18.3角的平分线的性质 课时练习
一、选择题
1. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD
（1） (2) (3)21cnjy.com
2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=6cm，则点D到AB的距离DE是（ ） www.21-cn-jy.com
A．5cm B．4cm C．6cm D．2cm 2·1·c·n·j·y
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离是 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4【21·世纪·教育·网】
4．如图，已知AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，下面结论错误的是（ ）
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
(4) (5) （6） （7）21·世纪*教育网
5. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
6. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，△DEB的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A. 4㎝ B. 6㎝ C. 10㎝ D. 不能确定
7.已知如图△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=
A. 4 B.10 C. 8 D. 不能确定 21世纪教育网
8．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点
二．填空题.
1．如图所示,在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=20cm，DB=17cm，则D点到AB的距离是_________．
2 .如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．
3.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．21·cn·jy·com
三. 证明题
1.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF；
2．如图，已知BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．
3.如图，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系？并加以证明．21教育网
18.3角平分线的性质学案
学习目标：1通过操作、验证等方式，掌握角平分线的性质定理
2能运用角的平分线性质定理 ，解决简单的几何问题.
重点：角的平分线的性质的证明及应用。21世纪教育网
难点：角的平分线性质的探究。
一学前准备：
1角平分线的定义：
2点到直线的距离：
二自主学习
活动一、如图是一个平分角仪器，其中AB=AD BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AC沿着角两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？21教育网
已知：AB=AD BC=DC 求证：AC平分∠DAB
证明：
活动二、探究角平分线的画法
由活动一的启示，你能用尺规作一个角的平分线吗？
A
O B
活动三、探究角平分线的性质
1操作测量：如图，OD是∠BAC的平分线，点P是射线AD上的任意一点，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD ⊥OB，PE⊥AC,点M、N为垂足，测量PM、PN的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论 21·cn·jy·com
PD
PE
第一次
第二次
第三次
2 已知：OC平分∠AOB，P为AD上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB垂足分别为D和E， 求证：PD=PE21cnjy.com
证明： A
Ｄ
P
Ｅ
O B
3角平分线的性质：
用符号语言表示：
定理的作用：
活动四：定理的应用
例1已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
例2：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。 O
C D
A Ｂ
E
课件31张PPT。18.3 角平分线的性质如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题学习目标：
1.通过操作、验证等方式，
掌握角平分线的性质定理
2.能运用角的平分线性质定理
解决简单的几何问题. 复习提问1、角平分线的概念一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ （对折）情景问题1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? 如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯ画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢ为什么OC是角平分线呢？ Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB 思考：角平线分线有什么性质呢？
OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点， 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，
写出结论：____________COBAPD=PE角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.结论：C数学符号表示已知和求证：已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。注意特别是文字性叙述的几何证明题一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证。
2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证。
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示：AOBP12∵ OC平分∠AOB
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
理推的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。c角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）判断：练习∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√不必再证全等
练习如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE
(
)PD⊥OA，PE⊥OB角的平分线上的点到角的两边的距离相等，1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 3.如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？E4、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。25如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若AB=6㎝，则△DEB的周长为_______。6㎝如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD ⊥AB、PE⊥BC PF⊥AC垂足为D、E、F
∵BM平分∠ABC，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
ABCMNP怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？例题讲解如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
思考题P1l1l2l3例2：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。例题讲解这节课我们学习了哪些知识？ 小 结1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OC是∠AOB的平分线,
PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等). 几何语言:练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰAAS证明：过点P作PG 、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PG=PF
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PF=PH.
∴ PG=PF=PH.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
