方法专题一：图像法解题
一、方法简介
图像法是根据题意把抽像复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形像、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易、化繁为简的目的．
高中物理学习中涉及大量的图像问题，运用图像解题是一种重要的解题方法．在运用图像解题的过程中，如果能分析有关图像所表达的物理意义，抓住图像的斜率、截距、交点、面积、临界点等几个要点，常常就可以方便、简明、快捷地解题．
二、典型应用
1．把握图像斜率的物理意义
在v-t图像中斜率表示物体运动的加速度，在s-t图像中斜率表示物体运动的速度，在U-I图像中斜率表示电学元件的电阻，不同的物理图像斜率的物理意义不同．
2．抓住截距的隐含条件
图像中图线与纵、横轴的截距是另一个值得关注的地方，常常是题目中的隐含条件．
例1、在测电池的电动势和内电阻的实验中，根据得出的一组数据作出U-I图像，如图所示，由图像得出电池的电动势E=______ V，内电阻r=_______ Ω.
3．挖掘交点的潜在含意
一般物理图像的交点都有潜在的物理含意，解题中往往又是一个重要的条件，需要我们多加关注．如：两个物体的位移图像的交点表示两个物体“相遇”．
例2、A、B两汽车站相距60 km，从A站每隔10 min向B站开出一辆汽车，行驶速度为60 km／h．(1)如果在A站第一辆汽车开出时，B站也有一辆汽车以同样大小的速度开往A站，问B站汽车在行驶途中能遇到几辆从A站开出的汽车 (2)如果B站汽车与A站另一辆汽车同时开出，要使B站汽车在途中遇到从A站开出的车数最多，那么B站汽车至少应在A站第一辆车开出多长时间后出发(即应与A站第几辆车同时开出) 最多在途中能遇到几辆车 (3)如果B站汽车与A站汽车不同时开出，那么B站汽车在行驶途中又最多能遇到几辆车
例3、 如图是额定电压为100伏的灯泡由实验得到的伏安特曲线，则此灯泡的额定功率为多大 若将规格是“100 v、100 W”的定值电阻与此灯泡串联接在100 v的电压上，设定值电阻的阻值不随温度而变化，则此灯泡消耗的实际功率为多大
4．明确面积的物理意义
利用图像的面积所代表的物理意义解题，往往带有一定的综合性，常和斜率的物理意义结合起来，其中v一t图像中图线下的面积代表质点运动的位移是最基本也是运用得最多的．
例4、在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体．当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32 J．则在整个过程中，恒力甲做功等于多少 恒力乙做功等于多少
5．寻找图中的临界条件
物理问题常涉及到许多临界状态，其临界条件常反映在图中，寻找图中的临界条件，可以使物理情景变得清晰．
例5、从地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B，要使A、B能在空中相遇，则△t应满足什么条件
6．把握图像的物理意义
例6、如图所示，一宽40 cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里．一边长为20 cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v=20 cm／s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行．取它刚进入磁场的时刻t=0，在下列图线中，正确反映感应电流随时问变化规律的是( )
三、针对训练
( )1．汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动．当它路过某处的同时，该处有一辆汽车乙开始做初速为零的匀加速运动去追赶甲车．根据上述的已知条件
A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度
B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程
C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间
D．不能求出上述三者中任何一个
( )2．在有空气阻力的情况下，以初速v1竖直上抛一个物体，经过时间t1，到达最高点．又经过时间t2，物体由最高点落回到抛出点，这时物体的速度为v2，则
A．v2=v1, t2=t1 B．v2>v1, t2>t1
C．v2t1 D．v2( )3、一颗速度较大的子弹，水平击穿原来静止在光滑的水平面上的木块，设木块对子弹的阻力恒定，则子弹入射速度增大时，下列说法正确的是
A、木块获得的动能变大 B、木块获得的动能变小
C、子弹穿过木块的时间变长 D、子弹穿过木块的时间不变
4、一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地．A、B两地相距s，火车做加速运动时，其加速度最大为a1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2，由此可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为__________.
5、一质点沿x轴做直线运动，其中v随时间t的变化如图(a)所示，设t=0时，质点位于坐标原点O处．试根据v-t图分别在(b)及图(c)中尽可能准确地画出：
(1)表示质点运动的加速度a随时间t变化关系的a-t图；
(2)表示质点运动的位移x随时间t变化关系的x-t图．
6、物体从某一高度由静止开始滑下，第一次经光滑斜面滑至底端时间为t1，第二次经过光滑曲面ACD滑至底端时间为t2，如图所示，设两次通过的路程相等，试比较t1与t2的大小关系．
7、两光滑斜面高度相等，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相等，只是由两部分接成，如图所示．将两个相同的小球从斜面的顶端同时释放，不计在接头处的能量损失，问哪个先滑到底端
8、A、B两点相距s，将s平分为n等份．今让一物体(可视为质点)从A点由静止开始向B做加速运动，物体通过第一等份时的加速度为a，以后每过一个等分点，加速度都增加a/n，试求该物体到达B点的速度．
9、质量m=1 kg的物体A开始时静止在光滑水平地面上，在第1，3，5…奇数秒内，给A施加同向的2 N的水平推力F，在2，4，6…偶数秒内，不给施加力的作用，问经多少时间，A可完成s=100 m的位移．
10、一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距洞口的距离s成反比，当老鼠到达洞口的距离s1=1m的A点时，速度大小为v1=20cm/s，当老鼠到达洞口的距离s2=2m的A点时，速度大小为v2为多少？老鼠从A点到达B点所用的时间t为多少？
例题解析：
例1.【解析】 电源的U-I图像是经常碰到的，由图线与纵轴的截距容易得出电动势E=1.5 V，图线与横轴的截距0．6 A是路端电压为0．80伏特时的电流，(学生在这里常犯的错误是把图线与横轴的截距0．6 A当作短路电流，而得出r=E/I短=2.5Ω 的错误结论．)故电源的内阻为:r=△U/△I=1.2Ω.
例2.【解析】 依题意在同一坐标系中作出分别从A、B站由不同时刻开出的汽车做匀速运动的s一t图像，如图所示．
从图中可一目了然地看出：(1)当B站汽车与A站第一辆汽车同时相向开出时，B站汽车的s一t图线CD与A站汽车的s-t图线有6个交点(不包括在t轴上的交点)，这表明B站汽车在途中(不包括在站上)能遇到6辆从A站开出的汽车．(2)要使B站汽车在途中遇到的车最多，它至少应在A站第一辆车开出50 min后出发，即应与A站第6辆车同时开出此时对应B站汽车的s—t图线MN与A站汽车的s一t图线共有11个交点(不包括t轴上的交点)，所以B站汽车在途中(不包括在站上)最多能遇到1l辆从A站开出的车．(3)如果B站汽车与A站汽车不同时开出，则B站汽车的s-t图线(如图中的直线PQ)与A站汽车的s-t图线最多可有12个交点，所以B站汽车在途中最多能遇到12辆车．
例3. 【解析】 由图线可知：当U=100 V， I=0.32 A, P=UI=100×0.32=32 W;
定值电阻的阻值R=100 Ω
由UL+UR=100 V，得：UL+100I=100 V, I=
作该方程的图线(如图乙中直线)，它跟原图线的交点的坐标为：I1=0.29 A，UL1=7l V；此交点就是灯泡的工作点，故灯泡消耗的实际功率：PL1=I1UL1≈20W.
