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第2课时 矩形的判定
基础题
知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形
1．下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2，若要使 ABCD为矩形，则OB的长应该为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，要使 ABCD是矩形，则应添加的条件是___________________(添加一个条件即可)．
4．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．
知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形
5．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )21·世纪*教育网
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
6．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是____________．
7．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是____________．www-2-1-cnjy-com
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．
9．已知：如图，在 ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．21世纪教育网
中档题
10．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：
甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)．www.21-cn-jy.com
乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)．2·1·c·n·j·y
图1 图2
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
11．已知 ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，使 ABCD是矩形的条件的序号是____________．21*cnjy*com
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB为____________度时，四边形ABFE为矩形．【21cnj*y.co*m】
13．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.【21教育名师】
(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是____________，并证明；
(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
综合题
14．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.21教育网
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
参考答案
1．C 2.C 3.答案不唯一，如：∠ABC＝90°或AC＝BD
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.又∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC.∴AO＝BO＝CO＝DO.∴AO＋CO＝BO＋DO，即AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．2-1-c-n-j-y
5．C 6.矩形 7.矩形
8．证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝180°－∠BAD＝90°.又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，且∠B＝90°.∴四边形ABCD是矩形．【21教育】
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°.∵AF，DF平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAE＝∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°.∴∠AFD＝90°.同理：∠BHC＝∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是矩形．21·cn·jy·com
10．A 11.①③④ 12.60
13．(1)EH＝FH 证明：∵点H是BC的中点，∴BH＝CH.在△BEH和△CFH中，∴△BEH≌△CFH(SAS)．(2)连接BF，CE.当BH＝EH时，四边形BFCE是矩形．理由：∵BH＝CH，EH＝FH，∴四边形BFCE是平行四边形．又∵BH＝EH，∴BC＝EF.∴平行四边形BFCE为矩形．21cnjy.com
14．(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理：OC＝OE.∴OE＝OF.(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°.∴EF＝＝＝13.∴OC＝EF＝.(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形．理由：由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时，有OA＝OC，∴四边形AECF为平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形．【21·世纪·教育·网】
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矩形的性质与判定
（第3课时）
数学北师大版 九年级上
思考：上两节课我们学习了矩形的哪些性质及判定？
性质定理：
1.矩形的四个角都是直角；
2.矩形的对角线相等.
判定方法；
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
一、复习回顾
二、例题讲解
例3.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.
例4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.
想一想
在例4中，连接DE，交AC于点F（如图），
（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
1.直角三角形两直角边长分别为 6 cm 和 8 cm，则斜边上的中线长为 ______cm，斜边上的高为______cm.
2.矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5cm，则对角线的长为 .
5
4.8
10cm
三、课堂练习
3.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1B
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于( )
A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．24 cm
B
5.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．
75
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（ ）
C
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为 ．
8.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：(1)证△AMD≌△CMN得AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD＝AN.
(2)若∠AMD＝2∠MCD，
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：
∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，∴ ADCN是矩形.
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数学北师大版 九年级上
矩形的性质与判定
（第2课时）
一、复习回顾
一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形.
矩形
平行四边形
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的对边平行且相等.
矩形的四个角都是直角.
边
对角线
角
矩形的定义
矩形的性质
下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
二、新课引入
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形
二、新课引入
问题：
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想：
三、新课讲解
如图，在□ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
□ABCD是矩形.
已知:
求证:
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
A
B
C
D
三、新课讲解
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC.
又∵BC=CB，AC=DB,
∴△ABC ≌△DCB.
∴∠ABC =∠DCB.
∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB= ×180°=90°.
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.
三、新课讲解
A
B
C
D
定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
( 对角线相等的平行四边形是矩形)
三、新课讲解
李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边” ，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：
你能证明上述结论吗？
有三个角是直角的四边形是矩形.
三、新课讲解
定理 有三个角是直角的四边形是矩形.
证明:
∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
例2 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
D
B
C
A
∴四边形ABCD是矩形.
三、新课讲解
D
B
C
A
定理2:有三个角是直角的四边形是矩形.
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
(有三个角是直角的四边形是矩形)
三、新课讲解
例2 如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
又∵ △ABO是等边三角形，
∴ OA=OB=AB=4
∴ OA=OB=OC=OD=4.
∴ AC=BD=2OA=2×4=8.
∴ □ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴ ∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2+BC2=AC2,
∴ BC=
三、新课讲解
∴ S□ABCD=AB·BC = 4×4 =16 .
1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ）
A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
四、课堂练习
2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：∵四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（矩形的定义）.
四、课堂练习
五、课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.
矩形的判定
定义
定理
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数学北师大版 九年级上
矩形的性质与判定
（第1课时）
一、新课引入
观察这些特殊的平行四边形，他们有什么共同特征呢？
你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
A
B
C
D
矩形是特殊的平行四边形
矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.
归纳
菱形集合
平行四边形集合
矩形集合
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？
1、矩形的对边平行且相等；
2、矩形的对角相等；
3、矩形的对角线相互平分。
矩形还具有哪些特殊的性质呢？
二、实践猜想
做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.
（1）矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性：
.
对称中心： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
中心对称图形；
两条对角线的交点
活动探究：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,
发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
观察猜想：矩形性质
矩形
边
角
对角线
四个角都是90°
对角线相等
对边平行且相等
两条对角线互相平分
对角相等、邻角互补
A
B
C
D
O
证明矩形性质
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC=90°
求证1：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
求证2：AC=BD
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
矩形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
定理1 矩形的四个角都是直角.
定理2 矩形的对角线相等.
∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）
∵四边形ABCD是矩形
∴ AC=BD（矩形的对角线相等）
A
B
C
D
O
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
A
B
C
D
O
典例精析
已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.
