黄岩中学易错题研究（力学中的运动学动力学曲线运动万有引力振动和波）
文档属性
| 名称 | 黄岩中学易错题研究（力学中的运动学动力学曲线运动万有引力振动和波） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 825.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2008-06-03 08:30:00 | ||
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文档简介
聪明的人有时也会摔倒，但决不会在同一个地方摔倒第二次!
进入高三以后，许多考生的学习成绩波动都很大，如何才能使考生的成绩稳中有升呢？我们对大量高三学生的学习过程进行跟踪研究发现：每个人在学习过程中，尤其是大大小小的模拟考试中，出现的错误五花入门，“错题”呈现了“个性化”趋势。正是这些不起眼的一个小小错误导致我们考场失分，怎样避免这些错误呢？对错题进行重做重解无疑是一个良好的途径。
根据对学科特点的分析，对成千上万各类型的错题进行归类，提炼出学科常易错试题的典型“错误类型”，并从错误类型的特点出发，提炼出针对某类错误的解题策略。按照学科要求划分专题，对专题内典型、易错的试题进行归类、剖析，以期考生能够“从山之石”之中获得“宝玉”。
我们选取的试题皆选自高考真题和最新的模拟试题，目的是让考生对常考易错的考点进行“考场练兵”，从而使学习成绩稳步提高。
一、质点的运动
一、主要内容
本章内容包括位移、路程、时间、时刻、平均速度、即时速度、线速度、角速度、加速度等基本概念，以及匀变速直线运动的规律、平抛运动的规律及圆周运动的规律。在学习中要注意准确理解位移、速度、加速度等基本概念，特别应该理解位移与距离（路程）、速度与速率、时间与时刻、加速度与速度及速度变化量的不同。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：利用物理量间的函数关系图像研究物体的运动规律的方法，这也是形象、直观的研究物理问题的一种基本方法。这些具体方法中所包含的思想，在整个物理学研究问题中都是经常用到的。因此，在学习过程中要特别加以体会。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对要领理解不深刻，如加速度的大小与速度大小、速度变化量的大小，加速度的方向与速度的方向之间常混淆不清；对位移、速度、加速度这些矢量运算过程中正、负号的使用出现混乱：在未对物体运动（特别是物体做减速运动）过程进行准确分析的情况下，盲目地套公式进行运算等。
例1、经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？
【错解分析】错解：设汽车A制动后40s的位移为s1 ，货车B在这段时
S2= v2t = 6×40=240（m）
两车位移差为400－240=160（m）
因为两车刚开始相距180m＞160m
所以两车不相撞。
这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致错解。
【正确解答】如图1－8汽车A以v0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。据加速度公式可求出a=-0.5m/s2当A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞。
△S＝364－168＝196＞180（m）
所以两车相撞。
【小结】分析追击问题应把两物体的位置关系图画好。如图1—8，通过此图理解物理情景。本题也可以借图像帮助理解图1-9中。阴影区是A车比B车多通过的最多距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞。小于、等于则不相撞。从图中也可以看出A车速度成为零时，不是A车比B车多走距离最多的时刻，因此不能作为临界条件分析。
例2．从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体A、B的速度图象如图所示。在0—t0时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两个物体的加速度大小都在不断减小
B．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断减小
C．A、B物体的位移都不断增大
D．A、B两个物体的平均速度大小都大于
【错误】漏选C，认为物体B的位移在减小。
【解析】由图象可看出，A、B两物体的v-t图线的斜率都在减小，即加速度减小；且图线所包围的面积都在t轴上方，则位移均在增加；在0～t时间内，A物体的位移大于初末速度相同的匀加速运动的位移，其>，B物体的位移小于相同速度变化的匀加速运动的位移，<所以选（BC ）
例3．空间探测器从某一星球表面竖直升空。已知探测器质量为1500Kg，发动机推动力为恒力。探测器升空后发动机因故障突然关闭，如图是探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图线，则由图象可判断该探测器在星球表面达到的最大高度Hm为多少？发动机的推动力F为多少？
【错误】认为8s对应的是最大高度，∴
【解析】由图线可知，探测器能达到的最大高度即是图线所包围的面积，星球表面的重力加速度，，而，∴。
例4．图A是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度。图B中p1、、p2是测速仪发出的超声波信号，n1、n2是p1、p2由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、p2之间的时间间隔Δt＝1.0 s，超声波在空气中传播的速度是 v＝340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图B可知，汽车在接收到p1、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 ，汽车的速度是 m/s。
图A
【错误】不能在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值关系形象的物理图象。
【解析】B图上的标尺每小格代表的时间是，P1信号发射时收到信号的时间间隔，汽车距离为，P2信号发射时收到信号的时间间隔，汽车此时的距离为，∴P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是17m；汽车的速度是17.9m/s。
二、牛顿运动定律（静力学、动力学）
一、主要内容
本章内容包括力的概念及其计算方法，重力、弹力、摩擦力的概念及其计算，牛顿运动定律，物体的平衡，失重和超重等概念和规律。其中重点内容重力、弹力和摩擦力在牛顿第二定律中的应用，这其中要求学生要能够建立起正确的“运动和力的关系”。因此，深刻理解牛顿第一定律，则是本章中运用牛顿第二定律解决具体的物理问题的基础。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：力的分解与合成的平行四边形法则，这是所有矢量进行加、减法运算过程的通用法则；运用牛顿第二定律解决具体实际问题时，常需要将某一个物体从众多其他物体中隔离出来进行受力分析的“隔离法”，隔离法是分析物体受力情况的基础，而对物体的受力情况进行分析又是应用牛顿第二定律的基础。因此，这种从复杂的对象中隔离出某一孤立的物体进行研究的方法，在本章中便显得十分重要。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对物体受力情况不能进行正确的分析，其原因通常出现在对弹力和摩擦力的分析与计算方面，特别是对摩擦力（尤其是对静摩擦力）的分析；对运动和力的关系不能准确地把握，如在运用牛顿第二定律和运动学公式解决问题时，常表现出用矢量公式计算时出现正、负号的错误，其本质原因就是对运动和力的关系没能正确掌握，误以为物体受到什么方向的合外力，则物体就向那个方向运动。
例1、如图2－14物体静止在斜面上，现用水平外力F推物体，在外力F由零逐渐增加的过程中，物体始终保持静止，物体所受摩擦力怎样变化？
【错解分析】错解一：以斜面上的物体为研究对象，物体受力如图2－15，物体受重力mg，推力F，支持力N，静摩擦力f，由于推力F水平向右，所以物体有向上运动的趋势，摩擦力f的方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律列方程
f+mgsinθ=Fcosθ ①
N-Fsinθ－mgcosθ=0 ②
由式①可知，F增加f也增加。所以在变化过程中摩擦力是增加的。
错解二：有一些同学认为摩擦力的方向沿斜面向上，则有F增加摩擦力减少。
上述错解的原因是对静摩擦力认识不清，因此不能分析出在外力变化过程中摩擦力的变化。
【正确解答】本题的关键在确定摩擦力方向。由于外力的变化物体在斜面上的运动趋势有所变化，如图2－15，当外力较小时（Fcosθ＜mgsinθ）物体有向下的运动趋势，摩擦力的方向沿斜面向上。F增加，f减少。与错解二的情况相同。如图2－16，当外力较大时（Fcosθ＞mgsinθ）物体有向上的运动趋势，摩擦力的方向沿斜面向下，外力增加，摩擦力增加。当Fcosθ=mgsinθ时，摩擦力为零。所以在外力由零逐渐增加的过程中，摩擦力的变化是先减小后增加。
【小结】若斜面上物体沿斜面下滑，质量为m，物体与斜面间的摩擦因数为μ，我们可以考虑两个问题巩固前面的分析方法。
（1）F为怎样的值时，物体会保持静止。（2）F为怎样的值时，物体从静止开始沿斜面以加速度a运动。
受前面问题的启发，我们可以想到F的值应是一个范围。
首先以物体为研究对象，当F较小时，如图2－15物体受重力mg、支持力N、斜向上的摩擦力f和F。物体刚好静止时，应是F的边界值，此时的摩擦力为最大静摩擦力，可近似看成f静=μN（最大静摩擦力）如图建立坐标，据牛顿第二定律列方程
当F从此值开始增加时，静摩擦力方向开始仍然斜向上，但大小减小，当F增加到FCOSθ= mgsinθ时，即F= mg·tgθ时，F再增加，摩擦力方向改为斜向下，仍可以根据受力分析图2-16列出方程
随着F增加，静摩擦力增加，F最大值对应斜向下的最大静摩擦力。
要使物体静止F的值应为
关于第二个问题提醒读者注意题中并未提出以加速度a向上还是向下运动，应考虑两解，此处不详解此，给出答案供参考。
例2、 如图2－17，m和M保持相对静止，一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑，则M和m间的摩擦力大小是多少？
【错解分析】错解：以m为研究对象，如图2－18物体受重力mg、支持力N、摩擦力f，如图建立坐标有
再以m＋M为研究对象分析受力，如图2－19，
（m＋M）g·sinθ=（M＋m）a③
据式①，②，③解得f = 0 所以m与M间无摩擦力。
造成错解主要是没有好的解题习惯，只是盲目的模仿，似乎解题步骤不少，但思维没有跟上。要分析摩擦力就要找接触面，摩擦力方向一定与接触面相切，这一步是堵住错误的起点。犯以上错误的客观原因是思维定势，一见斜面摩擦力就沿斜面方向。归结还是对物理过程分析不清。
【正确解答】因为m和M保持相对静止，所以可以将（m＋M）整体视为研究对象。受力，如图2－19，受重力（M十m）g、支持力N′如图建立坐标，根据牛顿第二定律列方程
x：(M+m)gsinθ=(M+m)a ① 解得a = gsinθ
沿斜面向下。因为要求m和M间的相互作用力，再以m为研究对象，受力如图2－20。
根据牛顿第二定律列方程
因为m，M的加速度是沿斜面方向。需将其分解为水平方向和竖直方向如图2－21。
由式②，③，④，⑤解得f = mgsinθ·cosθ
方向沿水平方向m受向左的摩擦力，M受向右的摩擦力。
【小结】 此题可以视为连接件问题。连接件问题对在解题过程中选取研究对象很重要。有时以整体为研究对象，有时以单个物体为研究对象。整体作为研究对象可以将不知道的相互作用力去掉，单个物体作研究对象主要解决相互作用力。单个物体的选取应以它接触的物体最少为最好。如m只和M接触，而M和m还和斜面接触。
另外需指出的是，在应用牛顿第二定律解题时，有时需要分解力，有时需要分解加速度，具体情况分析，不要形成只分解力的认识。
例3、如图2－22质量为M，倾角为α的楔形物A放在水平地面上。质量为m的B物体从楔形物的光滑斜面上由静止释放，在B物体加速下滑过程中，A物体保持静止。地面受到的压力多大？
【错解分析】错解：以A，B整体为研究对象。受力如图2－23，因为A物体静止，所以N=G=（M＋m）g。 由于A，B的加速度不同，所以不能将二者视为同一物体。忽视了这一点就会造成错解。
【正确解答】分别以A，B物体为研究对象。A，B物体受力分别如图2－24a，2－24b。根据牛顿第二定律列运动方程，A物体静止，加速度为零。
x：Nlsinα-f=0 ① y：N-Mg-Nlcosα=0 ②
B物体下滑的加速度为a，
x：mgsinα=ma ③ y：Nl-mgcosα=0 ④
由式①，②，③，④解得N=Mg＋mgcosα 根据牛顿第三定律地面受到的压力为Mg十mgcosα。
【小结】 在解决物体运动问题时，在选取研究对象时，若要将几个物体视为一个整体做为研究对象，应该注意这几个物体必须有相同的加速度。