例4. 【解析】这是一道较好的力学综合题，涉及运动、力、功能关系的问题．粗看物理情景并不复杂，但题意直接给的条件不多，只能深挖题中隐含的条件．下图表达出了整个物理过程，可以从牛顿运动定律、运动学、图像等多个角度解出，应用图像方法，简单、直观．
作出速度一时间图像(如图a所示)，位移为速度图线与时间轴所夹的面积，依题意，总位移为零，即△0AE的面积与△EBC面积相等，由几何知识可知△ADC的面积与△ADB面积相等，故△0AB的面积与△DCB面积相等(如图b所示)．
即：（v1×2t0）= v2t0
解得：v2=2v1
由题意知, mv22=32J,故 mv12=8J,
根据动能定理有 W1= mv12=8J, W2= m(v22-v12)=24J
例5.【解析】在同一坐标系中作两物体做竖直上抛运动的s-t
图像，如图．要A、B在空中相遇，必须使两者相对于抛
出点的位移相等，即要求A、B图线必须相交，据此可从
图中很快看出：物体B最早抛出时的临界情形是物体B
落地时恰好与A相遇；物体B最迟抛出时的临界情形是
物体B抛出时恰好与A相遇．故要使A、B能在空中相遇，
△t应满足的条件为：2v0/g<△t<4v0/g
通过以上讨论可以看到，图像的内涵丰富，综合性比较强，而表达却非常简明，是物理学习中数、形、意的完美统一，体现着对物理问题的深刻理解．运用图像解题不仅仅是一种解题方法，也是一个感悟物理的简洁美的过程．
例6.【解析】 可将切割磁感应线的导体等效为电源按闭合电路来考虑，也可以直接用法拉第电磁感应定律按闭合电路来考虑．
当导线框部分进入磁场时，有恒定的感应电流，当整体全部进入磁场时，无感应电流，当导线框部分离开磁场时，又能产生相反方向的感应电流．所以应选C．
强化训练参考答案：
1．A 2．C 3.B
4.【解析】 整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解．
根据题意作v-t图，如图所示．
由图可得:a1=v/t1 ①
a2=v/t2 ②
s= v(t1+t2)= vt ③
由①②③解得：t=
5．如图所示： ．
6．t1>t2
7．乙图中小球先到底端
8.vB=
9．13.64 s
10. 10 cm/s ； 7.5s极端法专题
一、方法简介
通常情况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程复杂，很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断．但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论．像这样将问题从一般状态推到特殊状态进行分析处理的解题方法就是极端法．极端法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确．
用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采用什么方法处理．具体来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再去分析待分析问题的变化规律．其实质是将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，以实现对问题的快速判断．通常可采用极端值、极端过程、特殊值、函数求极值等方法．
二、典例分析
1．极端值法
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论．
【例1】如图所示，电源内阻不能忽略，R1＝10Ω，R2＝8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A；当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是（ ）
A．0.27A B．0.24A
C．0.21A D．0.18A
2．极端过程法
有些问题，对一般的过程分析求解难度很大，甚至中学阶段暂时无法求出，可以把研究过程推向极端情况来加以考察分析，往往能很快得出结论．
【例2】两个光滑斜面，高度和斜面的总长度都相等，如图所示，两个相同的小球，同时由两个斜面顶端由静止开始释放，不计拐角处能量损失，则两球谁先到达底端？
3．特殊值法
有些问题直接计算可能非常繁琐，但由于物理过程变化的有规律性，此时若取一个特殊值代入，得到的结论也应该是满足的，这种方法尤其适用于选择题的快速求解．
【例3】如图所示，质量为M的气球载有质量为m的沙袋，以加速度a上升，当将体积可忽略的沙袋抛出后，气球上升的加速度将变为（ ）
A. B.
C． D．
4．函数求极值法
高考中对运用数学工具解决物理问题的要求越来越高，其中运用函数知识解决极值问题是常常遇到的．数学上求极值的方法通常有：利用二次函数求极值、利用不等式求极值、利用判别式求极值、利用三角函数求极值等．
【例4】巡航快艇A从港口P出发拦截正以速度VB沿直线MN航行的船B，港口P与B船航线MN的垂直距离为a，A艇启航时B船离港口的距离为b(b>a)，如图所示．如果略去A艇启动时的加速过程，认为它始终做匀速运动，试求A艇能拦住B船所需的最小速率．
【例5】如图所示，一辆有四分之一圆弧的小车停在不光滑的水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车的顶端无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态.试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大 最大值为多少
例6. 如图所示，电源电动势E=12 V，内阻r=0.5，Rl=2，R2=3，滑动变阻器的总电阻Ro=5，试分析：在滑动片K从a端移至b端的过程中，电流表A的示数如何变化
强化训练
( )1．竖直向上的物体，初速与返回原地时的末速度大小之比为k，若在运动过程中空气阻力大小不变，则空气阻力与重力的大小之比为
A．k B．1/k C．(k2-1)/( k2+1) D．(k2+1)/( k2-1)
（ ）2．电容器C1、C2和可变电阻器R1、R2以及电源ε连接成如图所示的电路．当R1的滑动触头在图示位置时，C1、C2的电量相等．要使C1的电量大于C2的电量，应
A．增大R2 B．减小R2
C．将R1的滑动触头向A端移动 D．将R1的滑动触头向B端滑动
3．如图所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短．求该直轨道与竖直方向的夹角．
4．从底角为的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H为多少？
5．质量为10kg的木箱置于水平地面上如图所示，它与地面之间的动摩擦因数，受到一个与水平方向成角斜向上的拉力F，为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值是多大？ g=10m/s2．
6．质量相同的A、B两球，由长度为L的轻质杆相连，如图所示放置在墙角，各接触面均光滑．初始时，杆与地面夹角为，现由静止释放，求杆滑至与水平方向与多大角度时，A球脱离墙面？
7．如图所示，在直角坐标系的第二象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为0.1 T，在y轴的正半轴上竖有一挡板，板足够长，挡板平面垂直于纸面。在P(-4，1)点有一粒子放射源，能连续地向各个方向放射出速率相同的同种带正电粒子，粒子的质量m=1.0×10ˉ6kg，带电荷量为q=+1×10ˉ5 C，不计粒子重力，求(结果保留两位有效数字)：
(1)要使粒子能够击中挡板，粒子的速度至少为多大
(2)若粒子的速度大小为3 m/s，求粒子击中挡板的最高点距0点的距离。
例题解析：
例1【解析】开关S分别扳到位置1和2时，根据闭合电路欧姆定律可得
，
所以有
虽然电源内阻R的数值未知，但其取值范围尽然是，
所以，当R＝0时，I2＝0.25A；当R→∞时，I2→0.2A．故电流表示数的变化范围是0.2A＜I2＜0.25A．
本题的正确选项是BC．
例2【解析】甲图中小球滑到斜面底端的时间很容易求出．设斜面高度为h，长度为L，斜面的倾角为．则由、解得
乙图中小球滑到斜面底端的时间很难直接计算．可将乙图做极端处理：先让小球竖直向下运动，然后再水平运动，易解得这种运动过程中小球运动的时间为
所以，乙图中小球先到达斜面底端．
当然本题也可以用v-t图像法判断出二者的时间关系．
例3【解析】本题可以根据牛顿运动定律列方程求解．但如果我们考虑极端情况，将抛出的沙袋质量m认为是零，代入四个选项之中，得到的加速度应该为a，而满足这一情况的只有A选项．所以本题的正确答案是A．
例4【解析】设A艇能拦住B船所需的最小速率为vA，且A艇在C处拦截住B船，则航行方向为PC，，如图所示．
在△BAC中，由正弦定理
而，所以有
由上式可知，当时，vB最小，且最小值为
例5【解析】设圆弧半径为R，当小球运动到重力与半径夹角为时，速度为v.根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有:
mv2/2=mgRcos
N-mgcos=mv2/R
解得小球对小车的压力为:N=3mgcos
其水平分量为Nx=3mgcossin=3mgsin2/2
根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=3mgsin2/2
可以看出：当sin2=1,即=45°时，地面对车的静摩擦力最大，其值为fmax=3mg/2
例6【解析】4A强化训练参考答案：
1.C 2.D 3. 4. 5.F=50N 6.
