课件13张PPT。21.3 实际问题与一元二次方程设计者：张海英21情景问题1.如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（墙的长度不限），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别是多少米？解：设篱笆的宽为xm,则长为（35-2x）m，
根据题意，得：x(35-2x)=150
解得：x1=10, x2=7.5
当x=10时，（35-2x）=15；
当x=7.5时，（35-2x）=20
答：篱笆的长和宽分别是10米、15米；或者分别是7.5米、20米。2.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?解:设篱笆的一边长xm，
根据题意，可得方程：x(18-x)=81
解得：x1=x2=9
答：篱笆的长和宽都是9米。探究3：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?分析:
封面的长宽之比为 ，中央矩形的长宽之比也应是_______ ，由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是 .
设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为 cm，宽为_____________cm．
9:79:79:7(27-18x)(21-14x)解法一:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm，
根据题意得：解方程得整理，得方程的哪个根合乎实际意义？为什么？x2更合乎实际意义，如果取x1约等于2.799，那么上边宽为9×2.799＝25.191.上、下边衬的宽均为___________cm，
左、右边衬的宽均为___________cm.约为1.809约为1.407解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，
根据题意得 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540平方米.运用规律 解决问题解:(1)如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.所以图(1)中道路的宽为1米.（2）分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、 如图，设道路的宽为x米，32x 平方米20x平方米注意：这两个面积的重叠部分是 x2平方米所以正确的方程是：其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.答：所求道路的宽为2米。解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）如图，设路宽为x米，则草坪的长为（32-x）米，草坪的宽为（20-x）米，
根据题意得：
（32-x）（20-x)=540
解得：x1=50,x2=2
x=50不符合题意，舍去
所以，道路的宽是2米。
变式练习1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.2、要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框便的宽度是多少？（精确到0.1cm） 课堂小结与反思我学会了……通过这节课的学习：
我学会了：……
使我感触最深的是：……
我还感到疑惑的是：……
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程(第3课时)
学习目标
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
2.能根据几何图形的周长、面积,通过建立一元二次方程来解决问题,会检验所得结果是否合理.
3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程进行描述.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:如图,是长方形养鸡场的平面示意图,一边靠墙(墙的长度不限),另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形养鸡场的长、宽分别是多少米?
问题2:如图,用长为18 m的篱笆,两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81 m2,应该怎么设计?21cnjy.com
二、信息交流,揭示规律
前面我们知道了用一元二次方程这个数学模型来解决实际问题,比如“传染问题”“增长率问题”,通过前面的两个小题,我们还知道,几何图形的面积问题也可以用建立一元二次方程的方式来解决,下面我们一起来进行探究活动:21教育网
探究:要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?21世纪教育网版权所有
1.学生小组讨论分析过程:封面的长宽之比为 ,中央矩形的长宽之比也应是 ,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也是 .?
设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,则中央矩形的长为 cm,宽为 cm.?www.21-cn-jy.com
2.尝试写出解题过程.
3.学生思考:方程的哪个根符合实际意义?为什么?
4.小组讨论:如果换一种设未知数的方法,是否可以更简单地解决上面的问题?请你试一试.
三、运用规律,解决问题
问题:某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少时,使图(1)(2)的草坪面积为540平方米.
注意:我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路).
图(2)解法二:设路宽为x米,则草坪的长为 米,草坪的宽为 米,根据题意得 .?
四、变式训练,深化提高
1.用20 cm长的铁丝能否折成面积为30 cm2的矩形?若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.【来源：21·世纪·教育·网】
2.要为一幅长29 cm,宽22 cm的照片配一个镜框,要求镜框的四边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度是多少?(精确到0.1 cm)www-2-1-cnjy-com
五、反思小结,观点提炼
通过本节课的学习:
我学会了……
使我感触最深的是……
我还感到疑惑的是……
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:解:设篱笆的宽为x m,则长为(35-2x) m,
根据题意,可得方程:x(35-2x)=150,
解得:x1=10,x2=7.5.
当x=10时,(35-2x)=15;当x=7.5时,(35-2x)=20.
答:篱笆的长和宽分别是10米,15米或分别是7.5米,20米.
问题2:解:设篱笆的一边长x m,
根据题意,可得方程:x(18-x)=81,
解得:x1=x2=9.
答:篱笆的长和宽都是9米.
二、信息交流,揭示规律
1.9∶7 9∶7 9∶7 (27-18x) (21-14x)
2.解:设上、下边衬的宽均为9x cm,左、右边衬的宽均为7x cm,
根据题意列方程得:(27-18x)(21-14x)=×27×21,
整理得:16x2-48x+9=0,
解方程得:x=.
x1=≈2.799,x2=≈0.201.
3.x2更合乎实际意义,如果取x1≈2.799,那么上边宽为9×2.799=25.191,不符合实际意义.21·cn·jy·com
所以上下边衬的宽度约为9×0.201=1.809 cm.
左右边衬的宽度约为7×0.201=1.407 cm.
4.解法二:设正中央的矩形两边分别为9x cm,7x cm,
根据题意得9x·7x=×27×21,
解得x1=,x2=-(不合题意,舍去).
故上、下边衬的宽度为==≈1.809(cm).21·世纪*教育网
左、右边衬的宽度为==≈1.407(cm).2·1·c·n·j·y
三、运用规律,解决问题
解:(1)如图(1),设道路的宽为x米,则
(32-2x)(20-2x)=540,
解得:x1=25,x2=1,
其中x=25不符合实际意义,舍去.
所以图(1)道路的宽为1米.
(2)方法一:设道路的宽为x米,则
32×20-(32x+20x-x2)=540,
解得:x1=50,x2=2,
其中x=50不符合实际意义,舍去.
所以图(2)道路的宽为2米.
图(2)方法二:设路宽为x米,则草坪的长为(32-x)米,草坪的宽为(20-x)米,
根据题意得:(32-x)(20-x)=540,
解得:x1=50,x2=2,
其中x=50不符合实际意义,舍去.
所以图(2)道路的宽为2米.
四、变式训练,深化提高
1.解:设这个矩形的长为x cm,则宽为(-x) cm,则x(-x)=30,
即x2-10x+30=0,
这里a=1,b=-10,c=30,
所以b2-4ac=-20<0,
此方程无解.
所以用20 cm长的铁丝不能折成面积为30 cm2的矩形.
2.解:设镜框边的宽度是x cm,根据题意得:
(29+2x)(22+2x)=29×22,
解得:x1≈1.5,x2≈-27.0(不合题意,舍去).
所以镜框的宽度大约是1.5 cm.
