(共23张PPT)
4.5一次函数的应用(3)
数学湘教版 八年级下
导入新知
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3 (2) 2x+1=0 (3) 2x+1=-1
这三个式子的x分别取什么值？它们与函数y=2x+1有什么关系？
-1
-1
y=2x+1
这3个方程的等号左边都是2x+1,右边分别是3，0，-1。这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的值分别为3，0，-1时，求自变量x的值。
解:一元一次方程相当于在某个
一次函数y=ax+b的值
为0时，求自变量的值。
导入新知
新知讲解
动脑筋
一次函数y =5-x的图象如图所示.
（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.
（2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，
它们在一次函数y=5-x的图象上吗？
无数组
都在
新知讲解
（3）在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y =5吗？
（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？
满足
完全相同
新知讲解
观察上述问题和答案，你们发现了什么二元一次方程与一次函数有什么联系吗？
新知讲解
一般地，一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b =0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.
二元一次方程
变形
一次函数
新知讲解
你能找到下面两个问题之间的联系吗？
（1） 解方程： 3x - 6 = 0.
（2） 已知一次函数y = 3x - 6，问x取何值时，y = 0？
新知讲解
从图中可以看出，一次函数y =3x-6的图象与x 轴交于点（2，0），这就是当y =0时，得x=2，而x=2正是方程3x-6=0的解.
（1） 方程3x - 6 = 0的解为x = 2.
（2） 画出函数y = 3x - 6的图象（如图），
y=3x-6
总结：
新知讲解
求ax+b=0(a≠0)的解
x为何值时，y=ax+b的值为0？
从数的角度看
求ax+b=0(a≠0)的解
确定直线y=ax+b与x轴的横坐标
从形的角度看
如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是( )
A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0
C.3x-2y+7=0 D.3x+2y-7=0
学以致用
D
新知讲解
例1、已知一次函数y = 2x + 6， 求这个函数的图象
与x轴交点的横坐标.
（1） 令y = 0， 解方程2x + 6 = 0， 得x = -3.
所以一次函数y = 2x + 6的图象与x轴交点
的横坐标为-3.
解法一
新知讲解
直线y = 2x + 6与x 轴交于点（-3，0），
所以该图象与x轴交点的横坐标为-3.
画出函数y = 2x + 6的图象，
解法二
学以致用
直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x+b=0的解是( )
A.x=2 B.x=4 C.x=8 D.x=10
A
巩固提升
1、方程2x+12=0的解是直线y=2x+12( )
A.与y轴交点的横坐标 B.与y轴交点的纵坐标
C.与x轴交点的横坐标 D.与x轴交点的纵坐标
C
2、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )
A.x=2 B.y=2 C.x=-1 D.y=-1
C
3、已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________.
巩固提升
(-2，0)
4、将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数图象与x，y轴分别交于点A，B，则△ABO为此一次函数的坐标三角形，一次函数y=-x+4的坐标三角形的周长是______.
12
5.一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=4的解为多少？
巩固提升
解：∵一次函数y=kx+b过(0,1)，(2,3)，
巩固提升
∴
∴一次函数解析式为y=x+1.
当y=4时，x=3.
即kx+b=4的解为x=3.
解得：
6、已知二元一次方程y-kx-2k+4=0化为一次函数后，经过画图发现，它与x轴的交点为-1.
(1)请将二元一次方程化为一次函数的形式；
(2)这个函数的图象不经过第几象限？
(3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标.
巩固提升
解：(1)由已知可知，一次函数过点(-1，0)，代入二元一次方程，得0=-k·(-1)-2k+4.解得k=4.
故一次函数的形式为：y=4x+4.
巩固提升
(2)∵x=0时y=4，y=0时x=-1，
∴这个函数的图象不经过第四象限.
(3)当x=0时，y=4×0+4=4.
故一次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，4).
