第六章 曲线运动教案(辽宁省大连市)

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第六章 曲线运动
知识结构图：
重点难点：
1、重点是运动的合成与分解的概念；平抛运动的特点及其研究方法；匀速圆周运动的性质及描述运动的物理量。
2、难点是有关速度的合成和分解的计算，有关向心力，向心加速度等概念，以及它们的决定因素和应用它们分析解决实际问题。
1．曲线运动
（1）什么是曲线运动
1.概念：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。
2.范围：曲线运动是普遍的运动情形。小到微观世界（如电子绕原子核旋转）；大到宏观世界（如天体运行）都存在。生活中如投标枪、铁饼、跳高、跳远等均为曲线运动。
（2）曲线运动速度的方向
1.曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向在曲线这一点的切线方向上。
如：①在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线方向飞出；
②撑开的带有水的伞绕着伞柄旋转，伞面上的水滴沿伞边各点所划圆周的切线方向飞出。
2.理论分析：
①在变速直线运动中如何确定某点的瞬时速度？
分析：如要求直线上的某处A点的瞬时速度，可在离A不远处取一B点，求AB的平均速度来近似表示A点的瞬时速度，如果时间取得更短，这种近似更精确，如时间趋近于零，那么AB间的平均速度即为A点的瞬时速度。
②在曲线运动中如何求某点的瞬时速度？
分析：用与直线运动相同的思维方法来解决。先求AB的平均速度，据式：可知：的方向与的方向一致，越小，越接近A点的瞬时速度，当时，AB曲线即为切线，A点的瞬时速度为该点的切线方向。可见，速度的方向为质点在该处的切线方向，且方向是时刻改变的。因此，曲线运动是变速运动。
（3）物体做曲线运动的条件
合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动。
2.理论分析：要有初速度、合外力；且初速度与合外力有一个角度。
①只要速度的大小、方向其中的一个或两个同时变化，就表示速度矢量发生了变化。
②由于做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，所以曲线运动是变速运动。
3.综合分析：
①当物体受到与运动方向成一定角度的力的作用时，物体可能会做曲线运动。
对于一些物体来说，它不仅受到与运动方向成一定角度的力的作用，而且它所受到的合外力的方向也与运动方向成一定角度，所以物体做曲线运动；对于一些物体来说，它所受到的重力就是它受到的合外力，与运动方向成一定角度，这些物体也做曲线运动。
②在有些实验中，物体受的力与运动方向成一定角度，但物体并不做曲线运动。
对一些物体来说，虽然它所受到的力与运动方向成一定角度，但物体所受的合外力仍然与运动方向在同一直线上，所以该物体并没有做曲线运动。
总结：当物体所受的合力方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体将做曲线运动。
2．运动的合成和分解
物体的运动往往是复杂的，对于复杂的运动，常常可以把它们看成几个简单的运动组成的，通过研究简单的运动达到研究复杂运动的目的。将物体的运动进行合成与分解是研究复杂运动的重要方法，在高中物理中，通常将一个较复杂的运动等效成两个基本的直线运动。
在对物体的运动进行合成和分解时要注意：
一、组成合运动的各个分运动具有独立性、互不相干性和等时性；
二、运动的合成和分解具有矢量性，其矢量运算方法与力的合成与分解相同。
　　物体作曲线运动的条件是合外力方向(或加速度方向)与速度方向不在同一直线上，做曲线运动的物体运动至某一位置的瞬时速度的方向是过曲线上该位置的切线方向，研究曲线运动的过程中，将一个曲线运动分解成两个各自独立进行的直线运动，若能将分运动的直线运动方程写出来，再用合成的方法，就可以求出它们在任一段时间内的位移和任一时刻瞬时速度。
（1）演示实验
如图所示，在一端封闭、长约l m的玻璃管内注满清水，水中放一红蜡做的小圆柱体R，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。(图甲)
将这个玻璃管倒置(图乙)，蜡块R就沿玻璃管上升，如果旁边放一个米尺，可以看到蜡块上升的速度大致不变，即蜡块做匀速直线运动。
再次将玻璃管上下颠倒，在蜡块上升的同时将玻璃管水平向右匀速移动，观察蜡块的运动(图丙)。观察由甲到乙的过程，可以发现蜡块做的是匀速直线运动，而过程丙中蜡块做的是什么运动呢
可能是直线运动，也有可能是曲线运动。也就是说，仅仅通过用眼睛观察并不能得到物体运动的准确信息，要精确地了解物体的运动过程，还需要进行理论上的分析。
对于直线运动，很明显，其运动轨迹就是直线，直接建立直线坐标系就可以解决问题，但如果是一个运动轨迹不确定的运动还能这样处理吗 很显然是不能的，这时候可以选择平面内的坐标系了。比如选择最熟悉的平面直角坐标系，下面分析怎样在平面直角坐标系中研究物体的运动。
1.蜡块的位置
建立如图所示的平面直角坐标系：选蜡块开始运动的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向。
在观察中已经发现蜡块在玻璃管中是匀速上升的，所以设蜡块匀速上升的速度为vy，玻璃管向右匀速运动的速度为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，就可以得到蜡块在t时刻的位置P(x，y)，该如何得到点p的两个坐标呢
