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新湘教版 数学 七年级下 4.5.1垂线教学设计
课题 4.5.1垂线 单元 第四单元 学科 数学 年级 七年级
学习目标 知识与技能：能够理解垂线的定义。过程与方法：掌握推导垂线定义的过程。情感态度与价值观：通过理解垂线的定义，结合生活中垂线的理解，培养学生对数学学科的兴趣。
重点 能够理解垂线的定义。
难点 能够理解垂线的定义。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 同学们，在上次课中，我们已经学习了有关平移的相关定义和性质。从今天开始，我们将一起学习有关垂线的知识。在讲解新课之前，我们首先一起来看几个例子：画框的边线，十字路口两条笔直的街道，屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？ 我们可以发现，这些角都是成90°的角.那么，大家思考一个问题，成90°角的直线称为什么呢？ 学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题。 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课+例题讲解 对于称成90°角的直线称为相互垂直的线。具体的定义，我们一起总结有关垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时（易知其余三个角也是直角），这两条直线叫做互相垂直，其中每一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足.注意：1.垂直是相交的特殊情况2.判断两条直线互相垂直的关键是只要找到两条直线相交时，四个交角中有一个角是直角。那么垂线怎么表示呢？“垂直”用符号“⊥”表示.如图，AB与CD垂直（O为垂足），记作AB⊥CD，读作AB垂直于CD.符号语言：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.反之：∵∠AOC=90°，∴AB⊥CD.那么不垂直的线称为什么呢？不垂直的线称为斜交：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足. 如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足.我们可以发现一点，垂线就是成90°的直线，斜线是除了垂线和平行线之外的相交线。接下来我们几个例子：【例1】在如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数.解：∵BD，AE都垂直于CG，∴∠BDC=∠AEC=90°∴BD∥AE（同位角相等，两直线平行）. ∴∠2=∠1=60° （两直线平行，同位角相等）.【做一做】（1）如图，在同一平面内，如果a⊥l，b⊥l，那么a∥b吗？∵a⊥l，b⊥l，∴∠1=∠2=90°，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.我们可以发现，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.（2）如图，在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b吗？∵l⊥a，∴∠1=90°.∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）∴l⊥b.我们可以发现：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.经过这两个探究，我们可以得到以下的结论：1.在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.2. 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.【例2】如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2，求∠BEF的度数.解：∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°又∵∠1=∠2，∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.∴∠BEF=∠BDC=90°（两直线平行，同位角相等）. 结合导入的思考和老师的讲解，理解垂线定义。老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。在做一做环节，独立思考，认真运用自己的知识完成。老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。 讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
巩固练习 1.(1)两条直线垂直和相交是什么关系？垂直是相交的特殊情况(2)能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种，为相交，平行，垂直？ 不能，平面内两条直线的位置有相交和平行两种关系. (3)如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．2.你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？ 3.下列时刻中，时针与分针互相垂直的是( ) A.2点20分 B.3点整 C.12点10分 D.5点40分【解析】在钟表的表面上，相邻数字(如1和2)与表中心连线的夹角为30°，而3点整时，时针指向3，分针指向12，故在3点整时时针与分针的夹角为直角.故选B4.如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD，∠BOE=60°，求∠AOC的度数.解：∵EO⊥CD ∴∠EOD=90°， 又∠BOE=60°， ∴∠BOD=90°-∠BOE=30°. ∴∠AOC=∠BOD=30°（对顶角相等）.5.如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，求∠C.解：∵CD⊥DA，DA⊥AB， ∴AB∥CD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）. ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又∵∠B=56°， ∴∠C=180°-56°=124°.6.如图，∠ABC=90°，∠1=60°，过点B作AC的垂线BO，垂足是O，过点O作BC的垂线，垂足是D，若∠1=∠2，求∠ABO，∠BOD.解：∵∠ABC=90°，∠1=60°， ∴∠ABO=30°. ∵BO⊥AC于O点， ∴∠BOC=90°， 又∵∠2=∠1， ∴∠BOD=∠ABO=30°. 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点： 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
板书 垂线定义:两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时这两条直线叫做互相垂直，其中每一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足.表示方法：“垂直”用符号“⊥”表示. 借助板书，让学生知识本节课的重点。
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4．5．1 垂线
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一、选择题：（本大题5个小题，每小题6分，共30分）
1．同学们，你一定练过跳远吧！在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线（ ）
A．平行 B．垂直 C．成45° D．以上都不对
2．若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．既不垂直也不平行 D．不能确定
3．如图，OA⊥OB，∠BOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是（ ）
A．20o B．30o C．40o D．50o
4．如图，已知点A是射线BE上一点，过A作AC⊥BF，垂足为C，CD⊥BE，垂足为D．给出下列结论：①∠1是∠ACD的余角；②图中互余的角共有3对；③∠1的补角只有∠DCF；④与∠ADC互补的角共有3个．其中正确结论有（ ）
A．① B．①②③ C．①④ D．②③④
二、填空题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）
5．已知α=80°，β的两边与α的两边分别垂直，则β等于 ．
6．在同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b与c的位置关系是 ．
7．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1：5，那么∠COA= ，∠BOC的补角= ．21世纪教育网
