复习课(二) 圆锥曲线与方程
圆锥曲线的定义及标准方程
圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容．
椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹
标准
方程
＋＝1或
＋＝1
(a>b>0)
－＝1或
－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px或
y2＝－2px或
x2＝2py或
x2＝－2py(p>0)
关系
式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(2)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．21cnjy.com
[解析] (1)右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1．又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1，故选D．
(2)由题意可知抛物线的准线方程为x＝－2，∴双曲线的半焦距c＝2．又双曲线的离心率为2，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1．21·cn·jy·com
[答案] (1)D (2)x2－＝1
[类题通法]
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．2·1·c·n·j·y
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
1．(天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选D 由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，
可得＝×2．①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得 ＝．②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1．
2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．21世纪教育网
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0
0)，
则解得
所以圆的标准方程为2＋y2＝．
答案：2＋y2＝
3．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
解析：显然当t＝时，曲线为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当14时，方程表示双曲线；而当1t－1>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．【21cnj*y.co*m】
答案：③④
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，有渐近线
无限延展，没有渐近线
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
0e>1
e＝1
准线方程
x＝－
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．21*cnjy*com
[解析] (1)如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c．
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．
(2)设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝．因为e1·e2＝，所以＝，即4＝，∴＝．【21教育】
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0．
[答案] (1)2 (2)x±y＝0
[类题通法]
求解离心率三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．21*教*育*名*师
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
1．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．其四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D 焦点F1(－，0)，F2(，0)，
在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，
|AF1|2＋|AF2|2＝12，
所以可解得|AF2|－|AF1|＝2，
故a＝，
所以双曲线的离心率e＝＝，选D．
2．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
解析：不妨设A在x轴上方，由于AB过F2且垂直于x轴，因此可得A，B，由OD∥F2B，O为F1F2的中点可得D，所以＝，＝，又AD⊥F1B，所以·＝－2c2＋＝0，即3b4＝4a2c2，又b2＝a2－c2，所以可得(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，得e2＋2e－＝0，解得e＝或－，又e∈(0,1)，故椭圆C的离心率为．
答案：
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：c2＝a2＋b2，①
由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，
双曲线过点，即－＝1．②
由|FA|＝c，得c2＝a2＋，③
由①③得p2＝4b2．④
将④代入②，得＝2．
∴＝2，即＝1，
故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．
答案：x±y＝0
直线与圆锥曲线的位置关系
高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．
直线与圆锥曲线有关的问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．21-cnjy*com
(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝或 ，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．【21·世纪·教育·网】
[典例] 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
[解] (1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1(a>1)，
则右焦点F(，0)，
由题设，知＝3，
解得a2＝3，故所求椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)设点P为弦MN的中点，由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即m2<3k2＋1， ①
所以xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－，
又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1， ②
把②代入①得2m>m2，
解得0由②得k2＝>0，
解得m>，
故所求m的取值范围是．
[类题通法]
有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：www.21-cn-jy.com
①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．2-1-c-n-j-y
②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切．
③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．
(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
解析：设机器人所在位置为A(x，y)，依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x．
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由得ky2－4y＋4k＝0．
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
＋＝1，＋＝1，＝－1，
由此可得＝－＝1．
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，
所以a2＝2b2．
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3．
因此a2＝6，b2＝3．
所以M的方程为＋＝1．
(2)由解得或
因此|AB|＝．
由题意可设直线CD的方程为
y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0．
于是x3,4＝．
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝ ．
由已知，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝ ．
当n＝0时，S取得最大值，最大值为．
所以四边形ACBD面积的最大值为．
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A．2 B．
C． D．
解析：选C 由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b．由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝．21教育网
2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )【21教育名师】
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2，令x＝0，可得点A的坐标为，所以S△OAF＝××＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x．www-2-1-cnjy-com
3．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
解析：选A 由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R．∵圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1．又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
4．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A．，1 B．，1
C．5,3 D．5,4
解析：选A ∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝．21·世纪*教育网
5．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A．＋2 B．＋1
C．－2 D．－1
解析：选D 因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1．因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1．又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1．焦点F到直线l的距离记为d，则d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，即d1＋d2的最小值为－1．
6．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
解析：选A 由4x2＋y2＝64得＋＝1，
c2＝64－16＝48，
∴c＝4，e＝＝．
∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝．
∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12．
∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由椭圆的定义，知2a＝6．5＋3．5＝10，a＝5．
又解得c＝，
从而b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝－4，则直线l恒过的定点M的坐标是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝－4．当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝x0(x0>0)，则x－4x0＝－4，解得x0＝2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝，则x1x2＝＝，得＋＝－4，∴＝－2，有b＝－2k，直线y＝kx－2k＝k(x－2)恒过定点(2,0)．又直线x＝2也恒过定点(2,0)，得点M的坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
9．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．
解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝．
答案：
10．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A，B，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且与是共线向量．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．
解：(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝，
∴kOM＝－．
由题意，知kAB＝－，
∵与是共线向量，∴－＝－，
∴b＝c，得e＝．
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a．
又|F1F2|＝2c，
由余弦定理，
得cos θ＝＝＝－1≥－1＝0，
当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cos θ≥0，
∴θ∈．
11．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
解：(1)因为2c＝2，所以c＝1，又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1，(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以· <0，
即x1x2＋y1y2<0，