蜡块在两个方向上做的都是匀速直线运动，所以x、y可以通过匀速直线运动的位移公式x=vt获得，即：x=vxt y=vyt
这样就确定了蜡块运动过程中任意时刻的位置，然而要知道蜡块做的究竟是什么运动这还不够，还要知道蜡块的运动轨迹是什么样的。
2.蜡块的运动轨迹
在数学上，关于x、y两个变量的方程就可以代表一条直线或曲线。现在要找的蜡块运动的轨迹，实际上只要找到表示蜡块运动轨迹的方程就可以了，观察们刚才得到的关于蜡块位置的两个方程，发现在这两个关系式中，除了x、y之外还有一个变量t，根据数学上的消元法，可以从这两个关系式中消去变量t，就可以得到关于x，y两个变量的方程了，实际上前面得到的两个关系式就相当于在数学上学到的参数方程，消t的过程实际上就是消参数的过程。
消参数的过程和结果可以先从公式(1)中解出t
t=x/vx y=vy x/vx①
现在对公式①进行数学分析，由于蜡块在x、y两个方向上做的都是匀速直线运动，所以vy 、vx都是常量，所以vy /vx也是常量，可见公式①表示的是一条过原点的倾斜直线。
在物理上这代表蜡块相对的运动轨迹是直线，即蜡块做的是直线运动。
既然这个方程所表示的直线就是蜡块的运动轨迹，那如果要找蜡块在任意时刻的位移，是不是就可以通过这条直线来实现呢
3.蜡块的位移
在直线运动中要确定物体运动的位移，只要知道物体的初末位置就可以了。对于曲线运动也是一样的，在前面建立坐标系的时候已经知道，物体开始运动的位置为坐标原点，现在要找任意时刻的位移，只要再找出任意时刻t物体所在的位置就可以了。
实际上这个问题已经解决了，前面已经找出物体在任意时刻的位置P(x，y)，在坐标系中，线段OP的长度就代表了物体位移的大小。
位移是矢量，所以要计算物体的位移仅仅知道位移的大小是不够的，还要再计算位移的方向。因为坐标系中的曲线就代表了物体运动的轨迹，所以只要求出该直线与x轴的夹角θ就可以了，即只要求出它的正切就可以了。
tanθ＝vy /vx
这样就可以求出θ，从而得知位移的方向。
现在已经知道了蜡块做的是直线运动，并且求出了蜡块在任意时刻的位移，但还不知道蜡块做的是什么样的直线运动，要解决这个问题，还需要求出蜡块的速度。
4.蜡块的速度
根据速度的定义，物体在某过程中的速度等于该过程的位移除以发生这段位移所需要的时间，即前面已经求出了蜡块在任意时刻的位移的大小：
所以可以直接计算蜡块的位移，直接套入速度公式可以得到
vy /vx都是常量
也是常量
也就是说蜡块的速度是不发生变化的，即蜡块做的是匀速运动。
结合前面得出的结论，可以概括起来总结蜡块的运动：蜡块做的是匀速直线运动。
在这个实验中，看到的蜡块实际的运动是相对于背景向右上方运动的，而这个运动并不是直接发生的，它是由向上和向右的两个运动来构成的，在这种情况中，把蜡块沿玻璃管向上的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫做分运动；而蜡块相对于黑板向右上方的运动叫做合运动。由分运动求合运动的过程叫做运动的合成；由合运动求分运动的过程叫做运动的分解。
（2）合运动、分运动的概念
曲线运动的条件是F合与v不在同一直线上，曲线运动的速度方向为曲线的切线方向。复杂运动可以分解成简单的运动分别来研究，由分运动求合运动叫运动的合成，用曲线运动的条件及运动的合成与分解知识可以判断合运动的性质及合运动轨迹。
反之由合运动求分运动叫运动的分解，运动的合成与分解，遵守平行四边形定则。
①把注满水的乒乓球用细绳系住另一端固定在B钉上，乒乓球静止在A点，画出线段BB′且使AB≈BB′（如右图），用光滑棒在B点附近从左向右沿BB′方向匀速推动吊绳，观察乒乓球实际运动的轨迹是沿AB′方向，这是因为乒乓球同时参与了AB方向和BB′方向的匀速直线运动的结果，而这两个分运动的速度都等于棒的推动速度。小球沿竖直方向及沿BB′方向的运动都是分运动；沿AB′方向的是合运动。分析表明合运动的位移与分运动位移遵守平行四边形定则。
②船渡河问题：可以看做由两个运动组成。
假如河水不流动而船在静水中沿AB方向行驶，经一段时间从A运动到B（如下图）；
假如船的发动机没有开动，而河水流动，那么船经过相同的一段时间将从A运动到A′；
如果船在流动河水中开动同时参与上述两个运动，经相同时间从A点运动到B′点，从A到B′的运动就是上述两个分运动的合运动。
注意：船头指向为发动机产生的船速方向，指分速度；船的合运动的速度方向不一定是船头的指向，这里的分运动、合运动都是相对地球而言，不必引入相对速度概念，避免使问题复杂化。
（3）运动的合成分解定则——平行四边形定则
①用分运动的位移、速度、加速度求合运动的位移、速度、加速度等叫运动的合成。反之由合运动求分运动的位移速度、加速度等叫运动的分解。
②运动的合成与分解遵守矢量运算法则，即平行四边形法则。
例如：船的合位移s合是两个分位移s1与s2的矢量和；又例如飞机斜向上起飞时，在水平方向及竖直方向的分速度分别为v1 = v cosθ， v2 = v sinθ，其中，v是飞机的起飞速度。如图所示。
（4）用分运动的性质判断合运动的性质及轨迹
①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动（v合为恒量）。
②提出问题：船渡河时如果在AB方向的分运动是匀加速运动，水仍然匀速流动，船的合运动轨迹还是直线吗？
可以用曲线运动的条件来判断：首先将两个分运动的初始运动量及外力进行合成，然后用合运动的初速度及合运动所受的合外力的方向关系进行判断。合成结果可知，船的合速度v合与合外力F不在同一直线上，船一定做曲线运动。