8．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠EOD=20°，则∠COB的度数为 °．21教育网
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是 ．21·cn·jy·com
三、综合题（第11题12分，第12题12分，第13题16分，共40分）
10．如图，已知直线BC、DE交于O点，OA、OF为射线，OA⊥BC，OF平分∠COE，∠COF=17°．求∠AOD的度数．www.21-cn-jy.com
11．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由．
（2）若∠BOC=4∠1，求∠MOD的度数．
12．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：
① ；② ．
（2）如果∠AOD=40°．
①那么根据 ，可得∠BOC= 度．
②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠ = 度．
③求∠BOF的度数．
试题解析
一．选择题
1．B
【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可．
【解答】解：∵点到直线的垂线段的长叫点到直线的距离，
∴在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线垂直．
故选：B．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知点到直线距离的定义．
2．A
【分析】∠A与∠B是对顶角且互补，根据对顶角的性质，判断这两个对顶角相等，且都为90°，因此它们两边所在的直线互相垂直．21*cnjy*com
【解答】解：∵∠A与∠B是对顶角，
∴∠A=∠B，
又∵∠A与∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
可求∠A=90°．
故选：A．
【点评】本题考查垂线的定义和对顶角的性质，是简单的基础题．
3．A
【分析】根据垂线的定义，可得∠AOB，根据角的和差，可得∠AOC，根据角平分线的定义，可得∠COD，根据角的和差，可得答案．【21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC=50°，
∴∠AOC=50°+90°=140°．
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC=×140°=70°．
∵∠BOD=∠COD﹣∠BOC=70°﹣50°=20°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线，利用角的和差是解题关键．
4．C
【分析】根据垂直定义可得∠BCA=90°，∠ADC=∠BDC=∠ACF=90°，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可．21cnjy.com
【解答】解：∵AC⊥BF，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACD+∠1=90°，
∴∠1是∠ACD的余角，故①正确；
∵CD⊥BE，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，∠1+∠ACD=90°，
∴图中互余的角共有4对，故②错误；
∵∠1+∠DCF=180°，
∴∠1的补角是∠DCF，
∵∠1+∠DCA=90°，∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DAC，
∵∠DAC+∠CAE=180°，
∴∠1+∠CAE=180°，
∴∠1的补角有∠CAE，故③说法错误；
∵∠ACB=90°，∠ACF=90°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠BDC，∠ACB，∠ACF和∠ADC互补，故④说法正确．
正确的是①④；
故选：C．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．21·世纪*教育网
二．填空题
5． 80°或100° ．
【分析】若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．
【解答】解：∵β的两边与α的两边分别垂直，
∴α+β=180°，
故β=100°，
在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=180°﹣100°=80°；www-2-1-cnjy-com
综上可知：∠β=80°或100°，
故答案为80°或100°．
【点评】本题主要考查角的概念的知识点，要注意从不同的角度来分析∠β的存在情况，以免漏解．
6． 平行 ．
【分析】根据垂直定义得出∠CMB=∠ENB=90°，根据平行线的判定求出即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CMB=∠ENB=90°，
∴CD∥EF．
故答案为：平行．
【点评】本题主要考查对垂线，平行线的判定等知识点的理解和掌握，能求出∠CMB=∠ENB=90°是解此题的关键．2-1-c-n-j-y
7． 162° ．
【分析】直接利用垂直的定义结合，∠BOC与∠BOA的度数之比得出答案．
【解答】解：∵BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1：5，
∴∠COA=×90°=72°，
则∠BOC=18°，
故∠BOC的补角=180°﹣18°=162°．
故答案为：72°，162°．
【点评】此题主要考查了垂直的定义以及互补的定义，正确得出∠COA的度数是解题关键．
8． 110 °．
【分析】先根据垂直的定义求出∠BOE=90°，然后求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠COB的度数．【21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∵∠EOD=20°，
∴∠BOD=∠BOE﹣∠EOD=90°﹣20°=70°，
∴∠COB=180°﹣∠BOD=180°﹣70°=110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．
9． ①②③ ．
【分析】根据垂线、角之间的和与差，即可解答．
【解答】解：∵OE⊥CD于O，∠EOF=α，
∴∠DOF=α﹣90°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD=∠FOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=∠FOD，
∴∠AOC=α﹣90°，①正确；
∴∠BOE=180°﹣∠COE﹣∠AOC=180°﹣90°﹣（α﹣90°）=180°﹣α，②正确；
∴∠AOF=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）=360°﹣2α，③正确；
故答案为：①②③
【点评】本题考查了垂线，解决本题的关键是利用角之间的关系解答．
三．综合题
10．【分析】直接利用角平分线的定义得出∠EOC=34°，再利用对顶角的定义得出∠BOD的度数，进而得出答案．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠FOC=17°，
∴∠EOC=34°，
∴∠BOD=34°，
∵OA⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+34°=124°．
【点评】此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
11．【分析】（1）根据垂直定义可得∠AOM=90°，进而可得∠1+∠AOC=90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC=90°，从而可得ON⊥CD；【21教育名师】
（2）根据垂直定义和条件可得∠1=30°，∠BOC=120°，再根据邻补角定义可得∠MOD的度数．
【解答】解：（1）ON⊥CD．
理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∴∠1+∠AOC=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°，
即∠CON=90°，
∴ON⊥CD．
（2）∵OM⊥AB，∠BOC=4∠1，
∴∠1=30°，∠BOC=120°，
又∵∠1+∠MOD=180°，
∴∠MOD=180°﹣∠1=150°．
【点评】此题主要垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
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垂线
数学湘教版 七年级下
导入新知
画框的边线，十字路口两条笔直的街道，屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？
答：都是成90°的角.