例4、 如图2-25物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上。A，B质量分别为mA=6kg，mB=2kg，A，B之间的动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则 [ ]
A．当拉力F＜12N时，两物体均保持静止状态
B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动
C．两物体间从受力开始就有相对运动
D．两物体间始终没有相对运动
【错解分析】错解：因为静摩擦力的最大值近似等于滑动摩擦力。fmax=μN=0.2×6=12（N）。所以当F＞12N时，A物体就相对B物体运动。F＜12N时，A相对B不运动。所以A，B选项正确。
产生上述错误的原因一般是对A选项的理解不正确，A中说两物体均保持静止状态，是以地为参考物，显然当有力F作用在A物体上，A，B两物体对地来说是运动的。二是受物体在地面上运动情况的影响，而实际中物体在不固定物体上运动的情况是不同的。
【正确解答】 首先以A，B整体为研究对象。受力如图2-26，在水平方向只受拉力F，根据牛顿第二定律列方程F=(mA+mB)a ①
再以B为研究对象，如图2-27，B水平方向受摩擦力f = mBa ②
代入式①F=（6+2）×6=48N
由此可以看出当F＜48N时A，B间的摩擦力都达不到最大静摩擦力，也就是说，A，B间不会发生相对运动。所以D选项正确。
【小结】 物理解题中必须非常严密，一点的疏忽都会导致错误。避免错误发生的最好方法就是按规范解题。每一步都要有依据。
例5、 如图2－28，有一水平传送带以2m/s的速度匀速运动，现将一物体轻轻放在传送带上，若物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，则传送带将该物体传送10m的距离所需时间为多少？
【错解分析】错解：由于物体轻放在传送带上，所以v0=0，物体在竖直方向合外力为零，在水平方向受到滑动摩擦力（传送带施加），做v0=0的匀加速运动，位移为10m。
据牛顿第二定律F = ma有f =μmg = ma，a =μg =5m/s2
上述解法的错误出在对这一物理过程的认识。传送带上轻放的物体的运动有可能分为两个过程。一是在滑动摩擦力作用下作匀加速直线运动；二是达到与传送带相同速度后，无相对运动，也无摩擦力，物体开始作匀速直线运动。关键问题应分析出什么时候达到传送带的速度，才好对问题进行解答。
【正确解答】以传送带上轻放物体为研究对象，如图2－29在竖直方向受重力和支持力，在水平方向受滑动摩擦力，做v0=0的匀加速运动。
据牛二定律：F = ma
有水平方向：f = ma ①
竖直方向：N－mg = 0 ②
f=μN ③
由式①，②，③解得a = 5m/s2
设经时间tl，物体速度达到传送带的速度，据匀加速直线运动的速度公式
vt=v0+at ④
解得t1= 0.4s
物体位移为0.4m时，物体的速度与传送带的速度相同，物体0.4s后无摩擦力，开始做匀速运动
S2= v2t2⑤
因为S2=S－S1=10-0.4 =9.6（m），v2=2m/s
代入式⑤得t2=4.8s
则传送10m所需时间为t = 0.4＋4.8=5.2s。
【小结】本题是较为复杂的一个问题，涉及了两个物理过程。这类问题应抓住物理情景，带出解决方法，对于不能直接确定的问题可以采用试算的方法，如本题中错解求出一直做匀加速直线运动经过10m用2s，可以拿来计算一下，2s末的速度是多少，计算结果v =5×2=10（m/s），已超过了传送带的速度，这是不可能的。当物体速度增加到2m/s时，摩擦力瞬间就不存在了。这样就可以确定第2个物理过程。
例6、 如图2-30，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体P处于静止。P的质量为12kg，弹簧的劲度系数k=800N/m。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速运动。已知在前0.2s内F是变化的，在0.2s以后F是恒力，则F的最小值是多少，最大值是多少？
【错解分析】错解：
F最大值即N = 0时，F = ma+mg=210(N)
错解原因是对题所叙述的过程不理解。把平衡时的关系G = F+N，不自觉的贯穿在解题中。
【正确解答】解题的关键是要理解0.2s前F是变力，0.2s后F是恒力的隐含条件。即在0.2s前物体受力和0.2s以后受力有较大的变化。
以物体P为研究对象。物体P静止时受重力G、称盘给的支持力N。
因为物体静止，∑F=0 N = G = 0 ①
N = kx0②
设物体向上匀加速运动加速度为a。
此时物体P受力如图2-31受重力G，拉力F和支持力N′
据牛顿第二定律有
F+N′－G = ma ③
当0.2s后物体所受拉力F为恒力，即为P与盘脱离，即弹簧无形变，由0～0.2s内物体的位移为x0。物体由静止开始运动，则
将式①，②中解得的x0= 0.15m代入式③解得a = 7.5m/s2
F的最小值由式③可以看出即为N′最大时，即初始时刻N′=N = kx。
代入式③得
Fmin= ma + mg－kx0 =12×(7.5+10)-800×0.15 =90(N)
F最大值即N=0时，F = ma+mg = 210（N）
【小结】本题若称盘质量不可忽略，在分析中应注意P物体与称盘分离时，弹簧的形变不为0，P物体的位移就不等于x0，而应等于x0-x（其中x即称盘对弹簧的压缩量）。
例7、（06全国高考题）一水平的浅色传送带上放一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。
【错解分析】错解：根据“传送带上留下了一段黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生相对滑动，煤块的加速度a小于传送带恒定的加速度a0。根据牛顿第二定律可得
设经历时间t传送带由静止开始加速到速度v0，煤块由静止加速到速度v，有
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s有
传送带留下的黑色痕迹长度 ……
错误原因在于传送带以后是匀速运动忘记了，即漏了一个过程的分析
【正确解答】根据“传送带上留下了一段黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生相对滑动，煤块的加速度a小于传送带恒定的加速度a0。根据牛顿第二定律可得
设经历时间t传送带由静止开始加速到速度v0，煤块由静止加速到速度v，有
由于，故，煤块继续受摩擦力作用加速。再经时间t/，煤块速度由v增加到v0，有 此后煤块与传送带相对静止，不再产生新的痕迹。
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s有
传送带留下的黑色痕迹长度
由以上各式得
例8．如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，下面悬挂一个质量为m的砝码A，手持木板B托住A缓慢向上压弹簧，至某一位置静止。此时如果撤去B，则A的瞬时加速度为。现用手控制B使之以的加速度向下做匀加速直线运动。求：
（1）砝码A能够做匀加速运动的时间？
（2）砝码A做匀加速运动的过程中，弹簧弹力对它做了多少功 木板B对它的支持力做了多少功？
错误：不会分析出分离时的位置；变力做功不会具体分析特殊的情况。
解析：（1）设初始状态弹簧压缩量为x1则kx1＋mg=m×
可得x1=
当B以匀加速向下运动时，由于a＜g，所以弹簧在压缩状态时A、B不会分离，分离时弹簧处于伸长状态. 设此时弹簧伸长量为x2，则mg－kx2= m×
可得x2=
A匀加速运动的位移s=x1+x2=
s= 解得:
（2）∵x1=x2
∴这一过程中弹簧对物体A的弹力做功为0
A、B分离时
由动能定理得：
代入得：
例9．（05年全国高考）如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩，开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但并不继续上升．若将C将成另一质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g．
错误：能量关系的应用，学生怎么也运用不出，弹性势能与弹簧形变量的关系是一个障碍，在期末考试中也体现出来了。
【解析】开始时，A、B都静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1 = m1g 挂上C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚离开地时弹簧伸长量为x2，则有kx2 = m2g B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点，由机械能守恒定律可知，与初状态相比，弹簧弹性势能的增加量为：△E = m3g（x1+x2）- m1g（x1+x2）
?C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，由机械能守恒有：
（m3+m1）υ2+m1υ2 = （m3+m1）g（x1+x2）- m1g（x1+x2） -△E
得（m3+2m1）υ2 = m1g（x1+x2） ?
则υ =
三、曲线运动、万有引力
一、主要内容
本章内容包括平抛运动、圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，万有引力定律、天体、卫星等问题。其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，一是利用运动合成与分解的方法研究平抛运动的问题，这是将复杂的问题利用分解的方法将其划分为若干个简单问题的基本方法。二是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。三是有关天体、人造卫星等问题，要建立好动力学方程。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对物体做圆周运动时的受力情况不能做出正确的分析，特别是物体在水平面内做圆周运动，静摩擦力参与提供向心力的情况；对牛顿运动定律、圆周运动的规律及机械能守恒定律等知识内容不能综合地灵活应用，如对于被绳（或杆、轨道）束缚的物体在竖直面的圆周运动问题，由于涉及到多方面知识的综合，表现出解答问题时顾此失彼。在天体、人造卫星等问题中，把静止问题与匀速圆周运动、椭圆运动混淆，把重力与万有引力、向心力混淆，造成错解。
例1、正在高空水平匀速飞行的飞机，每隔1s释放一个重球，先后共释放5个，不计空气阻力，则 （ ）
A.这5个小球在空中排成一条直线
B.这5个小球在空中处在同一抛物线上
C.在空中，第1，2两个球间的距离保持不变
D.相邻两球的落地间距相等
【错解分析】错解：因为5个球先后释放，所以5个球在空中处在同一抛物线上，又因为小球都做自由落体运动，所以C选项正确。
形成错解的原因是只注意到球做平抛运动，但没有理解小球做平抛的时间不同，所以它们在不同的抛物线上，小球在竖直方向做自由落体运动，但是先后不同。所以C选项不对。
【正确解答】释放的每个小球都做平抛运动。水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，只是开始的时刻不同。飞机和小球的位置如图1－7可以看出A，D选项正确。
【小结】解这类题时，决不应是想当然，而应依据物理规律画出运动草图，这样会有很大的帮助。如本题水平方向每隔1s过位移一样，投小球水平间距相同，抓住特点画出各个球的轨迹图，这样答案就呈现出来了。
例2、如图1－10所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮，拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？
【错解分析】错解：将绳的速度按图1－11所示的方法分解，则v1即为船的水平速度v1= v·cosθ。
上述错误的原因是没有弄清船的运动情况。实际上船是在做平动，每一时刻船上各点都有相同的水平速度。而AO绳上各点运动比较复杂，既有平动又有转动。以连接船上的A点来说，它有沿绳的平动分速度v，也有与v垂直的法向速度vn，即转动分速度，A点的合速度vA即为两个分速度的和。vA=v/cosθ
【正确解答】方法一：小船的运动为平动，而绳AO上各点的运动是平动+转动。以连接船上的A点为研究对象，如图1-12，A的平动速度为v，转动速度为vn，合速度vA即与船的平动速度相同。则由图可以看出vA=v/cosθ。
【小结】方法二：我们可以把绳子和滑轮看作理想机械。人对绳子做的功等于绳子对船做的功。我们所研究的绳子都是轻质绳，绳上的张力相等。对于绳上的C点来说即时功率P人绳=F·v。对于船上A点来说P绳船=FvAcos
解答的方法一，也许学生不易理解绳上各点的运动。从能量角度来讲也可以得到同样的结论。还应指出的是要有实际力、实际加速度、实际速度才可分解。