（5）合运动与分运动特点：
1.独立性原理：各个分运动之间相互独立，互不影响。
一个物体可以同时参与几个分运动，各个分运动独立进行，各自产生效果而不互相干扰，这就是运动的独立作用原理。运动独立作用原理是运动合成与分解的理论依据。
2.等时性原理，合运动与分运动总是同时开始，同时结束，它们所经历的时间是相等的。
明确运动的独立性及等时性的问题，即每一个分运动彼此独立，互不干扰；合运动与每一个分运动所用时间相同。关于速度的说明，在应用船速概念时，注意区别船速v船及船的合运动速度v合。前者是发动机产生的分速度，后者是合速度，由于不引入相对速度概念，使上述两种速度容易相混。
3．探究平抛运动的规律
平抛运动是匀变速运动，所谓匀变速运动是指运动物体的加速度的大小、方向恒定不变的运动，平抛运动的物体在运动过程中的加速度为g，方向竖直向下而恒定不变。
　　平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，物体在任一时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和。
（1）抛体运动与平抛运动
1. 抛体运动
足球比赛中被球员踢起来在空中飞行的足球；乒乓球比赛中被球拍打出去的乒乓球；被运动员扔出去的铁饼、标枪、铅球等等，生活中有许多这种运动的例子。从这些例子中我们可以看出，所有这些物体都是以一定的初速度被抛出，忽略空气阻力，在只受重力的情况下做曲线运动，我们把这种运动称为抛体运动。
2. 平抛运动
在抛体运动中有一种特殊情况，即物体被抛出时的初速度方向沿水平方向，我们把这样的抛体运动称为平抛运动。
①分类：根据抛体运动初速度的方向我们还可以对抛体运动进行如下分类
初速度竖直向上：竖直上抛运动
初速度竖直向下：竖直下抛运动
初速度与水平面成正角：斜上抛运动
初速度与水平面成负角；斜下抛运动
②特点：仅受重力作用，平抛运动是一种匀变速曲线运动，轨迹是一条抛物线。
③处理方法：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
（2）平抛运动运动规律
1.竖直方向的运动规律
观察平抛运动的轨迹，发现它是一条曲线，由此可以得出这样一个结论：平抛运动在竖直方向上的分速度是越来越快的，在竖直方向上只受到重力的作用。
如图所示，用小锤打击弹簧金属片，金属片把A球沿水平方向抛出，同时B球被松开，自由下落，A、B两球同时开始运动。
A球在金属片的打击下获得水平初速度后只在重力作用下运动，所以做的是平抛运动，B球被松开后没有任何初速度，且只受到重力的作用，因此做的是自由落体运动。
判断两球是否同时落地的小技巧：不用眼睛看，而是用耳朵听。两个小球落地后会不止蹦一下，只听它们落地的第一声响。如果只听到一声响，说明两个小球同时落地，如果听到两个落地声，说明两个小球先后落地。
A、B两个小球从同一高度同时开始运动，又同时落地，这说明了A球在竖直方向上的分运动的性质和B球的运动性质是一样的，B球做的是自由落体运动。
受力情况：只受重力作用
初速度情况：无
结论：平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动。
2.水平方向的运动规律
水平方向上的分运动，先来分析做平抛运动的物体在水平方向上的受力情况，做平抛运动的物体只受重力作用，重力的方向是竖直向下的，所以物体在水平方向上不受力。根据运动的独立性知道水平方向上的运动不会受到竖直方向的运动影响，再根据牛顿第一定律知道，如果一个物体处于不受力或受力平衡状态，它将静止或做匀速直线运动。在平抛运动中，物体水平方向上不受力，并且水平方向上有一个初速度，所以物体在水平方向上应该是匀速直线运动。
（1）将平抛运动实验器置于桌面，装好平抛轨道，使轨道的抛射端处于水平位置，调节调平螺丝，观察重垂线或气泡水准，使面板处于竖直平面内，卡好定位板，装置如图所示。
（2）将描迹记录纸衬垫一张复写纸或打字蜡纸，紧贴记录面板用压纸板固定在面板上，使横坐标x轴在水平方向上，纵坐标y轴沿竖直方向向下（若用白纸，可事先用铅笔在纸上画出x、y坐标轴线），并注意使坐标原点的位置在平抛物体（钢球）的质心（即球心）离开轨道处。
（3）把接球挡板拉到最上方一格的位置。
2．将定位板定在某一位置固定好，钢球紧靠定位板释放，球沿轨道向下运动，以一定的初速度由轨道的平直部分水平抛出。
3．下落的钢球打在向面板倾斜的接球挡板上，同时在面板上留下一个印迹点。
4．再将接球挡板向下拉一格，重复上述操作方法，打出第二个印迹点，如此继续下拉接球挡板，直至最低点，即可得到平抛的钢球下落时的一系列迹点。
5．变更定位板的位置，即可改变钢球乎抛的初速度，按上述实验操作方法，便可打出另一系列迹点。
6．取下记录纸，将各次实验所记录的点分别用平滑曲线连接起来，即可得到以不同的初速度做平抛运动的轨迹图线，如图所示。
注意：
1．为了保证实验精度，必须保证记录面板处于竖直平面内，使平抛轨道的平面靠近板面。
2．安放记录纸时，要使坐标原点与抛体的抛出点重合，这样才能正确地确定抛体运动轨迹的起始点，从而确定轨迹上任意点的x、y坐标。
平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，根据等时性原理知道水平分运动和竖直分运动是同时发生的，所以可以通过竖直分速度来找相等的时间间隔。
