高中数学破题之道第32计+立几开门+平面来风

跳出题海，我有36计
第32计 立几开门 平面来风?
【计名释义】
空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
【典例示范】
1.如图所示，ABCD是边长为2a的正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，且PB=2MA=2a，E是PD的中点
(1)求证：ME∥平面ABCD;?
(2)求点B到平面PMD的距离;?
(3)求平面PMD与平面ABCD所成二面角的余弦值
【解析】(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG，?
∵MAPB=a，?
∴M为PF中点，又E为PD中点，?
∴ME为△PFD中位线，ME∥FD，而FD平面ABCD,?
∴ME∥平面ABCD.?
作BH⊥PD于H，必FG⊥BH，
故BH⊥平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.?
Rt△PBD中，PB=2a，BD=2a.?
∴PD==2a，BH=a，即所求距离为a.?
(3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且
cos∠PDB=，即所求二面角的余弦值为.?
点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.?【21教育名师】
(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：?21-cnjy*com
①若用S，S1，S2，S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S2=S 21+S 22+S 23?
②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S=
③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么?
h=.?
根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B—PFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a?
∴BH=?
【例2】如图,边长为2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，AB=AD，AB⊥AD，AC=3，AC⊥BD，垂足为M，N为BF的中点.?www-2-1-cnjy-com
（1）求证：MN∥平面ADEF；?
（2）求异面直线BD与CF所成角的大小；?
（3）求二面角A-CF-D的余弦值.?
【解析】（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足为M，∴M为BD的中点，∵N为BF中点，∴MN∥DF?
∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF.?
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，?
∵AC是FC在平面ABCD内的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF，?
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.?
（3）在平面ACF内过M作MH⊥CF于H，连DH，?
∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C，?
∴BD⊥面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH，?
又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.?
在等腰Rt△ABD中，DM=，AM=，∵AC=3，∴CM=2，CF=,?
∵△CMH∽△CFA,∴，∴MH=,?tanMHD =,?
∴二面角A-CF-D的余弦值为.
【强化训练】
1．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.
（1）证明：M，N，C，D1四点共面；
（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.
【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：连接A1B，
在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC
所以四边形A1BCD1是平行四边形
所以A1B∥D1C
在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，
所以，
所以MN∥A1B
所以MN∥D1C
所以M，N，C，D1四点共面.
（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，
所以V1＝
＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D
＝××3＋××3＋××3
＝.
从而V2＝－V1＝27－＝，所以，
所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.
考点：多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.
2．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的大小．
【答案】（1）详见解析，（2）
（2）∵，平面底面，平面底面，∴底面，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，则，
即，
∴，，，∴，
∴，，
设平面的法向量，则，
取，得.易知平面的一个法向量．
设二面角的平面角为(显然为锐角)，则，
∴，
∴二面角的大小为．
3．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，和分别是和的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面平面，，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析.
(2) .
详解：（1）连接交于点，显然，平面， 平面，可得平面，同理平面，， 又平面，可得：平面平面. 21教育网
点睛：本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.【21·世纪·教育·网】
4．如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.
【解析】分析：（Ⅰ）取中点，连接，设，，由勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得证；
（Ⅱ）过点作的垂线，交延长线于点，连接，可证得为斜线与底面所成的角，进而得，过点作，所以底面，所以两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角即可.2-1-c-n-j-y
（Ⅱ）过点作的垂线，交延长线于点，连接，
因为平面底面，平面底面，
平面，所以底面，故为斜线在底面内的射影，
为斜线与底面所成的角，即
由（Ⅰ）得，，所以在中，，，，
在中，，，，由余弦定理得，
所以，从而，
过点作，所以底面，
所以两两垂直，如图，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，【21教育】
则，，，
，，
设平面的法向量
得
取得，
设平面的法向量
得，
取得，，
所以
故所求的二面角的余弦值为.
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，一是空间垂直关系的证明，二是求二面角的大小，在求解的过程中，需要对空间平行垂直关系的有关定理的条件和结论要熟记，再者就是用空间向量求解二面角的问题要明确思路，还有就是该题第一问也可以应用空间向量来证明，借用向量数量积等于零来达到证明垂直的目的，还有就是利用法向量求二面角的余弦值的时候一定要结合法向量的方向确定是其补角还是其本身.