证明：在Rt△ABC中,BE= AC.
A
B
C
D
E
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
BE= DE= BD,AE=CE= AC (矩形对角线相互平分),
∴BE= AC.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
定理
三、直角三角形斜边上的中线上的性质
例2：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝2/1BC，DG＝2/1BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．
1. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行.
B．对角线相等.
C．对角线互相平分.
D．两组对角分别相等.
巩固 训练
B
2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知∠AOB=60° , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ）
A.2条 B.4条 C.5条 D.6条
D
A
B
C
D
O
60°
3.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为__________.
20
4.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= (4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
平行四边形
1.矩形是轴对称图形和中心对称图形
2.矩形四个角都是直角
3.矩形的对角线相等且相互平分
矩形
性质
有一个角是直角
转换
直角三角形
等腰三角形
小结
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1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
基础题
知识点1 矩形的定义
1．已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，则四边形ABCD为____________．
知识点2 矩形的性质
2．下列命题是假命题的是( )
A．矩形的对角线相等
B．矩形的对边相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形的对角线互相垂直
3．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是( )
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD21·cn·jy·com
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．
8．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF.
知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝____________cm.
10．如图所示，一根长a m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离____________(填“发生”或“不发生”)变化．21世纪教育网
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB＝OA＝2 cm，则AD的长为____________．
中档题
12．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为( )21教育网
A．14 B．16 C．17 D．182·1·c·n·j·y
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为( )21*cnjy*com
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8【21cnj*y.co*m】
14．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为____________．
15．如图，在矩形ABCD中，＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·ED＝，则矩形ABCD的面积为____________．【21教育名师】
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.21·世纪*教育网
综合题
18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG.【21教育】
(1)求证：△BFH≌△DEG；
(2)连接DF，若BF＝DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．
参考答案
1．矩形 2.D 3.C 4.D 5.A 6.C
7．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°.∴△AOB是等边三角形．∴AO＝AB＝4.∴AC＝2AO＝8.21cnjy.com
8．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF＝BE.又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE＝BF.www.21-cn-jy.com
9．5 10.不发生 11.2 cm 12.D 13.C 14.5 15.5
16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB(AAS)．∴DF＝AB.∴DF＝DC.【21·世纪·教育·网】
17．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC.∴OD＝OC.∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO.在△ODE与△OCF中，∴△ODE≌△OCF(SAS)．∴OE＝OF.www-2-1-cnjy-com
18．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD.∴∠FBH＝∠EDG.∵AE＝CF，∴BF＝DE.∵EG∥FH，∴∠OHF＝∠OGE.∴∠BHF＝∠DGE.在△BFH和△DEG中，∴△BFH≌△DEG(AAS)．(2)四边形EGFH是菱形．理由如下：连接DF，由(1)得△BFH≌△DEG，∴FH＝EG.又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．∵BF＝DF，OB＝OD，∴EF⊥BD.∴EF⊥GH.∴四边形EGFH是菱形．2-1-c-n-j-y
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第3课时 矩形的性质与判定的运用
基础题
知识点 矩形的性质与判定的运用
1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝( )
A．8 B．10 C．12 D．18
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD21·cn·jy·com
3．下列说法正确的是( )
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的四条边相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是( )
A．AC⊥BD B．AC＝BD
C．BO＝DO D．AO＝CO
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是( )21世纪教育网
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5www.21-cn-jy.com
6．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝，则OE＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4【21·世纪·教育·网】
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝____________.
8．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面____________(填“合格”或“不合格”)．21cnjy.com
9．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝2∶1，求∠BDE的度数．
10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．21·世纪*教育网
中档题
11．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有( )2-1-c-n-j-y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个www-2-1-cnjy-com
12．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为____________．【21cnj*y.co*m】
13．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快____________s后，四边形ABPQ成为矩形．
14．如图，在 ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.【21教育名师】
(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
综合题
15．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．【21教育】
(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；
(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，求CM的长度；若有变化，求CM的变化范围．
参考答案
1．C 2.D 3.A 4.A 5.A 6.A 7.25° 8.合格
9．在矩形ABCD中，∠ADC＝90°.∵∠ADE∶∠EDC＝2∶1，∴∠ADE＝60°，∠EDC＝30°.又∵DE⊥AC，∴∠DCE＝90°－30°＝60°.根据矩形的性质可得OC＝OD，∴∠DOC＝180°－2∠DCE＝180°－2×60°＝60°，∴∠BDE＝90°－∠DOC＝30°.21教育网
10．证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝DC.∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AC，BE＝AD.又∵AD＝DC，∴DC＝BE.∴四边形BECD是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BECD是矩形．2·1·c·n·j·y
11．A 12.15° 13.4
14．(1)证明：∵∠BPQ＝∠BPC＋∠CPQ＝∠A＋∠AQP，又∵∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A.∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝∠A＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°.在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)．∴DQ＝PQ.设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x.在Rt△APQ中，AQ2＋AP2＝PQ2.∴x2＋22＝(6－x)2.解得x＝.∴AQ的长是.21*cnjy*com
15．(1)四边形PECF是矩形．理由：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2＋BC2＝32＋42＝52＝AB2.∴∠ACB＝90°.∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠ACB＝∠CFP＝90°.∴四边形PECF是矩形．(2)CM的长度会改变．理由：连接PM，由(1)证得四边形PECF是矩形，∴EF＝PC，CM＝CP.过点C作CD⊥AB，当CD＝PC时PC最小，∴PC＝＝＝2.4.∵点P在斜边AB上(不与A、B重合)，∴PC＜BC＝4.∴PC的范围是2.4≤PC＜4，即EF的范围是2.4≤EF＜4.∴CM的范围是1.2≤CM＜2.21*教*育*名*师
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