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新湘教版 数学 七年级下 课时教学设计
课题 4.6两平行线间的距离 单元 第四单元 学科 数学 年级 七年级
学习目标 知识与技能：熟记公垂线及公垂线段的概念；能运用平行线公垂线段的性质解决问题。过程与方法：理解两条平行线间距离的概念,并且会求其大小。情感态度与价值观：通过运用平行线公垂线段的性质解决问题，培养学生对数学的兴趣。
重点 1.熟记公垂线及公垂线段的概念；2.理解两条平行线间距离的概念，并且会求其大小。
难点 能运用平行线公垂线段的性质解决问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
回顾知识+导入新课 同学们，在前面学习中，我们已经学习了有关平行线、两点间的距离和点到直线的距离的相关知识，今天我们将一起学行线间的距离相关知识。在讲解新课之前，我们首先一起来回顾相关内容：1.两点间的距离：连接两点的线段的长度.2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.接下来，我们思考一个问题：我们知道数学课本的对边是互相平行的.请各位同学用刻度尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？你的直尺与课本的两边成什么角度？大家量得的结果是一样的吗？可以把刻度尺放在课本上任何一个位置，但必须保持刻度尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的．可以发现，在测量过程中，直尺始终垂直课本的两边.即：a//b，c⊥a且c⊥b.那同学们你们想，a，b，c具有怎样的关系呢？ 学生回忆上节课的内容，并回答老师。学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。 导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。利用探究的方式，让学生去探究新的知识，培养学生的探究能力。
讲授新课+例题讲解讲授新课+例题讲解 根据刚刚的探究，我们可以发现：与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连结两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段．例如：已知a//b，c⊥a且c⊥b则c为a、b的公垂线，OO’为a、b的公垂线段.【例1】在同一平面内，有公垂线的两条不同直线位置关系是( )A.平行 B.垂直C.相交 D.无法确定【解析】如图l3是l1，l2的公垂线，则∠1=∠2=90°，所以l1∥l2.选A.【想一想】两条平行线的公垂线段具有怎样的关系？ 发现：a与b之间的距离始终为5cm，即ab公垂线段OO’始终为5cm.结论：两平行线的所有公垂线段都相等.我们可以得到结论：1.公垂线定理：两平行线的所有公垂线段都相等． 2.两平行线间的距离：两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离． 3.两平行线间的公垂线段可以画无数条.【做一做】1.如图，平行线AB与CD间的距离与AB上的点P到直线CD的距离有什么关系？你能用刻度尺度量出平行线AB与CD之间的距离吗？平行线AB与CD的距离，也就是AB上任意一点P到直线CD的距离.我们可以把直线与直线的距离转化为点到直线的距离.内在联系 2.如图，平行线AB与CD间的距离与AB上的点P到直线CD的距离有什么关系？你能用刻度尺度量出平行线AB与CD之间的距离吗？PO为平行线AB与CD之间的距离.PO同时为两平行线的公垂线段. 两平行线的公垂线段，另一说法： 两平行线中一条上的任一点到另一条的垂线段叫做两平行线的公垂线段． 知识拓展 （1）如图设l1//l2，点A为l1上固定的一点， 点B 为l2上的任意一点分别连结线段AB，这样的线段可以画多少条？（2）再过A作AC⊥l2，垂足为C，则AC是l1,l2之间的公垂线段，那么它与这些斜线段的长度有什么关系？【例2】如图，设a，b，c是三条互相平行的直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离．解：在a上任其一点A，过A作AC⊥a，分别与b，c交于B，C两点.则AB，BC，AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段．AC＝AB+BC＝5+2＝7.因此a与c的距离是7厘米． 结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握关于公垂线等知识。老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。 讲授知识，让学生知道本节课的学习内容和重点。用例题讲解的方式将知识运用起来，便于学生的理解和记忆。
练习巩固练习巩固 1.判断：对的打“√”，错的打“ד) (1)垂直于同一直线的两条直线称为公垂线.( × ) (2)两条平行线间的所有公垂线段相互平行.( √ ) (3)两平行线间的距离是5cm，即其公垂线的长度为5cm.( × ) (4)两平行线中，其中一直线上任意一点到另一直线的垂线段的长度，就是两平行线的距离.( √ )2.点P、M分别在直线AB和直线CD上，且AB∥CD，点P到CD的距离为5cm，则点M到AB的距离为( )A.大于5 cm B.小于5 cmC.5 cm D.不确定【解析】因为点P到CD的距离为5cm，所以两平行线AB和CD的距离为5cm，点M到AB的距离也等于两平行线的距离.选C.3.在同一平面内，与已知直线的距离等于4cm的直线有( ) A.一条 B.两条 C.无数条 D.不能确定【解析】在同一平面内，与已知直线的距离等于4cm的直线有两条，分别在这条直线的两侧.选B.4.如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？