7.(1)2.17 m／s (2)3.83 m
(1)当粒子恰好能击中挡板时，其运动轨迹如下图(1)所示，由几何关系得R2=
(4-R)2 + (R -1)2， 解得R=5-2m(R=5+2m舍去)。据Bqv=得2.17m／s，即粒子的速度至少为2．17 m／s时，才能击中挡板。
(2)当v=3 m／s时，粒子的轨道半径为R==3 m。
当粒子击中挡板的位置最高时，其轨迹如图(2)所示，则击中的最高位置离坐标原点的距离：H=1+h，而，得H=l m+2m3.83 m。
A
B
P
M
N
vB
a
b
PAGE
5等效法
一．方法介绍
等效法是科学研究中常用的思维方法之一，它是从事物的等同效果这一基本点出发的，它可以把复杂的物理现象、物理过程转化为较为简单的物理现象、物理过程来进行研究和处理，其目的是通过转换思维活动的作用对象来降低思维活动的难度，它也是物理学研究的一种重要方法．
用等效法研究问题时，并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果．因此一定要明确不同事物在什么条件、什么范围、什么方面等效．在中学物理中，我们通常可以把所遇到的等效分为：物理量等效、物理过程等效、物理模型等效等．
二．典例分析
1．物理量等效
在高中物理中，小到等效劲度系数、合力与分力、合速度与分速度、总电阻与分电阻等；大到等效势能、等效场、矢量的合成与分解等，都涉及到物理量的等效．如果能将物理量等效观点应用到具体问题中去，可以使我们对物理问题的分析和解答变得更为简捷．
例l．如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s2）求：
（1）它到达C点时的速度是多大？
（2）它到达C点时对轨道压力是多大？
（3）小球所能获得的最大动能是多少？
2．物理过程等效
对于有些复杂的物理过程，我们可以用一种或几种简单的物理过程来替代，这样能够简化、转换、分解复杂问题，能够更加明确研究对象的物理本质，以利于问题的顺利解决．
高中物理中我们经常遇到此类问题，如运动学中的逆向思维、电荷在电场和磁场中的匀速圆周运动、平均值和有效值等．
例2．如图所示，在竖直平面内，放置一个半径R很大的圆形光滑轨道，0为其最低点．在0点附近P处放一质量为m的滑块，求由静止开始滑至0点时所需的最短时间．
例3．矩形裸导线框长边的长度为2l，短边的长度为l，在两个短边上均接有阻值为R的电阻，其余部分电阻均不计．导线框的位置如图所示，线框内的磁场方向及分布情况如图，大小为．一电阻为R的光滑导体棒AB与短边平行且与长边始终接触良好．起初导体棒处于x=0处，从t=0时刻起，导体棒AB在沿x方向的外力F的作用下做速度为v的匀速运动.试求：
（1）导体棒AB从x=0运动到x=2l的过程中外力F随时间t变化的规律；
（2）导体棒AB从x=0运动到x=2l的过程中整个回路产生的热量．
3．物理模型等效
物理模型等效在物理学习中应用十分广泛，特别是力学中的很多模型可以直接应用到电磁学中去，如卫星模型、人船模型、子弹射木块模型、碰撞模型、弹簧振子模型等．实际上，我们在学习新知识时，经常将新的问题与熟知的物理模型进行等效处理．
例4．如图所示，R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱．当Rx为Rx1=10 Ω时，通过它的电流Ix1=l A；当Rx为Rx2=18 Ω时，通过它的电流Ix2=0.6A．则当Ix3=0.l A时，求电阻Rx3．
例5．如图所示，倾角为θ=300，宽度L=1 m的足够长的U形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B=1 T、范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面斜向上，用平行于导轨且功率恒为6 w的牵引力牵引一根质量m=0.2 kg，电阻R=1 Ω放在导轨上的金属棒ab由静止沿导轨向上移动，当金属棒ab移动2.8 m时获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8 J(不计导轨电阻及一切摩擦，g取10 m／s2)，求：
(1)金属棒达到的稳定速度是多大
(2)金属棒从静止达到稳定速度所需时间是多少
三．强化训练
( ) 1． 如图所示，一面积为S的单匝矩形线圈处于一个交变的磁场中，磁感应强度的变化规律为。下列说法不正确的是
A、线框中会产生方向不断变化的交变电流
B、在时刻，线框中感应电流将达到最大值
C、对应磁感应强度B＝B0的时刻，线框中感应电流也一定为零
D、若只增大磁场交变频率，则线框中感应电流的频率也将同倍数增加，但有效值不变
( ) 2．如图所示电路中，电表均为理想的，电源电动势E恒定，内阻r=1Ω，定值电阻R3=5Ω。当电键K断开与闭合时，ab段电路消耗的电功率相等。则以下说法中正确的是
A．电阻R1、R2可能分别为4Ω、5Ω
B．电阻R1、R2可能分别为3Ω、6Ω
C．电键K断开时电压表的示数一定大于K闭合时的示数
D．电键K断开与闭合时，电压表的示数变化量大小与电流 表的示数变化量大小之比一定等于6Ω
( ) 3． 一个边长为6 cm的正方形金属线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，电阻为0．36Ω。磁感应强度B随时间t的变化关系如图3.2.3所示，则线框中感应电流的有效值为
A．×10-5A B．×10-5A
C．（/2） ×10-5A D．（3/2） ×10-5A
( ) 4．如图所示，DC是水平面，AB是斜面。初速为V0的物体从D点出发沿DBA滑到顶点A时速度刚好为零。如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑到点A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面的动摩擦因数处处相同且不为零。）
A.大于V0 B.等于V0 C.小于V0 D.处决于斜面的倾角
( ) 5．如图所示，两块同样的玻璃直角三棱镜ABC，两者的AC面是平行放置的，在它们之间是均匀的未知透明介质，一单色细光束O垂直于AB面人射，在图示的出射光线中
A.1、2、3（彼此平行）中的任一条都有可能
B.4、5、6（彼此平行）中的任一条都有可能
C.7、8、9（彼此平行）中的任一条都有可能
D.只能是4、6中的某一条
( )6．在如图所示电路中，A、B是两个完全相同的灯泡，两灯的阻值与电阻R的阻值相同，与A并联的电学元件M可能是电容器C，也可能是自感系数很大的而电阻可以忽略的线圈L，当开关S闭合瞬间，A、B两灯中的电流IA、IB与M的关系是
A．若M是电容器C，则IAIB
C．若M是线圈L，则IA< IB D．若M是线圈L，则IA> IB
( ) 7．如图所示，在平行于水平地面的有理想边界的匀强磁场上方，有三个大小相同的正方形线框，线框平面与磁场方向垂直。三个线框是用相同的金属材料制成的，A线框有一个缺口，B、C线框都闭合，但B线框导线的横截面积比C线框大．现将三个线框从同一高度由静止开始同时释放，下列关于它们落地时间的说法正确的是
A．三个线框同时落地
B．三个线框中，A线框最早落地
C. B线框在C线框之后落地
D．B线框和C线框在A线框之后同时落地
( )8．如右图所示，充电后的平行板电容器竖直放置，板间一带正电的绝缘球用绝缘细线悬挂于A板上端，若将小球和细线拉至水平位置，由静止释放后小球将向下摆动直至与A板发生碰撞，此过程细线始终处于伸直状态，则此过程中
A．小球电势能一直增加
B．小球的动能一直增大
C．小球受细线的拉力一直在增大
D．小球运动的向心加速度先增大后减小
9．在光滑水平面上的O点系一长为l的绝缘细线，线的一端系一质量为m，带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态。现给小球一垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面上开始运动。若v很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为__________。
10．如图，带电量为+q的点电荷与均匀带电薄板相距为2d，点电荷到带电薄板的垂线通过板的几何中心．若图中a点处的电场强度为零，根据对称性，带电薄板在图中b点处产生的电场强度大小为＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿．(静电力恒量为k)
11．如图所示，电阻R1=R2=8Ω，R3=4Ω，R4=0.5Ω，电源电势E=0.5 V，内电阻r=0.5 Ω，求安培表A1和A2的示数各为多少
13．一条长为L的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为θ，如图所示，求：
(1)当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零
(2)当细线与竖直方向成θ角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球在图示的竖直平面内做完整的圆周运动
例题解析：
例1.【解析】（1）、（2）设：小球在C点的速度大小是Vc，对轨道的压力大小为NC，则对于小球由A→C的过程中，应用动能定律列出：
…………………①
在C点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：
……………………………②
解得：………③
…………………………④
（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B、C点的连线BC
∴合场势能最低的点在BC 的中点D如图：……………………⑤
∴小球的最大能动EKM：
………………………………………………⑥
例2．【解析】滑块做复杂的变速曲线运动，故用牛顿定律、动量定理等方法都难以求解，但我们通过仔细的分析发现，滑块的受力、运动特征与单摆相同，因此滑块的运动可等效为单摆的运动，这样，我们便可迅速地求出滑块从P点到0点的最短时间为
由此可知，等效法是在效果相同的条件下，将复杂的状态或运动过程合理地转化成简单的状态或过程的一种思维方法．
例3．【解析】（1）在t时刻AB棒的坐标为 1分
感应电动势 1分
回路总电阻 1分
回路感应电流 2分
棒匀速运动时有F=F安=Bil
解得： 2分
（2）导体棒AB在切割磁感线的过程中产生半个周期的正弦交流电
感应电动势的有效值为 2分
回路产生的电热 1分
通电时间 1分
联立解得 2分
例4．【解析】 电源电动势E、内电阻r、电阻Rl、R2、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取变换电路结构的方法．
将图所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如右图所示，
电源的电动势为E’，内电阻为r’．根据电学知识，新电路不改变Rx和Ix的对应关系，有
例5．【解析】此题只要将汽车以恒定功率运动的模型，用于电磁感应现象中，将思维转换过来，问题就不难求解．
(1)金属棒在功率恒定的牵引力作用下沿导轨向上运动，金属棒切割磁感线产生感应电动势，回路中有感应电流，ab棒受安培力方向沿导轨向下，由P=Fv可知，随着棒速度增加，牵引力将减小，安培力增大，棒的加速度减小，稳定时有：牵引力等于安培力和棒重力沿导轨向下的分力之和，在导轨平面内，有
