2018年数学同步优化指导（北师大版选修4-5）课件：2章整合提升

课件27张PPT。第一章　不等关系与基本不等式本章整合提升[考情分析]
由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依据，因此，柯西不等式的考查常出现在用综合法证明含有幂、根式的和、积、商的不等式中．高考中一般在选考题中考查．专题一　利用柯西不等式证明不等式
[高考冲浪]
1．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.
证明：由柯西不等式，得
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64.
所以ac＋bd≤8.
2．(2014·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.
(1)解：因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时等号成立，所以函数f(x)的最小值
等于3，即a＝3.
(2)证明：由(1)，知p＋q＋r＝3.
因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p·1＋q·1＋r·1)2＝(p＋q＋r)2＝9.
所以p2＋q2＋r2≥3.[考情分析]
柯西不等式是除平均值不等式之外求解含多个变量式子的最值的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．高考中一般在选考题中考查．专题二　利用柯西不等式求函数的最值
2．(湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________.
解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥
(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.故a2＋4b2＋9c2≥12.从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12[考情分析]
排序不等式是用综合法证明与字母顺序有关的不等式的重要依据，因而成为证明不等式的一种重要工具．高考中对排序不等式不做要求．专题三　利用排序不等式证明不等式解析：不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2.
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a
＝ab(a＋b)．答案：≤2．设a，b，c为某一个三角形的三条边，a≥b≥c，求证：
(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)；
(2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.
证明：(1)用比较法证明如下．
c(a＋b－c)－b(c＋a－b)
＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2
＝b2－c2＋ac－ab
＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)
＝(b＋c－a)(b－c)．
因为b≥c，b＋c－a≥0，
所以c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0，
即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．
同理可证b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．
综上，c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．
(2)由题设及(1)，知
a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．
由逆序和≤乱序和，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)
≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)
＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)， ①
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)
≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)
＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋cb(b－c)． ②
将①和②相加再除以2，得
a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.[考情分析]
数学归纳法一般用于解决与正整数n(n∈N＋)有关的等式、不等式以及大小比较、探索性等问题，常与数列交汇命题．高考中一般在解答题中的某一问中考查．专题四　数学归纳法的应用
2．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．