解：相等， S△PAB＝S△QAB.∵ MN∥AB∴ PM⊥AB ，QN⊥AB∴ PM＝QN∴， ∴ S△PAB＝S△QAB 5.在图的四边形中，∠A = ∠B = ∠ C = ∠D =90 ，这样的四边形叫作矩形，矩形的两组对边AB和CD，AD和BC相等吗？为什么？解：相等.∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴AD∥BC∴AB⊥AD ，AB⊥BCCD⊥BC，CD⊥AD∴ AB = CD同理AD = BC. 学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。学生自主完成巩固练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。 借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结 在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点： 跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。 帮助学生加强记忆知识。
板书 两平行性间的距离 借助板书，让学生知识本节课的重点。
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4.6 两平行线间的距离
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题
1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（ ）【21cnj*y.co*m】
A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm
2．如图，直线a∥b，则直线a，b之间距离是（ ）
A．线段AB的长度 B．线段CD的长度
C．线段EF的长度 D．线段GH的长度
3．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（ ）【21教育名师】
A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：32
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（ ）21*cnjy*com
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）有（ ）【21教育】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
6．两条平行线间的所有 线段都相等．
7．已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是 ．
8．如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是 ．
9．如图，AD∥BC，∠A=∠D=90°，AB=1，AD=2，那么AD，BC间的距离为 ．
10．如图，已知直线AB∥CD，直线EF截AB、CD于E、F，EG⊥CD，∠EFD=45°且FG=6，则AB、CD之间的距离为 ．21教育网
三．解答题
11．如图是三条互相平行的直线（虚线），相邻两条平行线间的距离相等，线段AB在最上边的直线上．请仅用无刻度直尺找出线段AB的中点O，并在图中标注出来（保留画图痕迹）．www.21-cn-jy.com
试题解析
一．选择题
1．D
【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．
【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5﹣3=2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线之间的距离，分类讨论是解决问题的关键．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．
2．B
【分析】根据平行线间的距离的定义，可得答案．
【解答】解：由直线a∥b，CD⊥b，得
线段CD的长度是直线a，b之间距离，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线间的距离，利用平行线间的距离的定义是解题关键．
3．C
【分析】根据平行线的性质得出当两船距离最近，36x=18.9﹣27x，进而求出x即可得出答案即可．
【解答】解：设x分钟后两船距离最近，
当如图EF⊥BD，AE=DF时，两船距离最近，
根据题意得出：36x=18.9﹣27x，
解得：x=0.3，
0.3小时=0.3×60分钟=18（分钟），
则两船距离最近时的时刻为：7：33．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的之间的距离以及一元一次方程的应用，根据已知得出等式方程是解题关键．
4．A
【分析】根据题意可知△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，从而可以得到S△ACD的值．21世纪教育网
【解答】解∵四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，S△ABD=10cm2，
∴△ABD和△ACD如果都以AD做底边时，此时底边上的高相等，
∴S△ACD=10cm2，
故选：A．
【点评】本题考查平行线间的距离，解题的关键是找到两个三角形之间的关系，同底等高．
5．B
【分析】根据两平行直线之间的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等，找出与△ABD等底等高的三角形即可．21cnjy.com
