(共17张PPT)
数学北师大版 九年级上
菱形的性质与判定
（第1课时）
一、新课引入
图片中有你熟悉的图形吗？
观察这些平行四边形，他们有什么共同特征呢？
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？
1、菱形的对边平行且相等；
2、菱形的对角相等；
3、菱形的对角线相互平分。
菱形还具有哪些特殊的性质呢？
二、实践猜想
如图，将一张矩形的纸对折两次，沿图中的虚线剪下，再打开就得到一个菱形．
实践操作：剪纸得菱形
观察猜想：菱形性质
菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
菱形是轴对称图形；有2条对称轴，分别是两条对角线所在的直线；两条对称轴互相垂直.
观察猜想：菱形性质
菱形
边
角
对角线
四条边都相等
两条对角线互相垂直
每一条对角线平分一组对角
A
B
C
D
O
对边平行且相等
两条对角线互相平分
对角相等、邻角互补
证明菱形性质
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC，BD相交于点O．
求证1：AB=BC=CD=DA
求证2：AC⊥BD
求证3：∠1=∠2=∠3=∠4
A
B
C
D
O
2
3
4
1
证明:
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD=BC(菱形的对边相等).
又∵AB=AD(菱形的邻边相等)，
∴AB=BC=CD=DA(等量代换).
（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD
（等腰三角形三线合一）.
（3）∵DA=DC，AC⊥BD，
∴∠2=∠4（三线合一），
∵BA=BC，AC⊥BD，
∴∠1=∠3（三线合一）,
又∵∠ADC=∠ABC,
∴∠1=∠2=∠3=∠4（等式性质）.
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
定理1 菱形的四条边相等.
定理2 菱形的对角线互相垂直.
∵四边形ABCD是菱形
∴ AB=AD=BC=DC（菱形的四条边相等）
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是菱形
∴ AC⊥BD （菱形的对角线互相垂直）
例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
随堂练习：
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, 已知AB=5cm，AO=4cm，求对角线BD的长.
A
B
D
C
O
小结
性质
角
边
对角线
菱形是轴对称图形．
菱形
一组邻
边相等
平行四边形
菱形的对边平行，四条边相等．
菱形的对角相等，邻角互补．
菱形的两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角．
对称性
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菱形的性质与判定
（第2课时）
数学北师大版 九年级上
1.菱形的定义 菱形有哪些性质？
2.如图,已知四边形ABCD 是一个平行四边形,则只需补充 就可以判定它是一个菱形.
3.如图,已知菱形ABCD 的对角线AC、BD相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为 cm.
一、复习回顾
平行四边形的判定方法有哪些？
二、探索新知
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4、对角线相互平分的四边形是平行四边形。
菱形的判定方法有哪些呢？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗
已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵AC⊥BD
∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
( 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 )
议一议：
以下是小刚的作法：
你是怎么做的 你认为小刚的作法正确吗 与同伴交流.
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
如图，分别以A、C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两条弧分别交于点B、D，依次连接A、B、C、D，四边形ABCD看上去是菱形.你认为这种做法正确吗？与同伴交流.
已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证: 四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=BC
∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
四条边相等的四边形是菱形吗？
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
(四条边都相等的四边形是菱形)
定理2:四条边都相等的四边形是菱形.
验证提升
你能说说这样做的道理吗
如图，将一张矩形的纸对折两次，沿图中的虚线剪下，再打开就得到一个菱形．
证明:在△AOB中,
∴AB2=OA2+OB2
∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.
∴AC⊥BD
∴□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形)
∵ AB= ,OA=2,OB=1
例：已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
求证： □ABCD是菱形.
1. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是
（ ）
Ａ.等腰梯形 Ｂ.正方形
Ｃ.矩形 Ｄ.菱形
2. 下列说法中正确的是（ ）
Ａ.有两边相等的平行四边形是菱形
Ｂ.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
Ｃ.两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形
Ｄ.四个角相等的四边形是菱形
三、课堂小练
3.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．
四、课堂总结
菱形的判定方法：
定理1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理2:四条边都相等的四边形是菱形.
