高中数学破题之道第35计+符号开门+来意弄懂

跳出题海，我有36计
第35计 符号开门 来意弄懂
【计名释义】
数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：?
3x+2y+z=100?
问学生：“这句话的意思是什么？”?
学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食.?21-cnjy*com
学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程.?
学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？?
老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句
【典例示范】
【例1】为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文（解密）,已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( )?
A?.4,6,1,7 B?.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.?1,6,4,7??
【评说】 由信息的传递迁移到数学中的方程组，这是通过一些数字迁移到另外一些数字上去，可见数学的神密所在.
【例2】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；
（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，
所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．
因为数列{an}为“T 数列”，
所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝am，即有(m－n) d＝|d|．
①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，
②若d＜0，则m＝n－1．
此时，当n＝1时，m＝0不为正整数，所以d＜0不符合题意． 综上，d≥0．
（3）因为an＜an＋1，所以an＋|an＋1－an＋2|＝an＋an＋2－an＋1．
又因为an＜an＋an＋2－an＋1＝an＋2－(an＋1－an)＜an＋2，且数列{an}为“T数列”，21世纪教育网
所以an＋an＋2－an＋1＝an＋1，即an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
设数列{an}的公差为t(t＞0)，则有an＝1＋(n－1)t，
由an＜a－a＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt，
整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ①
n(t－2t2)＞2t－t2－1． ②
若2t2－t＜0，取正整数N0＞，
则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，
因此2t2－t≥0．
同样根据②式可得t－2t2≥0，
所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．
经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝1＋ (n－1)＝．
点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ① ，n(t－2t2)＞2t－t2－1， ② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.21*教*育*名*师
【强化训练】
1．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“情侣函数”.若函数与互为“情侣函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先理解两集合及“情侣函数”的含义，求出函数的零点，确定函数的零点的取值范围，分离参数，将函数有解问题转化为求函数的值域问题，再利用导数求函数的值域即可．
详解：由题意，得分别是函数的零点，
易知函数单调递增，且，
即；
因为函数和为“情侣函数”，
所以，即，
即在上有解，
即在上有解，
令，则，
则在上单调递增，在单调递减，
且，
则.故选C．
点睛：1.解决本题的关键是正确理解集合的含义（即为函数的零点）及新定义函数“情侣函数”的含义（即两个函数的零点之差的绝对值不大于1）；
2.在已知函数有解求有关参数问题时，往往分离参数，将问题转化为求函数的值域问题，可以避免较为繁琐的讨论．
2．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A. 函数存在“和谐区间”
B. 函数不存在“和谐区间”
C. 函数存在“和谐区间”
D. 函数 （且）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】分析：利用函数单调性的判别方法，逐个选项检验函数是否存在单调区间。若函数在上的值域是，则方程应该有两个根。
对于选项C，由函数，可得
。
取区间，在此区间上，
所以函数在区间上为增函数。
因为 成立，
所以函数在区间上的值域为.
所以选项C正确。
对于选项D，不妨设,则函数在定义域内为单调增函数。
若存在“和谐区间”，则由得，
所以是方程的两个根，
即是方程的两个根。
因为该方程有两个正根，所以存在“和谐区间”。所以选项D错。
所以选D。
点睛：（1）判断函数的单调性的方法，单调性的定义、导函数、符合函数的同增异减；
（2）函数在其单调区间上的值域是，则方程应该有两个根。
3．把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，
记表示第行的第个数，例如 = ，若=，则（ ）
A. 36 B. 37 C. 38 D. 45
【答案】B
【解析】分析: 由A（，）表示第行的第个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的，根据规律求得．21·cn·jy·com
所以．
故选：B．
点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
4．定义表示大于的最小整数，例如，，则下列命题中正确的是
①函数的值域是；
②若数列是等差数列，则数列也是等差数列；
③若数列是等比数列，则数列也是等比数列；
④若，则方程有个根．
A. ②④ B. ③④ C. ①③ D. ①④
【答案】D
5．记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )21教育网
A. 若是等差数列，且首项，则是“和有界数列”
B. 若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
C. 若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D. 若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
【答案】C
【解析】分析：根据“和有界数列”的定义对给出的各个选项逐一分析可得结论．
详解：
对于A，若是等差数列，且首项，当d>0时， ，当时，，则不是“和有界数列”，故A不正确．21cnjy.com
对于B，若是等差数列，且公差，则，当时，当时，，则不是“和有界数列”，故B不正确．
对于C，若是等比数列，且公比|q|<1，则，故
，则是“和有界数列”，故C正确．
对于D，若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比或，故D不正确．
故选C．
点睛：本题属于新定义问题，解题时要通过阅读、理解所给的新定义，并将其应用在解题中，此类问题主要考查学生的阅读理解和应用新知识解决问题的能力．如在本题中要根据给出的“和有界数列”得概念对所给选项逐一分析、排除，然后得到所求．www.21-cn-jy.com
6．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.21·世纪*教育网
详解：由题意, ，
则，很明显
n?2时,，
两式作差可得：，
则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，
则an?kn=(2?k)n+2，
则数列{an?kn}为等差数列，
故Sn?S6对任意的恒成立可化为：
a6?6k?0,a7?7k?0；
即，解得：.
实数的取值范围为.
本题选择B选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.www-2-1-cnjy-com
7．对实数、定义一个运算：，设函数（），若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是__________．2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】分析：首先利用新定义的运算确定函数的解析式，然后结合函数的图像求解实数的取值范围即可.
详解：由可得：，则：
.
据此有：.
当时，x-x2=-2,当时，.
函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点等价于函数y=f(x)与y=c的图象有
两个交点.
如图所示：函数y=c在和之间及y=-2以下与函数f(x)有两个交点.
据此可得：实数的取值范围是
点睛：本题的核心是考查函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．2·1·c·n·j·y
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【21cnj*y.co*m】
8．设是内一点， ， ，定义 其中分别是的面积，若， ，则的取值范围是______．
【答案】
详解：因为，又因为， 。
所以，即，
所以。
故三角形的面积为。
因为定义 其中分别是的面积，若，
所以。
因为，又因为，
所以
令
因为。因为，所以。
所以函数在区间上为增函数。
所以。
故的取值范围是。
点睛：（1）若，知（或）为常数，利用基本不等式可求
（或）的最值；
（2）求的取值范围，可构造函数，求其单调性，利用函数的单调性求其取值范围。
9．在一个数列中，如果对任意的，都有（为常数）,那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则___.
【答案】28.
【解析】分析：先根据数列是等积为8的等积数列可求得数列的项，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得．【21·世纪·教育·网】
详解：由题意得，数列是等积为8的等积数列，且，
∴，即，
∴．
同理可得，……
∴数列是周期为3的数列，
∴．
点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质．数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，使得求解变得简单．
10．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数都有，则称函数f(x)为“Z函数”．给出下列四个函数：21*cnjy*com
①y=－x3+1，②y=2x，③，④，
其中“Z函数”对应的序号为________________.
【答案】②④
【解析】分析：由题意首先将新定义转化为函数单调性的问题，然后结合函数的解析式逐一考查所给函数的性质即可.【21教育名师】
绘制函数的图象如图所示，观察可得函数单调递增，满足题意.
综上可得，“Z函数”对应的序号为②④.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.【21教育】