2018年高考数学（理）之高频考点解密解密19+椭圆

高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
椭圆的定义与标准方程及简单几何性质
从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.
2017新课标全国Ⅰ 20
2017新课标全国Ⅱ 20
2017新课标全国Ⅲ 5,10
2016新课标全国Ⅰ 20
2016新课标全国Ⅱ 20
2016新课标全国Ⅲ 11
2015新课标全国Ⅰ 14
2015新课标全国Ⅱ 20
★★★★★
直线与椭圆的位置关系及综合问题
2017新课标全国Ⅰ 20
2017新课标全国Ⅱ 20
2017新课标全国Ⅲ 5,10
2016新课标全国Ⅰ 20
2016新课标全国Ⅱ 20
2016新课标全国Ⅲ 11
2015新课标全国Ⅱ 20
★★★★★
考点1 椭圆的定义与标准方程
调研1 对于常数、，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示的曲线是椭圆，则有，所以“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
调研2 设，且，则椭圆和椭圆具有相同的
A．顶点 B．焦点
C．离心率 D．长轴和短轴
【答案】C
【解析】椭圆的离心率为，椭圆化为标准方程得，所以离心率为，所以两椭圆的离心率相同.故选C.
☆技巧点拨☆
求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）. 21cnjy.com
第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.【21cnj*y.co*m】
考点2 椭圆的简单几何性质
调研1 椭圆的左焦点为，为椭圆上的动点，是圆上的动点，则的最大值是_______________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为．由椭圆方程可知，所以，左焦点为，右焦点为．
故，
所以．
调研2 设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为5，则椭圆的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以的周长为，显然，当最小时，有最大值，而，所以，解得，，从而.故选A.
☆技巧点拨☆
1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．21*cnjy*com
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.www.21-cn-jy.com
2．求椭圆离心率问题的一般思路：
求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2，消去b即可求得离心率或离心率的范围.
考点3 直线与椭圆的位置关系
调研1 已知直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，为弦的中点，为坐标原点，若是以线段为底边的等腰三角形，则直线的斜率为?? ? ??????.
【答案】
【解析】由题意得，可得，即，所以椭圆的左焦点为.由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线为，直线与椭圆交于、，联立与，化简可得,所以；而点为的中点，所以点的横坐标为.因为是以为底边的等腰三角形，所以，即，，即直线的斜率为.
调研2 设是椭圆（）的左焦点，是上一点，且与轴垂直，若，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）以椭圆的左顶点为的直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【答案】；（2）.
【解析】（1）因为点，与轴垂直，.
所以或，
则，即，
故椭圆的方程为.
（2）点，设直线的方程为（），
联立方程得，消去得，
设，则，
所以，
所以，
直线的方程为，
同理可得，
所以的面积，
令，
因为，所以，当且仅当时取等号.
因为在上单调递增，
所以，
所以,即面积的最大值为.
【名师点睛】椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高考重点考查的知识点与考点之一，常以解答题的形式出现.求解本题的第一问时，依据题设条件建立方程组，解得，从而使得问题获解；求解第二问时，先建立直线的方程为（），再与椭圆方程联立，运用直线与椭圆的位置关系中的坐标关系建立面积关于斜率的函数关系，进而运用函数的单调性进行分析求解，使得问题获解. 21*教*育*名*师
☆技巧点拨☆
1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置.
2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．21世纪教育网
(2)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解.21-cnjy*com
3．具体解题步骤：
对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.
(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b的形式.
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.
(3)一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|.
1．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷信息卷））在区间上随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为【21·世纪·教育·网】
A． B．
C． D．
【答案】B
2．（山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试）若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为2-1-c-n-j-y
A． B．或
C． D．或
【答案】A
3．（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为【21教育】
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由△AF1B的周长为，可知.
解得，则.
设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得.即.①
又，所以，②
由①②解得：.
所以椭圆C的方程为.故选C．
【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.
4．（湖北省荆州市2018届高三质量检查（III））设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．
【答案】

5．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模））已知椭圆 的左、右顶点分别为，.
（Ⅰ）求椭圆的长轴长与离心率；
（Ⅱ）若不垂直于轴的直线与椭圆相交于，两点，直线与交于点，直线与交于点.求证：直线垂直于轴.21教育网
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）椭圆的方程可化为,
所以.
所以长轴长为，离心率
【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2·1·c·n·j·y
（Ⅰ）由椭圆的方程可化为,可得，所以长轴长为，离心率；
（Ⅱ）设直线的方程为，的方程为， 联立可得，同理可得，可证明且，从而可得，进而可得结果.www-2-1-cnjy-com

1．（2017新课标全国卷Ⅲ理科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
2．（2016新课标全国卷Ⅲ理科）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】A
3．（2017新课标全国卷Ⅰ理科）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】（1）；（2）见解析.
.
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，于是l：，即，
所以l过定点（2，）.
【思路点拨】（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；21·世纪*教育网
（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.【21教育名师】
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.
4．（2017新课标全国卷Ⅱ理科）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】（1） ；（2）见解析．
由得，又由（1）知，故．
所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．
【思路点拨】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得，即，据此即可得出结论．
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
5．（2016新课标全国卷Ⅰ理科）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（I）（）；（II）.
6．（2016新课标全国卷Ⅱ理科）已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k > 0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当时，求k的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（II）由题意，，.
将直线的方程代入得.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即.
当时上式不成立，
因此.等价于，
即.由此得，或，解得.
因此的取值范围是.
【思路点拨】（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；
（Ⅱ）设，写出A点坐标，并求直线的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由及t的取值范围求的取值范围.
【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．21·cn·jy·com