线类比面，面类比体，长度类比面积，面积类比体积，由圆：①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦长相等；③圆的周长为C=2πr；④圆的面积为S=πr2．可得，球：①球心与截面圆（不过球心）的圆心的连线垂直于截面；②与球心的距离相等的两个截面的面积相等；③球的表面积为S=4πr2；④球的体积为V=πr3．其中正确答案为①②③④．故选C．
15．【答案】D
【解析】在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的．故选D．
16．【答案】D
【解析】由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在听音乐时，丙在玩游戏；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．
可列表如下：
当甲在听音乐时，则乙在看书，如表1；
看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
△
乙
△
×
×
丙
×
×
△
丁
△
由①甲不在看书，也不在写信及④丙不在看书，也不在写信，知当甲在玩游戏时，丙在听音乐；因为②乙不在写信，也不在听音乐，所以乙在看书；从而丁在写信．21世纪教育网
可列表如下：
当甲玩游戏时，则乙在看书，如表2．
看书
写信
听音乐
玩游戏
甲
×
×
△
乙
△
×
×
丙
×
×
△
丁
△
故选D．
17．【答案】C
【解析】假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．故选C．【21教育】
19．【答案】（–∞，–2）∪（3，+∞）
【解析】不等式2>（）3（x–1）化为2>23–3x，即x2–4x–3>3–3x，∴x2–x–6>0，解得x<–2或x>3，∴原不等式的解集为（–∞，–2）∪（3，+∞）．故答案为：（–∞，–2）∪（3，+∞）．
20．【答案】2
【解析】因为a，b，c为正实数，且，所以，所以
（当且仅当取“=”），所以的最小值为2．