一、单选题
1.已知定义域为的偶函数,其导函数为,对任意,均满足:.若,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
考点:利用函数性质解不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造,构造,构造等www.21-cn-jy.com
2.已知函数,若对任意, 恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知: 恒成立,设作出如图所示:
则h(x)要恒在g(x)下方, 且过其图像上点的切线方程为: 过原点,故,所以斜率为:-e,所以应满足,又,所以实数的取值范围是2·1·c·n·j·y
点睛:根据题意将问题可转化为两个函数图像高低问题,求出切线方程为临界值,从而得到结论
3.已知函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若对于任意实数,有,则( )
A.
B.
C.
D.与大小不确定
【答案】A
【解析】
考点:利用导数研究函数的单调性.
4.偶函数定义域为,其导函数是,当时,有,则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析:根据题意,设g(x)=,结合题意求导分析可得函数g(x)在(0,)上为减函数,结合函数的奇偶性分析可得函数g(x)为偶函数,进而将不等式转化为g(x)>g(),结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x的取值范围.【21·世纪·教育·网】
又由g(x)为偶函数且在(0,)上为减函数,且其定义域为,
则有|x|<,
解可得:﹣<x<0或0<x<,
即不等式的解集为;
故选:C.
点睛:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,需要构造函数,一般:(1)条件含有,就构造,(2)若,就构造,(3),就构造,(4)就构造,等便于给出导数时联想构造函数.21教育网
5.已知二次函数的导函数为与轴恰有一个交点,则使恒成立的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:先对函数求导,得出,再根据,得出,然后利用与轴恰有-个交点得出,得到与的关系,要使恒成立等价于,然后利用基本不等式求得的最小值,即可求得实数的取值范围. 2-1-c-n-j-y
点睛:本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式. 对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21*cnjy*com
6.已知定义在区间上的函数满足,且,若恒成立,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:根据条件结合乘积型导函数得到的表达式,利用二次函数的图象与性质建立实数的不等式组,从而求出实数的取值范围.【21cnj*y.co*m】
点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造, 构造, 构造, 构造等【21教育名师】
7.设函数是定义在上的函数,是函数的导函数,若,(为自然对数的底数),则不等式的解集是21*教*育*名*师
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造新函数,则.
因为,所以.又,所以,
所以函数在上单调递增.由,得,
即.又已知,所以,
所以可以转化为.
又因为函数在上单调递增,
所以,
所以不等式的解集是.
故选:D.
8.设函数.若存在唯一的整数,使得,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:函数.若存在唯一的整数,使得,
等价于有唯一整数,利用导数研究函数的单调性,结合函数图象与零点存在定理,列不等式组求解即可.
只有一个整数,,
,得,
即实数的取值范围为,故选A.
点睛:本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题,属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正,不但可以利用一元二次方程根的分布解题,还可以转化为有解(即可)或转化为有解(即可),也可以利用数形结合,根据零点存在定理列不等式(组)求解.
9.已知是定义在区间上的函数,是的导函数,且,,则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:首先将题中所给的式子进行整理,之后构造新函数,对函数求导,利用条件可以判断新构造函数的导数的符号,从而可以确定所构造的新函数的单调性,再利用题中所给的已知自变量对应的函数值,从而可以应用单调性求得结果,注意函数的定义域以及复合函数的定义域. 21·世纪*教育网
点睛:该题考查的是函数的综合题,在解题的过程中,需要我们构造新函数,求导,利用题中的条件来判断导数的符号,从而确定出新函数的单调性,结合题中所给的,可以判断出自变量所满足的条件,这里需要注意复合函数的定义域问题.【21教育】
10.已知函数,若有且仅有两个整数,使得,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:设g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,对g(x)求导,将问题转化为存在2个整数x0使得g(x0)在直线h(x)=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,解g(﹣1)﹣h(﹣1)<0,g(﹣2)﹣h(﹣2)>0,求得a的取值范围.21-cnjy*com
g(﹣2)=,h(﹣2)=﹣3a,
由g(﹣2)﹣h(﹣2)≥0,解得a≥.
综上所述,的取值范围为.
故选B.
点睛:本题的关键是转化,将数的关系转化为存在2个整数x0使得g(x0)在直线h(x)=ax﹣a的下方,再利用数形结合分析找到关于a的不等式组.
11.已知定义在上的偶函数在上单调递减,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 因为定义在上的偶函数在上递减,所以在上单调递增,
若不等式对于上恒成立,
则对于上恒成立,
即对于上恒成立,
所以对于上恒成立,即对于上恒成立,
令,则由,求得,
(1)当时,即或时,在上恒成立,单调递增,
因为最小值,最大值,所以,
综上可得;
(3)当,即时,在上,恒成立,为减函数,
在上,恒成立,单调递增,
故函数最小值为,
若,即,因为,则最大值为,
此时,由,求得,
综上可得;
若,即,因为,则最大值为,
此时,最小值,最大值为,求得,
综合可得,
综合(1)(2)(3)可得或或,
即,故选A.
点睛:本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用,函数的恒成立问题,着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法,试题有一定的难度,属于难题,本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性,可得在上恒成立,令,求的函数的最大值和最小值,从而得到实数的取值范围.21cnjy.com
12.已知定义在R上的函数恒成立,则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
点睛:本题考查了函数的综合应用问题,以及不等式的求解,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用,对于与函数有关的不等式的求解问题:通常是代入函数的解析式,直接求解不等式的解集,若不等式不易解或不可解,则将问题转化为构造新函数,利用新函数的性质——单调性与奇偶性等,结合函数的图象求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.
二、填空题
13.若关于的不等式(其中为自然对数的底数,)恒成立,则的最大值为_______.
【答案】4
14.当,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】分析:先分离参数得到a,构造函数f(x)=.利用导数求出函数的最值即可求解实数a的取值范围.21·cn·jy·com
详解:∵x>1时,不等式(x﹣1)ex+1>ax2恒成立
∴(x﹣1)ex﹣ax2+1>0恒成立,
∴a,在(1,+∞)恒成立,
设f(x)=,
f′(x)=
∵x2ex﹣2(x﹣1)ex+2=ex(x2﹣2x+2)+2=ex[(x﹣1)2+1]+2>0恒成立,www-2-1-cnjy-com
∴f′(x)>0,在(1,+∞)恒成立,
∴f(x)在(1,+∞)单调递增,
∴f(x)min>f(1)=1,
∴a≤1.
故填(﹣∞,1].
点睛:本题的关键是分离参数得到a,再构造函数f(x)=.利用导数求出函数的最小值即可求解实数a的取值范围.处理参数问题常用分离参数的方法,可以提高解题效率,优化解题.
15.已知函数,若有且只有一个整数根,则的取值范围是_____.
【答案】
点睛:本题主要的技巧是分离函数和数形结合分析.把有且只有一个整数根等价转化为是本题的关键,这里主要是利用了数形结合的思想.21世纪教育网
16.若对任意的,不等式恒成立,则__________.
【答案】0或
【解析】设,则,
由已知可得:对恒成立,
令,,则
可知:在上单调递减,在上单调递增,
若,则,令,
则
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
又,∴
∴,即t=1,所以则
故答案为:0或