强化训练参考答案：
1. D
2. ACD
3.析与解：交流电的有效值是利用与直流电有相同的热效应来定义的：Q=I2Rt。 因此我们只要按图算出在一个周期内，两段时间内的热量的平均值，再开平就可以了。由图与题目条件可知，线框的感应电动势在前3s为7.2×10-6V，感应电流为2×10-5A；后2s内的感应电流为3×10-5A，在一个周期5s内，电流平方的平均值为（12+18）A2/5，开平方即得电流的有效值等于×10-5A，答案为B。
4.析与解：我们在平时练习中已经做过这样的题目，如果物体与（水平与倾斜）路面的动摩擦因数处处相同且不为零，则物体从D点出发先后经过平面与斜面到A达点的全过程中克服摩擦力所做的功，都等于物体从D点出发直接到达O点克服摩擦力所做的功，因此本题答案选B。
5.析与解：在两块玻璃直角三棱镜之间的未知透明介质可以视为另一种玻璃材料制作的平行玻璃砖，细光束O通过第一块玻璃直角三棱镜过程中仍垂直于AB面，而光线通过上述平行玻璃砖会发生平行侧移，因此光束通过第二块玻璃直角三棱镜仍垂直于AB面，所以最后的出射光线也与AB面垂直，即可能是4、5、6光线，选B。
6.AD 7.BD 8． 9．，水平向左(或垂直薄板向左)
10.(1)b (2)电流表A’示数仍为I’，读出此时电阻箱读数R1 (3)R1 (4)开关
S先接“1”时：
开关S接“2”时：
11. A A
12. 【解析】半径为r的小圆孔带电量为，由于挖去圆孔前点电荷q受力为零，即小圆孔所带电量与点电荷q的库仑力和绝缘球壳上余下部分与点电荷q的库仑力大小相等、方向相反，因此挖去圆孔后，置于球心的点电荷所受到的库仑力的大小即为小圆孔上电荷与点电荷q之间的库仑力的大小，，其方向由球心指向小孔中心．
本题将挖去的小圆孔看成是一个小圆面，然后根据单位面积上的电荷量计算小圆面的带电量，并且将小圆面看成点电荷是等效；挖去小圆孔后，剩余电荷对q的作用力大小等于小圆孔电荷对q的作用大小也是等效．
13. (1) (2)
14.解析：本题的常规思路是利用法拉第电磁感应定律E感= Φ/ t,写出Φ的瞬时表达式，再把Φ对时间t进行求导。但在高中阶段的教学中，并未涉及这方面的知识，因此不少同学拿到此题后感觉无从下手。我们写出磁通量Φ的瞬时表达式：Φ = BS = B0a2sin(2πt / T )，可以发现，这种磁通量Φ的变化过程与线圈在磁场中饶垂直于磁场的轴匀速转动时磁通量Φ的变化过程相同，因此可以把本题所涉及的变化过程等效为：一个面积为a2的正方形线框在磁感应强度为B0的匀强磁场中饶垂直于磁场的轴以角速度ω=2π / T作匀速转动，线圈中将产生交流电，则感应电动势的最大值为：
Em=B0Sω= B0a2 2π / T= 2πB0a2/T 。
⌒
A
O
x
y
B
F
R
R
2l
v整体法和隔离法
在解答物理问题时，往往会遇到有相互作用的两个物体或两个以上的物体所组成的比较复杂的系统，或者有多个运动过程所构成的复杂运动。分析和解答这类问题，确定研究对象是关键。如果求解的物理量是系统内的某个物体或过程，则要用到隔离法；而把整个过程作为一个对象进行分析的方法称为整体法。
隔离法就是从整个系统或整个过程中将某一部分物体或某一部分运动过程隔离出来，然后单独分析被隔离部分的受力情况和运动情况，从而把复杂问题转化为简单的一个个小问题求解。隔离法是求解物理问题的重要方法，也是分析物理现象、物理过程、物理状态的基本方法。
整体法是以整个物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体。多个状态，或多个物理变化过程组合作为一个整体加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维，是多种思维的高度综合，其层次深、理论性强、运用价值高。在物理研究与学习中要善于运用整体法研究、分析、处理和解决问题，它能使知识融会贯通，使思维有机结合。灵活运用整体法思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，把物理问题变繁为简、变难为易。其优点是只需分析整个系统与外界的关系，避开了系统内部复杂的相互作用，能更简洁、更本质地展现出物理量间的关系。缺点是无法讨论系统内部的情况。
一般地说，对于不要求讨论系统内部情况的，首选整体法，解题过程简明、快捷；要讨论系统内部情况的，必须运用隔离法。实际应用中，隔离法和整体法往往同时交替使用。
例1、 如图所示，用轻质细绳连接的A和B两个物体，沿着倾角为a的斜面匀速下滑，试分析A与B之间的细绳上存在弹力的条件。
例2、用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球α持续施加一个向左偏下300的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上300的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是下图中的哪一个？（ ）
例3、如图所示，质量M=10kg的木块ABC静置于粗糙的水平地面上，地面的动摩擦因数μ1=0.02，斜面的动摩擦因数μ2=/6，在木块的倾角为300的斜面上有一质量m=1.0kg的物块由静止开始沿斜面下滑，求地面对木块的摩擦力的大小和方向。（重力加速度取g=10m/s2）
例4、光滑绝缘的固定墙壁竖立在光滑水平绝缘地面OQ上，地面上方有一平行地面的匀强电场E，场强方向水平向左且垂直于墙壁PO，质量相同且带同种正电荷的A、B两小球（可视为质点）放置在如图位置，当A球在平行于墙壁PO的推力F作用下时，A、B两小球均处于静止状态，这时两小球之间的距离为L。若使小球A在推力F的作用下沿墙壁PO向着O点移动一小段距离后，小球A与B重新处于静止状态，则与原来比较（两小球所带电荷量保持不变）( )
A.A球对B球作用的静电力增大
B.A球对B球作用的静电力减小
C.墙壁PO对A球的弹力不变
D.两球之间的距离减小，力F增大
例5、如图甲所示，平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直金属板的靶MN。在AB板上加上如图乙所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正向值为U0
反向值也为U0，现有质量为m的带正电且电量为q的粒子束从AB的中点O以平行于金属板的方向OO，射入。设粒子能全部打在靶MN上，而且所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。试问：（1）在距靶MN的中心O，点多远的范围内有粒子击中？
（2）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U0的数值应满足什么条件？（写出U0、m、d、q、T的关系式即可）
（3）电场力对每个击中O，的带电粒子做的总功是多少？
例6、如图所示，AB和CD为两个斜面，其上部足够长，下部分别与一光滑圆弧面相切，EH为整个轨道的对称轴，圆弧所对圆心角为120°，半径为2m．某物体在离弧底H高h = 4m处以v0 = 6m / s沿斜面运动，物体与斜面的动摩擦因数μ= 0.04，求物体在AB与CD两斜面上（圆弧除外）运动的总路程（取g = 10m / s2）．
巩固练习：
（ ）1、A、B、C为三个质量相同的木块，叠放在水平桌面上。水平恒力F作用于木块B，三木块以共同速度υ沿水平桌面匀速移动，如图所示，则在运动过程中
A.B作用于A的静摩擦力为零 B.B作用于A的静摩擦力为F/3
C.B作用于C的静摩擦力为2F/3 D.B作用于C的静摩擦力为F
（ ）2、如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m0的平盘，盘中有一物体质量为m，当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L。今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL后停止。然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松手时盘对物体的支持力等于
A.（1+）mg B.（1+）（m+m0）g
C.mg D.（m+m0）g
（ ）3、两个质量相同的物体1与2紧靠在一起放在光滑的水平桌面上，如图所示，如果它们分别受到水平推力F1和F2作用，且F1＞F2，则物体1施于物体2的作用力的大小为
A.F1 B.F2
C.（F1+F2）/2 D.（F1-F2）/2
（ ）4、有一直角架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，OA上套有小环P，OB上套小环Q，两个环的质量均为m，两环间由一根质量可以忽略且不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示。现将P环向左移动一段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比，OA杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是
A.N不变，T变大 B.N不变，T变小
C.N变大，T变小 D.N变大，T变大
（ ）5、图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为θ的斜面，CD段是水平的，BC是与AB及CD都相切的一小段圆弧，其长度可以不计。一质量为M的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点。已知A点比CD水平面高出h，CD段的长度为s。现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D点推回到A点时停下。设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于
6、如图所示，质量为M的木箱放在水平面上，木箱中的立杆上套着一个质量为m的小球，开始时小球在杆的顶端，由静止释放后，小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的1/2，既α=g/2，则小球在下滑的过程中，木箱对地面的压力为多少？
7、斜面倾角为θ，在斜面底端有一弹性挡板与斜面垂直，在斜面上距离挡板为s0处有一小物块从初速率v0开始沿斜面滑动。若物块与斜面之间的动摩擦因数为 （ ＜tanθ），且滑块每次与挡板碰撞都不改变速率的大小，不考虑物块的大小，求物块总共能运动的路程。
8、如图所示，在场强方向向下，大小为E的匀强电场中，将质量分别为m、、2m、3m的三个小球A、B、C用绝缘细线相连，其中B球带+Q电量，A、C两球不带电。将A球固定住，三球均处于静止状态，A、B间细线的张力等于多少？在将A球从静止释放的一小段时间内，A、B间细线的张力等于多少？
9、一根对称的“八字”形玻璃管置以竖直平面内，如图所示。管所在的空间有竖直向下的匀强电场，电场强度E=1000N/C。重力G=1.0×10-3N，带电量Q=-2×10-6C的小物体在管内从A点由静止开始运动，它与管壁间的动摩擦因数为0.5，管长AB=BC=3m，管的B处为一极短的光滑圆弧，管AB和BC与水平方向所夹的角度皆为370，问
（1）小物体最终静止在何处？
（2）从A点开始到最终静止，小物体运动的总路程是多少？
﹞
θ
﹝
θ
C
B
A第六讲 对称法