例3、 一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，要使船划到对岸时航程最短，船头应指向什么方向？最短航程是多少？
【错解分析】错解：要使航程最短船头应指向与岸垂直的方向。最短航程为L。
上而错解的原因是对运动的合成不理解。船在水中航行并不是船头指向什么方向就向什么方向运动。它的运动方向是船在静水中的速度方向与水流方向共同决定的。要使航程最短应是合速度垂直于岸。
【正确解答】题中没有给出v1与v2的大小关系，所以应考虑以下可能情况。
此种情况下航程最短为L。
②当v2＜v1时，如图1－14船头斜向上游，与岸夹角为θ时，用三角形法则分析当它的方向与圆相切时，航程最短，设为S，由几何关系可知此时v2⊥v（合速度）（θ≠0）
③当v2=v1时，如图1－15，θ越小航程越短。（θ≠0）
【小结】航程最短与时间最短是两个不同概念。航程最短是指合位移最小。时间最短是指用最大垂直河岸的速度过河的时间。解决这类问题的依据就是合运动与分运动的等时性及两个方向运动的独立性。
例4、 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P点自由滑下则
A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边
C.物块将会落在Q点的右边
D.物块有可能落不到地面上
【错解分析】错解：因为皮带轮转动起来以后，物块在皮带轮上的时间长，相对皮带位移变大，摩擦力做功将比皮带轮不转动时多，物块在皮带右端的速度将小于皮带轮不动时，所以落在Q点左边，应选B选项。
学生的错误主要是对物体的运动过程中的受力分析不准确。实质上当皮带轮逆时针转动时，无论物块以多大的速度滑下来，传送带给物块施的摩擦力都是相同的，且与传送带静止时一样，由运动学公式知位移相同。从传送带上做平抛运动的初速相同。水平位移相同，落点相同。
【正确解答】物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动。离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q点，所以A选项正确。
【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。
（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边。
（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边。
（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边。
例5、 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。
【错解分析】错解：依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有
B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有
因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有
错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。
【正确解答】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有
同理m2在最高点有
m2球由最高点到最低点机械能守恒
【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
例6、 使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？
【错解分析】错解：如图4-2所示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A时的势能等于它在圆形轨道最低点B时的动能（以B点作为零势能位置），所以为
从而得
小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足
式中，NA为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=0时，
【正确解答】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。小球在圆形轨道最高点A时满足方程
根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程
解(1)，(2)方程组得
轨道的最高点A。
例7、 从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
设A，B两颗卫星的质量分别为mA，mB。
这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
可见，在“错解”中把A，B两卫星的重力加速度gA，gB当作相同的g来处理是不对的。
【正确解答】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
【小结】 我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。
例8、我们可以发射这样的人造卫星，使其轨道 （ ）
、与地球表面上某一些纬度线（非赤道）是共面同心圆
、与地球表面上某一经线是共面同心圆
、与地球表面上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球静止
、与地球表面上赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球运动
【易错选原因分析】 多选。认为由于地球对卫星的万有引力提供卫星圆周运动的向心力，则卫星轨道圆心在地球的球心，所以答案为： 、、均正确。错选的主要原因是对极地卫星运转轨道理解上存在误解。
【正确分析与解答】
可视为极地卫星，如果地球停止自转，极地轨道卫星便和地球表面上某一经度线成共面同心圆， 事实上由于地球的自转，极地轨道卫星不可能总与这一经线成共面同心圆，而是在地球自转一周的时间内，所有经度线都和极地卫星轨道依次成共面同心圆一次。故正确答案为： 、。
例9、下列那些仪器在宇宙飞船中仍能正常使用？ （ ）
天平、 温度计、 比重计、 单摆、水银气压计
【易错选原因分析】天平 比重计。学生非常清楚天平是用来测物体质量的，而质量是物体固有的属性，它不因物体的位置、运动状态而改变，故其认为天平可用。比重计的错误主要是对其原理所覆盖的知识点遗忘，因为这是初中的物理知识了。
【正确分析与解答】温度计
天平的工作原理是杠杆平衡条件：动力动力臂=阻力阻力臂（动力和阻力分别指的是物体和砝码对盘的压力），即天平利用的是压力矩平衡，在卫星内的物体均处于完全失重状态，无论物体和砝码的质量如何，对盘的压力均为零，天平总平衡，故此时天平不能用于测量物体质量。
对比重计而言，压强的产生是由于压力而不是重力产生的，处于完全失重的环境，浸在液体中的物体上、下表面压力差为零，浮力为零，此时比重计也就不能用来测量物体的密度了。
例10、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是,远地点离行星中心的距离为,若卫星在近地点的速率为,则卫星在远地点时的速率多少？
【易错】卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有，在远地点时有，上述两式相比得，故。
【正确分析与解答】以上错误在于将向心力表达式中的“轨道半径”（曲率半径），直接等同于天体之间的距离，同时又认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于。所以，在近地点时有，在远地点时有，上述两式相比得，故。对于此类问题，教学过程中特别要强调天体距离与轨道半径是不同的概念。
例11、将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于点，2、3相切于点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是
A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道2上经过点时的向心加速度等于它在轨道1上经过点时的向心加速度
D．卫星在轨道2上经过点的加速度等于它在轨道3上经过点时的加速度
【易错】卫星通过1、2轨道上的Q点是速度相等，根据V2/R得C选项正确
【正确分析与解答】BD 没有理解火箭发射过程中的变轨过程对火箭速度的影响，错认为同一点速度相同，此外对于加速度与向心加速度概念模糊，认为天体运动中两者是一样的，而这两者相同的前提是万有引力全部用来提供向心力。
例12、一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为（为地球半径），卫星的运行方向与地球自转方向相同，设地球自转的角速度为，若某时刻卫星通过赤道上某一建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物正上方所需要的时间。
【易错】直接运用万有引力提供向心力：得
, 故判断有：。其他解略。本题除了关系容易运用出错外，并有不能描绘运动的动态图景，无法建立关系方程的问题。
【正确分析与解答】运用错误的原因是忽略了地球表面的物体在随地球一起自转，考虑自转后，地球对其表面物体的万有引力并不完全用来提供物体做圆周运动的向心力，所以依据上述理论判断它们的角速度大小，出现错误是必然的了，这也是学生容易忽略的地方。表面上看该题也考查了引力关系运用是否得当的问题，但同时也体现了对运动过程中的“追遇”问题的考查，即对于追遇问题中物体的运动快慢一定要关注，那么通过对角速度的比较应该是一个很好的突破口，要想运用引力提供向心力的关系，就只有通过对同步卫星角速度与地球上空该卫星运转角速度的比较，才能得出快慢的结论。根据万有引力提供向心力通过对地球同步卫星（同步卫星距地面高度）轨道半径与赤道上空的该卫星的轨道半径的比较，就可以得出角速度大小的关系。
根据教学中对地球同步卫星定高度的计算可知其到地球表面的距离是，而地球的半径，则地球同步卫星的运转轨道半径。此时依据万有引力提供向心力：得可知同步卫星的角速度，即有赤道上空卫星下次通过该建筑物上空时比地球自转多了一周，故有如下方程：
依据上述分析可得到：
联立方程（1）、（2）、（3）可得时间
万有引力部分极易出现错误的地方就是对地球自转问题的关注程度不够，审题时没注意是否考虑自转，特别是对于地球表面物体的问题更应该注意，忽略自转时有：（为中心天体地球的球半径，为地球表面重力加速度）；考虑自转时在地球赤道上有（为中心天体地球的球半径，为地球表面物体受到的支持力，大小等于此时物体的重力，为地球自转角速度）。
例13、A、B两颗人造卫星绕地球做圆周运动，它们的圆轨道在同一平面内，周期之比是。若两颗卫星最近距离等于地球半径R，求这两颗卫星的周期各是多少？从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间？已知在地面附近绕地球做圆周运动的卫星的周期为T0。
【易错原因分析】学生对于运动的动态图景的想象分析存在困难，无法建立关系方程进行解答。
【正确分析与解答】设B卫星轨道半径为r2，则A卫星轨道半径为r1=r2+R
解得r2=2R，r1=3R
可得：
设A、B两卫星从相距最近开始经过时间t第一次达到相距最远，有
解得时间 （或＝3.1T0）
此题也说明了物理情景分析的重要性，教学过程中要重视学生动态物理过程分析思维的锻炼。
四、机械运动、机械波
一、主要内容
本章内容包括机械振动、回复力、振幅、周期、频率、简谐振动、受迫振动、共振、机械波、波长、波速、横波、纵波、波的干涉和衍射等基本概念，以及单摆振动的周期规律、简谐运动的图像、简谐运动中的能量转化规律、波的图像、波长和频率与波速之间的关系等规律。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：由于振动和波动的运动规律较为复杂，且限于中学数学知识的水平，因此对于这部分内容不可能像研究直线运动、平抛、圆周运动那样从运动方向出发描述和研究物体的运动，而是利用图象法对物体做简谐运动的运动规律及振动在介媒中的传播过程进行描述与研究。图像法具有形象、直观等优点，其中包含有丰富的物理信息，在学习时同学们要注意加以体会；另外，在研究单摆振动的过程中，对于单摆所受的回复力特点的分析，采取了小摆角的近似的处理，这是一种理想化物理过程的方法。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对于诸如机械振动、简谐运动、受迫振动、共振、阻尼振动、等幅振动等众多的有关振动的概念不能深刻的理解，从而造成混淆；不能从本质上把握振动图象和波的图象的区别和联系，这主要是由于振动的图象与波的图象形式上非常相似，一些学生只注意图象的形状，而忽略了图象中坐标轴所表示的物理意义，因此造成了将两个图象相混淆。另外，由于一些学生对波的形成过程理解不够深刻，导致对于波在传播过程中时间和空间的周期性不能真正的理解和把握；由于干涉和衍射的发生条件、产生的现象较为抽象，所以一些学生不能准确地把握相关的知识内容，表现为抓不住现象的主要特征、产生的条件混淆不清。