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
由＋<0得m2依题意且满足(*)得m2<，
故实数m的取值范围是．
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．
解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2．
再由c2＝a2－b2，得a＝2b．
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2．
解方程组得a＝2，b＝1．
所以椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)由(1)可知A(－2,0)．
设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
联立方程组消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0．
由－2x1＝，得x1＝．
从而y1＝．
设线段AB的中点为M，
则M的坐标为．
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2．
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－．
令x＝0，解得y0＝－．
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)．
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝＋
＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±．所以y0＝±．
综上，y0＝±2或y0＝±．
2.1
2．1．1&2．1．2 曲线与方程 求曲线的方程
预习课本P34～36，思考并完成以下问题
1．曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？
2．求曲线方程的一般步骤是什么？
1．曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：21教育网
①曲线上点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线的方程的步骤
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是＝k( )
(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0( )
(3)以A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．下列各组方程中表示相同曲线的是( )
A．x2＋y＝0与xy＝0 B．＝0与x2－y2＝0
C．y＝x与y＝ D．x－y＝0与y＝lg 10x
答案：D
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
答案：B
4．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________．
答案：
曲线的方程与方程的曲线的概念
[典例] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．www.21-cn-jy.com
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5．2·1·c·n·j·y
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．2-1-c-n-j-y
这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． 21*cnjy*com
[活学活用]
命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析：选B “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．
曲线与方程的判定问题
[典例] 下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x＋y－1)＝0；
(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0．
[解] (1)由方程(x＋y－1)＝0可得
或
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1．
故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1．
(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0．
∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．
判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想． www-2-1-cnjy-com
[活学活用]
已知方程x2＋(y－1)2＝10．
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)因为x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－．所以m的值为2或－．
求曲线的方程
[典例] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
[解] [法一 直接法]
如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°．
设Q(x，y)，由题意，得
|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，
所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[法二 定义法]
如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上．
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[法三 代入法]
设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意得即
又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，
即x2＋2＝(去掉原点)．
直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视．
[活学活用]
过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．【21cnj*y.co*m】
解：法一：设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点．
∴A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)．
∵l1，l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2，
∴PA⊥PB，当x≠1时，kPA·kPB＝－1．
而kPA＝＝，kPB＝＝，
∴·＝－1，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0，
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0．
法二：设M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM．
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|．
而|PM|＝，|AB|＝，
∴2 ＝ ．
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
层级一 学业水平达标
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．
2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称
解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．【21教育名师】
3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )21-cnjy*com
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．
根据已知条件得4 ＝4(2－x)．
整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．
5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是
＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5．
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0．
6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．
解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0．
∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．
答案：一个点(2，－2)
7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为________________．
解析：设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)．
于是·＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，
化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝16
8．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1．
又M为AB的中点，所以即
将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2．
答案：y＝4x2
9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则＝(x，－2y)，
故·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，
依题意知，x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4．
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝．
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，
即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
层级二 应试能力达标
1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：选A 设动点P(x，y)，
则由|PA|＝3|PO|，得
＝3．
化简，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．
2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C．＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析：选D 根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．21·世纪*教育网
3．方程y＝－对应的曲线是( )
解析：选A 将y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．【21教育】
4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A． B． C．或 D．或
解析：选C 将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cos α－2)2＋sin2α＝3，解得cos α＝．又0≤α<2π，所以α＝或．故选C．
5．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．
解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2．21·cn·jy·com
答案：2
6．给出下列结论：
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．
其中正确结论的序号是________．
解析：对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．【21·世纪·教育·网】
答案：③
7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．
解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．
设△ABC的外心为P(x，y)，
因为点P在线段BC的垂直平分线上，
所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，
即＝，化简得x2－6y＋5＝0．
于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0．
8．已知两点P(－2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．21世纪教育网
解：设A(m，m)，B(m＋1，m＋1)，
当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝(x＋2)＋2和y＝x＋2．
由消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．21cnjy.com
当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．21*教*育*名*师
综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
2.2
2．2．1 椭圆及其标准方程
预习课本P38～42，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )
(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆( )21*教*育*名*师
(3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为( )
A．1 B．2
C．4 D．6
答案：C
3．椭圆＋＝1的焦点坐标是________．
答案：(0，±12)
求椭圆的标准方程
[典例] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以?
