课件16张PPT。课件20张PPT。3．1.1 数系的扩充和复数的概念
预习课本P102～103，思考并完成下列问题
(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？
(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？
1．复数的有关概念
我们把集合C＝中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．
全体复数所成的集合C叫做复数集．
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
对于复数z＝a＋bi，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
[点睛] 复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.21世纪教育网
3．复数的分类
对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：
复数z
[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．(1＋)i的实部与虚部分别是( )
A．1， B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
答案：C
3．复数z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有( )
A．m＝±1 B．m＝－1
C．m＝1 D．m≠1
答案：B
复数的概念及分类
[典例] 实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？www-2-1-cnjy-com
[解] (1)当x满足
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足
即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足
即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
复数分类的关键
(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)时应先转化形式．2-1-c-n-j-y
(2)注意分清复数分类中的条件
设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0.④z＝0?a＝0，且b＝0. 21*cnjy*com
[活学活用]
当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？
解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，
∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．
(2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．
(3)当m满足
即m＝0时，z为纯虚数.
复数相等
[典例] 已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________．【21教育名师】
[解析] 设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且2－＋3m＝0，
所以m＝.
[答案] －
[一题多变]
1．[变条件]若将本例中的方程改为：x2＋mx＋2xi＝－1－mi如何求解？
解：设实根为x0，代入方程，由复数相等定义，得
解得或
因此，当m＝－2时，原方程的实根为x＝1，当m＝2时，原方程的实根为x＝－1.
2．[变条件]若将本例中的方程改为：3x2－x－1＝(10－x－2x2)i，如何求解？
解：设方程实根为x0，则原方程可变为3x－x0－1＝(10－x0－2x)i，由复数相等定义，得：【21教育】
解得或
因此，当m＝11时，原方程的实根为x＝2；
当m＝－时，原方程的实根为x＝－.
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．21*教*育*名*师
(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．
层级一 学业水平达标
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析：选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 由题意知解得a＝－4.
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )21-cnjy*com
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.21·cn·jy·com
4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等定义得
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.
6．下列命题中：①若a∈R，则ai为纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③两个虚数不能比较大小；④x＋yi的实部、虚部分别为x，y.其中正确命题的序号是________．【21cnj*y.co*m】
解析：①当a＝0时，0i＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y.
答案：③
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
?
答案：2 ±2
9．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋log2(3－m)i，m∈R，如果z是纯虚数，求m的值．
解：由题意得解得m＝－1.
10．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数．
解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i，
即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
∴
解得
即x＝－，y＝4i.层级二 应试能力达标
1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
解析：选C 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.21教育网
2．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为( )www.21-cn-jy.com
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析：选B 由题意知∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )2·1·c·n·j·y
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋isin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )【21·世纪·教育·网】
A．kπ(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
解析：选D 由复数相等的定义可知，
∴cos θ＝，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．21·世纪*教育网
解析：∵z1＞z2，∴
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则x＝________，y＝________.
解析：(x－i)i＝xi＋1＝y＋2i，则x＝2，且y＝1.
答案：2 1
7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
得
得x＝－1，y＝2.
8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，求实数a，b的值．21cnjy.com
解：依题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i.②
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
3．1.2 复数的几何意义
预习课本P104～105，思考并完成下列问题
(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？
1．复平面
2．复数的几何意义
.
3．复数的模
(1)定义：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
[点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．www.21-cn-jy.com
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
答案：A
3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是( )
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
答案：B
4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.
答案：
复数与点的对应关系
[典例] 求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：【21教育名师】
(1)在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的x轴上方．
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则
解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
则
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
[一题多变]
1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±.
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．21教育网
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 【21教育】
复数的模
[典例] (1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝( )
A．1＋2i B．－1－2i
C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i
(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] (1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，
由|z|＝得 ＝，
解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
(2)因为|z1|＝ ，|z2|＝＝，
所以＜，即a2＋4＜5，所以a2＜1，
即－1＜a＜1.
[答案] (1)D (2)B
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．21·世纪*教育网
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．
[活学活用]
1．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－，)
解析：选D 因为|z|＜2，所以＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜.