实现方式：根据自由落体运动的位移公式x=1/2gt2我们可以得出，在相邻相等的时间间隔内物体所发生的位移之比为1：3：5：…：(2n+1)，那么我们就可以从坐标系中的纵轴上选取长度分别为h、3h、5h的相邻的线段，即选取纵坐标分别为h、4h、9h的三个点。例如选择5、20、45这几个点，如图所示，在平抛的轨迹上找出纵坐标与之相对应的点，这些点所对应的横坐标即为平抛运动的水平分运动在相邻相等的时间间隔里所达到的位置。
这样我们就找出了水平分运动在相邻相等的时间间隔内所发生的位移，观察这些水平分位移，可以得到这些水平分位移都近似相等。
受力情况：不受力
初速度情况：有
结论：平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动。
这样就通过运动的合成与分解探究出了平抛运动在水平和竖直方向上的运动规律。
4．抛体运动的规律
（1）抛体的位置（位移规律）
①水平位移：（从抛出点开始计时，用水平分运动规律求）
②竖直位移：（与水平方向夹角，用竖直分运动规律求）
③求时间t内质点的位移——用两个分运动的位移的合成求合位移：
位移方向可用s与x轴正方向的夹角表示。
由①、②两式消去t，可得：
由①、②式消去t，可得：y=
由数学知识得到：平抛运动的物体的轨迹是抛物线。
（2）抛体的速度（速度规律）
①水平分运动的速度： (匀速运动规律)
②竖直分运动的速度： （与水平方向的夹角）
③平抛运动的速度求法：
t时刻平抛物体的速度（合速度）：
vt是由水平分运动的速度vx和竖直分运动的速度vy合成的。
vt的大小：
vt的方向可用vt与x轴正方向夹角来表示，满足关系：
（3）平抛运动的加速度
①水平分运动的加速度：ax = 0 (匀速运动规律)
②竖直分运动的加速度：ay = g （自由落体运动规律）
③合运动的加速度：a = g
（4）平抛运动时间与水平射程
①平抛运动时间由高度决定，与初速度无关。
②水平射程由初速度和高度共同决定。
③平抛运动中，任何两时刻的速度变化量，方向恒定竖直向下。
（5）平抛运动规律分析表
物理量 运 动 位 移 速 度 加速度
水平分运动（匀速直线运动） x = V0t Vx=V0 ax = 0
竖直分运动（自由落体运动） y= Vy=g t ay = g
合运动（平抛物体的运动） S= Vt = a = g
（6）应用平抛运动规律解题
5．圆周运动
（1）线速度
物体在做圆周运动时运动的时间增大，通过的弧长也随之增大，所以对于某一圆周运动而言，与的比值越大，物体运动得越快。
1. 物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
2. 定义：质点做圆周运动通过的弧长Δl和所用时间Δt的比值叫做线速度。（比值定义法）
3. 大小：v =。单位：m/s（s是弧长，非位移）
4. 当选取的时间Δt很小很小时（趋近零），弧长Δl就等于物体在t时刻的位移，定义式中的v，就是直线运动中学过的瞬时速度了。
5. 方向：线速度是矢量，它既有大小，也有方向，线速度的方向在圆周各点的切线上。
6. 点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。“匀速圆周运动”中的“匀速”指的速度的大小不变，即速率不变；而“匀速直线运动”的“匀速”指的速度不变是大小方向都不变，二者并不相同，匀速圆周运动是一种变速运动。
（2）角速度
1. 物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢。
2. 定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间Δt的比值，就是质点运动的角速度。
3. 定义式：ω=
（3）角速度的单位
1）圆心角θ的大小可以用弧长和半径的比值来描述，这个比值是没有单位的，为了描述问题的方便，我们“给”这个比值一个单位，这就是弧度。弧度不是通常意义上的单位，计算时，不能将弧度代到算式中。
2）国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒（rad／s）。
3）线速度是矢量，匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，角速度是标量，没有方向，因此角速度是不变的。
（4）线速度跟角速度的关系
由
联立解出：
线速度、角速度、周期之间的关系：v=2πr/T ω=2π/T v=rω
讨论
1）当v一定时，与r成反比；
2）当一定时，v与r成正比；
3）当r一定时，v与成正比。
（5）匀速圆周运动
匀速圆周运动是指物体运动速度的大小保持不变的运动，由于速度的方向每时每刻都在改变，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
　　匀速圆周运动是一种周期性运动，除了用线速度v来描述其运动的快慢外还可以用角速度、周期T(或频率f，转速n)来描述，质点做匀速圆周运动时，线速度时刻发生变化，而角速度则不变。
匀速圆周运动公式
1、匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
2、匀速圆周运动快慢描述
⑴线速度：①（物体运动通过的弧长与运动所需时间的比值）
②矢量性
⑵角速度：①（物体运动转过的角度与运动所需时间的比值）
②单位：弧度每秒（）
⑶周期：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号“”表示。
⑷频率：周期的倒数，即，频率高说明物体振动的快，频率低说明物体振动的慢。
⑸转速：每秒转过的圈数，常用符号“”来表示，单位为“转每秒（）”或“转每分（）”
3、线速度、角速度、周期间的关系