例1．关于回复力的说法，正确的是 ( )
A．回复力是指物体受到的指向平衡位置的力
B．回复力是指物体受的合外力
C．回复力是以力的作用效果来命名的，可以是弹力，也可以是重力或摩擦力，还可以是几个力的合力
D．回复力实质上是向心力
【错解】AB或D
【辩析】回复力不同于向心力，回复力是使物体回到平衡位置的力，不一定指向平衡位置，可以是某个力的分力或是几个力的合力。
【正解】C
例2．一个盛满砂的具有一定质量的小筒悬挂在天花板下，使其作小角度的摆动，小筒下部有一个小孔，在摆动过程中砂粒不断地从小孔中漏下，则这个摆的周期将：
A．始终不变 B．不断增大
C．不断减小 D．前面的结论都不对
【错解】B
【辩析】错解在于对问题的考虑不全面，只考虑到砂粒落下，摆的重心不断下降，相当
于摆长不断增大，因而周期不断增大，但忽略了容器本身的重心。事实上，应考虑容器
和砂的合重心的位置变化，合重心的位置先逐渐降低后又逐渐向上回升。
【正解】（D）
例3．两列波长相同的水波发生干涉现象,若在某时刻点恰好是两列波的波峰相遇,点处恰好是两列波的波谷相遇,则
A.经过一段时间后点可由振动加强变为振动减弱点
B.、两点始终处于最大或最小位移处
C.在振动加强的区域,有时质点的位移等于零
D.在振动减弱的区域,各质点都处于波谷
【错解】ABD
【辩析】错解在于对产生干涉现象时，干涉区域各质点的振动形成稳定的分布不理解，误认为振动的增强点和减弱点的位置可互换，增强点的质点位移可从零变为正向最大值（即波峰），或反向最大值（即波谷），当作是增强点转化为减弱点。事实上，在干涉现象中，振动的减弱带上的各质点的振幅始终为最小，振动增强带上各质点的振幅始终是最大的，振动加强的始终是加强的。
【正解】C
例4．波速均为V=1.2m/s的甲、乙两列简谐横波都沿X轴正方向传播，某时刻波的图象分别如图所示，其中P、Q处的质点均处于波峰。关于这两列波下列说法正确的是：
A．如果这两列波相遇可能产生稳定的干涉图样
B．甲波中的P处质点比M处质点先回到平衡位置
C．甲波中的P处质点振动频率小于乙波中的Q质点振动频率
D．从图示的时刻开始，经过1.0s，P、Q质点通过的位移均为1.2m
【错解】D
【辩析】错解原因在于混淆质点的振动和波的传播，振动方向和传播互相垂直，质点作
变加速运动，而波在均匀介质中做匀速传播。
【正解】B
例5．如图所示,甲图为一列简谐波在时的波形图,乙图为质点的振动图象,则由此二图可得（ ）
A.波向右传
B.时,的振动方向为轴的正方向
C.这列波的波速为
D.时,处于正的最大位移处
【正解】BD
【错解】许多同学对于波动图象和振动图象的结合感觉有困难，容易出错。
例6、如图6-1所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？
【错解】 对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求B球到达O点的时间：
对A球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点
【错解原因】 上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为B球在圆形轨道上自B点释放后可以做往
上述解答漏掉一些解，即上述解答只是多个解答中的一个。
对B球振动周期
到达O点的时间为
显然，前面的解仅仅是当n=0时的其中一解而已。
【评析】 在解决与振动有关的问题时，要充分考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个。
例7、一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
度也大，因而时间短，所以t1＞t2，应选C。
错解三：因为这是一个变加速运动问题，不能用匀速运动或匀变速运动规律求解，因而无法判断t1和t2的大小关系，所以选D。
【错解原因】 主要是对简谐运动的特殊运动规律不清楚，只记住了周期公式，没注意分析简谐运动的全过程，没能深入地理解和掌握这种运动形式的特点。因而解题时错误地沿用了匀速或匀变速运动的规律，选择A的同学就是用匀速运动规律去解，而选择C的同学用了匀变速运动规律去解，因而错了。事实上，简谐运动的过程有其自身的许多规律，我们应该用它的特殊规律去求解问题，而不能用匀速或匀变速运动规律去求解。
【分析解答】 方法一：用图象法，画出x-t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2，因而正确答案为：B。
方法二：从图象为正弦曲线和数学知识可写出位移随时间的函数关系式，物理学上称为振动方程，从平衡位置开始，振子的振动方程为：
【评析】 以上两种方法，第一种方法是定性分析，在选择题练习时，是要重点掌握的。第二种方法可以进行定量计算，但由于要涉及振动方程，所以不做统一要求。
t'=nT+t2。此处，为了题目简明起见，题文中用了“第一次”和“最短时间”等字样。否则就无法比较两个过程所用时间的长短。
例8、 图6-6中实线是一列简谐波在某一时刻的波形图线，虚线是0.2s后它的波形图线。这列波可能的传播速度是_______。
【错解】 从图上可以看出波长λ=4m，而从两次的波形图可知：
v=5m/s．
【错解原因】
面的。实际上，只有当波向右（沿x正方向）传播时，上述关系才成立。
【分析解答】 从图上可以看出λ=4m。
当波沿x正方向传播时，两次波形之间间隔的时间为：
此题的答案为：（20n+5）m/s和（20m+15）m/s，（n=0，1，2，…）
【评析】 对于这种已知条件较为含糊的波的问题，要从波的传播方向、时间和空间的周期性等方面进行全面周到的分析，这也是解决机械波问题时，初学者经常忽略的问题。
例9、一简谐波的波源在坐标原点o处，经过一段时间振动从o点向右传播20cm到Q点，如图6-7所示，P点离开o点的距离为30cm，试判断P质点开始振动的方向。
传到P点，所以画出如图6-8所示的波形图。因为波源在原点，波沿x轴正方向传播，所以可判定，P点开始振动的方向是沿y轴正方向（即向上）。
【错解原因】 主要原因是把机械波的图象当成机械振动的图象看
面的波形也变化了。
【分析解答】 因为原图中的波形经历了半个周期的波形如图6-9所示，在此波形基础上，向前延长半个波形即为P点开始振动时的波形图，因为波源在原点处，所以介质中的每个质点都被其左侧质点带动，所以P点在刚开始时的振动方向沿y轴负方向（即向下）从另外一个角度来看，原图中Q点开始振动时是向下的，因为所有质点开始振动时的情况均相同，所以P点开始振动的方向应是向下的。
【评析】 本题中的错解混淆了振动图象与波的图象，那么这两个图象有什么不同呢？（1）首先两个图象的坐标轴所表示的物理意义不同：振动图象的横坐标表示时间，而波动图象的横坐标表示介质中各振动质点的平衡位置。（2）两个图象所描述的对象不同：振动图象描述的是一个质点的位移随时间的变化情况，而波的图象描述的是介质中的一群质点某一时刻各自振动所到达的位置情况。通俗地说：振动图象相当于是在一般时间内一个质点运动的“录像”，而波的图象则是某一时刻一群质点振动的“照片”。（3）随着时间的推移，振动图象原来的形状（即过去质点不同时刻所到达的位置不再发生变化，而波的图象由于各质点总在不断地振动，因此随着时间的推移，原有的图象将发生周期性变化。
例10、图6-10是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。
=62.5个波长，其波形如图6-13。
【错解原因】 错解一、错解二没有重视单位的一致性，在此题中波长从图中只能得出λ=8cm，而波速给出的却是国际单位4m/s。因此，求周期时，应先将波长的单位统一到国际单位制上来。
错解三虽然计算对了，但是，在波向前（沿x轴正方向）传播了62.5个波长时的波形，应是在原来的波形基础上向x正方扩展62.5个波长。
播一个波长。经过62.5个周期，波向前传播了62.5个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而
形，如图6-14。再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图6-15。
【评析】 波形图反映了波在传播过程中某时刻在波的传播方向上各质点离开平衡位置的位移情况，由于波只能以有限的速度向前传播，所以离振源远的质点总要滞后一段时间，滞后的时间与传播的距离成正比，即滞后一个周期。两个质点之间的平衡位置距离就是一个波长，经过多少个周期，波就向前传播了多少个波长，而振源就做了多少次全振动，这就是此类问题的关键所在。
例11、如图6-16所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x=5m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，下面说法中正确的是 [ ]
A．这列波的波长是4m
B．这列波的传播速度是10m/s
C．质点Q（x=9m）经过0.5s才第一次到达波峰
D．M点以后各质点开始振动时的方向都是向下
【错解】 错解一：由题中说P点相继出现两个波峰的时间间隔为
错解二：质点Q（x=9m），经过0.4s（此处用了正确的周期结果
所以C对。
错解三：M点以后各质点的振动有的向上，有的向下，所以D不对。
【错解原因】 错解一对“相继出现两个波峰”理解有误。
错解二对质点Q（x=9m）处，当波传到它以后，该点应如何振动不会分析，实际上也就是对波的传播原理不明白。不知道波的传播是机械振动在介质中传递的过程，质点要依次被带动形成波。
同理，错解三对M点以后各点运动情况分析有误，实际上M点以后各点运动情况向上还是向下取决于波的传播方向。
【分析解答】 （1）从图6-16上可以看出波长为4m，选A。
（2）实际上“相继出现两个波峰”应理解为，出现第一波峰与出现第二个波峰之间的时间间隔。因为在一个周期内，质点完成一次全振动，而一次全振动应表现为“相继出现两个波峰”，即T=0.4s。则v=
（3）质点Q（x=9m）经过0.4s开始振动，而波是沿x轴正方向传播，即介质中的每一个质点都被它左侧的质点所带动，从波向前传播的波形图6-17可以看出，0.4s波传到Q时，其左侧质点在它下方，所以Q点在0.5s时处于波谷。再经过0.2s即总共经过0.7s才第一次到达波峰，所以选项C错了。
（4）从波的向前传播原理可以知道，M以后的每个质点都是先向下振动的。所以选项D是对的。
此题正确答案为A，B，D。
例12、 如图6－18所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a，b两点，相距14.0m，b点在a点的右方，当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正最大时，b点的位移恰为零且向下运动。经过1.00s后a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰达到负最大，则这简谐波的波速可能等于 [ ]
A.4.67m/s B.6m/s C.10m/s D.4m/s
v=4.67m/s选择A。
但此题可能多选，考虑到a，b之间满足条件的情况还可
解得：v=10m/s 选择C
解得：v=11.5m/s显然不符合题目中的选项，且通过分析可知v=14m/s也是不对的，所以正确答案为A，C。
【错解原因】以上答案并没有错，但分析问题的过程出现了明显的
漏了不少结论。而此题做为选择题，学生能用错误的思维方式得出符合答案的结果，纯属偶然。
波长λ有一系列数据，周期T也有一系列数据，从波的概念出发，两者并无一一对应，因而波速应为
其解为当n=0，N=0，1，2……
n=1，N=0，1，2……
n=2，N=0，1，2……
我们可以通过列表来看一看波速的各种可能值：
N n
0 1 2 3 …
0 4.67 2 1.27 0.933
1 23.3 10 6.36 4.67
2 42 18 11.5 8.4
3 60.7 26 16.6 12.1
… … … … … …
从表中可以看出，4.67m/s及10m/s即为正确答案。所以正确答案应选A，C。
【评析】这是1996年一道高考题，当年不少考生考试时也选对了答案，但这些考生思考问题时有着明显的片面性，只从n=N的情况去考虑问题，当n=N=0时，4.67m/s，当n=N=1时，v=10m/s，当n=N=2时v=11.5m/s……，把长度的周期性与时间的周期性混为一谈。若此题的四个选项中变化一个为v=2m/s（即n=1，N=0时），上述思维片面的考生可能就会漏选，因此，一定要对题目进行全面周到的分析。
例13、 一简谐波的波源在坐标原点o处，经过一段时间振动从o点向右传播20cm到Q点，如下左图所示，P点离开o点的距离为30cm，试判断P质点开始振动的方向。
【错解】 从图看，P点到Q点相差λ/2，则波再向前传播λ/2就传到P点，所以画出如上右图所示的波形图。因为波源在原点，波沿x轴正方向传播，所以可判定，P点开始振动的方向是沿y轴正方向（即向上）。主要原因是把机械波的图象当成机械振动的图象看待。