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；www-2-1-cnjy-com
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16．设它的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16．①
又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1．②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1．
椭圆的定义及其应用
[典例] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，
求△PF1F2的面积．
[解] 由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|．②
将②代入①解得|PF1|＝．
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是．
(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体．
(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
[活学活用]
设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝2．则△PF1F2是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8．
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，
又|F1F2|＝2c＝4，故△PF1F2为直角三角形．
与椭圆有关的轨迹问题
[典例] (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程．
[解析](1)设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得所以
又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，
即x2＋＝1．
答案：x2＋＝1
(2)解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3．设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4．
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法：
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(2)相关点法：
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
[活学活用]
求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
解：圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10．设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得R－|PC|＝|CC1|?|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10．
又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10．可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，
所以a＝5，从而b＝4，
故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．
层级一 学业水平达标
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4．
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．在直角坐标系xOy中，“a>b”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件又不必要条件
解析：选A 若a>b，则a2≠b2，方程＋＝1表示椭圆，是充分条件，若方程＋＝1表示椭圆，得不到a>b，不是必要条件．
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1．
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1．
∴m－4＝1，m＝5．
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3．
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．21*cnjy*com
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16．所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
解析：
如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．
所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．
将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)因为P为椭圆C上任一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
由(1)知c＝6，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·
所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以122＝202－3|PF1||PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝＝＝．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝．
所以△F1PF2的面积为．
层级二 应试能力达标
1．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆21·cn·jy·com
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选C A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12
C．10 D．8
解析：选A ∵·＝0，
∴PF1⊥PF2．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a．
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴△F1PF2的面积为
S＝·|PF1|·|PF2|＝9．
3．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin α>cos α>0．又α∈，所以<α<．
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．
5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝．
答案：
6．已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________．
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
答案：12
7．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2．
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4．
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝．
依题意有＝3，得b2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
8． 如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解：如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．
2．2．2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
预习课本P43～47，思考并完成以下问题
1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？
2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(01．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c( )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
答案：B
3．若椭圆＋y2＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
答案：A
4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
答案：
由标准方程研究几何性质
[典例] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2，∴c＝ ＝＝．
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝＝．
求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质． 【21·世纪·教育·网】
[活学活用]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝；
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝．
利用几何性质求标准方程
[典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．
[解] (1)设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．
由已知得2a＝10，a＝5．
又∵e＝＝，∴c＝4．
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1．
(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，2·1·c·n·j·y
则c＝b＝3，
a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1．
(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
(2)离心率e＝，焦距为12．
解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1．
(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
则b2＝a2－c2＝64．
当焦点在x轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当焦点在y轴上时，
所求椭圆的标准方程为＋＝1．
综上所述，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1．
