高中数学破题之道第34计+参数开门+宾主谦恭

跳出题海，我有36计
第34计 参数开门 宾主谦恭
【计名释义】
参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.?21·cn·jy·com
在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.?
有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”21·世纪*教育网
【典例示范】
【例1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆.
（1）求椭圆的方程；
（2）延长交椭圆于点，求面积的最大值.
【答案】(1) .(2)3.
【解析】分析：（1）由， 可得， 结合离心率为可得 ，从而可得椭圆方程为： ； （2）直线，由 ，可得，换元后利用基本不等式求解即可.
（2）由已知可设直线，

令，原式=，当时，
∴
点睛：本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.21*cnjy*com
【例2】已知椭圆C；（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF1|+|QF1|=4，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积的最大值为．【21cnj*y.co*m】
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过左焦点F1的任意直线与椭圆C相交于S、T两点，求的取值范围．
【答案】(1)(2) [﹣4，﹣]
（2）由（1）得椭圆C的方程为．
当直线ST的斜率不存在时，有S（﹣1，）、T（﹣1，），此时．
当直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），
再设点S（x1，y1），T（x2，y2），
将直线ST的方程y=m（x+1）代入椭圆方程消去y并整理得：
（4m2+3）x2+8m2x+4m2﹣12=0．
得，．
从而
==
==∈[﹣4，﹣）．
综上所述， 的取值范围为[﹣4，﹣] ．
点睛：该题属于圆锥曲线的综合问题，在解题的过程中，需要明确椭圆的定义和性质，对直线与椭圆的相交问题，应用明确其解题过程及解题思路，在求解的过程中，联立方程组，应用韦达定理写出两根和与两根积，利用向量的数量积的坐标运算求得结果关于m的关系式，从而求得取值范围.

【强化训练】
1．已知,满足约束条件，若的最小值为1，则=（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最小值,即.故选C.
2．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的A,B两点，且，则的面积的最小值为______________.2·1·c·n·j·y
【答案】
【解析】设直线为,代入抛物线方程得,,,解得,即直线过定点.由弦长公式得,原点到直线的距离,面积为.
【点睛】本小题主要考查想俩个数量积运算,考查直线和抛物线的位置关系,考查弦长公式和三角形面积公式.本题突破口在于所给两个向量的数量积为一个常数,考虑的就是设出直线的方程,然后联立方程写出韦达定理,将这个数量积化简出来,得到一个等量关系,最后化出来后得出的值.21*教*育*名*师
3．函数f（x）=x|x|，若存在x∈[0，+∞）使得不等式f（x﹣2k）＜k成立，则实数k的取值范围为_____．
【答案】
【解析】分析：根据题意时，，讨论和时，存在，使的的取值范围即可．
当时，解得，
存在，使得，即即可，
因为，所以，
所以，整理得，解得，
又因为，所以；
综上，，所以实数的取值范围是．
点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，着重考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，试题有一定难度，属于难题．
4．已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，当且时，求的面积的取值范围．
【答案】(1);(2).
详解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线，
又，∴，于是，且，解得，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，
由得，则，．

