高中数学破题之道第31计+解几开门+轨迹遥控

跳出题海，我有36计
第31计 解几开门 轨迹遥控
【计名释义】
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基21cnjy.com
【典例示范】
【例1已知， 内切于点是两圆公切线上异于的一点，直线切于点， 切于点，且均不与重合，直线相交于点.2·1·c·n·j·y
（1）求的轨迹的方程；
（2）若直线与轴不垂直，它与的另一个交点为， 是点关于轴的对称点，求证：直线过定点.21·世纪*教育网
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
因为内切于于，所以，解得，
所以的方程为： ，
因为直线分别切于，
所以，
连结， 在与中，
，
所以，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去长轴端点），
所以的轨迹的方程为.
，
直线的方程，
令，
得，
故直线过定点.
点睛：考察椭圆得定义，求轨迹方程先要熟悉三大曲线的定义，根据定义去研究几何关系从而确定轨迹写出轨迹方程，在直线与椭圆得综合题型中要注意一般解法：联立韦达定理先写出来2-1-c-n-j-y
【例2】已知动圆与直线相切，且与圆外切.
（1）求动圆圆心轨迹的方程；
（2）若直线：与曲线交于两点，且曲线上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围及的取值范围.【21cnj*y.co*m】
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】分析：（1）由题意利用抛物线定义得到动圆圆心轨迹的方程；
（2）与联立得，，利用韦达定理表示，因为点关于直线对称，设直线方程为，同样可得，从而得到根据直线与抛物线相交限制m的取值范围，利用单调性求范围即可.【21教育名师】
(Ⅱ)与联立得，
，
因为直线与曲线交于两点，
所以，解得，①
设，
则，，
所以，
因为点关于直线对称，
设直线方程为，
与联立得，,
由，得，
设，中点
则，
因为点也在直线上，所以，
所以，代入得，②
由①②得，实数的取值范围为.
又，
所以，
因为，所以，
所以，
所以的取值范围是.
点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.【21·世纪·教育·网】
【强化训练】
1．满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹为（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】D
【解析】分析：由题意结合复数运算的几何意义和双曲线的定义可得对应点的轨迹为双曲线.
详解：由复数的几何意义可知，表示：
到点与点之间的距离之差的绝对值为常数1的点的轨迹，
且，
结合双曲线的定义可知：复数在复平面上对应点的轨迹为双曲线.
本题选择D选项.
点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．【21教育】
2．已知两个平行平面α，β，直线，过上一点P作与所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆
【答案】C
点睛：本题考查圆锥曲线定义，从与圆锥曲面所截的角度确定轨迹形状.
3．点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x2+2x+y2=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（　　）www-2-1-cnjy-com
A. 双曲线的一支 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 射线
【答案】D
【解析】圆的标准方程为，
如图所示，设圆心坐标为，满足题意的点为点，由题意有：
，则，
设，结合几何关系可知满足题意的轨迹为射线.
本题选择D选项.
4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】D
5．设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 为椭圆上任意一点,且A,B为焦点， ，又，，所以点的轨迹方程为.
点晴：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.21*cnjy*com
6．动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
点晴：求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.21-cnjy*com
7．已知棱长为的正方体中， 为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足 ，则所有满足条件的点构成图形的面积为______．
【答案】.
【解析】分析：先考虑两种特殊情况，假设点F和点D重合，假设点F和点A重合，求出每一种情况下点P的轨迹，再根据题意得到点P的轨迹在正方体表面组成的图形，最后求图形的面积.
详解：
如图所示，记中点为，
假设点F和点D重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.
假设点F和点A重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.
所以点F在AD上运动时，所求图形为直角梯形、、．
所以所求图形的面积为
故答案为：.
点睛：本题主要考查空间想象能力，考查极限的思想.要确定点P的轨迹在正方体表面组成的图形，不是很好处理，所以可以先考虑两种特殊情况，特殊情况下点P的图形确定了，动点P的轨迹组成的图形就容易确定了.21教育网
8．若经过坐标原点的直线与圆相交于不同的两点， ，则弦的中点的轨迹方程为____________.21·cn·jy·com
【答案】
【解析】设当直线l的方程为，
与圆联立方程组,消去y可得： ，
由,可得.
由韦达定理,可得，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为： ,其中.
故答案为： .
点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．www.21-cn-jy.com
9．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2) .
（2）点A的直角坐标为，显然点A在曲线上，，∴曲线的圆心到弦的距离，∴的最大面积 21*教*育*名*师
10．已知双曲线的左、右顶点分别为，直线与双曲线交于，直线交直线于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点的轨迹与矩形的四条边都相切，探究矩形对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.21世纪教育网
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析：(1)利用交轨法，求出点的轨迹方程；(2) 设点，过点作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0，设斜率为，则切线方程为，
代入到椭圆方程整理，得.由得到
，这个关于的一元二次方程的两根即为与，
由，可知，即，即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，故矩形对角线长为定值.
试题解析：
（1）设点， ， ，其中.
由题意，得， .
由，①
，②
两式相乘得.
∵，
∴，
代入上式得
，
由①与，得，
①÷②，得.
故点的轨迹方程为.
这个关于的一元二次方程的两根即为与，
由，
得.
设为坐标原点，故可知，
同理，得，
即点为矩形外接圆的圆心，其中为直径，大小为，
故矩形对角线长为定值.
点睛：求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．