求椭圆的离心率
[典例] 设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
[解析] 法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝．
法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
[答案] D
[一题多变]
1．[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
解：在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，
则在△PF1F2中，
有＝＝，
∴＝，
∴e＝＝＝
＝．
2．[变条件，变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
解：由题意，知c>b，∴c2>b2．
又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，
即2c2>a2．
∴e2＝>，∴e>．
故C的离心率的取值范围为．
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )21·世纪*教育网
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若＝2，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D ∵＝2，∴||＝2||．
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝．
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：选C 化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝．
6．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，＝?m＝3；
当焦点在y轴上时，＝?m＝．
综上，m＝3或m＝．
答案：3或
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．
解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：设A(m，n)．
由＝5，得B．
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8．
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝2．
∴y2＝ax－x2．①
又P点在椭圆上，故＋＝1．②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>．
又∵0层级二 应试能力达标
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴长、短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
解析：选B c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B．【21cnj*y.co*m】
2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．故选B．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )2-1-c-n-j-y
A． B．
C． D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．故选A．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
解析：在Rt△ABF中，
|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，
由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝．
因为e>0，所以e＝．
答案：
6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．21教育网
解析：由题意，知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为＋＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝．因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝ ，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，即8≤d≤10．
答案：[8,10]
7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m－＝>0，可知m>，
所以a2＝m，b2＝，c＝＝ ，
由e＝，得 ＝，解得m＝1．
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝．
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，．
8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．【21教育】
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E 的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．
第二课时 直线与椭圆的位置关系
预习课本P47～48，思考并完成以下问题
1．点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？
2．直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？
3．直线被椭圆截得的弦长公式是什么？
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上?＋＝1；点P在椭圆内部?＋<1；点P在椭圆外部?＋>1．
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
3．直线与椭圆相交的弦长公式
(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
(2)求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝·
＝ ·．
1．已知点(2,3)在椭圆＋＝1上，则下列说法正确的是( )
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2，－3)在椭圆内 D．点(2，－3)在椭圆上
答案：D
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
答案：C
3．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．www.21-cn-jy.com
答案：4
直线与椭圆的位置关系
[典例] 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[解] 由消去y，
得＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0．
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0?直线与椭圆相交；
Δ＝0?直线与椭圆相切；
Δ<0?直线与椭圆相离．
[活学活用]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．
由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上，
∴＋≤1，∴m≥1．
又椭圆焦点在x轴上∴m<5，
故m的取值范围为[1,5)．
弦长及中点弦问题
[典例] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程．
(2)求直线l被椭圆截得的弦长．
[解] (1)[法一 根与系数关系法]
由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．
所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－．
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0．
[法二 点差法]
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
即k＝－．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．
(2)由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0．
法一：解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝．
法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14．
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝．
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；21cnjy.com
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，【21教育名师】
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－．
[活学活用]
(全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4．
所以C的方程为＋＝1．
(2)证明：法一：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－．
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，
则
①－②得＋＝0，
∴kAB＝＝－＝－·．
又kO M＝，∴kAB·kOM＝－．
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
与椭圆有关的综合问题
[典例] 已知椭圆＋y2＝1(a>1)，过直线l：x＝2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±.21世纪教育网
(1)求椭圆的方程；
(2)设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．
[解] (1)当P点在x轴上时，P(2,0)，
直线PA的方程为y＝±(x－2)，
联立?x2－2x＋1＝0，
则Δ＝4－4×＝0?a2＝2，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设切线方程为y＝kx＋m，P(2，y0)，A(x1，y1)，
则?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0
?Δ＝16k2m2－4×(1＋2k2)(2m2－2)＝0?m2＝2k2＋1，
且x1＝，y1＝，y0＝2k＋m，
则|PO|＝，
直线PO的方程为y＝x，则点A到直线PO的距离d＝，
则S△POA＝|PO|·d＝|y0x1－2y1|＝(2k＋m)·－＝＝|k＋m|＝|k＋|，
∴(S±k)2＝1＋2k2?k2±2Sk－S2＋1＝0，
Δ＝8S2－4≥0?S≥，
当且仅当k＝±时等号成立．
∴△POA面积的最小值为.