定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
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第一章 特殊平行四边形
1．1菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
基础题
知识点1 菱形的定义
1．如图，在 ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴ ABCD是菱形(________________________)．(请在括号内填上理由)www-2-1-cnjy-com
2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法____________(填“正确”或“不正确”)．
知识点2 菱形的性质
3．(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
4．(长沙中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( )
A．1 B. C．2 D．221*cnjy*com
5．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于( )21·世纪*教育网
A．10 B. C．6 D．5【21教育】
6．如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个21-cnjy*com
7．(毕节中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A．3.5 B．4 C．7 D．14【21教育名师】
8．(广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．
9．(济南中考)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.
中档题
10．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于( )www.21-cn-jy.com
A．6米 B．6米 C．3米 D．3米2·1·c·n·j·y
11．(昆明中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是( )【21·世纪·教育·网】
A．①② B．③④ C．②③ D．①③21世纪教育网
12．(烟台中考)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )21*教*育*名*师
A．28° B．52° C．62° D．72°
13．(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，则菱形的高是____________．
14．(乐山中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.
15．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
综合题
16．(贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.2-1-c-n-j-y
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．
参考答案
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.正确 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A
8．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3.∴BD＝6.21教育网
9．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠D＝∠B，DC＝BC.∵CE＝CF，∴DC－CF＝BC－CE.∴DF＝BE.∴△ADF≌△ABE.∴AE＝AF.21cnjy.com
10．A 11.D 12.C 13.
14．证明：∵四边形ADEF是菱形，∴DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC.∴∠C＝∠BED，∠B＝∠CEF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠BED＝∠CEF.在△DBE和△FCE中，∴△DBE≌△FCE(AAS)．21·cn·jy·com
∴BE＝CE.
15．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥EC.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.【21cnj*y.co*m】
16．(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点．
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第3课时 菱形的性质与判定的运用
基础题
知识点1 与菱形有关的计算
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别是8和6，则菱形的周长等于( )
A．12 B．16 C．20 D．24
2．如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则 ABCD的周长为( )
A．4 B．6 C．8 D．1221*cnjy*com
3．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为( )
A．4 B．4 C．2 D．221*教*育*名*师
4．(枣庄中考)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于( )
A. B. C．5 D．421·cn·jy·com
5．如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)若AB＝10 cm，求菱形BDEF的周长．
知识点2 菱形的判定
6．如图，添加下列条件仍然不能使 ABCD成为菱形的是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
7．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是( )21cnjy.com
A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BD
8．如图，在△ABC中，AB＜BC＜AC，小华依下列方法作图：①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( )2·1·c·n·j·y
A．四边形CEDF为菱形 B．DE＝DA
C．DF⊥CB D．CD＝BD
9．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形．www.21-cn-jy.com
中档题
10．(兰州中考)如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EF，则△AEF的面积是( )【21·世纪·教育·网】
A．4 B．3 C．2 D.www-2-1-cnjy-com
11．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是____________．(填序号)2-1-c-n-j-y
①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．21世纪教育网
12．如图，在 ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AC⊥CD，AB＝6，BC＝10，求四边形AECF的面积．
综合题
13．(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；【21cnj*y.co*m】
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2.【21教育名师】
求证：(1)∠ABE＝30°；
(2)四边形BFB′E为菱形．
参考答案
1．C 2.C 3.A 4.A
5．(1)证明：∵E、F分别是AC、AB的中点，∴EF＝BC，EF∥CB.又∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE＝AB，DE∥AB.∴四边形BDEF是平行四边形．又∵AB＝BC，∴EF＝DE.∴四边形BDEF是菱形．(2)∵F是AB的中点，∴BF＝AB.又∵AB＝10 cm，∴BF＝5 cm.∵四边形BDEF是菱形，∴BD＝DE＝EF＝BF.∴四边形BDEF的周长为4×5＝20(cm)．21教育网
6．C 7.D 8.A
9．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD.∴∠AOB＝∠AOD＝90°.∵点E，F分别为边AB，AD的中点，∴OE＝AB＝AE，OF＝AD＝AF，AE＝AF.∴AE＝OE＝OF＝AF.∴四边形AEOF是菱形．
10．B 11.①②④
12．(1)证明：∵EF垂直平分AC，∴FA＝FC，EA＝EC.∴∠AFE＝∠CFE，∠AEF＝∠CEF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AFE＝∠CEF＝∠AEF.∴AF＝AE.∴AE＝EC＝CF＝FA.∴四边形AECF是菱形．(2)∵AC⊥CD，AC⊥EF，∴EF∥CD.又∵AB∥CD，∴AB∥EF.∴四边形ABEF为平行四边形．∴EF＝AB＝6.∵AC⊥CD，∴AB⊥AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝8.∴四边形AECF的面积为AC·EF＝×6×8＝24.21·世纪*教育网
13．证明：(1)∵第二步折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°.∴∠ABE＝90°－∠AEB＝30°.(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°.∴△BEF和△EFB′是等边三角形．∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′.∴四边形BFB′E为菱形．【21教育】
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菱形的性质与判定
（第3课时）
数学北师大版 九年级上
思考：上两节课我们学习了菱形的哪些性质及判定？
性质定理：
1.菱形的四条边相等；
2.菱形的对角线互相垂直.