一．方法介绍
由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法.物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物像等等．一般情况下，对称表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．用对称性解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径,利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题．
二．典例分析
例1 如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为m , 在木块A上施有竖直向下的力F,整个装置处于静止状态。
（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A的弹力有多大
(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件
例2.如图甲所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动能最大．已知∠cab=300，若不计重力和空气阻力，试求：
(1)电场方向与直径ab间的夹角θ；
(2)若小球在a点时初速度方向与电场方向垂直,
小球恰好能落在c点，则初动能为多少
例3.如图所示，正方形匀强磁场磁区边界长为a，由光滑绝缘壁围成．质量为m、电量为q的带正电的粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界的正中央的A孔射人磁区中，粒子和壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰壁时间，设磁感应强度的大小为B，粒子在磁场中运动半径小于a，欲使粒子仍能从A孔射出，粒子的入射速度应多大 在磁场中的运动时间是多少 并在下面框中画出轨迹图．
例4.如上图甲所示，在半径为r的圆柱形区域内，充满与圆柱轴线平行的匀强磁场，一长为r的金属棒MN与磁场方向垂直地放在磁场区域内, 棒的端点MN恰在磁场边界的圆周上，已知磁感应强度B随时间均匀变化，其变化率为＝k，求MN中产生的电动势为多大
三．强化训练
( )1.如图所示，相对的两个斜面，倾角分别为370和530，在顶点把两个小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在足够长的斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球在空中运动的时间之比(sin 370＝0.6，COS 530＝0.8)
A．1:l B．4:3 C.16:9 D．9:1
( )2.如图所示，两块相同的竖直木板A、B之间有质量均为m的四块相同的砖,用两个大小均为F的水平力压木板，使砖静止不动，设所有接触面间的动摩擦系数为μ，则第二块砖对第三块砖的摩擦力的大小为
A．0 B． mg C．μF D．2mg
3.如上图所示，一块均匀的半圆形薄电阻合金片，将它按图甲方式接在电极A、B之间，其电阻为R，将它按图乙方式接在电极C、D之间，求其电阻值．(电极电阻忽略不计)
4.沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A，抛出点离水平地面的高度为h，距离墙壁的水平距离为s，小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s，如图a所示．求小球抛出时的初速度.
5.如图所示，在空间中的A、B两点固定着一对等量正点电荷，有一带电微粒在它们产生的电场中运动，设带电微粒在运动过程中只受到电场力的作用，带电微粒在电场中所做的运动可能是：
A.匀变速直线运动、B．匀速圆周运动、C类似平抛运动、D．机械振动．
现有某同学分析如下：带电粒子在电场中不可能做匀变速直线运动与类似平抛运动，因为带电粒子在电场中不可能受到恒定的外力作用，所以A、C是错误的，也不可能做匀速圆周运动，因为做匀速圆周运动的物体所受的合外力始终指向圆心充当向心力，图示中两点电荷所产生的电场不可能提供这样的向心力，所以B也是错误的．只有D正确，理由是在AB连线中点O两侧对称位置之间可以做机械振动。
你认为该同学的全部分析过程是否有错 若没有错，请说明正确答案“D”成立的条件；若有错，请指出错误并说明理由．
6.如图所示，在水平方向的匀强电场中，用长为l的绝缘细线，拴住质量为m、带电量为q的小球，线的上端O固定，开始时将线和球拉成水平，松开后，小球由静止开始向下摆动，当摆过600角时，速度又变为零．求：
(1)A、B两点的电势差UAB多大
(2)电场强度多大
7.如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d的A处放有带电量为-q的点电荷．(1)试求板上感应电荷在导体内P点产生的电场强度；
(2)试求感应电荷在导体外P′点产生的电场强度(P与P′点对导体板右表面是对称的)；
(3)在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直；
(4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q的作用力．
8．设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场．已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V／m，磁感应强度的大小B=0.15T．今有一个带负电的质点以u=20 m／s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向．(角度可用反三角函数表示)
9.如图甲所示，一静止的带电粒子q，质量为m(不计重力)，从P点经电场E加速，经A点进入中间磁场B，B方向垂直纸面向里，再穿过中间磁场进入右边足够大的空间磁场B′(B′=B)，B′方向垂直于纸面向外，然后能够按某一路径再由A返回电场并回到出发点P，然后再重复前述过程．已知l为P到A的距离，求中间磁场的宽度d和粒子运动的周期．(虚线表示磁场的分界线)
例题解析：
例1.【解析】 力F撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高
点与最低点的对称性来求解，会简单得多。
（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只是方向相反，这里回复力是合外力。
在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F的瞬间，受到的合外力应为F，方向竖直
向上；当到达最高点时，系统受到的合外力也应为F，方向竖直向下，A受到的合
外力为F，方向向下，考虑到重力的存在，所以B对A的弹力为mg -
(2)力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称
性。最高点时A、B间虽接触但无弹力，A只受重力，故此时回复力向下，大小为
mg.那么，在最低点时，即刚撤去力F时，A受的回复力也应等于mg，但根据前一
小题的分析，此时回复力为F ，这就是说F＝mg．则F ＝２mg．因此，使A、
B 不分离的条件是F≤２mg．
例2.由于从a点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时，其中到达c点的小球动能最大，因此过c点的切线一定是等势线，由此可以确定电场线的方向，至于从a点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理．
（1)用对称性判断电场的方向：由题设条件，在圆周平面内，从a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同的点，且以经过c点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面．又根据动能定理，电场力对到达c点的小球做功最多，为qUac．因此Uac最大，即c点的电势比圆周上任何一点的电势都低．又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc，圆周上各点的电势对于Oc对称(或作过c点且与圆周相切的线cf是等势线)，Oc方向即为电场方向(如图乙所示)，它与直径ab的夹角为600． (2)小球在匀强电场中做类平抛运动．小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为v0，小球质量为m．在垂直于电场线方向，有：
x ＝v0t ①
在沿电场线方向，有y ＝at 2 ②
由图中几何关系可得：
x ＝Rcos300 ③
y ＝R(1十cos600) ④
且：a = ⑤
将③、④、⑤式代入①、②两式解得：v02＝
所以初动能：Ek0＝mv02 =．
例3.本题的关键在于头脑中要建立粒子运动的对称图景．其运动图景(最基本)可分为两类，第一类由图7—2所示．
第二类由图7—3所示，粒子运动半径为R’
例4.由题可知，MN上有感应电动势，这种感应电动势无法直接计算，但如果注意MN的长为r，结合题意，可虚构两根与MN完全相同的金属棒与MN棒一起刚好构成圆的内接正三角形，如图乙所示；
由法拉第电磁感应定律，这一回路中的感应电动势
E ＝＝.S ＝ kr2
由对称性可知，MN上的感应电动势是整个回路中电动势的，
所以： EMN＝E ＝kr2
强化训练参考答案：
1.D 2.B 3.4R 4. 因小球与墙壁发生弹性碰撞，故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性，碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图b所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理，效果上相当于小球从A′点水平抛出所做的运动．
根据平抛运动的规律：x ＝v0t y ＝gt 2
因为抛出点到落地点的距离为3s，抛出点的高度为h，代入后可解得：v0 ＝x ＝3s
5. 1)小球在A、B间摆动，根据能量守恒定律有：
EPA = EPB
取A点为零势能的参考点．
则：EPB=-mglsin600+qUBA＝0
所以：UBA＝ , UAB＝-
(2)小球在平衡位置的受力如图．根据共点力的平衡条件有： qE =mgtan600
解得电场强度：E =
6. 【解析】在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化．
(1)导体板静电平衡后有E感＝E点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P点产生的场强为EP＝，其中r为AP间距离，方向沿AP，如图甲所示．(2)因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P点和P′点的电场具有对称性，因此有EP′＝，方向如图甲所示．(3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P1点和P1′．如前述分析，在导体外P1′点感应电荷产生的场强大小为EiP′＝.点电荷-q在P1′点产生的场强大小也是EqP′＝.它们的方向如图乙．从图乙看出，P1′点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直．(4)重复(2)的分析可知，感应电荷在-q所在处A点的场强为EiA＝ =，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷-q的电场力为F ＝-qEiA＝-，负号表示力的方向垂直于导体板指向左方．