解决与椭圆有关的最值问题的三种方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围．
[活学活用]
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B．已知|AB|＝|F1F2|．
(1)求椭圆的离心率．
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．
解：(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，
又b2＝a2－c2，则＝．所以椭圆的离心率e＝．
(2)由(1)知a2＝ 2c2，b2＝c2．故椭圆方程为＋＝1．
设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，
即(x0＋c)c＋y0c＝0．又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0．①
又因为点P在椭圆上，故＋＝1．②
由①和②可得3x＋4cx0＝0．而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－，代入①得y0＝，
即点P的坐标为．
设圆的圆心为T(x1，y1)，则
x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c，
设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx．
由l与圆相切，可得＝r，
即＝c，
整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±．
所以直线l的斜率为4＋或4－．
层级一 学业水平达标
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：选B 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝．
由题意＝，∴＝，选A．
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．0，
C．0， D．，1
解析：选C ∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c0，∴04．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则| |＝( )
A． B．2
C． D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．
∴x0＝，y0＝n．
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1．
解得n2＝1，
∴||＝＝＝．
5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．
所以E的方程为＋＝1．
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0．
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝．
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，| |＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥．
∴||2＝| |2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝．
答案：
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．
答案：6
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解：∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，∴直线l的方程y＝x－．
由消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0．
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝，
即弦AB的长为．
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4．又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为．
层级二 应试能力达标
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．1
C．0 D．0或1
解析：选A 由题意，得 >2，所以m2＋n2<4，则－22．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：选C 由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C．
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析：选C 设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，
∴kmin＝－．选C．
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足·＝c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2． ①
又·＝c2，
∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝c2， ②
由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2， ③
由①②③，得cos∠F1PF2＝<1，
所以c又|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥，
则椭圆离心率的取值范围是，故选C．
5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
答案：x＋2y－4＝0
6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以＝，即e＝．
答案：
7．已知F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－．①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0．
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪．
8．(2016·浙江高考)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－.
因此|AP|＝|x1－x2|＝.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.21-cnjy*com
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知，|AP|＝，
|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得
1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)． ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是
1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，得0＜e≤.
所求离心率的取值范围为.
2.3
2．3．1 双曲线及其标准方程
预习课本P52～55，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？
2．什么是双曲线的标准方程？
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[点睛] 平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．www.21-cn-jy.com
当2a<|F1F2|时，轨迹是双曲线；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
当2a>|F1F2|时，轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[点睛] (1)标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．【21教育】
(2)a，b，c三个量的关系：
标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线( )
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b( )
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
答案：B
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．
答案：－＝1或－＝1
双曲线标准方程的认识
[典例] 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2[解析] ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0．
即或
解得k>5或－2[答案] B
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． 21*教*育*名*师
[活学活用]
若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析：选C 原方程化为－＝1，
∵k>1，∴k2－1>0，k＋1>0．
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
求双曲线的标准方程
[典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求标准方程为－＝1(b>0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1．
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．21·cn·jy·com
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，
F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1．
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1．
(2)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1．
双曲线定义的应用
[典例] 已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32．试求△F1PF2的面积．21教育网
[解] 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100．
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16．
[一题多变]
1．[变条件，变设问] 若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10．求点P到F2的距离．21·世纪*教育网
解：由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5．
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16．
2．[变条件] 若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其它条件不变，求△F1PF2的面积．【21教育名师】
解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝×4×4＝8．
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
层级一 学业水平达标
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D 将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A． B．
C． D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝．
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A． B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 依题意知解得a＝1．
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1．
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16．
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2．根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20．
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a．
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1，由c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，∴c＝5．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1．
∵点P在双曲线上，
∴－＝1．
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝．
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24．
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．21-cnjy*com
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4．
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
层级二 应试能力达标
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．21cnjy.com
2．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选A 设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2．又|F1F2|＝2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1．故选A．
3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为－＝1，则k>0，且a2＝，b2＝，所以＋＝9，解得k＝1．【21cnj*y.co*m】
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
解析：选C 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m．故选C．
5．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．
答案：22或2
6．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
解析：因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13，
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝．
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝．
即所求距离分别为，．
答案：，
7．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解：(1)因为
所以tan θ＝．
又即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则||＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±．
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以于是双曲线的标准方程为－＝1．
8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
2．3．2 双曲线的简单几何性质
预习课本P56～60，思考并完成以下问题
1．双曲线有哪些几何性质？
2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？