2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，∴|z1|＝＝10，
|z2|＝ ＝.∵10>，∴|z1|>|z2|.
复数与复平面内向量的关系
[典例] 向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
[解析] 因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，所以＝(5, －4)，所以＝(－5， 4) ，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数是0.21世纪教育网
[答案] C
(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．21*教*育*名*师
(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1. 21-cnjy*com
[活学活用]
在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2－，，
Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量OZ2，OZ4分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：|z1|＝＝；
|z2|＝ ＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
层级一 学业水平达标
1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
解析：选A e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
2．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．
3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )
A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,5)
解析：选B |z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．
4．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为? ?
A.1－2i B.－1＋2i
C.3＋4i D.－3－4i
解析：选D 由题意知＝(2,1)， (－1，－3)＝＋＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，
∴CA对应的复数为－3－4i.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
解析：选B |z|＝＝＝＝2|cos|.∵π＜α＜2π，∴＜＜π，cos＜0，于是|z|＝－2cos.www-2-1-cnjy-com
6．在复平面内，O为坐标原点，向量OA―→对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB―→对应的复数为________．2-1-c-n-j-y
解析：复数－2－i对应点A(－2，－1)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(1,2)，
∴―→对应的复数为1＋2i.
答案：1＋2i
7．过原点和－i对应点的直线的倾斜角是________．
解析：∵－i在复平面上的对应点是(，－1)，
∴tan α＝＝－(0≤α＜π)，∴α＝.
答案：
8．若复数z满足zi＝1－i，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.
由复数相等的充要条件得即
∴z＝－1－i.
答案：－1－i
9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，
又|－1＋i|＝，由|z－1|＝|－1＋i|，
得 ＝，解得a＝±1，∴z＝±i.
10．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
解：(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，
解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，
∴ 解得m＝0.
(3)∵z所对应的点在第四象限，
∴ 解得－3＜m＜0.
故m的取值范围为(－3,0)．
层级二 应试能力达标
1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在( )2·1·c·n·j·y
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B.
2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0 D．a＝2或a＝0
解析：选D ∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.
3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( )21cnjy.com
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A ∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴
解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
4．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )【21·世纪·教育·网】
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
解析：选D 设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得， ∴ 或
故选D.
5．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝________，复数z的共轭复数＝________.21*cnjy*com
解析：∵＝，且a＞0，∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i.
答案：1 1＋i
6．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
解析：由模的计算公式得 ＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
答案：(x－2)2＋y2＝8
7．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．【21cnj*y.co*m】
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知
∴ ①
∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4.
将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4.
∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．
8．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
解：(1)|z1|＝ ＝2，
|z2|＝ ＝1，∴|z1|＞|z2|.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．21·cn·jy·com
课件20张PPT。课件25张PPT。3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
预习课本P107～108，思考并完成下列问题
(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？
(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？
1．复数的加、减法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数加法运算律
设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
3．复数加、减法的几何意义
设复数z1，z2对应的向量为，，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的21教育网
复数，z1－z2是连接向量与的终点并指向的向量所对应的复数．
[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数与向量一一对应．( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )
(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
答案：B
3．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
答案：D
4．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA―→和OB―→，其中O为坐标原点，则|AB―→|等于( )21·世纪*教育网
A. B．2
C. D．4
答案：B
复数代数形式的加、减运算
[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.21*教*育*名*师
[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，【21教育名师】
所以解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝.
[答案] (1)－2－i (2)
复数代数形式的加、减法运算技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．
[活学活用]
已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.
答案：3
复数加减运算的几何意义
[典例] 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)AO―→表示的复数；
(2)对角线CA―→表示的复数；
(3)对角线OB―→表示的复数．
[解] (1)因为AO―→＝－OA―→，所以AO―→表示的复数为－3－2i.
(2)因为CA―→＝OA―→－OC―→，所以对角线CA―→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.21*cnjy*com
(3)因为对角线OB―→＝OA―→＋OC―→，所以对角线OB―→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的．
(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．
[活学活用]
复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量BA―→对应的复数为1＋2i，向量BC―→对应的复数为3－i，求点C对应的复数．
解：∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i.
∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又∵＝＋，
∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
复数模的最值问题
[典例] (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[解析] (1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.
所以|z＋i＋1|min＝1.
[答案] A
(2)解：如图所示，||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
[一题多变]
1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.21·cn·jy·com
2．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z－|2＋|z－2i|2的最大值和最小值．
解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA＝，zB＝2i对应点A，B相连，得向量，，再以，为邻边作平行四边形．
P为圆面上任一点，zP＝z，
则2||2＋2||2＝||2＋(2| |)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，
所以|z－|2＋|z－2i|2
＝.
而max＝|O′M|＋1＝1＋，
min＝|O′M|－1＝－1.
所以|z－|2＋|z－2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.
层级一 学业水平达标
1．已知z＝11－20i，则1－2i－z等于( )
A．z－1 B．z＋1
C．－10＋18i D．10－18i
解析：选C 1－2i－z＝1－2i－(11－20i)＝－10＋18i.
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
解析：选B z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
3．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．【21·世纪·教育·网】
4．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
解析：选D z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.21世纪教育网
5．设向量OP―→，PQ―→，OQ―→对应的复数分别为z1，z2，z3，那么( )
A．z1＋z2＋z3＝0 B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0 D．z1＋z2－z3＝0
解析：选D ∵OP―→＋PQ―→＝OQ―→，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.
6．(2016·绍兴高三检测)已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝__________，y＝__________.www.21-cn-jy.com
解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i
∴解得
答案：6 11
7．在复平面内，AB―→对应的复数是2＋i，CB―→ 对应的复数是－1－3i.则CA―→对应的复数为________．2·1·c·n·j·y
解析：∵BA―→对应复数－2－i，CB―→对应复数－1－3i，
∴CA―→对应复数－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
答案：－3－4i
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.www-2-1-cnjy-com
解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，
由复数相等的条件知
解得∴a＋b＝3.
答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i＝1 008－1 009i.2-1-c-n-j-y
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
解析：选C 由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为.
2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量Z1Z2―→对应的复数为( )21cnjy.com
A．3＋4i B．5－2i
C．－2＋6i D．2－6i
解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.
3．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )【21cnj*y.co*m】
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．【21教育】
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )21-cnjy*com
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，故对应的复数为4－2i，故选D.
5．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝________.
解析：三个复数对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，根据三点共线，可得a＝5.
答案：5
6．已知z＝m＋3＋(2m＋1)i(－2≤m≤1)，则|z|的最大值是________．
解析：|z|＝＝，
∵－2≤m≤1，∴m＝1时，|z|max＝5.
答案：5
7．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
(3)求△ABC的面积．
解：(1) 对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
8．设z＝a＋bi(a，b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sin θ－icos θ，求z的值和|z－ω|的取值范围．
解：∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，∴6a＋2bi＝3＋i，
∴∴∴z＝＋i，
∴z－ω＝－(sin θ－icos θ)
＝＋i
∴|z－ω|＝
＝
＝ ＝ ，
∵－1≤sin≤1，
∴0≤2－2sin≤4，∴0≤|z－ω|≤2，
故所求得z＝＋i，|z－ω|的取值范围是[0,2]．
3．2.2 复数代数形式的乘除运算
预习课本P109～111，思考并完成下列问题
(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？
(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？
1．复数代数形式的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则
(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.
(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.
4．复数代数形式的除法法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)．
[点睛] 在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( )
(2)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．(北京高考)复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
答案：A
3．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋4i
答案：A
4．复数＝________.
答案：－i
复数代数形式的乘法运算
[典例] (1)已知i是虚数单位，若复数(1＋ai)(2＋i)是纯虚数，则实数a等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
[解析] (1)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.21·世纪*教育网
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，
所以z的实部是5.
[答案] (1)A (2)5
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开．
(2)再将i2换成－1.
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
(3)(1±i)2＝±2i.