7.1.96C/kg 沿与重力方向夹角为arctan0.75,斜向下的一切方向
8.【解析】 由粒子能“重复前述过程”，可知粒子运动具有周期性；又由粒子经过A点进入磁场后能够
按某一路径再返回A点，可知粒子的运动具有对称性．
粒子从A点进入中间磁场做匀速圆周运动，半径为R；过C点进入右边磁场，做半径为R的匀速
圆周运动经点F到点D，由于过D点后还做匀速圆周运动回到A(如图乙所示)，故弧DA和弧CA关
于直线OA对称，且OA垂直于磁场的分界线．同理可知，OA也同时是弧CD的对称轴．因此粒子的运动轨迹是关于直线OA对称的．由于速度方向为切线方向，所以圆弧AC、圆弧CD、圆弧DA互相相切．
(1) 设中间磁场宽度为d，粒子过A点的速度为v，由圆周运动的对称性可得：
Rsinθ =R – Rsinθ ，则：θ＝
带电粒子在加速电场中有：
qEl＝mv 2 ①
在中间和右边磁场中有：
R = ②
d ＝Rcosθ ③
解①②③得：d ＝
(2) 粒子运动周期T由三段时间组成，设在电场中做匀变速直线运动的时间为t1,则
t1 =2
设在中间磁场中运动的时间为t2，因为弧AC所对圆心角为，所以：
t2＝2×T′＝2×·＝
设在右边磁场中运动的时间为t3，因为弧CD所对圆心角为，所以：
t3＝T′＝·＝
所以周期为：T =t1+t2+t3 =2+
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3方法专题八：递推法解题
一．方法简介
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法，即当问题中涉及相互联系的物体或过程较多，相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时，应根据题目特点应用归纳的数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。
二．典例分析
例1．小球从高处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2）
例2．如图所示，质量M＝10kg、上表面光滑的足够长的木板的在F＝50N的水平拉力作用下，以初速度v0=5m/s沿水平地面向右匀速运动．现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=1kg，将一铁块无初速地放在木板的最右端，当木板运动了L＝1m时，又无初速地在木板的最右端放上第2块铁块，只要木板运动了L就在木板的最右端无初速放一铁块．试问．（取g＝10m/s2）
(1）第1块铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度多大？
(2）最终木板上放有多少块铁块？
(3）最后一块铁块与木板右端距离多远？
例3．如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上有两个质量均为m、相距为L的小球A和B均处于静止，小球A带+q的电量，小球B不带电。若沿水平向右的方向加一大小为E的匀强电场，A球将受力而运动，并与B球发生完全弹性碰撞（碰撞时间极短），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求：
（1）A与B第一次碰后瞬时B球的速率？
（2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间？
（3）两球从第n次碰撞到第n+1次碰撞时间内A球所通过的路程？
例4．如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E. 一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点O
沿着y轴方向射出. 射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L. 求此粒子射出时的速度v和每次到达x轴时运动的总路程s.（重力不计）
例5．10个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平
地面上，如图6—9所示，每个木块的质量长度
，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为
原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端
上方放一个质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的静摩
擦因数和动摩擦因数均为现突然给铅块一向右的初速度，使其在大木块上滑行. 试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度g取，设铅块的长度与木块相比可以忽略.
例6．如图所示，A为位于一定高度处的质量为m、带电荷量为+q的小球，B为位于水平地面上的质量为M的用特殊材料制成的长方形空心盒子，且M=2m，盒子与地面间的动摩擦因数=0.2，盒内存在着竖直向上的匀强电场，场强大小E=，盒外没有电场．盒子的上表面开有一系列略大于小球的小孔，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当小球A以1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v1=6 m/s的速度向右滑行．已知盒子通过电场对小球施加的作用力与小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等方向相反．设盒子足够长，取重力加速度g=10m/s2，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子．试求：
(1）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；
(2）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证小球始终不与盒子接触；
(3)从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程．
三．强化训练
（ ）1．一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时1秒钟，随即把此力改为向西，大小不变，历时1秒钟，接着又把此力改为向东，大小不变，历时1秒钟，如此反复，只改变力的方向，共历时1分钟. 在此1分钟内
A．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东
B．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末静止于初始位置
C．物体时而向东运动，时而向西运动，在1分钟末继续向东运动
D．物体一直向东运动，从不向西运动，在1分钟末静止于初始位置之东
2．如图所示，一固定的斜面，倾角，斜面长L=2.00米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞（无动能损失）. 已知质点与斜面间的动摩擦因数，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程.
3．有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图所示，人至少做多少功？
4．如图所示，R1=R3=R5=…=R99=5Ω，R2=R4=R6=…=R98=10Ω，R100=5Ω，=10V。求：
（1）RAB=？
（2）电阻R2消耗的电功率应等于多少？
（3）消耗的电功率；
（4）电路上的总功率.
5．如图所示，有两本完全相同的书A、B，书重均为5N，若将两本书等分成若干份后，
交叉地叠放在一起，置于光滑的桌面上，并将书A通过一轻质弹簧秤与墙壁相连，用水平
向右的力F把书B抽出。现测得一组数据如下表：
实验次数 1 2 3 4 … n
将书分成的份数 2 4 8 16 … 逐页交叉
弹簧秤的示数（N） 4.5 10.5 22.5 46.5 … 190.5
根据以上数据，试求：
（1）若将书分成32份，弹簧秤的示数为多大？
（2）该书由多少张与首页大小相同的纸组成？
（3）如果两本书任意两张纸之间的动摩擦因数μ都相等，则μ为多大？
6. 有一带负电的小球，其带电量q= -C。如图所示，开始时静止在场强E=200N/C的匀强电场中的P点，靠近电场极板B有一挡板要S，小球与挡板S的距离h=5cm，与A板距离H=45cm，重力作用不计。在电场力作用下小球向左运动，与挡板S相碰后电量减少到碰前的k倍，已知k=，而碰后小球的速度大小不变。
（1）设匀强电场中挡板S所在位置的电势为零，则电场中P点的电势为多少？小球在P点时的电势能为多少？（电势能用E来表示）
（2）小球从P点出发第一次回到最右端的过程中电场力对小球做了多少功？
（3）小球经过多少次碰撞后，才能抵达A板？（取
例题解析：
例1．解析 小球从h0高处落地时，速率
第一次跳起时和又落地时的速率
第二次跳起时和又落地时的速率
第m次跳起时和又落地时的速率
每次跳起的高度依次，
通过的总路程
经过的总时间为
例2．（1）木板最初做匀速运动，由Ｆ＝μＭg解得，
第l 块铁块放上后，木板做匀减速运动，加速度大小为a1,即有：
代人数据解得：
（2）设最终有n块铁块能静止在木板上．则木板运动的加速度大小为：
第1 块铁块放上后：
第2 块铁抉放上后：
第n块铁块放上后：
由上可得：
木板停下时，，得n=6.6．即最终有7 块铁块放在木板上．
（3）从放上第1块铁块至刚放上第7 块铁块的过程中，由（2）中表达式可得：
从放上第7 块铁块至木板停止运动的过程中，设木板发生的位移为d ，则：
联立解得：
例3．（1）对A由动能定理： （1）
解得；A与B相碰后速度交换。
故第一次相碰后，A速度为零；B速度为 （2）
（2）从A开始运动到碰第一次历时t1=
设第二次碰前A速为 ，从第一次碰后到第二次碰前历时t2
对A、由动能定理： （3）
（4） （2分）由（3）、（4）两式得：
故两球第二次碰时经历的时间为： （5）
（3）由（3）（4）两式解得：
此时B的速度为
第二次碰后速度再交换。由速度图像也可得到第三次碰前A速度
（6）
此时B的速度为 （7）
依此类推第n次碰前A速度为：
（8）
故第n次与第n+1次碰撞经历时间为：
（9）
第n次碰后B以速度匀速运动，
故该时间内A通过的路程为： （10）
例4．解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经半周后通过x
轴进入电场后做匀减速直线运动，速度减为零后，又反向匀加
速通过x轴进入磁场后又做匀速圆周运动，所以运动有周期性.