【分析解答】 因为原图中的波形经历了半个周期的波形如右图所示，在此波形基础上，向前延长半个波形即为P点开始振动时的波形图，因为波源在原点处，所以介质中的每个质点都被其左侧质点带动，所以P点在刚开始时的振动方向沿y轴负方向（即向下）从另外一个角度来看，原图中Q点开始振动时是向下的，因为所有质点开始振动时的情况均相同，所以P点开始振动的方向应是向下的。
图B
A
A
B
图1
1
2 3
Q
68
进入高三以后，许多考生的学习成绩波动都很大，如何才能使考生的成绩稳中有升呢？我们对大量高三学生的学习过程进行跟踪研究发现：每个人在学习过程中，尤其是大大小小的模拟考试中，出现的错误五花入门，“错题”呈现了“个性化”趋势。正是这些不起眼的一个小小错误导致我们考场失分，怎样避免这些错误呢？对错题进行重做重解无疑是一个良好的途径。
根据对学科特点的分析，对成千上万各类型的错题进行归类，提炼出学科常易错试题的典型“错误类型”，并从错误类型的特点出发，提炼出针对某类错误的解题策略。按照学科要求划分专题，对专题内典型、易错的试题进行归类、剖析，以期考生能够“从山之石”之中获得“宝玉”。
我们选取的试题皆选自高考真题和最新的模拟试题，目的是让考生对常考易错的考点进行“考场练兵”，从而使学习成绩稳步提高。
一、质点的运动
一、主要内容
本章内容包括位移、路程、时间、时刻、平均速度、即时速度、线速度、角速度、加速度等基本概念，以及匀变速直线运动的规律、平抛运动的规律及圆周运动的规律。在学习中要注意准确理解位移、速度、加速度等基本概念，特别应该理解位移与距离（路程）、速度与速率、时间与时刻、加速度与速度及速度变化量的不同。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：利用物理量间的函数关系图像研究物体的运动规律的方法，这也是形象、直观的研究物理问题的一种基本方法。这些具体方法中所包含的思想，在整个物理学研究问题中都是经常用到的。因此，在学习过程中要特别加以体会。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对要领理解不深刻，如加速度的大小与速度大小、速度变化量的大小，加速度的方向与速度的方向之间常混淆不清；对位移、速度、加速度这些矢量运算过程中正、负号的使用出现混乱：在未对物体运动（特别是物体做减速运动）过程进行准确分析的情况下，盲目地套公式进行运算等。
例1、经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？
【错解分析】错解：设汽车A制动后40s的位移为s1 ，货车B在这段时
S2= v2t = 6×40=240（m）
两车位移差为400－240=160（m）
因为两车刚开始相距180m＞160m
所以两车不相撞。
这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条件。汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致错解。
【正确解答】如图1－8汽车A以v0=20m/s的初速做匀减速直线运动经40s停下来。据加速度公式可求出a=-0.5m/s2当A车减为与B车同速时是A车逼近B车距离最多的时刻，这时若能超过B车则相撞，反之则不能相撞。
△S＝364－168＝196＞180（m）
所以两车相撞。
【小结】分析追击问题应把两物体的位置关系图画好。如图1—8，通过此图理解物理情景。本题也可以借图像帮助理解图1-9中。阴影区是A车比B车多通过的最多距离，这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞。小于、等于则不相撞。从图中也可以看出A车速度成为零时，不是A车比B车多走距离最多的时刻，因此不能作为临界条件分析。
例2．从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体A、B的速度图象如图所示。在0—t0时间内，下列说法中正确的是（ ）
A．A、B两个物体的加速度大小都在不断减小
B．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断减小
C．A、B物体的位移都不断增大
D．A、B两个物体的平均速度大小都大于
【错误】漏选C，认为物体B的位移在减小。
【解析】由图象可看出，A、B两物体的v-t图线的斜率都在减小，即加速度减小；且图线所包围的面积都在t轴上方，则位移均在增加；在0～t时间内，A物体的位移大于初末速度相同的匀加速运动的位移，其>，B物体的位移小于相同速度变化的匀加速运动的位移，<所以选（BC ）
例3．空间探测器从某一星球表面竖直升空。已知探测器质量为1500Kg，发动机推动力为恒力。探测器升空后发动机因故障突然关闭，如图是探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图线，则由图象可判断该探测器在星球表面达到的最大高度Hm为多少？发动机的推动力F为多少？
【错误】认为8s对应的是最大高度，∴
【解析】由图线可知，探测器能达到的最大高度即是图线所包围的面积，星球表面的重力加速度，，而，∴。
例4．图A是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，测出被测物体的速度。图B中p1、、p2是测速仪发出的超声波信号，n1、n2是p1、p2由汽车反射回来的信号。设测速仪匀速扫描，p1、p2之间的时间间隔Δt＝1.0 s，超声波在空气中传播的速度是 v＝340m/s，若汽车是匀速行驶的，则根据图B可知，汽车在接收到p1、p2两个信号之间的时间内前进的距离是 ，汽车的速度是 m/s。
图A
【错误】不能在大脑中直接形成测速仪发射和接受超声波以及两个超声波在传播过程中量值关系形象的物理图象。
【解析】B图上的标尺每小格代表的时间是，P1信号发射时收到信号的时间间隔，汽车距离为，P2信号发射时收到信号的时间间隔，汽车此时的距离为，∴P1、P2两个信号之间的时间内前进的距离是17m；汽车的速度是17.9m/s。
二、牛顿运动定律（静力学、动力学）
一、主要内容
本章内容包括力的概念及其计算方法，重力、弹力、摩擦力的概念及其计算，牛顿运动定律，物体的平衡，失重和超重等概念和规律。其中重点内容重力、弹力和摩擦力在牛顿第二定律中的应用，这其中要求学生要能够建立起正确的“运动和力的关系”。因此，深刻理解牛顿第一定律，则是本章中运用牛顿第二定律解决具体的物理问题的基础。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：力的分解与合成的平行四边形法则，这是所有矢量进行加、减法运算过程的通用法则；运用牛顿第二定律解决具体实际问题时，常需要将某一个物体从众多其他物体中隔离出来进行受力分析的“隔离法”，隔离法是分析物体受力情况的基础，而对物体的受力情况进行分析又是应用牛顿第二定律的基础。因此，这种从复杂的对象中隔离出某一孤立的物体进行研究的方法，在本章中便显得十分重要。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对物体受力情况不能进行正确的分析，其原因通常出现在对弹力和摩擦力的分析与计算方面，特别是对摩擦力（尤其是对静摩擦力）的分析；对运动和力的关系不能准确地把握，如在运用牛顿第二定律和运动学公式解决问题时，常表现出用矢量公式计算时出现正、负号的错误，其本质原因就是对运动和力的关系没能正确掌握，误以为物体受到什么方向的合外力，则物体就向那个方向运动。
例1、如图2－14物体静止在斜面上，现用水平外力F推物体，在外力F由零逐渐增加的过程中，物体始终保持静止，物体所受摩擦力怎样变化？
【错解分析】错解一：以斜面上的物体为研究对象，物体受力如图2－15，物体受重力mg，推力F，支持力N，静摩擦力f，由于推力F水平向右，所以物体有向上运动的趋势，摩擦力f的方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律列方程
f+mgsinθ=Fcosθ ①
N-Fsinθ－mgcosθ=0 ②
由式①可知，F增加f也增加。所以在变化过程中摩擦力是增加的。
错解二：有一些同学认为摩擦力的方向沿斜面向上，则有F增加摩擦力减少。
上述错解的原因是对静摩擦力认识不清，因此不能分析出在外力变化过程中摩擦力的变化。
【正确解答】本题的关键在确定摩擦力方向。由于外力的变化物体在斜面上的运动趋势有所变化，如图2－15，当外力较小时（Fcosθ＜mgsinθ）物体有向下的运动趋势，摩擦力的方向沿斜面向上。F增加，f减少。与错解二的情况相同。如图2－16，当外力较大时（Fcosθ＞mgsinθ）物体有向上的运动趋势，摩擦力的方向沿斜面向下，外力增加，摩擦力增加。当Fcosθ=mgsinθ时，摩擦力为零。所以在外力由零逐渐增加的过程中，摩擦力的变化是先减小后增加。
【小结】若斜面上物体沿斜面下滑，质量为m，物体与斜面间的摩擦因数为μ，我们可以考虑两个问题巩固前面的分析方法。
（1）F为怎样的值时，物体会保持静止。（2）F为怎样的值时，物体从静止开始沿斜面以加速度a运动。
受前面问题的启发，我们可以想到F的值应是一个范围。
首先以物体为研究对象，当F较小时，如图2－15物体受重力mg、支持力N、斜向上的摩擦力f和F。物体刚好静止时，应是F的边界值，此时的摩擦力为最大静摩擦力，可近似看成f静=μN（最大静摩擦力）如图建立坐标，据牛顿第二定律列方程
当F从此值开始增加时，静摩擦力方向开始仍然斜向上，但大小减小，当F增加到FCOSθ= mgsinθ时，即F= mg·tgθ时，F再增加，摩擦力方向改为斜向下，仍可以根据受力分析图2-16列出方程
随着F增加，静摩擦力增加，F最大值对应斜向下的最大静摩擦力。
要使物体静止F的值应为
关于第二个问题提醒读者注意题中并未提出以加速度a向上还是向下运动，应考虑两解，此处不详解此，给出答案供参考。
例2、 如图2－17，m和M保持相对静止，一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑，则M和m间的摩擦力大小是多少？
【错解分析】错解：以m为研究对象，如图2－18物体受重力mg、支持力N、摩擦力f，如图建立坐标有
再以m＋M为研究对象分析受力，如图2－19，
（m＋M）g·sinθ=（M＋m）a③
据式①，②，③解得f = 0 所以m与M间无摩擦力。
造成错解主要是没有好的解题习惯，只是盲目的模仿，似乎解题步骤不少，但思维没有跟上。要分析摩擦力就要找接触面，摩擦力方向一定与接触面相切，这一步是堵住错误的起点。犯以上错误的客观原因是思维定势，一见斜面摩擦力就沿斜面方向。归结还是对物理过程分析不清。
【正确解答】因为m和M保持相对静止，所以可以将（m＋M）整体视为研究对象。受力，如图2－19，受重力（M十m）g、支持力N′如图建立坐标，根据牛顿第二定律列方程
x：(M+m)gsinθ=(M+m)a ① 解得a = gsinθ
沿斜面向下。因为要求m和M间的相互作用力，再以m为研究对象，受力如图2－20。
根据牛顿第二定律列方程
因为m，M的加速度是沿斜面方向。需将其分解为水平方向和竖直方向如图2－21。
由式②，③，④，⑤解得f = mgsinθ·cosθ
方向沿水平方向m受向左的摩擦力，M受向右的摩擦力。
【小结】 此题可以视为连接件问题。连接件问题对在解题过程中选取研究对象很重要。有时以整体为研究对象，有时以单个物体为研究对象。整体作为研究对象可以将不知道的相互作用力去掉，单个物体作研究对象主要解决相互作用力。单个物体的选取应以它接触的物体最少为最好。如m只和M接触，而M和m还和斜面接触。
另外需指出的是，在应用牛顿第二定律解题时，有时需要分解力，有时需要分解加速度，具体情况分析，不要形成只分解力的认识。
例3、如图2－22质量为M，倾角为α的楔形物A放在水平地面上。质量为m的B物体从楔形物的光滑斜面上由静止释放，在B物体加速下滑过程中，A物体保持静止。地面受到的压力多大？
【错解分析】错解：以A，B整体为研究对象。受力如图2－23，因为A物体静止，所以N=G=（M＋m）g。 由于A，B的加速度不同，所以不能将二者视为同一物体。忽视了这一点就会造成错解。
【正确解答】分别以A，B物体为研究对象。A，B物体受力分别如图2－24a，2－24b。根据牛顿第二定律列运动方程，A物体静止，加速度为零。
x：Nlsinα-f=0 ① y：N-Mg-Nlcosα=0 ②
B物体下滑的加速度为a，
x：mgsinα=ma ③ y：Nl-mgcosα=0 ④
由式①，②，③，④解得N=Mg＋mgcosα 根据牛顿第三定律地面受到的压力为Mg十mgcosα。
【小结】 在解决物体运动问题时，在选取研究对象时，若要将几个物体视为一个整体做为研究对象，应该注意这几个物体必须有相同的加速度。
例4、 如图2-25物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上。A，B质量分别为mA=6kg，mB=2kg，A，B之间的动摩擦因数μ=0.2，开始时F=10N，此后逐渐增加，在增大到45N的过程中，则 [ ]
A．当拉力F＜12N时，两物体均保持静止状态
B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12N时，开始相对滑动
C．两物体间从受力开始就有相对运动
D．两物体间始终没有相对运动