联立上面二式可得：
6.向心加速度
质点做匀速圆周运动时，向心加速度是描述质点速度方向变化快慢的物理量。向心加速度的方向时刻指向圆心，即与该时刻的线速度方向垂直，向心加速度的大小可表达为。，其物理意义是当线速度一定时，向心加速度a与旋转半径成反比；当角速度一定时，向心加速度a与旋转半径成正比。
（1）速度变化量
如图：设质点
在以上各种情况下速度的变化量可以用指向的矢量来表示。
（2）向心加速度
1. 向心加速度
如图设质点做半径为r的匀速圆周运动。
由甲、乙、丙、丁四幅图中的变化趋势可以看出：当AB两点非常靠近的时候，就非常靠近且相等，当AB两点非常非常接近时趋向于垂直，即平行与半径，或者说指向圆心。
结论：做匀速圆周运动的物体，加速度指向圆心。这个加速度叫做向心加速度。
由上面图丁可以看出三角形OAB和由，组成的矢量三角形相似。
所以： 进一步解出：
由可以导出向心加速度的表达式为：
把代入，可以推出：或
①向心加速度：作匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
②大小：
③注意：
①由于a向的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是瞬时加速度的方向不断改变的变加速运动。
②做匀速圆周运动的物体，向心力是一个效果力，方向总指向圆心，是一个变力。
③做匀速圆周运动的物体受到的合外力就是向心力。
2. 向心加速度的深入理解
①向心加速度是匀速圆周运动的瞬时加速度而不是平均加速度；
在匀速圆周运动中，加速度不是恒定的，这里的向心加速度是指某时刻或某一位置的瞬时加速度，它等于包含该时刻（或该位置）在内的一小段时间内的平均加速度的极限值，即an=lim，公式an=中的速度v应为瞬时速度值。
②向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度；
在匀速圆周运动中，向心加速度就是物体做圆周运动的实际加速度，而在一般的非匀速圆周运动中，它只是物体实际运动的加速度的一个分加速度，另一个分加速度为切向加速度，如图所示，可见物体做圆周运动的加速度不一定指向圆心，只有匀速圆周运动的加速度才一定指向圆心；但向心加速度方向始终沿着半径指向圆心。
圆周运动的切向加速度是描述圆周运动的线速度的大小改变快慢的，向心加速度是描述线速度的方向改变快慢的。
③所有做曲线运动的物体都需要向心力，其向心力Fn=m，其中R为物体所在曲线处的曲率半径，对应的向心加速度an=。
④质点做匀速圆周运动和刚体的匀速转动是两个不同的物理模型；
不能说质点在转动，也不能说刚体做圆周运动，注意刚体转动时，其上各点均做圆周运动，它们做圆周运动的半径可以不相等，但各点运动的角速度相等。
⑤一个常见的错误是：在确定了做匀速圆周运动物体受到的各力（重力、弹力、摩擦力等）后，认为物体还受到一个大小等于m的向心力。例如，长为L的轻绳拴着一个小球做圆锥摆运动（如图所示）在分析小球受力时，有些同学除确认小球受竖直向下的重力mg和绳子的拉力FT外，还错误地认为小球受到一个在水平面内指向圆心的向心力。其错误在于忘掉了向心力是做匀速圆周运动物体受到的合外力。实际上，小球只受到重力和拉力，这两个力的合力F=mgtanθ就称为向心力。试想，如果把向心力当做一个额外的力，认为小球受三个力，显然歪曲了物体的受力情况（相当于把物体受到的每个力算了两遍），是完全错误的。
7．向心力
（1）向心力
向心力是以力的效果命名的一种力，作圆周运动的物体必然要受到与线速度垂直，沿半径指向圆心的力的作用。作匀速圆周运动的物体，它所需要的向心力由重力、弹力、摩擦力中的某个力或某个力的分力或几个力的合力所提供，在分析物体受力情况时，仍应按力的性质来分析重力、弹力、摩擦力，不能多分析出一个向心力来。
　　向心力的效果是产生向心加速度，它只能改变速度的方向，而不能改变速度的大小。
⑴向心力指向圆心，与物体运动方向垂直。
⑵大小：
⑶注意：
①向心力是按效果命名的力；
②任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力；
③不能认为做匀速圆周运动的物体除了受到其它物体的作用外，还要另外受到向心力。
（2）实验：用圆锥摆粗略验证向心力的表达式
1、实验器材有哪些？
2、实验原理（怎样达到验证的目的）
3、实验过程中要注意什么？测量那些物理量（记录哪些数据）？
4、实验过程中差生误差的原因主要有哪些？
结论：
1、实验的过程中，多项测量都是粗略的，存在较大的误差，用两个方法得到的力并不严格相等。
2、通过实验我们还体会到，向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样具有某种性质的力来命名的。它是效果力，是按力的效果命名的。在圆锥摆实验中，向心力是小球重力和细线拉力的合力，还可以理解为是细线拉力在水平面内的一个分力。
1、小球受重力、支持力、绳的拉力而做匀速圆周运动。由于竖直方向小球不运动，故重力、支持力合力为零，那么水平方向上的匀速圆周运动效果由水平面上的绳的拉力效果来提供；
2、月球和地球间的引力提供月球运转的向心力；
3、小物块受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供向心力。
（3）变速圆周运动和一般曲线运动
1. 匀速圆周运动特点
①速度大小不变，无切向加速度，速度方向改变，有向心加速度，。
②合外力必提供向心力。
2. 变速圆周运动特点
①速度大小变化，有切向加速度，速度方向改变，有向心加速度，故合加速度不一定指向圆心。