它第3次到达x轴时距O点的距离L等于圆半径的4倍（如图
6—13甲所示）
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为
所以粒子射出时的速度
粒子做圆周运动的半周长为
粒子以速度v进入电场后做匀减速直线运动，能深入的最大距离为y，
因为
所以粒子在电场中进入一次通过的路程为
粒子第1次到达x轴时通过的路程为
粒子第2次到达x轴时，已通过的路程为
粒子第3次到达x轴时，已通过的路程为
粒子第4次到达x轴时，已通过的路程为
粒子第次到达x轴时，已通过的路程为
粒子第2n次到达x轴时，已通过的路程为
上面n都取正整数.
例5．解析 当铅块向右运动时，铅块与10个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于10个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则10个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于10个扁长木块与地面间的最大摩擦力，则10个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木块相对静止，后又一起匀减速运动到停止.
铅块M在木块上滑行所受到的滑动摩擦力
设M可以带动木块的数目为n，则n满足：
即
上式中的n只能取整数，所以n只能取2，也就是当M滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8个木块时速度为v，则
得：
由此可见木块还可以滑到第9个木块上. M在第9个木块
上运动如图6—9甲所示，则对M而言有：
得：
第9及第10个木块的动力学方程为：，
得：
设M刚离开第9个木块上时速度为，而第10个木块运动的速度为，并设木块运动的距离为s，则M运动的距离为，有：
消去s及t求出：，显然后一解不合理应舍去.
因，故M将运动到第10个木块上.
再设M运动到第10个木块的边缘时速度为，这时木块的速度为，则：
解得：，故M不能滑离第10个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上.
例6．（1）A在盒子内运动时，
由以上两式得 a＝g
A在盒子内运动的时间 A在盒子外运动的时间
A从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间
（2）小球在盒子内运动时，盒子的加速度
小球在盒子外运动时，盒子的加速度
小球运动一个周期盒子减少的速度为
从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数为
故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个．
（3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为
小球第一次从盒子出来时，盒子的速度
小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为
小球第二次进入盒子时，盒子的速度
小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为
小球第二次从盒子出来时，盒子的速度
小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为
分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差d＝0.12m．且当盒子停下时，小球恰要进入盒内，最后0.2s内盒子通过的路程为0.04m．
所以从小球第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为
强化训练参考答案：
1.D
2．解析 因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解.
设每次开始下滑时，小球距档板为s
则由功能关系：
即有
由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为
∴在发生第11次碰撞过程中的路程
3. 解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重
力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.
将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为
将第3、4、…、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功
分别为
所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为
W=W1+W2+W3+…+Wn
4．（1）10Ω （2）2.5W （3）， （4）10W
5.（l）从表中可看出，将书分成 2，4，8，16，…是2倍数份时，拉力F将分别增加6N，12N，24N，…，增加恰为2的倍数，故将书分成32份时，增加拉力应为 48N，故力 F=46．5＋48=94．5N；
（2）逐页交叉时，需拉力F=190．5N，恰好是把书分成 64份时，增加拉力 48×2=96N，需拉力 F=94.5＋96=190．5N 可见，逐页交叉刚好分为64份，即该书有64页；
（3）两张纸之间动摩擦因数为μ，则F=190．5=μG/64+μ2G/64+μ3G/64+……+μ128G/64=μG/64·(1+2+3+……+128)=129μ×5
∴ μ=190.5/(129×5)=0.3
6. 0.02J 0 13
o
…
…
A
P
h
H
B
-
+
B
A
S
t
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- 12 -全过程法、逆向思维法处理物理问题
一、方法简介
（一）全过程法
全过程法又称为过程整体法，它是相对于程序法而言的。它是将研究对象所经历的各个不同物理过程合并成一个整体过程来研究分析。经全过程整体分析后，可以对全过程一步列式求解。这样减少了解题步骤，减少了所列的方程数，大大简化了解题过程，使多过程的综合题的求解变的简捷方便。
动能定理、动量定理都是状态变化的定理，过程量等于状态量的变化。状态量的变化只取决于始末状态，不涉及中间状态。同样，机械能守恒定律、动量守恒定律是状态量守恒定律，只要全过程符合守恒条件，就有初状态的状态量和末状态的状态量守恒，也不必考虑中间状态量。因此，对有关状态量的计算，只要各过程遵循上述定理、定律，就有可能将几个过程合并起来，用全过程都适用的物理规一次列出方程，直接求得结果。
（二）逆向思维法
所谓“逆向思维”，简单来说就是“倒过来想一想”．这种方法用于解物理题，特别是某些难题，很有好处．下面通过去年高考物理试卷中的几道题的解法分析，谈谈逆向思维解题法的应用的几种情况
二．典例分析
1. 全过程应用运动学公式
【例1】 汽球以10m/s的速度匀速上升，当上升到120m高度时，有一小金属球从汽球上脱离。求小球自脱离汽球到着地需多长时间？（小球下落的加速度g=10m/s2）
2. 全过程应用动量定理
【例2】 质量为60kg的建筑工人，不慎从空中跌落，由于弹性安全带的保护，使他悬挂起来。已知安全带原长5m，缓冲时间为1.2s，则安全带对工人的平均冲力是多少？（g=10m/s2）
3. 全过程应用动能定理
【例3】物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面进入沙坑深h处停止（如图）．求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？
4. 全过程应用动量守恒、能量守恒
【例4】如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的“U”型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为r。现有一质量为的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球反弹落到下层面上的C点。C点与杆A2初始位置相距为S。求：
⑴回路内感应电流的最大值；
⑵整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量。
5．逆向思维法解决物理问题
【例5】一物体以某一初速度在粗糙平面上做匀减速直线运动,最后停下来，若此物体在最初5秒和最后5秒经过的路程之比为11:5。则此物体一共运行了多少时间？
三、强化训练
1．人从一定高度落地容易造成骨折．一般成人胫骨的极限抗压强度约为1.5×107 N/m2，胫骨最小横截面积大约为3.2 cm2．假若一质量为50 kg的人从一定高度直膝双足落地，落地时其重心又约下降1 cm，试计算一下这个高度超过多少米时，就会导致胫骨骨折？?
2．一个木球从水面上h1=3米处自由下落，落入水中后木球能达到多深？已知木球的密度为水密度的3/4，假设空气和水的阻力不计，水有足够深度。
3．如图所示，斜面长为s，倾角为θ，一物体质量为m，以初速度v0从斜面底端A沿斜面向上滑行，斜面与物体间动摩擦因数为μ，物体滑到斜面顶端B飞出斜面，最后落到与A同一高度的地面上C处，求物体落地时的速度．
4．小球由离地面h高处由静止开始下落，落地时与地面碰撞后即以原速率竖直反弹，如果小球运动中所受空气阻力大小恒定为重力的K倍（K＜１）则小球第一次反弹的高度为多大？若不计小球的大小，小球总共运动的路程为多大？
5．小球A用不可伸长的轻绳系于O点，在O点正下方有一固定的钉子B。开始时，将球A拉到与悬点O同高处无初速释放，若绳长为L，则当B与悬点O的距离d满足什么条件时，球A摆下后将如图所示，绕B点做完整的圆周运动？
6．右图中ABCD是一条长轨道，其中AB段是倾角为O的斜面，CD段是水平的，BC是与AB及CD都相切的一小段圆弧，其长度可以不计。一质量为M的小滑块在A点从静止状态释放，沿轨道滑下，最后停在D点。已知A点比CD水平面高出h，CD段的长度为s。现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D点推回到A点时停下。设滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于（ ）
7．斜面倾角为θ，在斜面底端有一弹性挡板与斜面垂直，在斜面上距离挡板为s0处有一小物块从初速率v0开始沿斜面滑动。若物块与斜面之间的动摩擦因数为 （ ＜tanθ），且滑块每次与挡板碰撞都不改变速率的大小，不考虑物块的大小，求物块总共能运动的路程。
8. 如图所示，一个质量为m，电量为-q的小物体，可在水平轨道x上运动，O端有一与轨道垂直的固定墙，轨道处在场强大小为E，方向沿Ox轴正向的匀强电场中，小物体以初速度v0从x0点沿Ox轨道运动，运动中受到大小不变的摩擦力Ff作用，且Ff9．如图是两块水平放置相互平行且正对的金属板，其上板开有一小孔，质量为m，电荷量为q的带正电液滴，自空中自由下落，并由小孔进入匀强电场。设两板电势差为U、距离为d，欲使液滴在板间下落的深度为d/2，则液滴的高度h为多少？
10．如图所示，AB和CD为两个斜面，其上部足够长，下部分别与一光滑圆弧面相切，EH为整个轨道的对称轴，圆弧所对圆心角为120°，半径为2m．某物体在离弧底H高h = 4m处以v0 = 6m / s沿斜面运动，物体与斜面的动摩擦因数μ= 0.04，求物体在AB与CD两斜面上（圆弧除外）运动的总路程（取g = 10m / s2）．
11．一个质量为的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数。从开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用，力F随时间的变化规律如图所示。求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功。取10m/s2。
12．一物体作竖直上抛运动，经过高度为1.8m的窗户历时0.2s，则此物体上升到最高点与窗户上端的距离是多少？（取g=10m/s2）
例题解析：
【例1】【解析】由于小球脱离汽球后，先做竖直上抛运动再做自由落体运动，就全过程说是做匀变速直线运动，所以设小球在空中运动的总时间为t，若规定竖直向上的方向为正，则小球的位移s=-120m,v0=10m/s,a=-10m/s2，由代入数据，解得t=6s。
【例2】【解析】人跌落后在重力作用下做自由落体运动，绳拉直后又受安全带的作用，在重力和弹力共同作用下做变速直线运动，某瞬时速度变为零。
由得自由落体时间：
设安全带对工人的平均冲力为F，对人下落的全过程应用动量定理得：
代入数据，解得F=1100N
【例3】【解析】解法1：分段列式法．
选物体为研究对象，先研究自由落体过程，只有重力做功，设物体的质量为m，落到沙坑表面时速度为v，根据动能定理有：?