．
∵，∴，解得．
由消得，设，，
则 ．
设，则，其中，
∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为．
点睛：直线与椭圆相交问题，常常设交点坐标为，设直线方程，由直线方程与椭圆方程联立，消元后用韦达定理得，然后再求得弦长、斜率、面积等，并代入，从而把弦长、斜率、面积表示为参数（如）的函数，利用函数的知识可求得最值、范围或者证明其为定值.
5．在平面直角坐标系中，圆：，，，为平面内一动点，若以线段为直径的圆与圆相切．
（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线过交于，两点，过且与垂直的直线与交于，两点，求四边形面积的取值范围．【21·世纪·教育·网】
【答案】(1)证明见解析，轨迹方程为．(2).
【解析】分析：第一问结合题中条件画出相应的图形，连接相关线段，利用中位线的长度以及两圆内切时对应两圆心之间的距离与半径的关系，求得，从而得到其为定值，之后借助于其范围，利用椭圆的定义，求得其轨迹方程；第二问分直线的斜率不存在、为零、存在且不为零三种情况来分析对应的四边形的面积，从而求得其范围.2-1-c-n-j-y
详解：（1）设的中点为，连接，，
在中，，分别为，的中点，所以，
又圆与动圆相切，则，所以，即为定值，
，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，
所以点的轨迹方程为．
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设，，，，则，，四边形面积；
②当直线的斜率为0时，同理可得四边形面积；
③当直线的斜率存在且不为0时，
可设直线的方程为，设，，
联立得，
，，
，
同理，
四边形面积，设，
则，
所以；
综上所述，四边形面积的取值范围是．
点睛：该题考查的是有关轨迹问题的求解以及直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，需要明确两圆相切是内切还是外切，再者相切时对应的圆心间的距离与半径的关系，之后得到有关线段的长度关系，之后借助于椭圆的定义求得曲线的方程，再者就是有关直线与椭圆相切时，对应的做题思路就是联立，需要对其倾斜角的情况进行讨论.
6．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）；（2）
详解：（1）设直线方程为，代入得
设，则， ， .
∴.
设，由消去得中点的轨迹方程为
（2）设.
∵，
∴
由点在抛物线上，得.
又∵
∴，点到直线的距离
又 .
所以， 面积
设，有，故在上是减函数，在上是增函数，因此，当时取到最小值.
所以， 面积的最小值是.
点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.【21教育】
7．已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.
（1）求圆与椭圆的方程；
（2）圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.
【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为.；（2）.
【解析】分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得，，.则圆的方程为，椭圆的方程为.21cnjy.com
(2)①当直线的斜率不存在时，计算可得.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程可得，由弦长公式有.令，换元后结合二次函数的性质可得.则的取值范围是.

(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去可得，
.

=
=.
令，则，所以=，
所以=，所以.
综上，的取值范围是.
点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．21-cnjy*com
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
8．在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在线段上,且,当点在圆上运动时.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设直线与上述轨迹相交于M、N两点,且MN的中点在直线上,求实数k的取值范围．
【答案】（1）点的轨迹C方程为=；（2）k的取值范围是.
解析：
(1)设,
由得, = = ,
∵点在圆上,即=,
∴,即=,
∴点的轨迹C方程为=.
(2)设,若直线l与x轴平行,
则MN的中点在y轴上,与已知矛盾,所以,
把代入=,
得=,
则=,
由,得,
由,得=,
所以=,
解得,
所以k的取值范围是．
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.【21教育名师】
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.www-2-1-cnjy-com
(1)若直线l的斜率为，求的值；
(2)若，求实数λ的取值范围.
【答案】（1） （2）0＜λ＜1.
(2)由题意可得，设直线l：y＝k(x＋2)，与椭圆方程联立可得，据此可得： ，同理可得，则.www.21-cn-jy.com
试题解析：
由题意得解得
所以椭圆的方程为＋＝1，圆的方程为x2＋y2＝4.
(1)法一　直线l的方程为y＝ (x＋2)，
由得3x3＋4x－4＝0.
解得xA＝－2，xP＝，所以P.
所以AP＝＝.
又因为原点O到直线l的距离d＝＝，
所以AQ＝2＝，所以＝＝.
法二　由得3y2－4y＝0，所以yP＝.
由得5y2－8y＝0，所以yQ＝.
所以＝＝×＝.
所以λ＝－1＝1－.
由题意知k2＞0，所以0＜λ＜1.
10．已知椭圆： 的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于， 两点，当直线过点时， 的周长为.21教育网
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当直线绕点运动时，试求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由题意结合椭圆的定义可知的周长为 ， ，结合离心率可知， ，则椭圆的标准方程为.21世纪教育网
试题解析：
（Ⅰ）∵的周长为 ，
∴，
又，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）设， 两点坐标分别为， ，
当直线与轴重合时， 点与上顶点重合时， ，
当直线与轴重合时， 点与下顶点重合时， ，
当直线斜率为时， ，
当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，
联立，
得，
则有，①
②
设，则，代入①②得
③
④
∴ ，
即，解得，
综上，