②合外力不一定全提供向心力，合外力不一定指向圆心。
8.生活中的圆周运动
（1）匀速圆周运动实例分析
简介运用向心力公式的解题步骤：
1.明确研究对象，确定它在哪个平面内做圆周运动，找到圆心和半径。
2.确定研究对象在某个位置所处的状态，进行具体的受力分析，分析哪些力提供了向心力。
3.建立以向心方向为正方向的坐标，据向心力共式列方程。
4.解方程，对结果进行必要的总结。
（2）铁路的弯道
1.介绍：火车在平直轨道上匀速行驶时，所受的合力等于0，那么当火车转弯时，则做圆周运动，那么是什么力提供火车的向心力呢？实际的转弯处外轨略高于内轨，此时火车的受力情况，并说明此时火车的支持力FN的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧。此时支持力与重力的合力提供火车转弯所需的向心力。
2.内外轨等高时向心力的来源：
a：此时火车车轮受三个力：重力、支持力、外轨对轮缘的弹力。
b：外轨对轮缘的弹力提供向心力。
c：由于该弹力是由轮缘和外轨的挤压产生的，且由于火车质量很大，故轮缘和外轨间的相互作用力很大，易损害铁轨。
d：强调说明：转弯处要选择内外轨适当的高度差，使转弯时所需的向心力完全由重力G和支持里FN来提供，这样外轨就不受轮缘的挤压了。
e：火车受的重力和支持力的合力提供向心力，对内外轨都无挤压，这样就达到了保护铁轨的目的，向心力是水平的。
（3）拱形桥
汽车在拱桥上以速度v前进，桥面的圆弧半径为R，求汽车过桥的最高点时对桥面的压力？
a：选汽车为研究对象
b：对汽车进行受力分析：受到重力和桥对车的支持力
c：上述两个力的合力提供向心力、且向心力方向向下
d：建立关系式：
e：又因支持力与压力是一对作用力与反作用力，所以，且
f：说明：上述过程中汽车做的不是匀速圆周运动，仍使用了匀速圆周运动的公式，原因是向心力和向心加速度的公式对于变速圆周运动同样适用。
（4）航天器中的失重现象
假设宇宙飞船质量为M，它在地球表面附近绕地球作匀速圆周运动，其轨道半径近似等于地球半径R，航天员质量为m，宇宙飞船和航天员受到的地球引力近似等于他们在地面的重力m。
除了地球引力外，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力。引力与支持力的合力为他提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力：
即： 也就是：
通过整体法对宇宙飞船受力分析，并运用牛顿第二定律可解得：宇宙飞船的速度为，再对宇航员进行分析可得，此时座舱对宇航员的支持力为零，即航天员处于失重状态。
上面的分析仅仅是针对圆轨道而言的，其实在任何关闭了发动机又不受阻力的飞行器中，都是一个完全失重的环境。
（5）离心运动
做匀速圆周运动的物体，它所受的合力恰提供了它所需要的向心力，如果提供它的外力消失或不足，则由于物体本身的惯性，物体将沿圆周的切线方向飞出或逐渐远离圆心，出现了物体远离圆心的运动。
1.离心运动
⑴离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受的合力突然消失或者不足以提供圆周运动所需要的向心力的情况下，物体所做的逐渐远离圆心的运动叫做离心运动。
①离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象。
②离心现象的本质是物体惯性的表现。
③离心的条件：做匀速圆周运动的物体合外力消失或不足以提供所需的向心力。
④在离心机的水平转台上放一个物体，当转台的转速较小时，物体随转台一起做圆周运动，随着转台转速增加，当转速增加到某一值时，物体所受的最大静摩擦力已不足以提供所需的向心力，物块做离心运动。
⑵对离心运动的进一步理解
①做圆周运动的质点，当合外力消失时，它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞去。
②做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动，它不是沿半径方向飞出。
③做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力（不管是以是什么方式命名的力，只要是真实存在的，一定有施力物体）。
④离心运动的运动学特征是逐渐远离圆心运动，动力学特征是合外力消失或不足以提供所需要的向心力。
2.离心运动的应用和防止
⑴离心运动的应用实例
①离心干燥器
②洗衣机的脱水筒
③用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内
⑵离心运动的防止实例
①汽车拐弯时的限速
②高速旋转的飞轮、砂轮的限速
3.常见的几种离心运动对比图示
项目 实物图 原理图 现象及结论
洗衣机脱水筒 当水滴跟物体附着力F不足以提供向心力时，即F＜mω2r，水滴做离心运动
汽车在水平路面上转弯 当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，汽车做离心运动
用离心机把体温计的水银甩回玻璃泡中 当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力时，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
各章节例题
例题1汽车沿半径为R的圆跑道匀速行驶，设跑道的路面是水平的，路面作用于车的最大静摩擦力是车重的0.10倍，要使汽车不至于冲出圆跑道，车速最大不能超过多少？
