2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题08+导数与不等式的综合应用（第02期）

一、单选题
1．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
考点：利用函数性质解不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等www.21-cn-jy.com
2．已知函数，若对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知： 恒成立，设作出如图所示：
则h(x)要恒在g(x)下方， 且过其图像上点的切线方程为： 过原点，故，所以斜率为：-e，所以应满足，又，所以实数的取值范围是2·1·c·n·j·y
点睛：根据题意将问题可转化为两个函数图像高低问题，求出切线方程为临界值，从而得到结论
3．已知函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数，有，则（ ）
A．
B．
C．
D．与大小不确定
【答案】A
【解析】
考点：利用导数研究函数的单调性．
4．偶函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据题意，设g（x）=，结合题意求导分析可得函数g（x）在（0，）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数g（x）为偶函数，进而将不等式转化为g（x）>g（），结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x的取值范围．【21·世纪·教育·网】
又由g（x）为偶函数且在（0，）上为减函数，且其定义域为，
则有|x|<，
解可得：﹣＜x＜0或0＜x＜，
即不等式的解集为；
故选：C．
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.21教育网
5．已知二次函数的导函数为与轴恰有一个交点，则使恒成立的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：先对函数求导，得出，再根据，得出，然后利用与轴恰有-个交点得出，得到与的关系，要使恒成立等价于，然后利用基本不等式求得的最小值，即可求得实数的取值范围. 2-1-c-n-j-y
点睛：本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式. 对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.21*cnjy*com
6．已知定义在区间上的函数满足，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据条件结合乘积型导函数得到的表达式，利用二次函数的图象与性质建立实数的不等式组，从而求出实数的取值范围.【21cnj*y.co*m】
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等【21教育名师】
7．设函数是定义在上的函数，是函数的导函数，若，（为自然对数的底数），则不等式的解集是21*教*育*名*师
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】构造新函数，则.
因为，所以.又，所以，
所以函数在上单调递增.由，得，
即.又已知，所以，
所以可以转化为.
又因为函数在上单调递增,
所以,
所以不等式的解集是.
故选：D．
8．设函数.若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：函数.若存在唯一的整数，使得，
等价于有唯一整数，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理，列不等式组求解即可.

只有一个整数，，
，得，
即实数的取值范围为，故选A.
点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），也可以利用数形结合，根据零点存在定理列不等式（组）求解.
9．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：首先将题中所给的式子进行整理，之后构造新函数，对函数求导，利用条件可以判断新构造函数的导数的符号，从而可以确定所构造的新函数的单调性，再利用题中所给的已知自变量对应的函数值，从而可以应用单调性求得结果，注意函数的定义域以及复合函数的定义域. 21·世纪*教育网
点睛：该题考查的是函数的综合题，在解题的过程中，需要我们构造新函数，求导，利用题中的条件来判断导数的符号，从而确定出新函数的单调性，结合题中所给的，可以判断出自变量所满足的条件，这里需要注意复合函数的定义域问题.【21教育】
10．已知函数，若有且仅有两个整数，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：设g（x）=ex（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）＞0，求得a的取值范围．21-cnjy*com

g（﹣2）=，h（﹣2）=﹣3a，
由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得a≥.
综上所述，的取值范围为.
故选B.
点睛：本题的关键是转化，将数的关系转化为存在2个整数x0使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下方，再利用数形结合分析找到关于a的不等式组.
11．已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上单调递增，
若不等式对于上恒成立，
则对于上恒成立，
即对于上恒成立，
所以对于上恒成立，即对于上恒成立，
令，则由，求得，
（1）当时，即或时，在上恒成立，单调递增，
因为最小值，最大值，所以，
综上可得；
（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，
在上，恒成立，单调递增，
故函数最小值为，
若，即，因为，则最大值为，
此时，由，求得，
综上可得；
若，即，因为，则最大值为，
此时，最小值，最大值为，求得，
综合可得，
综合（1）（2）（3）可得或或，
即，故选A.
点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得在上恒成立，令，求的函数的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围.21cnjy.com
12．已知定义在R上的函数恒成立，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】D
点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
二、填空题
13．若关于的不等式（其中为自然对数的底数，）恒成立，则的最大值为_______．
【答案】4
14．当，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：先分离参数得到a，构造函数f（x）=．利用导数求出函数的最值即可求解实数a的取值范围．21·cn·jy·com
详解：∵x＞1时，不等式（x﹣1）ex+1＞ax2恒成立
∴（x﹣1）ex﹣ax2+1＞0恒成立，
∴a，在（1，+∞）恒成立，
设f（x）=，
f′（x）=
∵x2ex﹣2（x﹣1）ex+2=ex（x2﹣2x+2）+2=ex[（x﹣1）2+1]+2＞0恒成立，www-2-1-cnjy-com
∴f′（x）＞0，在（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴f（x）min＞f（1）=1，
∴a≤1.
故填（﹣∞，1]．
点睛：本题的关键是分离参数得到a，再构造函数f（x）=．利用导数求出函数的最小值即可求解实数a的取值范围．处理参数问题常用分离参数的方法，可以提高解题效率，优化解题.
15．已知函数，若有且只有一个整数根，则的取值范围是_____.
【答案】
点睛：本题主要的技巧是分离函数和数形结合分析.把有且只有一个整数根等价转化为是本题的关键，这里主要是利用了数形结合的思想.21世纪教育网
16．若对任意的，不等式恒成立，则__________．
【答案】0或
【解析】设，则，
由已知可得：对恒成立，
令，，则
可知：在上单调递减，在上单调递增，
若，则，令，
则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，∴
∴，即t=1，所以则
故答案为：0或