高中数学破题之道第33计+导数开门+腾龙起凤

跳出题海，我有36计
第33计 导数开门 腾龙起凤
【计名释义】
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.?
近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向2·1·c·n·j·y
【典例示范】
【例1】已知函数
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
求其导函数，利用导函数的正负判断函数在区间上的单调性，进而求其最小值。故。
详解：（1）
在处的切线方程为，即
（2）
在上单调递减
在上恒成立即在上恒成立记
恒成立，且显然不是常数函数.
在上单调递减

实数的取值范围是.
点睛：（1）导函数的几何意义是某点处的导函数值是该点处切线的斜率；
（2）函数在某区间上单调递减（递增），可转化该函数的导函数在该区间上恒小于等于（大于等于）0.
【例2】设函数且为自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
详解：
（1），，
.
①当时，；
②当时，或.
综上:①当时，函数的增区间为，减区间为；
②当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）当时，
，
即函数在上为减函数，
，
，
令，
.
当时，为减函数；
当时，为增函数.
的最小值为.
∴，
所以的取值范围是.
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
【强化训练】
1．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：函数有两个极值点，等价于有两个根，换元后利用一元二次方程根与系数之间的关系求解即可.21·cn·jy·com
详解： ，
，
有两个极值点，
有两个根，
设，则关于的方程有两个正根，
可得，
实数的取值范围是，故选B.
点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有三个：一是对于发方程的解为不做限制的题型可以直接运用判别式解答；二是已知根的符号，根据韦达定理结合判别式列不等式组求解；三是方程的解在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.
2．若函数在区间有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
在,单调递增；
在,单调递减.
且.
有.
根据题意可得：，解得.
故选A.
点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．【21·世纪·教育·网】
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．www-2-1-cnjy-com
3．若函数图像存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
∵f（x）=ax2+3x﹣lnx，∴=2ax+3﹣=1有正根
∴2ax2+2x﹣1=0有正根 ∴2a=﹣=（﹣1）2﹣1
∴2a≥﹣1，∴a≥﹣．
故答案为：A
点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义、考查零点问题等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及转化能力.(2)本题的关键是转化，首先是把曲线y=ax2+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线转化为=1有正解，再转化为2ax2+2x﹣1=0有正根 ，最后分21cnjy.com
离参数转化为2a=﹣=（﹣1）2﹣1由正解.转化的思想是高中数学比较普遍的数学思想，遇到复杂的问题要会灵活运用.21·世纪*教育网
4．已知是定义在上的函数，其导函数满足（，为自然对数的底数），则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生的分析、综合应用能力． 解决本题的关键是由条件得到原函数的模型，这也是解决问题的难点，这也是解决一类问题的常见技巧，许多问题运用这种技巧可以使得问题简洁明了.21*cnjy*com
5．己知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：转化为函数在定义域内有极值点，即导函数在定义域内有奇次零点，分离参数，即求函数的值域，要注意函数g(x)的渐近线。【21cnj*y.co*m】
点睛：函数单调性的应用
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则≥0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。
(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则≤0在区间(a，b)上恒成立；要检验=0。
(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是＞0的必要不充分条件.
（4）可导函数f(x)在区间(a，b)上不单调，则=0在区间(a，b)上有奇次根。
6．已知函数在其定义域上不单调，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：先求出函数在其定义域上单调递增合单调递减时的取值范围，求出其补集即为所求的范围．
详解：∵，
∴．
①若函数在上单调递增，则在上恒成立，
∴在上恒成立，
由于在上无最大值，
∴函数在上不单调递增．
点睛：（1）函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立，且在该区间的任意子区间内都不恒等于0，然后通过分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．
（2）由于本题中给出的是函数不单调，故可先求出函数单调时参数的取值范围，然后在取其补集即可．
7．已知函数在x=1处取得极值2．
（1）求f(x)的解析式；
（2）设函数 ，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】分析：（1）求导可得，由题意可得,，解得，，经检验符合题意，则函数的解析式为.
（2）结合(1)的结论可得在上最小值为，则，函数的定义域为，，分类讨论：①当时，符合题意；②当时，函数单调递减，函数最小值为，满足题意；③当时，明显不合题意，综上所述，的取值范围为.
详解：（1），
因为在处取到极值为2，所以,，
，解得，，
经检验，此时在处取得极值．故.
①当时，，函数在上单调递增，其最小值为，合题意；
②当时，函数在上有，单调递减，
在上有，单调递增，
所以函数最小值为，
解不等式，得到
从而知符合题意.
③当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，舍去.
综上所述，的取值范围为.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．21教育网
8．设函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）求出导函数，通过对参数的分类讨论，并根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据（1）中的结论求出函数的最值，根据题意得到关于的不等式，然后根据函数的单调性求得实数的范围．【21教育名师】
综上当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）得若，则单调递增，无最值．
若，则当时，取得最小值，
且．
∵函数的最大值大于，
∴，
即，
令，
则在上单调递增，
又，
∴当时，
故的取值范围为.
点睛：（1）单调性是导数应用中最基本也是最重要的内容，利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点．学习中要熟练掌握函数单调性的判断方法，理解函数单调性与导数的关系，对于含参数问题，要注意对隐含条件的挖掘．2-1-c-n-j-y
（2）利用函数的单调性解不等式，要注意对参数的讨论，或分离变量转化为函数最值问题求解．
9．已知函数．
（1）若直线与函数的图象相切，求的值；；
（2）设，对于,都有求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求a的值. (2)转化为，再转化为在上恒成立，再转化为的最小值大于等于a得到a的取值范围.
详解：（1），
设切点为得得到，
所以所以.
（2）∵∴时， ，
所以， 在上为增函数.
不妨设则， ，
所以，
可化为,
即，设，
则在上为减函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则∴
∴
所以在上为增函数，
所以
∴.
点睛：（1）本题主要考查利用导数几何意义，考查导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生利用这些基础知识的掌握能力及分析转化能力数形结合能力. (2)本题的关键是转化，第一次关键转化是把已知转化为，第二次转化是转化为在上恒成立. 转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用.21世纪教育网
10．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（Ⅲ）求证： （， 是自然对数的底数）.
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为;（Ⅱ）; （Ⅲ）见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别解不等式、，可求得的增区间和减区间.
（Ⅱ）构建新函数， 不等式在上恒成立等价于在恒成立，而，分三种情形讨论可得实数的取值范围为.www.21-cn-jy.com
详解：（Ⅰ）当时， ，
.
由解得，由解得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）因当时，不等式恒成立，即恒成立.
设，只需即可.
由,
②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当时，由，∵，∴，
∴，故函数在上单调递减，故成立.
综上所述，实数的取值范围是.
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当时， 在上恒成立，又，
∵
，
∴.
点睛：复杂函数的性质的讨论，可以通过导数先刻画函数的单调性（与导数的正负有关），再刻画函数的极值，从而讨论与函数相关的不等式恒成立问题.而数列不等式的证明往往需要利用题设条件构建新的函数不等式，通过赋予自变量特殊的值求得数列不等式，最后利用新的数列不等式去证明题设中的不等式.