mgH＝mv2－0 ①
再研究物体在沙坑中的运动过程，重力做正功，阻力Ff做负功，根据动能定理有?
mgh－Ff h＝0－mv2 ②
由①②两式解得?
解法2：全程列式法?
研究物体运动的全过程，据动能定理有：
mg（H＋h）－Ff h＝0?
解得：＝
点评：若物体的运动过程包含几个不同的物理过程，用动能定理解题时可以分段列方程，然后联立求解．也可以视全过程为一整体列方程求解．当既能用“分段法”求解，又能用“全程法”求解时，一般来说，全程法比分段法简捷．?
【例4】【解析】⑴对小球和杆A1组成的系统，由动量守恒定律得：
①
又 s＝vt ②
③
①②③三式联立解得： ④
回路内感应电动势的最大值 E＝BLv1 ⑤
回路内感应电流的最大值 ⑥
④⑤⑥三式联立解得：
⑵两棒组成的系统，对它们从开始作用到达到共同速度的全过程由动量守恒定律得：
mv1＝2mv2
由能量守恒定律，整个运动过程中感应电流最多产生热量为：
【例5】【解析】若依据匀变速运动规律列式，将会出现总时间t比前后两个5秒的和10秒是大还是小的问题：若t>10s将时间分为前5秒和后5秒与中间的时间t2，经复杂运算得t2=-2秒再得出t=8秒的结论。若用逆向的初速度为零的匀加速运动处理，将会简便的多。
视为反向的初速度为零的加速直线运动
则最后5秒通过的路程：
最初5秒通过的路程：
有题中已知的条件：s1:s2=11:5 得
（10t-25）:25=11:25
解得运动时间t=8秒
强化训练参考答案：
1．【解析】双脚胫骨面积最小处能承受冲击力的最大值：?
F＝pS＝1.5×107×2×3.2×10－4 N＝9.6×103 N
设人的质量为m，下落的安全极限高度为h1，触地后重心又下降的高度为h2?
对全过程由动能定理得：
mg（h1＋h2）－F·h2＝0?
解得：h1＝
＝ m＝2.7 m
2．【解析】设木球入水的最大深度为h2,，设想木球入水后，在水深 h2处有一个与木球等大小的水球，同时由水中h2 处上升到水面，如图所示因为在木球下落、水球上升过程中，只有重力做功，因此对木球、水球和地球系统机械能守恒。取水面下深h2处为零势能位置由
3．【解析】分析物体的运动过程可分为两个阶段．第一个阶段物体在斜面上做匀减速直线运动，利用牛顿运动定律和运动学公式，或者应用动能定理可以求出物体在斜面顶端B处的速度．第二阶段物体做斜抛运动，只有重力做功，可应用机械能守恒定律求出物体落地时的速度.物体在B处的速度是两个阶段运动的衔接量，按照上述的分析方法，物体在B处的速度就是一个非常关键的量．
我们能不能全过程来考虑物体的运动呢 尽管物体在前后两个阶段中运动形式不同，我们还是可以全过程来考虑．物体从A—B—C，重力做的总功为零(因为A、C等高)，只有斜面的摩擦力做负功，因此可以全过程应用动能定理，直接求出现，而不必求出中间状态量．
对全过程应用动能定理，则
4．【解析】研究小球由下落开始直到反弹到最高点（离地面高度设为h1）的过程,此过程初末动能皆为0，。此过程中，物体受重力、空气阻力和地面作用力，题设与地面碰撞后以原速率反弹，即碰撞时小球动能未变，地面所作用力所做功为0；重力做功与途径无关，只由起点与终点两点高度差决定，即WG=mg（h-h1）；空气阻力大小不变，在两段路程上皆做负功，即。所以合外力功为
根据动能定理，Ｗ＝０，即得。
小球不断下落和反弹，总的路程不用动能定理也可求得，但比较繁琐。用动能定理解第二问，只需研究小球由下落开始，直到最终停在地面上的全过程即可。所研究过程首末两态动能皆为0，。在此过程中只有重力和空气阻力做功，重力做功mgh，空气阻力做功-kmgs，S为总路程。根据 有
mgh-kmgs=0
本题也可换一个角度考虑，物体最终停留在地面上，其重力势能减少了mgh，完全用于克服摩擦阻力做功了，即应有mgh=kmgs。
5．【解析】球A由摆下到绳遇到钉B之后作圆周运动的全过程中，受绳拉力和垂力，绳拉力不做功，只有重力做功，球A的机械能守恒。研究球A由开始释放至运动到圆周上最高位置C之过程，其重力势能减少了，动能增加了，其中，而vC应满足条件，根据机械能守恒，应有
由图可见d=L-R，因此应有。虽然d还应满足d＜L，本题的解为。
实际上，机械能守恒定律的解题思路可以迁移到更一般的应用能量转化与守恒的思想来解决物理问题，从能量的观点（包括动能定理、机械能守恒等）来分析解决物理问题，可以不涉及物理过程的具体细节，因此也就更为简捷。
6．答案：C
7．【解析】设物块总共能运动的路程为L，对物块运动的整个过程运用动能定理得
解得
8.【解析】因Ff设滑块在停止前所通过的总路程为s，对滑动的全过程应用动能定理得：
解得
9．【解析】把液滴下落看成一个过程，根据动能定理有：
10．【解析】当物体沿斜面下滑通过B或C，第一次速率为零时，物体不再沿斜面运动，此后物体仅在圆弧内往返运动．物体在斜面上运动有重力和摩擦力做功，机械能要减少，物体在圆弧内运动只有重力做功，机械能不变．物体每次沿斜面上升到最高点的高度逐次降低，物体每次沿斜面下滑通过B或C时速率逐次减少，当减为零时，物体不再沿斜面运动，此后，仅在圆弧内往返运动．
重力做功与路径无关，仅由高度决定；摩擦力做功与路径有关，所以物体在斜面上运动的总路程，即在这段总路程中，始终有摩擦力做功，使得机械能减少．
设物体在两个斜面上运动的总路程为s，斜面底端距弧底高
h'=R（1－cos60°）= 2（1－0.5）= 1（m）．
解法一：对全过程，根据动能定理：
WG－Wf = 0－（1 / 2）mv02
即mg（h－h'）－μmgcos60°·s =－（1 / 2）mv02，
解得 m
解法二：根据功能原理：Wf = E2－E1，以过H的水平面为零势能面
即－μmgcos60°·s= mgh'－[mgh+（1 / 2）mv02 ]
解得 m
11．【解析】当物体在前半周期时由牛顿第二定律，得
F1-μmg=ma1
a1=( F1－μmg)/m=(12－0.1×4×10)/4=2m/s2
当物体在后半周期时，
由牛顿第二定律，得 F2+μmg= ma2
a2=( F2+μmg)/m=(4+0.1×4×10)/4=2m/s2
前半周期和后半周期位移相等 x1=1/2at 2 =0.5×2×22 =4m
一个周期的位移为 8m 最后 1s 的位移为 3m
83 秒内物体的位移大小为 x=20×8+4+3=167m
一个周期 F 做的功为 W1=（F1－F2）x1=（12－4）4=32J
力 F 对物体所做的功 W=20×32+12×4-4×3=681J
12．【解析】本题有多种解法。可以用匀减速直线运动规律，列方程求解也可以用逆向的自由落体运动处理。也可以先求出过窗户的平均速度，即中间时刻的即时速度加以求解。下面用逆向的自由落体运动求解。
逆向为自由落体，则有
h=1/2gt2
h+1.8=1/2g(t+0.2)2
解得：h=3.2m
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