(共14张PPT)
21.1 一元二次方程
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米
分析:
雕像上部的高度AC,下部的高度BC
应有如下关系:
即
设雕像下部高xm,于是得方程
整理得
一、设计问题，创设情境
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形
100㎝
50㎝
x
3600
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .
(100-2x)cm
(50-2x)cm
根据方盒的底面积为3600cm2,得
即
一、设计问题，创设情境
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
分析:
全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
即
(x-1)
一、设计问题，创设情境
这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
二、信息交流，揭示规律
一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程
二、信息交流，揭示规律
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
三、运用规律，解决问题
[例1]判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
3
5
2
3
-
=
+
y
x
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的
例题讲解
[例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
运用规律，解决问题
三、运用规律，解决问题
例题讲解
1.方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
四、变化演练，深化提高
2.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
D
四、变化演练，深化提高
3. a为何值关于x的方程(3a＋1)x2＋6ax－3=0是一元 二次方程
4. k为何值方程（k2－9)x2＋(k－5)x＋3=0不是关于x的一元二次方程
5. 课本第4页练习 第1,2题
四、变化演练，深化提高
2.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
3.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
反思小结，观点提炼
五、反思小结，观点提炼
1.体会数学建模的思想方法．
推荐作业：
必做：课本第4页习题21.1第1,2题
选做：课本第4页习题21.1第4,5,6题
六、推荐作业第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学习目标
1.经历由实际问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程,体会到方程也是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型.
2.正确理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化为一般形式,正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.
3.通过概念教学,培养观察、类比、归纳能力,同时通过变式练习,对概念的理解具备完整性和深刻性.
学习过程
一、设计问题,创设情境
阅读以下问题:
问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米
问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形
问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛
思考:
(1)全场共比赛 场;
(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他 个队各赛一场,全场共比赛 场.由此,我们可以列方程 ,化简得 .
二、信息交流,揭示规律
观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.
1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数 它的最高次数是几 它们有什么共同特点
2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义: .
三、运用规律,解决问题
【例1】 判断下列方程是否为一元二次方程.
(1)3x+2=5y (2)x2=4 (3)x2-4=(x+2)2 (4)-1=x2
【例2】 将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数:
3x(x-1)=5(x+2).
四、变式训练,深化提高
1.方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下此方程为一元二次方程 在什么条件下此方程为一元一次方程
2.下列方程中,无论a为何值总是有关于x的一元二次方程的是( )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a
B.ax2+2x+4=0
C.ax2+x=x2-1
D.(a2+1)x2=0
3.a为何值时关于x的方程(3a+1)x2+6ax-3=0是一元二次方程
4.k为何值时方程(k2-9)x2+(k-5)x+3=0不是关于x的一元二次方程
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)5x2-1=4x (2)4x2=81 (3)4x(x+2)=25 (4)(3x-2)(x+1)=8x-3
6.根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
五、反思小结,观点提炼
1.通过列方程解决问题你复习了哪几种类型的应用题 你感觉本节课哪种应用题是以前没有接触到的
2.本节重点学习的是什么方程 一般形式是什么 特别应该注意什么
3.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:x2=2(2-x)
问题2:(100-2x)(50-2x)=3 600
问题3:28 (x-1) x(x-1) x(x-1)=28 x2-x=56
二、信息交流,揭示规律
1.含有一个未知数,未知数的最高项数是2.
2.等号两边都是整式,只含一个未知数,并且未知数的的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.
三、运用规律,解决问题
【例1】 (1)(3)(4)不是一元二次方程,(2)是一元二次方程
【例2】 3x2-8x-10=0,二次项是3x2,系数是3;一次项是-8x,系数是-8;常数项是-10.
四、变式训练,深化提高
1.a≠2时此方程为一元二次方程,a=2,b≠0时此方程为一元一次方程.
2.D
3.a≠-
4.K=±3
5.
原方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
(1)5x2-1=4x 5x2-4x-1=0 5 -4 -1
(2)4x2=81 4x2-81=0 4 0 -81
(3)4x(x+2)=25 4x2+8x-25=0 4 8 -25
(4)(3x-2)·(x+1)=8x-3 3x2-7x+1=0 3 -7 1
6.(1)4x2-25=0
(2)x2-2x-100=0
(3)x2-3x+1=0
五、反思小结,观点提炼
略