【错解分析】错解：因为静摩擦力的最大值近似等于滑动摩擦力。fmax=μN=0.2×6=12（N）。所以当F＞12N时，A物体就相对B物体运动。F＜12N时，A相对B不运动。所以A，B选项正确。
产生上述错误的原因一般是对A选项的理解不正确，A中说两物体均保持静止状态，是以地为参考物，显然当有力F作用在A物体上，A，B两物体对地来说是运动的。二是受物体在地面上运动情况的影响，而实际中物体在不固定物体上运动的情况是不同的。
【正确解答】 首先以A，B整体为研究对象。受力如图2-26，在水平方向只受拉力F，根据牛顿第二定律列方程F=(mA+mB)a ①
再以B为研究对象，如图2-27，B水平方向受摩擦力f = mBa ②
代入式①F=（6+2）×6=48N
由此可以看出当F＜48N时A，B间的摩擦力都达不到最大静摩擦力，也就是说，A，B间不会发生相对运动。所以D选项正确。
【小结】 物理解题中必须非常严密，一点的疏忽都会导致错误。避免错误发生的最好方法就是按规范解题。每一步都要有依据。
例5、 如图2－28，有一水平传送带以2m/s的速度匀速运动，现将一物体轻轻放在传送带上，若物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，则传送带将该物体传送10m的距离所需时间为多少？
【错解分析】错解：由于物体轻放在传送带上，所以v0=0，物体在竖直方向合外力为零，在水平方向受到滑动摩擦力（传送带施加），做v0=0的匀加速运动，位移为10m。
据牛顿第二定律F = ma有f =μmg = ma，a =μg =5m/s2
上述解法的错误出在对这一物理过程的认识。传送带上轻放的物体的运动有可能分为两个过程。一是在滑动摩擦力作用下作匀加速直线运动；二是达到与传送带相同速度后，无相对运动，也无摩擦力，物体开始作匀速直线运动。关键问题应分析出什么时候达到传送带的速度，才好对问题进行解答。
【正确解答】以传送带上轻放物体为研究对象，如图2－29在竖直方向受重力和支持力，在水平方向受滑动摩擦力，做v0=0的匀加速运动。
据牛二定律：F = ma
有水平方向：f = ma ①
竖直方向：N－mg = 0 ②
f=μN ③
由式①，②，③解得a = 5m/s2
设经时间tl，物体速度达到传送带的速度，据匀加速直线运动的速度公式
vt=v0+at ④
解得t1= 0.4s
物体位移为0.4m时，物体的速度与传送带的速度相同，物体0.4s后无摩擦力，开始做匀速运动
S2= v2t2⑤
因为S2=S－S1=10-0.4 =9.6（m），v2=2m/s
代入式⑤得t2=4.8s
则传送10m所需时间为t = 0.4＋4.8=5.2s。
【小结】本题是较为复杂的一个问题，涉及了两个物理过程。这类问题应抓住物理情景，带出解决方法，对于不能直接确定的问题可以采用试算的方法，如本题中错解求出一直做匀加速直线运动经过10m用2s，可以拿来计算一下，2s末的速度是多少，计算结果v =5×2=10（m/s），已超过了传送带的速度，这是不可能的。当物体速度增加到2m/s时，摩擦力瞬间就不存在了。这样就可以确定第2个物理过程。
例6、 如图2-30，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体P处于静止。P的质量为12kg，弹簧的劲度系数k=800N/m。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速运动。已知在前0.2s内F是变化的，在0.2s以后F是恒力，则F的最小值是多少，最大值是多少？
【错解分析】错解：
F最大值即N = 0时，F = ma+mg=210(N)
错解原因是对题所叙述的过程不理解。把平衡时的关系G = F+N，不自觉的贯穿在解题中。
【正确解答】解题的关键是要理解0.2s前F是变力，0.2s后F是恒力的隐含条件。即在0.2s前物体受力和0.2s以后受力有较大的变化。
以物体P为研究对象。物体P静止时受重力G、称盘给的支持力N。
因为物体静止，∑F=0 N = G = 0 ①
N = kx0②
设物体向上匀加速运动加速度为a。
此时物体P受力如图2-31受重力G，拉力F和支持力N′
据牛顿第二定律有
F+N′－G = ma ③
当0.2s后物体所受拉力F为恒力，即为P与盘脱离，即弹簧无形变，由0～0.2s内物体的位移为x0。物体由静止开始运动，则
将式①，②中解得的x0= 0.15m代入式③解得a = 7.5m/s2
F的最小值由式③可以看出即为N′最大时，即初始时刻N′=N = kx。
代入式③得
Fmin= ma + mg－kx0 =12×(7.5+10)-800×0.15 =90(N)
F最大值即N=0时，F = ma+mg = 210（N）
【小结】本题若称盘质量不可忽略，在分析中应注意P物体与称盘分离时，弹簧的形变不为0，P物体的位移就不等于x0，而应等于x0-x（其中x即称盘对弹簧的压缩量）。
例7、（06全国高考题）一水平的浅色传送带上放一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度a0开始运动，当其速度达到v0后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。
【错解分析】错解：根据“传送带上留下了一段黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生相对滑动，煤块的加速度a小于传送带恒定的加速度a0。根据牛顿第二定律可得
设经历时间t传送带由静止开始加速到速度v0，煤块由静止加速到速度v，有
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s有
传送带留下的黑色痕迹长度 ……
错误原因在于传送带以后是匀速运动忘记了，即漏了一个过程的分析
【正确解答】根据“传送带上留下了一段黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生相对滑动，煤块的加速度a小于传送带恒定的加速度a0。根据牛顿第二定律可得
设经历时间t传送带由静止开始加速到速度v0，煤块由静止加速到速度v，有
由于，故，煤块继续受摩擦力作用加速。再经时间t/，煤块速度由v增加到v0，有 此后煤块与传送带相对静止，不再产生新的痕迹。
设在煤块的速度从0增加到v0的整个过程中，传送带和煤块移动的距离分别为s0和s有
传送带留下的黑色痕迹长度
由以上各式得
例8．如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，下面悬挂一个质量为m的砝码A，手持木板B托住A缓慢向上压弹簧，至某一位置静止。此时如果撤去B，则A的瞬时加速度为。现用手控制B使之以的加速度向下做匀加速直线运动。求：
（1）砝码A能够做匀加速运动的时间？
（2）砝码A做匀加速运动的过程中，弹簧弹力对它做了多少功 木板B对它的支持力做了多少功？
错误：不会分析出分离时的位置；变力做功不会具体分析特殊的情况。
解析：（1）设初始状态弹簧压缩量为x1则kx1＋mg=m×
可得x1=
当B以匀加速向下运动时，由于a＜g，所以弹簧在压缩状态时A、B不会分离，分离时弹簧处于伸长状态. 设此时弹簧伸长量为x2，则mg－kx2= m×
可得x2=
A匀加速运动的位移s=x1+x2=
s= 解得:
（2）∵x1=x2
∴这一过程中弹簧对物体A的弹力做功为0
A、B分离时
由动能定理得：
代入得：
例9．（05年全国高考）如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩，开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但并不继续上升．若将C将成另一质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g．
错误：能量关系的应用，学生怎么也运用不出，弹性势能与弹簧形变量的关系是一个障碍，在期末考试中也体现出来了。
【解析】开始时，A、B都静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1 = m1g 挂上C并释放后，C向下运动，A向上运动，设B刚离开地时弹簧伸长量为x2，则有kx2 = m2g B不再上升，表示此时A和C的速度为零，C已降到最低点，由机械能守恒定律可知，与初状态相比，弹簧弹性势能的增加量为：△E = m3g（x1+x2）- m1g（x1+x2）
?C换成D后，当B刚离地时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，由机械能守恒有：
（m3+m1）υ2+m1υ2 = （m3+m1）g（x1+x2）- m1g（x1+x2） -△E
得（m3+2m1）υ2 = m1g（x1+x2） ?
则υ =
三、曲线运动、万有引力
一、主要内容
本章内容包括平抛运动、圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，万有引力定律、天体、卫星等问题。其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，一是利用运动合成与分解的方法研究平抛运动的问题，这是将复杂的问题利用分解的方法将其划分为若干个简单问题的基本方法。二是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。三是有关天体、人造卫星等问题，要建立好动力学方程。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对物体做圆周运动时的受力情况不能做出正确的分析，特别是物体在水平面内做圆周运动，静摩擦力参与提供向心力的情况；对牛顿运动定律、圆周运动的规律及机械能守恒定律等知识内容不能综合地灵活应用，如对于被绳（或杆、轨道）束缚的物体在竖直面的圆周运动问题，由于涉及到多方面知识的综合，表现出解答问题时顾此失彼。在天体、人造卫星等问题中，把静止问题与匀速圆周运动、椭圆运动混淆，把重力与万有引力、向心力混淆，造成错解。
例1、正在高空水平匀速飞行的飞机，每隔1s释放一个重球，先后共释放5个，不计空气阻力，则 （ ）
A.这5个小球在空中排成一条直线
B.这5个小球在空中处在同一抛物线上
C.在空中，第1，2两个球间的距离保持不变
D.相邻两球的落地间距相等
【错解分析】错解：因为5个球先后释放，所以5个球在空中处在同一抛物线上，又因为小球都做自由落体运动，所以C选项正确。
形成错解的原因是只注意到球做平抛运动，但没有理解小球做平抛的时间不同，所以它们在不同的抛物线上，小球在竖直方向做自由落体运动，但是先后不同。所以C选项不对。
【正确解答】释放的每个小球都做平抛运动。水平方向的速度与飞机的飞行速度相等，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，只是开始的时刻不同。飞机和小球的位置如图1－7可以看出A，D选项正确。
【小结】解这类题时，决不应是想当然，而应依据物理规律画出运动草图，这样会有很大的帮助。如本题水平方向每隔1s过位移一样，投小球水平间距相同，抓住特点画出各个球的轨迹图，这样答案就呈现出来了。
例2、如图1－10所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮，拉船靠岸，在某一时刻绳的速度为v，绳AO段与水平面夹角为θ，不计摩擦和轮的质量，则此时小船的水平速度多大？
【错解分析】错解：将绳的速度按图1－11所示的方法分解，则v1即为船的水平速度v1= v·cosθ。
上述错误的原因是没有弄清船的运动情况。实际上船是在做平动，每一时刻船上各点都有相同的水平速度。而AO绳上各点运动比较复杂，既有平动又有转动。以连接船上的A点来说，它有沿绳的平动分速度v，也有与v垂直的法向速度vn，即转动分速度，A点的合速度vA即为两个分速度的和。vA=v/cosθ
【正确解答】方法一：小船的运动为平动，而绳AO上各点的运动是平动+转动。以连接船上的A点为研究对象，如图1-12，A的平动速度为v，转动速度为vn，合速度vA即与船的平动速度相同。则由图可以看出vA=v/cosθ。
【小结】方法二：我们可以把绳子和滑轮看作理想机械。人对绳子做的功等于绳子对船做的功。我们所研究的绳子都是轻质绳，绳上的张力相等。对于绳上的C点来说即时功率P人绳=F·v。对于船上A点来说P绳船=FvAcos
解答的方法一，也许学生不易理解绳上各点的运动。从能量角度来讲也可以得到同样的结论。还应指出的是要有实际力、实际加速度、实际速度才可分解。
例3、 一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，要使船划到对岸时航程最短，船头应指向什么方向？最短航程是多少？
【错解分析】错解：要使航程最短船头应指向与岸垂直的方向。最短航程为L。
上而错解的原因是对运动的合成不理解。船在水中航行并不是船头指向什么方向就向什么方向运动。它的运动方向是船在静水中的速度方向与水流方向共同决定的。要使航程最短应是合速度垂直于岸。
【正确解答】题中没有给出v1与v2的大小关系，所以应考虑以下可能情况。
此种情况下航程最短为L。
②当v2＜v1时，如图1－14船头斜向上游，与岸夹角为θ时，用三角形法则分析当它的方向与圆相切时，航程最短，设为S，由几何关系可知此时v2⊥v（合速度）（θ≠0）