3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
性质
图形
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或 x≥a，y∈R
y≤－a或 y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心、原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
性质
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；
虚轴：线段B1B2，长：2b；
半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝．
[点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；
(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)双曲线－＝1的焦点在y轴上( )
(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( )
(3)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案：C
3．双曲线－＝1的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0
C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0
答案：A
4．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则离心率为________．
答案：或
双曲线的几何性质
[典例] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝．
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x．
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
[活学活用]
求双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程．
解：将9x2－y2＝81变形为－＝1，即－＝1．
∴实轴长2a＝6，虚轴长2b＝18；
顶点坐标为(3,0)，(－3,0)；
焦点坐标为(3，0)，(－3，0)；
离心率e＝，渐近线方程为y＝±3x．
由双曲线的几何性质求标准方程
[典例] 求过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．
[解] 法一：当焦点在x轴上时，由于＝．
故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；
当焦点在y轴上时，可知＝，
故可设方程为－＝1，
代入点(2，－2)得a2＝2．
所以所求双曲线方程为－＝1．
法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，2·1·c·n·j·y
代入点(2，－2)得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，
即－＝1．
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
[活学活用]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x．
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝．
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1．
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1．
双曲线的离心率
[典例] (山东高考)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－b)，代入直线方程得－b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋．
[答案] 2＋
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．
[活学活用]
1．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，因为AO＝AF，F(c,0)，
所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2．
答案：(2，＋∞)
2．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．
解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×(4a)×(2c)×cos 30°，整理得(e－)2＝0，所以e＝．
答案：
层级一 学业水平达标
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，∴＝，
则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．
3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．
∴e2＝＝＝1－．
又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－124．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1．
5．(2016·浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )21世纪教育网
A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1
解析：选A C1的焦点为(±，0)，C2的焦点为(±，0)，∵C1与C2的焦点重合，∴＝，∴m2＝n2＋2，∴m2＞n2.∵m＞1，n＞0，∴m＞n.
∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，
∴e1e2＝·＝＝＝＝＞＝1.
6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
7．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且＝0，△F1PF2的内切圆半径r＝2a，则双曲线的离心率e＝________.
解析：可设P为第一象限的点，
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，①
＝0，可得PF1⊥PF2，
由勾股定理可得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，②
②－①2，可得2|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，
即有|PF1|＋|PF2|＝，
由三角形的面积公式可得
r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝|PF1|·|PF2|，
即为2a(＋2c)＝2b2，整理得：c2－4ac－5a2＝0，解得c＝5a(c＝－a舍去)，即有e＝＝5.www-2-1-cnjy-com
答案：5
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B．
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．
答案：
9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．
解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．
因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．2-1-c-n-j-y
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2．
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5．
故m＝±1．
层级二 应试能力达标
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C． D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2．故选A．
2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24．故选D．
3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b．设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝．故选D．【21·世纪·教育·网】
4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )21*cnjy*com
A． B．
C． D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
6．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：联立解得
∴M，F1(－c,0)，F2(c,0)，
∴＝，＝，
由题意可得>0，即－>0，
化简可得b2>3a2，即c2－a2>3a2，
故可得c2>4a2，c>2a，可得e＝>2.
答案：(2，＋∞)
7．设双曲线－＝1(0解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4．
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝．
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2．
于是双曲线的离心率为2．
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解：(1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得
解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝．
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，可知－2.4
2．4．1 抛物线及其标准方程
预习课本P64～67，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？
2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )
(2)抛物线y2＝20x的焦点坐标是(0,5)( )
答案：(1)× (2)×
2．抛物线x＝－2y2的准线方程是( )
A．y＝ B．y＝
C．x＝ D．x＝
答案：D
3．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．21cnjy.com
答案：y2＝8x
求抛物线的标准方程
[典例] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3．
∴抛物线的方程为y2＝－6x．
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y．
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y．
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x．
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y．
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y．
求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．
②直接根据定义求p，最后写标准方程．
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．
[活学活用]
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
解：(1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝．
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，因为p＝，所以焦点坐标是，准线方程是y＝－．
(3)由a>0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－．
抛物线定义的应用
[典例] (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
(2)(浙江高考)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A．
B．
C．
D．
[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．21·世纪*教育网
(2)由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于．由抛物线方程知焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x＝－1．∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1．在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝．
[答案] (1)A (2)A
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[活学活用]
1．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A． B．1 C． D．
解析：选C 根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝．
2．经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么∠A1FB1为( )
A． B． C． D．
解析：选C 由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F．又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝．
抛物线的实际应用
[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，
所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2．
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1．28，
即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1．28)，此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．21*cnjy*com
求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建系：建立适当的坐标系；
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；
(4)求解：求出需要求出的量；
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．
[活学活用]
如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，
所以x2＝－2y．当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
答案：2
层级一 学业水平达标
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C． D．
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的距离最小值为．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2．21世纪教育网
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A． B．
C．3 D．2
解析：选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．2-1-c-n-j-y
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
7．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
解析：设点M的横坐标为x，则点M到准线x＝－1的距离为x＋1，
由抛物线的定义知x＋1＝10，∴x＝9，
∴点M到y轴的距离为9.
