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新湘教版 数学 七年级下 4.5.2垂线的性质教学设计
课题 4.5.2垂线的性质 单元 第四单元 学科 数学 年级 七年级
学习目标 知识与技能：能够运用垂线的性质。过程与方法：掌握垂线的画法以及推导垂线性质的过程。情感态度与价值观：通过推导垂线的性质，培养学生的探索能力，同时培养学生对数学学科的兴趣。
重点 能够理解和运用垂线的性质。
难点 能够理解运用垂线的性质。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 同学们，在上次课中，我们已经学习了有关垂线的相关定义。在今天我们讲解垂线的性质之前，我们首先一起来回顾下上节课的内容：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个是 垂线 时，这两条直线叫做 互相垂直 ，其中每一条直线叫做另一条的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 .2.“垂直”用符号“ ⊥ ”表示.那么如何绘制一条直线的垂线呢？如图，用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线.经过直线l上一点P画l的垂线a；我们是如何画一条直线的垂线呢？垂线的画法：1.一靠：靠已知直线，使三角尺的一条直角边与已知直线重合.2.二移：沿已知直线移动三角尺，使另一条直角边过已知的定点.3.三画：画已知直线的垂线.（1）经过直线l上一点P画l的垂线a；我们可以发现，我们只能画一条垂线.（2）经过直线l外一点P画l的垂线b.我们依然只能画一条垂线。（3）平面内过一点P，能够有两条或两条以上的直线与直线l垂直吗？假如过点P有一条直线a⊥l，还有一条直线b⊥l，则a∥b，但是a与b有公共点P，这是不可能的.所以，根据以上例子，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 学生回忆上节课的内容，并回答老师。学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题。 回顾新知可以便于巩固前一节课的内容。导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课+例题讲解 根据刚刚的探究，我们可以发现总结垂线的性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.在这里，我们特别要注意的是有且只有，不会多也不会少，就只有1条垂线。【例1】过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 【例2】画一条线段的垂线，垂足在( )A.线段上 B.线段的端点处C.线段的延长线上 D.以上都有可能【解析】线段的垂线有无数条，过一点画线段的垂线，垂足可以在线段上，在线段的端点处，在线段的延长线上，故选D.1.如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作P点到直线l 的垂线段．2.通过P点的其他直线交 l 于A、B、C…，线段PA，PB，PC都不是垂线段，称为斜线段．【想一想】观察下图，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知垂线段PO最短.根据这个例子，我们可以发现垂线的另一性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （简称“垂线段最短”）.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.【做一做】1.你能量出图中点P到直线AB的距离吗？PO为点P到直线AB的距离. 2.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？答：过C引l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短.【例3】如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：（1）点A到直线BC的距离；解：∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，B为垂足.∴线段AB即为点A到直线BC的垂线段.∵AB=5，∴点A到直线BC的距离为5.（2）点B到直线AC的距离.解：∵BD⊥AC，垂足为D，∴线段BD即为点B到直线AC的距离.∵三角形ABC面积=.∴.∴.∴点B到直线AC的距离为.∵三角形ABC面积=. 结合导入的思考和老师的讲解，理解利用平移设计图案的关键。在想一想环节，独立思考，认真运用自己的知识完成，并借助想一想中的例子理解垂线的另一个性质。在做一做的时候，认真思考独立完成，巩固和运用所学的新知识。老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。 讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。做一做便于学生认真思考独立完成，巩固和运用所学的新知识。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
巩固练习 1.体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？为什么？测量身体的最后着地点到跳板前边缘所在直线的距离.因为垂线段最短.2.判断：对的打“√”，错的打“×”.(1)点到直线的距离是点到直线的垂线段.( × )(2)一条直线只有一条垂线.( × )(3)同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( √ )(4)垂线段最短.( √ )(5)两条直线互相垂直，则这两条直线所形成四个角都是直角.( √ )3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是( )A.2.5 B.3 C.4 D.5【解析】因为AC是BC上的垂线段，所以点A到BC的最短距离是3，故不可能是2.5.选A.4.如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm.（1）求点A到BC的距离；解：作AD⊥BC，垂足为D，∴线段AD的长度即为点A到直线BC的距离.∵∴.∴点A到直线BC的距离为.（2）点C到AB的距离.解：∵∠BAC=90°， ∴BA⊥AC，A为垂足. ∴线段AC即为点C到直线AB的垂线段. ∵AC=4， ∴点C到直线AB的距离为4。 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点： 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
板书 垂线垂线的画法：①一靠；②二移；③三画.垂线的性质：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 借助板书，让学生知识本节课的重点。
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4．5．2 垂线的性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一、选择题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）
1．如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（ ）www.21-cn-jy.com
A．3 B．3.5 C．4 D．5
2．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（ ）
A．两点之间线段最短 B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短 D．过一点可以作无数条直线
3．下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（ ）2·1·c·n·j·y
A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤3
5．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；
②AD与AC互相垂直；
③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度；
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD＞AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）
6．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是 ．【21·世纪·教育·网】
7．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是 ．
8．如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段 的长度．21·世纪*教育网
9．如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是 cm，点A到BC的距离是 cm，C到AB的距离是 cm．www-2-1-cnjy-com
10．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是 ．2-1-c-n-j-y
三、综合题（第11题12分，第12题12分，第13题16分，共40分）
11．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
12．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．
（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；
（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．21*cnjy*com
13．如图，P是∠AOB的边OB上一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点O到直线PC的距离是线段 的长度；
（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．
试题解析
一．选择题
1．A
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得
AP≥AB，