③当v2=v1时，如图1－15，θ越小航程越短。（θ≠0）
【小结】航程最短与时间最短是两个不同概念。航程最短是指合位移最小。时间最短是指用最大垂直河岸的速度过河的时间。解决这类问题的依据就是合运动与分运动的等时性及两个方向运动的独立性。
例4、 物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图1－16所示，再把物块放到P点自由滑下则
A.物块将仍落在Q点
B.物块将会落在Q点的左边
C.物块将会落在Q点的右边
D.物块有可能落不到地面上
【错解分析】错解：因为皮带轮转动起来以后，物块在皮带轮上的时间长，相对皮带位移变大，摩擦力做功将比皮带轮不转动时多，物块在皮带右端的速度将小于皮带轮不动时，所以落在Q点左边，应选B选项。
学生的错误主要是对物体的运动过程中的受力分析不准确。实质上当皮带轮逆时针转动时，无论物块以多大的速度滑下来，传送带给物块施的摩擦力都是相同的，且与传送带静止时一样，由运动学公式知位移相同。从传送带上做平抛运动的初速相同。水平位移相同，落点相同。
【正确解答】物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动。离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向与运动方向相反。 物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q点，所以A选项正确。
【小结】若此题中传送带顺时针转动，物块相对传送带的运动情况就应讨论了。
（1）当v0=vB物块滑到底的速度等于传送带速度，没有摩擦力作用，物块做匀速运动，离开传送带做平抛的初速度比传送带不动时的大，水平位移也大，所以落在Q点的右边。
（2）当v0＞vB物块滑到底速度小于传送带的速度，有两种情况，一是物块始终做匀加速运动，二是物块先做加速运动，当物块速度等于传送带的速度时，物体做匀速运动。这两种情况落点都在Q点右边。
（3）v0＜vB当物块滑上传送带的速度大于传送带的速度，有两种情况，一是物块一直减速，二是先减速后匀速。第一种落在Q点，第二种落在Q点的右边。
例5、 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。
【错解分析】错解：依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有
B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有
因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有
错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。
【正确解答】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有
同理m2在最高点有
m2球由最高点到最低点机械能守恒
【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。
例6、 使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？
【错解分析】错解：如图4-2所示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A时的势能等于它在圆形轨道最低点B时的动能（以B点作为零势能位置），所以为
从而得
小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道。要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足
式中，NA为圆形轨道对小球的弹力。上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。当NA=0时，
【正确解答】以小球为研究对象。小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。小球在圆形轨道最高点A时满足方程
根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程
解(1)，(2)方程组得
轨道的最高点A。
例7、 从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。
设A，B两颗卫星的质量分别为mA，mB。
这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。根据万有引力定律知道：
可见，在“错解”中把A，B两卫星的重力加速度gA，gB当作相同的g来处理是不对的。
【正确解答】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
【小结】 我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。
例8、我们可以发射这样的人造卫星，使其轨道 （ ）
、与地球表面上某一些纬度线（非赤道）是共面同心圆
、与地球表面上某一经线是共面同心圆
、与地球表面上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球静止
、与地球表面上赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球运动
【易错选原因分析】 多选。认为由于地球对卫星的万有引力提供卫星圆周运动的向心力，则卫星轨道圆心在地球的球心，所以答案为： 、、均正确。错选的主要原因是对极地卫星运转轨道理解上存在误解。
【正确分析与解答】
可视为极地卫星，如果地球停止自转，极地轨道卫星便和地球表面上某一经度线成共面同心圆， 事实上由于地球的自转，极地轨道卫星不可能总与这一经线成共面同心圆，而是在地球自转一周的时间内，所有经度线都和极地卫星轨道依次成共面同心圆一次。故正确答案为： 、。
例9、下列那些仪器在宇宙飞船中仍能正常使用？ （ ）
天平、 温度计、 比重计、 单摆、水银气压计
【易错选原因分析】天平 比重计。学生非常清楚天平是用来测物体质量的，而质量是物体固有的属性，它不因物体的位置、运动状态而改变，故其认为天平可用。比重计的错误主要是对其原理所覆盖的知识点遗忘，因为这是初中的物理知识了。
【正确分析与解答】温度计
天平的工作原理是杠杆平衡条件：动力动力臂=阻力阻力臂（动力和阻力分别指的是物体和砝码对盘的压力），即天平利用的是压力矩平衡，在卫星内的物体均处于完全失重状态，无论物体和砝码的质量如何，对盘的压力均为零，天平总平衡，故此时天平不能用于测量物体质量。
对比重计而言，压强的产生是由于压力而不是重力产生的，处于完全失重的环境，浸在液体中的物体上、下表面压力差为零，浮力为零，此时比重计也就不能用来测量物体的密度了。
例10、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是,远地点离行星中心的距离为,若卫星在近地点的速率为,则卫星在远地点时的速率多少？
【易错】卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有，在远地点时有，上述两式相比得，故。
【正确分析与解答】以上错误在于将向心力表达式中的“轨道半径”（曲率半径），直接等同于天体之间的距离，同时又认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于。所以，在近地点时有，在远地点时有，上述两式相比得，故。对于此类问题，教学过程中特别要强调天体距离与轨道半径是不同的概念。
例11、将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于点，2、3相切于点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是
A．卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道2上经过点时的向心加速度等于它在轨道1上经过点时的向心加速度
D．卫星在轨道2上经过点的加速度等于它在轨道3上经过点时的加速度
【易错】卫星通过1、2轨道上的Q点是速度相等，根据V2/R得C选项正确
【正确分析与解答】BD 没有理解火箭发射过程中的变轨过程对火箭速度的影响，错认为同一点速度相同，此外对于加速度与向心加速度概念模糊，认为天体运动中两者是一样的，而这两者相同的前提是万有引力全部用来提供向心力。
例12、一颗在赤道上空运行的人造卫星，其轨道半径为（为地球半径），卫星的运行方向与地球自转方向相同，设地球自转的角速度为，若某时刻卫星通过赤道上某一建筑物的正上方，求它下次通过该建筑物正上方所需要的时间。
【易错】直接运用万有引力提供向心力：得
, 故判断有：。其他解略。本题除了关系容易运用出错外，并有不能描绘运动的动态图景，无法建立关系方程的问题。
【正确分析与解答】运用错误的原因是忽略了地球表面的物体在随地球一起自转，考虑自转后，地球对其表面物体的万有引力并不完全用来提供物体做圆周运动的向心力，所以依据上述理论判断它们的角速度大小，出现错误是必然的了，这也是学生容易忽略的地方。表面上看该题也考查了引力关系运用是否得当的问题，但同时也体现了对运动过程中的“追遇”问题的考查，即对于追遇问题中物体的运动快慢一定要关注，那么通过对角速度的比较应该是一个很好的突破口，要想运用引力提供向心力的关系，就只有通过对同步卫星角速度与地球上空该卫星运转角速度的比较，才能得出快慢的结论。根据万有引力提供向心力通过对地球同步卫星（同步卫星距地面高度）轨道半径与赤道上空的该卫星的轨道半径的比较，就可以得出角速度大小的关系。
根据教学中对地球同步卫星定高度的计算可知其到地球表面的距离是，而地球的半径，则地球同步卫星的运转轨道半径。此时依据万有引力提供向心力：得可知同步卫星的角速度，即有赤道上空卫星下次通过该建筑物上空时比地球自转多了一周，故有如下方程：
依据上述分析可得到：
联立方程（1）、（2）、（3）可得时间
万有引力部分极易出现错误的地方就是对地球自转问题的关注程度不够，审题时没注意是否考虑自转，特别是对于地球表面物体的问题更应该注意，忽略自转时有：（为中心天体地球的球半径，为地球表面重力加速度）；考虑自转时在地球赤道上有（为中心天体地球的球半径，为地球表面物体受到的支持力，大小等于此时物体的重力，为地球自转角速度）。
例13、A、B两颗人造卫星绕地球做圆周运动，它们的圆轨道在同一平面内，周期之比是。若两颗卫星最近距离等于地球半径R，求这两颗卫星的周期各是多少？从两颗卫星相距最近开始计时到两颗卫星相距最远至少经过多少时间？已知在地面附近绕地球做圆周运动的卫星的周期为T0。
【易错原因分析】学生对于运动的动态图景的想象分析存在困难，无法建立关系方程进行解答。
【正确分析与解答】设B卫星轨道半径为r2，则A卫星轨道半径为r1=r2+R
解得r2=2R，r1=3R
可得：
设A、B两卫星从相距最近开始经过时间t第一次达到相距最远，有
解得时间 （或＝3.1T0）
此题也说明了物理情景分析的重要性，教学过程中要重视学生动态物理过程分析思维的锻炼。
四、机械运动、机械波
一、主要内容
本章内容包括机械振动、回复力、振幅、周期、频率、简谐振动、受迫振动、共振、机械波、波长、波速、横波、纵波、波的干涉和衍射等基本概念，以及单摆振动的周期规律、简谐运动的图像、简谐运动中的能量转化规律、波的图像、波长和频率与波速之间的关系等规律。
二、基本方法
本章中所涉及到的基本方法有：由于振动和波动的运动规律较为复杂，且限于中学数学知识的水平，因此对于这部分内容不可能像研究直线运动、平抛、圆周运动那样从运动方向出发描述和研究物体的运动，而是利用图象法对物体做简谐运动的运动规律及振动在介媒中的传播过程进行描述与研究。图像法具有形象、直观等优点，其中包含有丰富的物理信息，在学习时同学们要注意加以体会；另外，在研究单摆振动的过程中，对于单摆所受的回复力特点的分析，采取了小摆角的近似的处理，这是一种理想化物理过程的方法。
三、错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对于诸如机械振动、简谐运动、受迫振动、共振、阻尼振动、等幅振动等众多的有关振动的概念不能深刻的理解，从而造成混淆；不能从本质上把握振动图象和波的图象的区别和联系，这主要是由于振动的图象与波的图象形式上非常相似，一些学生只注意图象的形状，而忽略了图象中坐标轴所表示的物理意义，因此造成了将两个图象相混淆。另外，由于一些学生对波的形成过程理解不够深刻，导致对于波在传播过程中时间和空间的周期性不能真正的理解和把握；由于干涉和衍射的发生条件、产生的现象较为抽象，所以一些学生不能准确地把握相关的知识内容，表现为抓不住现象的主要特征、产生的条件混淆不清。
例1．关于回复力的说法，正确的是 ( )
A．回复力是指物体受到的指向平衡位置的力
B．回复力是指物体受的合外力
C．回复力是以力的作用效果来命名的，可以是弹力，也可以是重力或摩擦力，还可以是几个力的合力
D．回复力实质上是向心力
【错解】AB或D