答案：9
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y．
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0．5，
故D(3．5，h－6．5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二 应试能力达标
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解析：选D 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
解析：选D 如图，∵△FPM是等边三角形．
∴由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．
3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为( )
A． B． C．1 D．2
解析：选D 设AB的中点为M，焦点为F(0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN|＝＝≥＝3，所以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB过焦点，故选D．21-cnjy*com
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝．由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M．
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C．
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．
解析：如图，∵|PM|＝5，
∴点P的坐标为(4,4)，
∴S△PMF＝×5×4＝10．
设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，
∴S△PMF＝S△O ′PM＋S△O ′PF＋S△O ′MF，
即(5＋5＋2)r＝10，解得r＝，
故△PMF内切圆的面积为πr2＝π．
答案：π
7．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点．
求证：以MF为直径的圆与y轴相切．
证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．
∵|MF|＝|MN|，|OF|＝|OP|＝|QN|，
∴|O′R|＝(|OF|＋|QM|)
＝(|QM|＋|QN|)
＝|MN|＝|MF|，
∴以MF为直径的圆与y轴相切．
8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝．
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．
2．4．2 抛物线的简单几何性质
预习课本P68～72，思考并完成以下问题
抛物线有哪些几何性质？
抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴( )
(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝( )
答案：(1)√ (2)×
2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
答案：B
3．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．
答案：4
抛物线方程及其几何性质
[典例] 已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．【21·世纪·教育·网】
[解] 如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，－y0)，
又F是△AOB的垂心，则AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，∴y＝x0，
又y＝2px0，∴x0＝2p＋＝．
因此直线AB的方程为x＝．
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．
[活学活用]
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．www.21-cn-jy.com
解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2ax(a≠0)，则
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标分别为，，
∴|AB|＝2|a|．
∵△OAB的面积为4，
∴··2|a|＝4，∴a＝±2．
∴抛物线方程为y2＝±4x．
直线与抛物线的位置关系
[典例] 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB．
[证明] 由消去y，得x2－12x＋16＝0．
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16．
∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝
x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB．
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解． 【21cnj*y.co*m】
[活学活用]
过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
解：显然，直线斜率k存在，
设其方程为y－2＝k(x＋3)，
由
消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0．①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，
此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由即
得k＝或k＝－1．
所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0．
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0．
抛物线中的最值问题
[典例] 在抛物线y2＝2x上求一点P．使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
[解] 法一：设p(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝＝，
当y0＝1时，dmin＝，∴P．
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝．
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为．【21教育名师】
解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．
[活学活用]
设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．【21教育】
解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2．由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1．
答案：－1
层级一 学业水平达标
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x B．y2＝11x
C．y2＝－22x D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．
2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4．②
由①②可解得x＝1，y＝±2．
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2．
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．
∴|AB|＝
＝＝＝2．
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝．
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3,2)．
答案：(3,2)
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为．
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．
答案：
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p，所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝．
答案：
9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．
10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2．
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋．
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4．
层级二 应试能力达标
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．
2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有两条
C．有无穷多条 D．不存在
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．1或－1
C．2 D．3
解析：选C 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．则由＝4，得k＝2．故选C．
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A． B．
C． D．2
解析：选D 由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
由
?
∵·＝0，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0．
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0．④
由①②③④解得k＝2．故选D项．
5．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；若抛物线C上一点A到其准线的距离与到原点距离相等，则A点到x轴的距离为________．
解析：∵抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，∴＝1，即p＝2.∵点A到其准线的距离与到原点距离|OA|相等，且点A到准线的距离等于|AF|，∴|OA|＝|AF|，∴A点的横坐标为，∴y＝4×＝2，解得|yA|＝，即A到x轴的距离为.