二元一次方程与一次函数的关系
形
数
以数对（x，y）
为坐标画点
点的坐标满
足的方程
点的坐标满足
的函数关系
用方程
观点看
用函数观点看
一次函数
y = kx+b
二元一次方程
y -kx =b
二元一次方程
y = kx+b
x
y
O
y =kx+b
直线
课堂小结
谢谢
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湘教版数学八年级下册4.5一次函数的应用(3)课时教学设计
课题 4.5一次函数的应用（3） 单元 4 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 使学生经历探索 、合作、交流的学习过程，激发学生对数学的兴趣，获得成功的体验
能力目标 让学生经历观察、操作、合作、探究、交流、推理等活动，体会数学的建模、数形结合思想，进一步发展推理能力及有条理表达能力
知识目标 会综合运用一次函数的解析式和图象解决简单实际问题；了解直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与两条直线的函数解析式所组成的二元一次方程组的解之间的关系；会用一次函数的图象求二元一次方程组的解（包括近似解）
重点 运用一次函数的解析式和图象等解决简单实际问题．
难点 构造数学模型（包括函数解析式和图象）与实际问题情景之间的对应关系
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？（1）2x+1=3 (2) 2x+1=0 (3) 2x+1=-1师：解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的值为0时，求自变量的值。 学生思考问题，通过老师的提示引出本节课的内容 生：我觉得可以，让x作为自变量就可以 新知识的获取和运用，离不开已学知识搭建的衔接平台。
讲授新课 动脑筋(出示课件)一次函数y =5-x的图象如图所示.（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.（2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？（3）在一次函数y = 5 - x的图象上任取一点，它的坐标满足方程x+y =5吗？（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？师：同学们观察图像回答问题师：事实上，以二元一次方程x+y=5的解为坐标的点所组成的图形与一次函数y =5-x的图象完全相同.师：通过上面的学习，我们来总结一下生：一般地，一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的一个解，以二元一次方程kx-y+b =0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图象上.师：我们再来看这个问题你能找到下面两个问题之间的联系吗？（1） 解方程： 3x - 6 = 0.（2） 已知一次函数y = 3x - 6，问x取何值时，y = 0？师：同学们画出函数y = 3x - 6的图象生：从图中可以看出，一次函数y =3x-6的图象与x 轴交于点（2，0），这就是当y =0时，得x=2，而x=2正是方程3x-6=0的解.师：同学们一次函数与方程的关系是怎样的？总结：师：我们来小练一下课件展示：如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是( ) A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0 C.3x-2y+7=0 D.3x+2y-7=0例题讲解例1、已知一次函数y = 2x + 6， 求这个函数的图象与x轴交点的横坐标.师：恩，不错，试着解答吧课件展示练习直线y=2x+b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x+b=0的解是( ) A.x=2 B.x=4 C.x=8 D.x=10 1．学生独立思考2．将自己的结论在小组内交流。3．师生共同结，达成共识。生：我们知道二元一次方程x+y=5的解有无数组，以这些解为坐标的点在一次函数y=5-x的图象上. 将方程x+y=5化成一次函数的形式：y=5-x ，易知该一次函数的图象上任意一点的坐标也满足方程x+y=5.学生思考问题，运用学过知识解答问题生：方程3x - 6 = 0的解为x = 2学生思考，根据前面问题总结关系教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，学生口答，教师板书解题过程。生：从数的角度分析：求ax+b=0(a≠0)的解就是求x为何值时，y=ax+b的值为0？生：从形的角度看：求ax+b=0(a≠0)的解就是确定直线y=ax+b与x轴的横坐标师生总结一次函数与方程的关系学生思考，口述解题的思路，老师订正生：我认为应该有两种方法解学生思考，小组讨论，解决问题 锻炼学生思考问题的能力学生通过图象，找出问题的答案，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。培养学生总结问题的能力以及口头表达能力通过学生自己动手解决问题，加深对知识的理解。通过此题的训练，让学生掌握一次函数与方程之间的关系学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识。通过练习，学生能更好的掌握知识.