【辩析】回复力不同于向心力，回复力是使物体回到平衡位置的力，不一定指向平衡位置，可以是某个力的分力或是几个力的合力。
【正解】C
例2．一个盛满砂的具有一定质量的小筒悬挂在天花板下，使其作小角度的摆动，小筒下部有一个小孔，在摆动过程中砂粒不断地从小孔中漏下，则这个摆的周期将：
A．始终不变 B．不断增大
C．不断减小 D．前面的结论都不对
【错解】B
【辩析】错解在于对问题的考虑不全面，只考虑到砂粒落下，摆的重心不断下降，相当
于摆长不断增大，因而周期不断增大，但忽略了容器本身的重心。事实上，应考虑容器
和砂的合重心的位置变化，合重心的位置先逐渐降低后又逐渐向上回升。
【正解】（D）
例3．两列波长相同的水波发生干涉现象,若在某时刻点恰好是两列波的波峰相遇,点处恰好是两列波的波谷相遇,则
A.经过一段时间后点可由振动加强变为振动减弱点
B.、两点始终处于最大或最小位移处
C.在振动加强的区域,有时质点的位移等于零
D.在振动减弱的区域,各质点都处于波谷
【错解】ABD
【辩析】错解在于对产生干涉现象时，干涉区域各质点的振动形成稳定的分布不理解，误认为振动的增强点和减弱点的位置可互换，增强点的质点位移可从零变为正向最大值（即波峰），或反向最大值（即波谷），当作是增强点转化为减弱点。事实上，在干涉现象中，振动的减弱带上的各质点的振幅始终为最小，振动增强带上各质点的振幅始终是最大的，振动加强的始终是加强的。
【正解】C
例4．波速均为V=1.2m/s的甲、乙两列简谐横波都沿X轴正方向传播，某时刻波的图象分别如图所示，其中P、Q处的质点均处于波峰。关于这两列波下列说法正确的是：
A．如果这两列波相遇可能产生稳定的干涉图样
B．甲波中的P处质点比M处质点先回到平衡位置
C．甲波中的P处质点振动频率小于乙波中的Q质点振动频率
D．从图示的时刻开始，经过1.0s，P、Q质点通过的位移均为1.2m
【错解】D
【辩析】错解原因在于混淆质点的振动和波的传播，振动方向和传播互相垂直，质点作
变加速运动，而波在均匀介质中做匀速传播。
【正解】B
例5．如图所示,甲图为一列简谐波在时的波形图,乙图为质点的振动图象,则由此二图可得（ ）
A.波向右传
B.时,的振动方向为轴的正方向
C.这列波的波速为
D.时,处于正的最大位移处
【正解】BD
【错解】许多同学对于波动图象和振动图象的结合感觉有困难，容易出错。
例6、如图6-1所示，光滑圆弧轨道的半径为R，圆弧底部中点为O，两个相同的小球分别在O正上方h处的A点和离O很近的轨道B点，现同时释放两球，使两球正好在O点相碰。问h应为多高？
【错解】 对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求B球到达O点的时间：
对A球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点
【错解原因】 上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为B球在圆形轨道上自B点释放后可以做往
上述解答漏掉一些解，即上述解答只是多个解答中的一个。
对B球振动周期
到达O点的时间为
显然，前面的解仅仅是当n=0时的其中一解而已。
【评析】 在解决与振动有关的问题时，要充分考虑到振动的周期性，由于振动具有周期性，所以此类问题往往答案不是一个而是多个。
例7、一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子
A．t1＝t2 B．t1＜t2
C．t1＞t2 D．无法判断
度也大，因而时间短，所以t1＞t2，应选C。
错解三：因为这是一个变加速运动问题，不能用匀速运动或匀变速运动规律求解，因而无法判断t1和t2的大小关系，所以选D。
【错解原因】 主要是对简谐运动的特殊运动规律不清楚，只记住了周期公式，没注意分析简谐运动的全过程，没能深入地理解和掌握这种运动形式的特点。因而解题时错误地沿用了匀速或匀变速运动的规律，选择A的同学就是用匀速运动规律去解，而选择C的同学用了匀变速运动规律去解，因而错了。事实上，简谐运动的过程有其自身的许多规律，我们应该用它的特殊规律去求解问题，而不能用匀速或匀变速运动规律去求解。
【分析解答】 方法一：用图象法，画出x-t图象，从图象上，我们可以很直观地看出：t1＜t2，因而正确答案为：B。
方法二：从图象为正弦曲线和数学知识可写出位移随时间的函数关系式，物理学上称为振动方程，从平衡位置开始，振子的振动方程为：
【评析】 以上两种方法，第一种方法是定性分析，在选择题练习时，是要重点掌握的。第二种方法可以进行定量计算，但由于要涉及振动方程，所以不做统一要求。
t'=nT+t2。此处，为了题目简明起见，题文中用了“第一次”和“最短时间”等字样。否则就无法比较两个过程所用时间的长短。
例8、 图6-6中实线是一列简谐波在某一时刻的波形图线，虚线是0.2s后它的波形图线。这列波可能的传播速度是_______。
【错解】 从图上可以看出波长λ=4m，而从两次的波形图可知：
v=5m/s．
【错解原因】
面的。实际上，只有当波向右（沿x正方向）传播时，上述关系才成立。
【分析解答】 从图上可以看出λ=4m。
当波沿x正方向传播时，两次波形之间间隔的时间为：
此题的答案为：（20n+5）m/s和（20m+15）m/s，（n=0，1，2，…）
【评析】 对于这种已知条件较为含糊的波的问题，要从波的传播方向、时间和空间的周期性等方面进行全面周到的分析，这也是解决机械波问题时，初学者经常忽略的问题。
例9、一简谐波的波源在坐标原点o处，经过一段时间振动从o点向右传播20cm到Q点，如图6-7所示，P点离开o点的距离为30cm，试判断P质点开始振动的方向。
传到P点，所以画出如图6-8所示的波形图。因为波源在原点，波沿x轴正方向传播，所以可判定，P点开始振动的方向是沿y轴正方向（即向上）。
【错解原因】 主要原因是把机械波的图象当成机械振动的图象看
面的波形也变化了。
【分析解答】 因为原图中的波形经历了半个周期的波形如图6-9所示，在此波形基础上，向前延长半个波形即为P点开始振动时的波形图，因为波源在原点处，所以介质中的每个质点都被其左侧质点带动，所以P点在刚开始时的振动方向沿y轴负方向（即向下）从另外一个角度来看，原图中Q点开始振动时是向下的，因为所有质点开始振动时的情况均相同，所以P点开始振动的方向应是向下的。
【评析】 本题中的错解混淆了振动图象与波的图象，那么这两个图象有什么不同呢？（1）首先两个图象的坐标轴所表示的物理意义不同：振动图象的横坐标表示时间，而波动图象的横坐标表示介质中各振动质点的平衡位置。（2）两个图象所描述的对象不同：振动图象描述的是一个质点的位移随时间的变化情况，而波的图象描述的是介质中的一群质点某一时刻各自振动所到达的位置情况。通俗地说：振动图象相当于是在一般时间内一个质点运动的“录像”，而波的图象则是某一时刻一群质点振动的“照片”。（3）随着时间的推移，振动图象原来的形状（即过去质点不同时刻所到达的位置不再发生变化，而波的图象由于各质点总在不断地振动，因此随着时间的推移，原有的图象将发生周期性变化。
例10、图6-10是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。
=62.5个波长，其波形如图6-13。
【错解原因】 错解一、错解二没有重视单位的一致性，在此题中波长从图中只能得出λ=8cm，而波速给出的却是国际单位4m/s。因此，求周期时，应先将波长的单位统一到国际单位制上来。
错解三虽然计算对了，但是，在波向前（沿x轴正方向）传播了62.5个波长时的波形，应是在原来的波形基础上向x正方扩展62.5个波长。
播一个波长。经过62.5个周期，波向前传播了62.5个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而
形，如图6-14。再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图6-15。
【评析】 波形图反映了波在传播过程中某时刻在波的传播方向上各质点离开平衡位置的位移情况，由于波只能以有限的速度向前传播，所以离振源远的质点总要滞后一段时间，滞后的时间与传播的距离成正比，即滞后一个周期。两个质点之间的平衡位置距离就是一个波长，经过多少个周期，波就向前传播了多少个波长，而振源就做了多少次全振动，这就是此类问题的关键所在。
例11、如图6-16所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x=5m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，下面说法中正确的是 [ ]
A．这列波的波长是4m
B．这列波的传播速度是10m/s
C．质点Q（x=9m）经过0.5s才第一次到达波峰
D．M点以后各质点开始振动时的方向都是向下
【错解】 错解一：由题中说P点相继出现两个波峰的时间间隔为
错解二：质点Q（x=9m），经过0.4s（此处用了正确的周期结果
所以C对。
错解三：M点以后各质点的振动有的向上，有的向下，所以D不对。
【错解原因】 错解一对“相继出现两个波峰”理解有误。
错解二对质点Q（x=9m）处，当波传到它以后，该点应如何振动不会分析，实际上也就是对波的传播原理不明白。不知道波的传播是机械振动在介质中传递的过程，质点要依次被带动形成波。
同理，错解三对M点以后各点运动情况分析有误，实际上M点以后各点运动情况向上还是向下取决于波的传播方向。
【分析解答】 （1）从图6-16上可以看出波长为4m，选A。
（2）实际上“相继出现两个波峰”应理解为，出现第一波峰与出现第二个波峰之间的时间间隔。因为在一个周期内，质点完成一次全振动，而一次全振动应表现为“相继出现两个波峰”，即T=0.4s。则v=
（3）质点Q（x=9m）经过0.4s开始振动，而波是沿x轴正方向传播，即介质中的每一个质点都被它左侧的质点所带动，从波向前传播的波形图6-17可以看出，0.4s波传到Q时，其左侧质点在它下方，所以Q点在0.5s时处于波谷。再经过0.2s即总共经过0.7s才第一次到达波峰，所以选项C错了。
（4）从波的向前传播原理可以知道，M以后的每个质点都是先向下振动的。所以选项D是对的。
此题正确答案为A，B，D。
例12、 如图6－18所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a，b两点，相距14.0m，b点在a点的右方，当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正最大时，b点的位移恰为零且向下运动。经过1.00s后a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰达到负最大，则这简谐波的波速可能等于 [ ]
A.4.67m/s B.6m/s C.10m/s D.4m/s
v=4.67m/s选择A。
但此题可能多选，考虑到a，b之间满足条件的情况还可
解得：v=10m/s 选择C
解得：v=11.5m/s显然不符合题目中的选项，且通过分析可知v=14m/s也是不对的，所以正确答案为A，C。
【错解原因】以上答案并没有错，但分析问题的过程出现了明显的
漏了不少结论。而此题做为选择题，学生能用错误的思维方式得出符合答案的结果，纯属偶然。
波长λ有一系列数据，周期T也有一系列数据，从波的概念出发，两者并无一一对应，因而波速应为
其解为当n=0，N=0，1，2……
n=1，N=0，1，2……
n=2，N=0，1，2……
我们可以通过列表来看一看波速的各种可能值：
N n
0 1 2 3 …
0 4.67 2 1.27 0.933
1 23.3 10 6.36 4.67
2 42 18 11.5 8.4
3 60.7 26 16.6 12.1
… … … … … …
从表中可以看出，4.67m/s及10m/s即为正确答案。所以正确答案应选A，C。
【评析】这是1996年一道高考题，当年不少考生考试时也选对了答案，但这些考生思考问题时有着明显的片面性，只从n=N的情况去考虑问题，当n=N=0时，4.67m/s，当n=N=1时，v=10m/s，当n=N=2时v=11.5m/s……，把长度的周期性与时间的周期性混为一谈。若此题的四个选项中变化一个为v=2m/s（即n=1，N=0时），上述思维片面的考生可能就会漏选，因此，一定要对题目进行全面周到的分析。
例13、 一简谐波的波源在坐标原点o处，经过一段时间振动从o点向右传播20cm到Q点，如下左图所示，P点离开o点的距离为30cm，试判断P质点开始振动的方向。
【错解】 从图看，P点到Q点相差λ/2，则波再向前传播λ/2就传到P点，所以画出如上右图所示的波形图。因为波源在原点，波沿x轴正方向传播，所以可判定，P点开始振动的方向是沿y轴正方向（即向上）。主要原因是把机械波的图象当成机械振动的图象看待。
【分析解答】 因为原图中的波形经历了半个周期的波形如右图所示，在此波形基础上，向前延长半个波形即为P点开始振动时的波形图，因为波源在原点处，所以介质中的每个质点都被其左侧质点带动，所以P点在刚开始时的振动方向沿y轴负方向（即向下）从另外一个角度来看，原图中Q点开始振动时是向下的，因为所有质点开始振动时的情况均相同，所以P点开始振动的方向应是向下的。
图B
A
A
B
图1
1
2 3
Q
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