高中数学破题之道第36计+思想开门+人数灵通

跳出题海，我有36计
第36计 思想开门 人数灵通
【计名释义】
为什么要学数学？难道仅仅是为了那几个公式、那几项法则、那几条定理？学过数学的人，到后来多数把那些具体的公式、法则和定理忘得一干二净，这岂不是说，他们的数学白白学了？?
所谓“数学使人聪明”，就是学过数学的人们，看待问题和解决问题时有一种优质的、高品位的思想. 这种思想，它来自数学公式、法则和定理的学习过程，但它一旦形成了思想，就可以与形成它的数学具体的知识相对分离. 而与人的灵性结合，形成人的自觉行为活动.? 中学数学可以形成的思想（方法），公认的有七种，这七种思想首先要与人的灵性融合，反过来，在解决数学问题时，又能使数学问题也具有灵性，从而达到人与数的沟通、实现“人数合一”的思想境界.21世纪教育网
【典例示范】
【例1】 校明星篮球队就要组建了，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手.选拔过程中每人最多投篮5次，若投中了3次则确定为B级，若投中4次以上则可确定为A级，已知高三（1）班阿明每次投篮投中的概率是.?21·cn·jy·com
(1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率；?
（2）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率.?
【解答】 (1)求阿明投篮4次才被确定为B级的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率为P=C23·（）2··=.?21·世纪*教育网
④投中0次，其仅有“否否”一种投球方式，其概率为：P（1）=（）2=，?
∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=+++ =.?
【点评】 本题是以考生喜闻乐见的体育运动为背景的一种概率应用题，考查或然和必然的思想.
【例2】下面的数表?
? 1=1
3+5=8
7+9+11=27?
13+15+17+19=64?
21+23+25+27+29=125?
所暗示的一般规律是 .??21教育网
【解析】（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3?
设第n行左边第一个数为an，则a1=1，a2=3，an+1=an+2n. 叠加得an=n2-n+1，而第n行等式左边是n个奇数的和，故第n行所暗示的一般规律是www.21-cn-jy.com
（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.?
【点评】 数表问题由来已久，常作为高考数列开放性探索题.由高中的数学竞赛到高考中的杨辉三角问题研究，此类问题走势也在增强.由已知的有限条件探讨到无限的规律中去.?www-2-1-cnjy-com
【强化训练】
1．若下列关于的方程，，，（为常数）中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是（ ）2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先假设三个方程都无实根，利用判别式为负值得到的取值范围，再利用补集进行求解．
详解：若三个方程都无实根，则，
即，
即；
若三个方程至少有一个方程有实根，
则或．
点睛：1.在处理涉及“至少有一个”、“至多有个”问题时，往往可以转化为其对立事件“一个也没有”、“至少有个”，利用补集思想进行求解；21*cnjy*com
2.处理一元二次方程解的个数问题时，往往要根据判别式的符号进行判定，若二次项实数含有字母时，要注意讨论二次项系数是否为0．【21cnj*y.co*m】
2．“”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
点睛：本题主要考查零点定理以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 【21教育】
3．在中，若，边上中线长为3，则（ ）
A. -7 B. 7 C. -28 D. 28
【答案】A
点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
4．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）21*教*育*名*师
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：利用平面向量的线性运算，得出满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.
详解：由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，
表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，，即，∴，，
故选C.
点睛：在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等.21cnjy.com
5．实数满足，则最大值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】分析：画出可行域，将目标函数转化为，根据表示可行域内与原点连接的斜率，结合图形即可得结果.21-cnjy*com
详解：
画出表示的可行域，如图，化简，
表示可行域内与原点连接的斜率，
由，得，最大值为，
的最大值为，
即最大值为，故选B.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6．已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：首先设出点A的坐标，然后结合点在双曲线上可求得直线斜率的平方，结合其数值可得直线倾斜角的取值范围.2·1·c·n·j·y
故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查抛物线的性质，双曲线的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．函数按照下述方式定义，当时， ；当时， ，方程的所有实数根之和是（ ）
A. 8 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】D
【解析】分析：首先利用题中所给的函数解析式，画出相应区间上的函数的图像，之后借助于当时， 的条件，画出后边若干段图像，观察每段上的对称轴，得到其对应的根的和，求得结果.
详解：画出函数的图像，结合图像可知，当时，两根之和为2，
当时，两根之和为8，
当时，两根和为14，
所以方程的所有根之和为24，故选D.
点睛：该题考查的是有关方程根的和的问题，在求解的过程中，需要对函数的解析式进行分析，画出函数的图像，根据图像的对称性，求得根的和即可.【21·世纪·教育·网】
8．已知函数，，对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______________．【21教育名师】
【答案】
点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意，存在，满足，即转化为，若是任意，任意，满足，即转化为，本题意在考查转化与化归的能力.
9．已知函数，，，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是____．
【答案】
【解析】分析：根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解，进而转化为与在在上有两个解，利用函数的性质即可求解．
详解：由，则，
所以函数是偶函数，
所以要使得方程有四个不同的实数解，则，只需有两个不同的实数解，即方程在上有两个解，
要使得与在在上有两个解，则，即．
点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程有四个不同的实数解，转化为方程在上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方法的应用，试题属于中档试题．
10．已知，则的最大值是__________．
【答案】
【解析】分析：将通分后，再将分子分母同时除以，再设，根据对勾函数的性质，即可求得的最大值.
详解：∵
∴
令，则.
∵
∴
∴
又∵在上为单调递增
∴
∴的最大值是
故答案为.
点睛：解答本题的关键是将等式化简到，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如的函数称为对勾函数，其单调增区间为， ；单调减区间为， .