导数中的不等式证明
【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！?放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。21世纪教育网
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度4 二元或多元不等式的解证思路
【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若均为任意实数，且，则的最小值为
【解析】由于均为任意实数，且，所以动点到定点的距离为定值1，亦即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆，21教育网
又表示与动点的距离，而的轨迹是曲线， ……﹝根据平方和的结构特征，联想距离公式﹞21cnjy.com
如图，，当且仅当共线，且点在线段上时取等号，
以为圆心作半径为的圆与相切，切点是，此时的公切线与半径垂直，，即，结合函数与的图象可知，21·cn·jy·com
所以，
故的最小值为.正确答案为D.
【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.2·1·c·n·j·y
【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设，其中，则的最小值为
【解析】由于表示点与点之间的距离，而点的轨迹是曲线，点的轨迹是曲线，如图所示，
又点到直线的距离为，自然想到转化为动点到抛物线准线的距离，结合抛物线的概念可得 ，
所以，当且仅当共线，
又以为圆心作半径为的圆与相切，切点是，此时的公切线与半径垂直，，即，所以，故.正确答案为C.www.21-cn-jy.com
【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为【21·世纪·教育·网】
【答案】.
导数中的不等式证明
【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！?放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。21教育网
命题角度1 构造函数
命题角度2 放缩法
命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路
命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
【典例10】（2018届合肥三模）已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是
解析：思路1：因为，如图所示，结合函数图象，则
，
，
若，则，不适合题意，则；
当时，，所以，即，所以实数的取值范围是.正确答案为C.
【评注】同理，，
，所以，
故，即，所以实数的取值范围是.
思路2：因为函数有零点，所以的解分别为，
因为函数有零点，所以的解分别为，
令，
①若，如图，总有，不适合题意；
②若，如图，总有，欲使，亦即，
所以，即，
两边平方，化简可得，所以.
所以实数的取值范围是.正确答案为C.
思路3：因为函数有零点，所以的解分别为，
因为函数有零点，所以的解分别为，
令，两个函数的交点的坐标分别为，如图所示，结合函数图象，欲使，则，所以实数的取值范围是.正确答案为C.21世纪教育网
思路4：（特例法）令，则函数有零点，函数有零点，此时满足，因此排除B；
再令，则函数有零点，函数有零点， 此时满足，因此排除A，D；
所以实数的取值范围是.正确答案为C.