分析：如果不考虑汽车行驶时所受的阻力，那么汽车在圆跑道匀速行驶时，轮胎所受的静摩擦力F（方向指向圆心）提供向心力。车速越大，所需向心力也越大，则静摩擦力F也越大，但本题中的向心力不可能超过路面作用于车的最大静摩擦力Fm，车重的0.10。设车速的最大值为vm，则
得：
汽车沿半径为R的圆跑道匀速行驶时的速率不能超过，不然会冲出圆跑道，因为这时最大静摩擦力不足以提供汽车做圆周运动所需的向心力，汽车就脱离原来的圆跑道做离心运动了。
例题2如图5-7-1所示，把两个完全相同的甲、乙两物体放在水平转盘上，甲离转盘中心近些，当逐渐增大转盘的转速时，哪个先滑离原来的位置？为什么？
分析：物体能否发生相对滑动，在于物体所需要的向心力是否达到了转台和物体之间的最大静摩擦力，超过了就会发生相对滑动。
乙先滑离原来的位置。放在水平转动盘上的物体随转盘旋转时有沿半径滑离转动轴的趋势，它没有滑离而绕转轴做匀速圆周运动，是因为物体与转盘间的静摩擦力F静提供物体绕轴做匀速圆周运动所需向心力，使它产生向心加速度。根据Fm=μ0FN，由于甲乙两物体重量相等，两处接触面情况相同（即μ0相同），因此两个物体与盘间最大静摩擦力相等。由根据向心力公式，Fn=mω2R，向心力Fn跟角速度ω2成正比，所以随着转盘转速增大时，物体所需向心力也逐渐增大，当物体所需要的向心力超过最大静摩擦力FN时，物体就会滑动，由于甲乙处在同一转盘上，角速度相同。但乙的半径大，它所需要的向心力比甲大，所以当转盘转速增大时，乙先滑离原先位置。
从本题可以看出这样一个结论，在同一转台上离转轴越远的物体越容易滑动，与物体的质量没有关系。仅由物体的轨道半径决定。
小结：圆周运动的物体，所受的合外力F突然消失或不足以提供所需的向心力时，物体就会做离心运动。
1.实例分析：磁铁对小钢球施加了一个力的作用，用F表示这个力，用v表示小钢球的速度，则：①直线加速：F的方向与v的方向在一条直线上，但方向相同；
②直线减速：F的方向与v的方向在一条直线上，但方向相反；
③曲线运动：F的方向与v不在一条直线上，成一角度。
总结：当物体所受的合力的方向与它的速度方向在同一直线时，物体做直线运动；当物体所受
（4）简答分析例题
1.在砂轮上磨刀具时可以看到，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线飞出，为什么由此推断出砂轮上跟刀具接触处的质点的速度方向沿砂轮的切线方向
解答：火星是从刀具与砂轮接触处擦落的炽热微粒，由于惯性，它们以被擦落时具有的速度做直线运动，因此，火星飞出的方向就表示砂轮上跟刀具接触处的质点的速度方向。火星沿砂轮切线飞出说明砂轮上跟刀具接触处的质点的速度方向沿砂轮的切线方向。
2.为什么说曲线运动一定是变速运动
解答： 物体做曲线运动时，它在某点的速度方向就是曲线的这一点的切线方向，由于曲线上各点的切线方向是不同的，所以，物体做曲线运动时，速度的方向时刻在变化，由于速度是矢量，不论其大小是否变化，只要方向改变，速度就发生了变化，所以曲线运动一定是变速运动。
3.请你从牛顿运动定律和物体做直线运动的条件出发，总结出物体做曲线运动的条件。
解答： 由于曲线运动一定是变速运动，所以做曲线运动的物体一定有加速度，它所受的合外力一定不为零。当物体的加速度方向跟运动方向在一条直线上时，物体做变速直线运动（加速直线运动或减速直线运动），由牛顿第二定律知，物体做变速直线运动时，合外力的方向必跟运动方向在一条直线上。反之，只要合外力的方向跟物体的运动方向在一条直线上，物体就一定做变速直线运动。因此，当物体所受的合外力不为零，且合外力的方向跟物体的运动方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动。
（6）简答分析例题
1.通过介绍的实验，思考下列问题：
（1）蜡块参与哪两个分运动
（2）分运动与合运动所用时间有什么关系
（3）合位移和分位移有什么关系
（4）合速度与分速度有什么关系
解析：（1）红蜡块同时参与了两个分运动：在玻璃管中竖直向上的运动和随玻璃管水平向右的运动。
（2）合运动与两个分运动是同时发生的，所以所用时间相等。
（3）合位移和分位移之间的关系由平行四边形定则确定，两分位移为平行四边形一组邻边，合位移为其对角线。
（4）合速度与分速度之间的关系也由平行四边形定则确定，两分速度是平行四边形的一组邻边，合速度为其对角线。
2.初速度为v0，加速度为a的匀加速直线运动可看做哪两个分运动的合运动 从该角度推导其速度公式和位移公式。
解析：可看做速度为v0的匀速直线运动和初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动的合运动，某时刻t两分运动的速度分别为v0和at，且方向相同，故合速度为vt＝v0＋at，运动一段时间t两分运动的位移分别为v0t和at2，且方向相同，故合位移为：s＝v0t＋at2。
3.怎样确定合运动和分运动？
解析：①合运动一定是物体的实际运动；②如果选择运动的物体作为参照物，则参照物的运动和物体相对于参照物的运动是分运动，物体相对于地面的运动是合运动。
4.合运动是直线运动还是曲线运动，与什么因素有关系？
解析：与合运动的初速度和加速度有关。若合初速度与合加速度在一条直线上，合运动为匀变速直线运动；合初速度与合加速度不在一条直线上，合运动为曲线运动。
5.如果物体在一个方向上的分运动是匀速直线运动，在与它垂直方向的分运动是匀加速直线运动，合运动的轨迹是什么样的
解析：匀速运动的速度V1和匀速运动的初速度的合速度应如图所示，而加速度a与v2同向，则a与v合必有夹角，因此轨迹为曲线。