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△ABC与△ABD的面积相等，
∵AE∥BD，
∴△BED与△ABD的面积相等，
∵ED∥BC找不到与△ABD等底等高的三角形，
∴和△ABD的面积相等的三角形有△ABC、△BDE，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形面积相等的性质，找出等底等高的三角形是解题的关键．21·cn·jy·com
二．填空题
6．公垂
【分析】根据“在两条平行线之间的线段中，垂直两条平行线的线段最短，这条线段的长叫做平行线之间的距离”可知：在两条平行线之间再画几条和平行线垂直的线段，这些线段的长度都相等；据此判断即可．【21·世纪·教育·网】
【解答】解：两条平行线间的所有公垂线段都相等，
故答案为：公垂．
【点评】此题考查了垂直和平行的特征和性质，注意基础知识的灵活运用．
7．8cm或2cm
【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．
（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；
（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm﹣3cm=2cm．
【解答】解：（1）直线c在直线b的上方，如图1：
直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；
（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：
直线a和直线c之间的距离为5cm﹣3cm=2cm；
所以a与c的距离是8cm或2cm，
故答案为：8cm或2cm．
【点评】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．
8．3
【分析】本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．
【解答】解：由图可知，∵AB、CD为小正方形的边所在直线，
∴AB∥CD，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∵AC的长为3个小正方形的边长，
∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．
故答案为：3．
【点评】此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．2·1·c·n·j·y
10．6
【分析】根据图形得出EG的长是AB、CD之间的距离，根据垂直定义得出∠EGF=90°，求出∠EFG=45°，推出FG=EG，即可得出答案．21·世纪*教育网
【解答】解：∵EG⊥CD，AB∥CD，
∴EG⊥AB，
即EG的长是AB、CD之间的距离，
∵EG⊥CD，
∴∠EGF=90°，
∵∠EFG=45°，
∴∠FEG=180°﹣90°﹣4°=45°=∠EFG，
∴EG=FG=6，
即AB、CD之间的距离是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了平行线间的距离，等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识点，关键是得出EG的长是AB、CD之间的距离和求出EG的长．www-2-1-cnjy-com
三．解答题
11．【分析】因为，三条平行线之间的距离相等，所以它们截任意一条直线所得的线段相等，根据平行线等分线段定理，连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O即可．2-1-c-n-j-y
【解答】作法：1．过点A任意作一条直线AC交第三条直线于点C，交第二条直线于点D，
2．连接BC交第二条直线于E，连接BD，AE交于点M，作射线CM交AB于点O，
则点O就是要求作的点．
【点评】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是掌握平行线等分线段定理得意义与应用．
．
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两平行线间的距离
数学湘教版 七年级下
回顾知识
2.点到直线的距离：
1.两点间的距离：
连接两点的线段的长度.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度.
导入新知
我们知道数学课本的对边是互相平行的.
请各位同学用刻度尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？你的直尺与课本的两边成什么角度？大家量得的结果是一样的吗？
可以把刻度尺放在课本上任何一个位置，但必须保持刻度尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的．
可以发现，在测量过程中，直尺始终垂直课本的两边.
即：a//b，c⊥a且c⊥b.
导入新知
a，b，c具有怎样的关系呢？
a
b
c
新知讲解
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段．
已知a//b，c⊥a且c⊥b
则c为a、b的公垂线，OO’为a、b的公垂线段.
例如：
a
b
c
O
O’
例题讲解
【例1】在同一平面内，有公垂线的两条不同直线位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交 D.无法确定
【解析】如图l3是l1，l2的公垂线，则∠1=∠2=90°，所以l1∥l2.选A.
A
想一想
想一想：两条平行线的公垂线段具有怎样的关系？
a
b
c
O
O’
发现：a与b之间的距离始终为5cm，即ab公垂线段OO‘始终为5cm.
结论：两平行线的所有公垂线段都相等.