AP≥3.5，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线短的性质，利用垂线段的性质是解题关键．
2．C
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．
3．C
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．
【解答】解：表示点A到直线l的距离的是C选项图形．
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
4．C
【分析】根据垂线段最短即可求出答案．
【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，
当d=3时
此时PA⊥l
故选：C．
【点评】本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．
5．C
【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．
【解答】解：由∠BAC=90°，AD⊥BC，
得AB⊥AC，故①正确；
AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
AD+BD＞AB，故⑥正确；
故选：C．
【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．
二．填空题
6． 垂线段最短 ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【解答】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．
7． PC ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PC⊥AD，
∴PC最短．
故答案为：PC．
【点评】此题主要考查了垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短是解题关键．21世纪教育网
8． CE ．
【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可．
【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E，
∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度．
故答案为：CE．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度．
9． 4.8 cm．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段BC的长即为点B到AC的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，
∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，
∴CD=6×8÷10=4.8cm，
点A到BC的距离是6cm，
点B到AC的距离是8cm．
故答案为：8，6、4.8．
【点评】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．
10． 8cm ．
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=8cm，
∴点C到AB的距离是CD=8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键．
三．综合题
11．【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．
13．【分析】（1）（2）根据题意画垂线；
（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；21教育网
（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系．21cnjy.com
【解答】解：（1）作图，
（2）作图，
（3）OP，
故答案为：OP；
（4）PH＜CO，
∵垂线段最短，
∴PH＜PO，PO＜OC，
∴PH＜CO．
【点评】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．21·cn·jy·com
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垂线的性质
数学湘教版 七年级下
课前回顾
垂线：
1.两条直线相交所成的四个角中，有一个是 时，这两条直线叫做 ，其中每一条直线叫做另一条的 ，它们的交点叫做 .
2.“垂直”用符号“ ”表示.
直角
互相垂直
垂线
垂足
⊥
新知讲解
如图，用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线.
（1）经过直线l上一点P画l的垂线a；
a
l
P
我们是如何画一条直线的垂线呢？
新知讲解
垂线的画法：
1.一靠：靠已知直线，使三角尺的一条直角边与已知直线重合.
2.二移：沿已知直线移动三角尺，使另一条直角边过已知的定点.
3.三画：画已知直线的垂线.
问题1：这样画l的垂线可以画几条？
l
O
A
无数条
新知讲解
如图，用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线.
只有一条垂线.
（1）经过直线l上一点P画l的垂线a能画几条？
a
l
P
新知讲解
只有一条垂线.
（2）经过直线l外一点P画l的垂线b.
b
l
P
新知讲解
（3）平面内过一点P，能够有两条或两条以上的直线与直线l垂直吗？
假如过点P有一条直线a⊥l，还有一条直线b⊥l，则a∥b，但是a与b有公共点P，这是不可能的.
结论：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
新知讲解
垂线性质1：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
新知讲解
【例1】过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
注意 画线段(射线)的垂线时，有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线
新知讲解
【例2】画一条线段的垂线，垂足在( )
A.线段上 B.线段的端点处
C.线段的延长线上 D.以上都有可能
【解析】线段的垂线有无数条，过一点画线段的垂线，垂足可以在线段上，在线段的端点处，在线段的延长线上，故选D.
D
新知讲解
1.如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作P点到直线l 的垂线段．
P
B
l
O
A
C
2.通过P点的其他直线交 l 于A、B、C…，线段PA，PB，PC都不是垂线段，称为斜线段．
新知讲解
观察下图，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？
用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知垂线段PO最短.
新知讲解
垂线性质2：
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （简称“垂线段最短”）.
垂线段与垂线区别:垂线是直线，垂线段是线段．
新知讲解
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离.
新知讲解
1.你能量出图中点P到直线AB的距离吗？
O
PO为点P到直线AB的距离.
新知讲解
2.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？
答：过C引l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短.
D
新知讲解
【例3】如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：
（1）点A到直线BC的距离；
解：∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，B为垂足.
∴线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
∵AB=5，
∴点A到直线BC的距离为5.
新知讲解
【例3】如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：
（2）点B到直线AC的距离.
解：∵BD⊥AC，垂足为D，
∴线段BD即为点B到直线AC的距离.
∴点B到直线AC的距离为.
∵三角形ABC面积=.
∴.
巩固提升
1.体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？为什么？
测量身体的最后着地点到跳板前边缘所在直线的距离.因为垂线段最短.
巩固提升
2.判断：对的打“√”，错的打“×”.
(1)点到直线的距离是点到直线的垂线段.( )
(2)一条直线只有一条垂线.( )
(3)同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )
(4)垂线段最短.( )
(5)两条直线互相垂直，则这两条直线所形成四个角都是直角.( )
×
×
√
√
√
巩固提升
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是( )
A.2.5 B.3
C.4 D.5
【解析】因为AC是BC上的垂线段，所以点A到BC的最短距离是3，故不可能是2.5.选A.
A
巩固提升
4.如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm.
（1）求点A到BC的距离；
D
解：作AD⊥BC，垂足为D，
∴线段AD的长度即为点A到直线BC的距离.
∵
∴.
∴点A到直线BC的距离为.
巩固提升
4.如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm.
（2）点C到AB的距离.
解：∵∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，A为垂足.
∴线段AC即为点C到直线AB的垂线段.
∵AC=4，
∴点C到直线AB的距离为4。
课堂小结
1.垂线的画法：
①一靠：靠已知直线，使三角尺的一条直角边与已知直线重合.
②二移：沿已知直线移动三角尺，使另一条直角边过已知的定点.
③三画：画已知直线的垂线.
2.垂线的性质：
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
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