在如下图所示的装置中，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q；两轨道上端分别装有电磁铁C、D；调节电磁铁C、D的高度，使AC=BD，从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等。
现将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小铁球能以相同的初速度V0同时分别从轨道M、N的下端射出。实验结果是两小球同时到达E处，发生碰撞，增大或者减小轨道M的高度，只改变小铁球P到达桌面时速度的竖直方向分量的大小，再进行实验，结果两小铁球总是发生碰撞。
实验结果显示，改变小球P的高度。两个小球仍然会发生碰撞，说明沿竖直方向距离的变化，虽然改变了两球相遇时小球P沿竖直方向速度分量的大小。但并不改变小球P沿水平方向的速度分量大小。因此，两个小球一旦处于同一水平面，就会发生碰撞，这说明小球在竖直方向上的运动并不影响它在水平方向上运动。
例题1河宽H，船速为v船，水流速度为v水，船速v船与河岸的夹角为θ，如图所示。
①求渡河所用时间，并讨论θ为何值时渡河时间最短？
②怎样渡河，船的合位移最小？
分析：①用船在静水中的分运动讨论渡河时间比较方便， 根据运动的独立性，渡河时间：
将代入，得
可以知道时，即船头垂直对岸行驶时渡河时间最短。
②当v船＞v水时，v合垂直河岸，合位移最短等于河宽H，根据速度三角形可知，船速方向应该满足，为方向与河岸的夹角。
当v船例题2物体在光滑水平桌面受三个水平恒力（不共线）处于平衡状态，当把其中一个水平恒力撤去时，物体将：
A、 物体一定做匀加速直线运动
B、 物体一定做匀变速直线运动
C、 物体有可能做曲线运动
D、 物体一定做曲线运动
分析：开始合外力为零，当撤去一个力时，物体将受到与撤去的力大小相等，方向相反的合外力。物体将如何运动：
a、当初速度为零时，一定做匀加速直线运动。
b、当初速度不为零时，当初速度方向与合外力方向相同或相反时，做匀变速直线运动；当初速度与合外力方向有角度时，物体做曲线运动。
答案：C。
例题：一架老式飞机在高出地面0.81 km的高度，以2.5×l02km/h的速度水平飞行，为了使飞机上投下的炸弹落在指定的目标，应该在与轰炸目标的水平距离为多远的地方投弹 不计空气阻力。
分析：对于这道题可以从以下几个方面来考虑：
从水平飞行的飞机上投下的炸弹，做的是平抛运动，炸弹在没有脱离飞机时与飞机具有相同的水平速度，脱离飞机后这一速度并不消失，这时炸弹只受重力作用且具有水平初速度，所以做平抛运动。炸弹的这种运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
要想使炸弹投到指定的目标处，炸弹落地前在水平方向通过的距离与投弹时飞机离目标的水平距离应该相等。
例题1一架老式的飞机在高出地面0.81 km的高度，以2.5×102 km/h的速度水平飞行，为了使飞机上投下的炸弹落在指定的目标上，应该在与轰炸目标的水平距离为多远的地方投弹？不计空气阻力。
分析：炸弹的运动为平抛运动——初速度水平，只受重力，“投弹”就是炸弹从飞机上释放，不是从飞机上发射出去，炸弹被释放时具有飞机当时的水平速度（由于惯性），离开飞机后只受重力，忽略空气阻力，炸弹将做平抛运动。因为水平方向有速度，所以炸弹不能在目标正上方投弹；确定投弹地点与目标的水平距离——需要知道时间和水平速度。水平速度应为飞机的速度——惯性。飞行时间如何确定——运动的独立性，竖直方向运动的时间与水平方向运动的时间相同.
解：炸弹落地所需时间由竖直方向的高度决定，而竖直方向上炸弹的运动为自由落体运动，
所以由得：
在此期间炸弹通过的水平距离为：.
代入数值得：x=0.89 km.
例题2一轰炸机沿水平方向作匀速直线运动，从飞机上每隔一秒钟释放一个炸弹，则下列说法正确的是：【 】
A. 炸弹在空中排成竖直的直线
B. 两炸弹间的距离随时间的增加而增大
C. 各炸弹落地的时间间隔相等
D. 炸弹落地（地面水平）时形成的弹坑成等间距的
分析：①飞机水平飞行投下1个炸弹：平抛轨迹——铁球落地前总在飞机正下方
②飞机每隔1S投下1个炸弹
小结：
1．具有水平速度的物体，只受重力作用时，形成平抛运动。
2．平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
平抛运动的位移等于水平位移和竖直位移的矢量和。
平抛运动的瞬时速度等于水平分运动的速度和竖直分分运动速度的矢量和。
3．平抛运动是一种匀变速曲线运动。
4．飞行时间只由竖直分运动即自由落体运动决定，即飞行时间t决定于高度h，与水平方向的分运动无关。
5．研究平抛运动的规律时涉及八个物理量：V0、Vy、V、x、y、S、t、，已知任意两个可以求出其它六个。
6．如果物体受到恒定合外力作用，并且合外力跟初速度垂直，形成类似平抛运动，只需把公式中的g换成a，其中a=/m，可类似平抛运动的方法进行研究。
例题1分析下图中，A、B两点的线速度有什么关系？
答案：主动轮通过皮带、链条、齿轮等带动从动轮的过程中，皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等。
例题2分析下列情况下，轮上各点的角速度有什么关系？
答案：同一轮上各点的角速度相同。
A
O
B
A
丙
O
B
A
丁
O
B
A
乙
B
A
O
甲
图5-7-1
甲 乙
F2
F1
F3
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