新知讲解
1.公垂线定理：
两平行线的所有公垂线段都相等．
2.两平行线间的距离：
两平行线的公垂线段的长度叫作两平行线间的距离．
3.两平行线间的公垂线段可以画无数条.
新知讲解
如图，平行线AB与CD间的距离与AB上的点P到直线CD的距离有什么关系？你能用刻度尺度量出平行线AB与CD之间的距离吗？
平行线AB与CD的距离，也就是AB上任意一点P到直线CD的距离.
我们可以把直线与直线的距离转化为点到直线的距离.
新知讲解
内在联系
做 一 做
如图，平行线AB与CD间的距离与AB上的点P到直线CD的距离有什么关系？你能用刻度尺度量出平行线AB与CD之间的距离吗？
O
PO为平行线AB与CD之间的距离.
PO同时为两平行线的公垂线段.
两平行线的公垂线段，另一说法：
两平行线中一条上的任一点到另一条的垂线段叫做两平行线的公垂线段．
新知讲解
（1）如图设l1//l2，点A为l1上固定的一点， 点B 为l2上的任意一点分别连结线段AB，这样的线段可以画多少条？
两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线段最短。
A
B
l1
l2
（2）再过A作AC⊥l2，垂足为C，则AC是l1,l2之间的公垂线段，那么它与这些斜线段的长度有什么关系？
AC
C
新知讲解
A
B
C
D
l1
l2
两平行间的所有公垂线段有什么共同的特点？
相等
最短
例题讲解
【例2】如图，设a，b，c是三条互相平行的直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离．
解：在a上任其一点A，过A作AC⊥a，分别与b，c交于B，C两点.则AB，BC，AC分别表示a与b，b与c，a与c的公垂线段．
AC＝AB+BC＝5+2＝7.
因此a与c的距离是7厘米．
A
b
c
B
C
a
5厘米
2厘米
巩固提升
1.判断：对的打“√”，错的打“ד)
(1)垂直于同一直线的两条直线称为公垂线.( )
(2)两条平行线间的所有公垂线段相互平行.( )
(3)两平行线间的距离是5cm，即其公垂线的长度为5cm.( )
(4)两平行线中，其中一直线上任意一点到另一直线的垂线段的长度，就是两平行线的距离.( )
×
√
×
√
巩固提升
2.点P、M分别在直线AB和直线CD上，且AB∥CD，点P到CD的距离为5cm，则点M到AB的距离为( )
A.大于5 cm B.小于5 cm
C.5 cm D.不确定
【解析】因为点P到CD的距离为5cm，所以两平行线AB和CD的距离为5cm，点M到AB的距离也等于两平行线的距离.选C.
A
巩固提升
3.在同一平面内，与已知直线的距离等于4cm的直线有( )
A.一条 B.两条
C.无数条 D.不能确定
【解析】在同一平面内，与已知直线的距离等于4cm的直线有两条，分别在这条直线的两侧.选B.
B
巩固提升
4.如图，MN//AB，P，Q为直线MN上的任意两点，三角形PAB和三角形QAB的面积有什么关系？为什么？
解：相等， S△PAB＝S△QAB.
∵ MN∥AB
∴ PM⊥AB ，QN⊥AB
∴ PM＝QN
∴，
∴ S△PAB＝S△QAB
A
B
M
N
Q
P
M
N
巩固提升
5.在图的四边形中，∠A = ∠B = ∠ C = ∠D =90 ，这样的四边形叫作矩形，矩形的两组对边AB和CD，AD和BC相等吗？为什么？
A
B
C
D
解：相等.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴ AD∥BC
∴AB⊥AD AB⊥BC CD⊥BC CD⊥AD
∴ AB = CD
同理 AD = BC.
课堂小结
1.公垂线及公垂线段：
①公垂线：与两条 直线都 的直线.
②公垂线段：连接公垂线两个 的 .
③性质：两条平行线的所有公垂线段都 .
2.两条平行线的距离：
两平行线的 的 .
平行
垂直
垂足
线段
相等
公垂线段
长度
谢谢
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