巩固提升 1、方程2x+12=0的解是直线y=2x+12( )A.与y轴交点的横坐标 B.与y轴交点的纵坐标C.与x轴交点的横坐标 D.与x轴交点的纵坐标答案：C2、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )A.x=2 B.y=2 C.x=-1 D.y=-1答案：C3.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________.答案：(-2，0)4．将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数图象与x，y轴分别交于点A，B，则△ABO为此一次函数的坐标三角形，一次函数y=- / x+4的坐标三角形的周长是______.答案：125.一次函数y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=4的解为多少？答案：解：∵一次函数y=kx+b过(0,1)，(2,3)，∴解得：∴一次函数解析式为y=x+1. 当y=4时，x=3. 即kx+b=4的解为x=3.6、已知二元一次方程y-kx-2k+4=0化为一次函数后，经过画图发现，它与x轴的交点为-1. (1)请将二元一次方程化为一次函数的形式； (2)这个函数的图象不经过第几象限？ (3)求这个一次函数的图象与y轴的交点坐标.答案： 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 4.5一次函数的应用（3）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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4.5一次函数的应用（3）练习题
一、选择题
1．以2x－4＋y＝0方程的解为坐标组成的图形与下列哪个函数的图象相同（ ）
A．y＝2x－4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x－4 D．y＝－2x＋4
2．方程2x＋12＝0的解是直线y＝2x＋12（ ）
A．与y轴交点的横坐标 B．与y轴交点的纵坐标
C．与x轴交点的横坐标 D．与x轴交点的纵坐标
3．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
4、把方程x+1=4y+化为y=kx+b的形式，正确的是( )
A.y=x+1 B.y=x+ C.y=x+1 D.y=x+
5、一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为( )
A.x=2 B.y=2 C.x=-1 D.y=-1
6. 如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是( )21世纪教育网
A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0 C.3x-2y+7=0 D.3x+2y-7=0
7. 已知二元一次方程3x-y=1的一个解是那么点P（a,b）一定不在( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二象限 D.坐标轴上
二、填空题
8. 已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是__________.
9．点（2，3）（填“在”或“不在”）直线y=2x-1上，故__________(填“是”或“不是”）二元一次方程2x-y=1的一组整数解.21教育网
10．已知一次函数的图象过点 EMBED Equation.DSMT4 与，那么这个函数的解析式是__________，则该函数的图象与轴交点的坐标为__________________.21cnjy.com
11.将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数图象与x，y轴分别交于点A，B，则△ABO为此一次函数的坐标三角形，一次函数y=-x+4的坐标三角形的周长是__________.21·cn·jy·com
三、解答题
12. 一次函数y=kx+3的图象与x轴交点到原点的距离是6，求k的值.
13. 如图，直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1，b).
(1)求b的值；
(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解.
14. 已知：直线与轴交于点，与轴交于点，坐标原点为．
（）求点，点的坐标．
（）求直线与轴、轴围成的三角形的面积．
（）求原点到直线的距离．
答案：
1、D.
2、C.
3、C.
4、B.
5. C
6.D
7.C
8. (-2，0)
9. 在 是
10．y=2x-1 (0，-1)
11.12
12.
一次函数y=kx+3与x轴相交，交点纵坐标为0，即y=0，则kx+3=0，
∵函数y=kx+3是一次函数，
∴k≠0.∴x=-.
∵一次函数y=kx+3的图象与x轴交点到原点的距离是6，
∴|-|=6.
①当k＞0时，=6，解得k=；
②当k＜0时，-=6，解得k=-.
综上所述，k的值为±.
13. (1)∵(1，b)在直线y=x+1上，
∴当x=1时，b=1+1=2.
(2)∵直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1，b)，
∴方程组的解是
14. （）∵，
当时，，
．
∴．
当时，，
∴．
（）∵
∴
∴
（）作于点．
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