5．如图，是边长为3的正方形，平面，，且，．　
（1）试在线段上确定一点的位置，使得平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析：（1）设平面ACF与BD交于点M，与BE交于点N，M点就量所求，由此可知M是BD的三等分点中靠近B点的一个，由线面平行的判定定理可证；21世纪教育网
（2）分别以DA，DC，DE为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面ABE和平面CBE的法向量，由法向量的夹角可得所求二面角.21·世纪*教育网
详解：（1）证明：取的三等分点（靠近点），过作交于，则有，由平面，，可知平面，21*教*育*名*师
∴，∴，且．
∴四边形为平行四边形，可知，∴平面，
∵，∴为的一个三等分点（靠近点）．
点睛：立体几何中求空间角问题，除用几何法求解以外还可用空间向量法求解，建立空间直角坐标系，对直线求出直线的方向向量，对平面求出平面的法向量，则两直线方向向量的夹角与异面直线所成的角相等或互补，直线的方向向量与平面的法向量的夹角余弦和绝对值等于直线与平面所成角的正弦，两平面的法向量的夹角与二面角相等或互补，具体地可根据图形进行判断.
6．如图，三棱柱的侧面是菱形，平面平面，直线与平面所成角为，，，为的中点．
（1）求证： ；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
详解：（1）证明：如图所示，连接，，在矩形中，，为的中点，所以，
又因为平面平面，
所以直线在平面上的射影是直线，
所以直线与平面所成角为，
因为直线与平面所成角为，即，
所以为正三角形，又为的中点，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，且，
所以平面，
又因为平面，
所以．
（2）解：设为中点，则，所以，，两两互相垂直，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则即
令，得，
同理可求得平面的一个法向量为，
，
由图知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，一是空间垂直关系的证明，二是求二面角的大小，在求解的过程中，需要对空间平行垂直关系的有关定理的条件和结论要熟记，再者就是用空间向量求解二面角的问题要明确思路，还有就是该题第一问也可以应用空间向量来证明，借用向量数量积等于零来达到证明垂直的目的，还有就是利用法向量求二面角的余弦值的时候一定要结合法向量的方向确定是其补角还是其本身.
7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．　
（1）证明：平面平面；
（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
（2）设BC中点为,连接，
，又面 面，且面 面 ，
所以面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，【21cnj*y.co*m】
可得
所以由题得，解得.
所以
设是平面的法向量，则，即，
可取.
设是平面的法向量，则，即，
可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.21cnjy.com
8．如图，四边形与均为菱形，，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）.
详解：（1）设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴，
且为中点，
∵，∴,
又，
∴平面.
（2）连接，∵四边形为菱形，且，
∴为等边三角形，
∵为中点，∴，又，
∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，∵四边形为菱形， ，∴. 21·cn·jy·com
∵为等边三角形，∴.
∴，
∴，
设平面的法向量为，则
令，得
设平面的法向量为，则，
令，得
所以
又因为二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为
（3）设
所以
化简得
解得：
所以.
点睛：本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角与线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.www.21-cn-jy.com
9．如图,在四棱锥中，为等边三角形,平面平面 为的中点.
(1)求二面角 的余弦值；
(2)若点为线段上异于点的一点,,求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）根据线面垂直的判定定理，先征得平面，得到，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，即可求解二面角的余弦值.2·1·c·n·j·y
（2）由（1）得，进而得到平面，即，再利用，即可求得的值.
详解：(1)因为是等边三角形,为的中点,所以,
又因为平面平面,平面平面,
平面,所以AO⊥平面,
取的中点,连结,
由题设知四边形是等腰梯形,所以,
由平面,又平面,所以,
建立如图所示空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为,
则,即
令, 则 , 于是,
又平面的一个法向量为,设二面角为,
所以.
点睛：本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
10．如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，分别是棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）由可得．又由题意得平面，故有，于是平面，根据面面垂直的判定可得结论成立．（2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件求得平面的法向量，又平面的一个法向量为，然后根据及图形可得所求余弦值．
（2）由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，故可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
由（1）知平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
点睛：（1）证明空间中的位置关系时要严格按照相关定理的要求书写解题过程，特别是对于定理中的关键词，在解题过程中要得到体现．21*cnjy*com
（2）根据空间向量的运算得到两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出所求的二面角为锐角还是钝角，然后才能得到结论