判定方法；
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3.四边相等的四边形是菱形.
一、复习回顾
例3.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求：（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.
二、例题讲解
菱形的面积公式：
两条对角线长度的乘积的一半.
1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______.
2.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是______，面积是______.
6cm
5cm
24cm2
三、课堂练习
3. 如图， ABCD的对角线AC,BD相交于O,CE∥BD，DE∥AC，若AC=BD=4，则四边形CODE的周长（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
C
4.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB=7，则 ABCD的周长为______.
28
5.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD，
AC⊥BD，
∵Rt△AOB，由勾股定理：
OB2+OA2=AB2，
AB＝5cm,AO=4cm，
∴OB=3cm，
∴BD=2OB=6cm，
AC=2OA=8cm.
6.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
求证：四边形AEDF是菱形.
证明:
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形
∵DE∥AC, ∴∠ADE=∠DAF.
∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠DAE=∠DAF.
∴∠DAE=∠ADE. ∴AE=ED.
∴平行四边形AEDF是菱形.
7.如图所示， ，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH为菱形．
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第2课时 菱形的判定
基础题
知识点1 有一组邻边相等的四边形是菱形
1．(钦州中考)如图，要使 ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( )
A．AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
2．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )21教育网
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°
3．(长春中考)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．【21·世纪·教育·网】
知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________________________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)21cnjy.com
5．已知 ABCD两对角线AC、BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，AD＝10 cm，则 ABCD为____________．21·cn·jy·com
6．如图，在 ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．21·世纪*教育网
知识点3 四边相等的四边形是菱形
7．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )21*cnjy*com
A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形21*教*育*名*师
中档题
8．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：2·1·c·n·j·y
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
9．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.2-1-c-n-j-y
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____________(只填写序号)．
10．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．【21教育】
11．(黔南中考改编)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.求证：【21cnj*y.co*m】
(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形AECF是菱形．
综合题
12．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.www-2-1-cnjy-com
(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
参考答案
1．B 2.B
3．证明：∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC.∵CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠FCG.∴∠ACF＝∠AFC.∴AC＝AF.∴四边形ACGF是菱形．21世纪教育网
4．OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC 5.菱形
6．当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．证明：∵在 ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD，∴∠AEO＝∠CFO.在△EBO与△FDO中，∴△EBO≌△FDO(AAS)．∴EO＝FO.又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∴当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．www.21-cn-jy.com
7．B 8.C 9.③
10．证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵DF∥BE，∴∠BEC＝∠DFA.∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD.∴AB＝CD.∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF.∵∠BAE＝∠DCF，∴∠DAF＝∠DCF.∴DA＝DC.∴四边形ABCD是菱形．
11．证明：(1)∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAD＝∠FCD，∠AED＝∠CFD.在△AED和△CFD中，∴△AED≌△CFD(AAS)．(2)∵△AED≌△CFD，∴DE＝DF，AD＝CD.∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EF⊥AC.∴四边形AECF是菱形．【21教育名师】
12．证明：(1)∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC.∴∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠AFD.又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE.(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.又∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD.∴四边形ABCD是菱形．21-cnjy*com
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