成90°角的直线称为什么呢？
新知讲解
两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时（易知其余三个角也是直角），这两条直线叫做互相垂直，其中每一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足.
O
1.垂直概念：
注意：
1.垂直是相交的特殊情况
2.判断两条直线互相垂直的关键是只要找到两条直线相交时，四个交角中有一个角是直角。
新知讲解
“垂直”用符号“⊥”表示.
如图，AB与CD垂直（O为垂足），记作AB⊥CD，读作AB垂直于CD.
2.书写格式：
符号语言：
∵AB⊥CD，
∴∠AOC=90°.
反之：∵∠AOC=90°，
∴AB⊥CD.
A
B
C
D
O
新知讲解
3.斜交（不垂直）：
两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足.
如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足.
例题讲解
【例1】在如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数.
解：∵BD，AE都垂直于CG，
∴BD∥AE（同位角相等，两直线平行）.
∴∠2=∠1=60° （两直线平行，同位角相等）.
∴∠BDC=∠AEC=90°
动脑筋
（1）如图，在同一平面内，如果a⊥l，b⊥l，那么a∥b吗？
∵a⊥l，b⊥l，
∴∠1=∠2=90°，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
动脑筋
（2）如图，在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b吗？
∵l⊥a，
∴∠1=90°.
∵a∥b，
∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴l⊥b.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.
小 结
1.在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
2. 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.
例题讲解
【例2】如图，已知CD⊥AB，∠1=∠2，求∠BEF的度数.
解：∵CD⊥AB，
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
又∵∠1=∠2，
∴∠BEF=∠BDC=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴∠BDC=90°
巩固提升
1.(1)两条直线垂直和相交是什么关系？
(2)能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种，为相交，平行，垂直？
垂直是相交的特殊情况
不能，平面内两条直线的位置有相交和平行两种关系.
(3)如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
2.你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？
巩固提升
3.下列时刻中，时针与分针互相垂直的是( )
A.2点20分 B.3点整
C.12点10分 D.5点40分
【解析】在钟表的表面上，相邻数字(如1和2)与表中心连线的夹角为30°，而3点整时，时针指向3，分针指向12，故在3点整时时针与分针的夹角为直角.故选B
B
巩固提升
4.如图，直线AB，CD相交于O，EO⊥CD，∠BOE=60°，求∠AOC的度数.
解：∵EO⊥CD
∴∠EOD=90°，
又∠BOE=60°，
∴∠BOD=90°-∠BOE=30°.
∴∠AOC=∠BOD=30°（对顶角相等）.
巩固提升
5.如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B=56°，求∠C.
解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴AB∥CD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）.
∴∠B+∠C=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
又∵∠B=56°，
∴∠C=180°-56°=124°.
巩固提升
6.如图，∠ABC=90°，∠1=60°，过点B作AC的垂线BO，垂足是O，过点O作BC的垂线，垂足是D，若∠1=∠2，求∠ABO，∠BOD.
解：∵∠ABC=90°，∠1=60°，
∴∠ABO=30°.
∵BO⊥AC于O点，
∴∠BOC=90°，
又∵∠2=∠1，
∴∠BOD=∠ABO=30°.
课堂小结
垂线：
两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时（易知其余三个角也是直角），这两条直线叫做互相垂直，其中每一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足.
“垂直”用符号“⊥”表示.
谢谢
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