答案：2
6．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛物线方程为________．
解析：设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
联立得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则Δ＝(4－a)2－16>0，得a>8或a<0．
设直线与抛物线的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝
＝＝，
解得a＝12或a＝－4．
所以抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x．
答案：y2＝12x或y2＝－4x
7．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于 时，求实数k的值．
解：(1)证明：由消去x，得ky2＋y－k＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知k≠0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－1．
由A，B在抛物线y2＝－x上，可知y＝－x1，y＝－x2，则yy＝x1x2．
因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
所以OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N．
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON|·|y2|＝|ON||y1－y2|，
所以S△OAB＝×1×
＝ ＝．
解得k＝±．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝．
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋．
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2．
所以C的方程为y2＝4x．
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，
所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3．
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0．
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|
＝·
＝．
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝．
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2·1·c·n·j·y
1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.
2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选C 由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
3．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A.或 B.或2
C.或2 D.或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝.
4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1―→·PF2―→的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B 设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴PF1―→＝(－2－x0，－y0)，PF2―→＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6，∴PF1―→·PF2―→＝x＋y－4＝6＋1－4＝3.21教育网
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.
综上，k的取值范围是[－1,1]．
6．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B.
7．已知|AB―→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP―→＝OA―→＋OB―→，则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为|AB―→|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
8．(四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5＋rcos θ，rsin θ)
则
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条．
当直线l的斜率存在时，
可得2rsin θ(y1－y2)＝4(x1－x2)
?kAB＝＝.
又∵kMC＝＝.
∴kAB＝－＝－.
∴＝－?r＝>2.
由于M在抛物线的内部，∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4×(－2)＝12.
∴|rsin θ|<2.∴|rsin θ|＝r·＝<2?r2<16?0因此2二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
9．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：＋＝1
10．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则a＝________.F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝________.
解析：双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
答案：2 7
11．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，
设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
答案：
12．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，则F的坐标为________．若|FA|＝2|FB|，则k＝________.
解析：抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝，又因为k>0，所以k＝.
答案：(2,0)
13．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________，抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为________．www-2-1-cnjy-com
解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x0≥0)，则有|QF|＝x0＋的最小值是＝1，则p＝2.横坐标为3的点到准线的距离为3＋＝4.
答案：2 4
14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.则双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为________，若渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为____________．
解析：由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝± b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4× b× b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：y＝±x ＋＝1
15．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝.
∵m∈[－2，－1]，
∴≤e≤.
答案：，
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，
∴6＝2p×.∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，
∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
17．(本小题满分15分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．21*教*育*名*师
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去x得ky2－2y＋4＝0.
∵直线l与抛物线相交，
∴解得k<且k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝.
∵OM⊥ON，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
∴直线l的方程为y＝－x＋2.
18．(本小题满分15分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解：(1)由消去y，并整理得
9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3 ≤m≤3 .
故所求实数m的取值范围为[－3 ，3 ]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝ ·
＝· ，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
19．(本小题满分15分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.21·cn·jy·com
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0.
依题意
解得
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)假若存在这样的k值，
由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则·＝－1.
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0.
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.
20．(本小题满分15分)已知椭圆＋y2＝1(a>1)，
(1)若椭圆的上顶点A(0,1)到焦点的距离为，求椭圆的离心率．
(2)Rt△ABC以A(0,1)为直角顶点，边AB，AC分别与椭圆交于点B，C.若△ABC面积的最大值为，求a的值．
解：(1)∵A(0,1)到焦点的距离为，
∴a＝，c＝＝，e＝＝＝.
(2)不妨设直线AB斜率k>0，则AB：y＝kx＋1，AC：y＝－x＋1
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
解得xB＝－，
同理xC＝，
则|AB|＝＝，
同理可得，|AC|＝.
S＝|AB||AC|＝2a4×
＝2a4×，
令k＋＝t≥2，
则S＝2a4×＝≤，
当且仅当t＝≥2，即a≥1＋时取等号(a≤1－舍去)．
由＝，
解得a＝3，或a＝(舍去)．
∴a＝3.
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