[活学活用]
1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为( )
A．2 B．－2i
C．－4 D．2i
解析：选D 由xi－y＝－1＋i得x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，所以a－1＝0，a＋1＝b，即a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.21世纪教育网
答案：1＋2i
复数代数形式的除法运算
[典例] (1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
(2)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ D.
[解析] (1)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
(2)＝＝＋i，由是纯虚数，则＝0，≠0，所以a＝2.
[答案] (1)A (2)A
1．两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[活学活用]
1．(天津高考)i是虚数单位，计算的结果为________．
解析：＝＝＝－i.
答案：－i
2．计算：＝________.
解析：法一：＝＝
＝－2＋i.
法二：＝
＝＝
＝＝－2＋i.
答案：－2＋i
i的乘方的周期性及应用
[典例] (1)(湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.
[解析] (1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
(2)法一：原式＝＝＝＝0.
法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，
∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)，
∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，
＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0.
[答案] (1)A (2)0
虚数单位i的周期性
(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
(2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．
[活学活用]
计算·2·3·…·10＝______.
解析：∵＝i，∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
答案：－i
复数综合应用
[典例] 设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，求|z|的值及z的实部的取值范围．
[解] 因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.此时ω＝2x.
因为－1＜ω＜2，所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
[一题多变]
1．[变设问]若本例中条件不变，设u＝，证明u为纯虚数．
证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由典例解析知，x2＋y2＝1，
∴u＝＝＝
＝＝－i.
因为x∈，y≠0，所以≠0，
所以u为纯虚数．
2．[变设问]若本例条件不变，求ω－2的最小值．
解：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由典例解析知x2＋y2＝1.
则ω－2＝2x－2＝2x＋2
＝2x＋＝2x＋
＝2x－1＋＝2(x＋1)＋－3.
因为－＜x＜1，
所以1＋x＞0.
于是ω－2＝2(x＋1)＋－3≥
2－3＝1.
当且仅当2(x＋1)＝，
即x＝0时等号成立．
所以ω－2的最小值为1，此时z＝±i.
复数运算的综合问题解决方法
在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在一起，要解决此类问题常将复数设为x＋yi(x，y∈R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决．
层级一 学业水平达标
1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
解析：选D (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
2．(全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
解析：选C z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.
3．(广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
解析：选A ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )
A．－1 024 B．1 024
C．0 D．512
解析：选C (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.21教育网
5．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且＝3＋i，则a＝( )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
解析：选D ＝＝＋i＝3＋i，
所以解得a＝4，故选D.
6．在复平面内，复数z＝i(1＋3i)对应的点位于第________象限．
解析：∵z＝i(1＋3i)＝i＋3i2＝－3＋i，
∴复数z对应的点为(－3,1)，在第二象限．
答案：二
7．设i为虚数单位，则＋＋＋＝________.
解析：＋＋＋＝－i－1＋i＋1＝0.
答案：0
8．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
解析：∵a，b∈R，且＝1－bi，
则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
∴∴
∴|a＋bi|＝|2－i|＝＝.
答案：
9．计算：＋.
解：因为＝
＝
＝i－1，＝＝＝－i，
所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.
10．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
层级二 应试能力达标
1．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B
C．C D．D
解析：选B 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a＜0，b＞0，则z的共轭复数为a－bi，其中a＜0，－b＜0，故应为B点．21cnjy.com
2．设a是实数，且∈R，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选B 因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有所以a＝1.21·cn·jy·com
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
解析：选B ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，∴＝|1－ai|＝＝2，解得a＝或a＝－(舍)．2·1·c·n·j·y
4．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．i D．2i
解析：选D 原式＝＋＝＋＝＋i＝＋i＝＋i＝2i.
5．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：＝＝＝
＝，
∵为纯虚数，∴∴a＝.
答案：
6．i是虚数单位，则4＝________.
解析：4＝2＝2＝1.
答案：1
7．设复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：由z2＋＜0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝
＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m∈R且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋
＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴
∴m＝4，∴a＝4i.
8．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．【21·世纪·教育·网】
解：z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4，①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限，
∴a＜0，b＜0.
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1.
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)www-2-1-cnjy-com
1．i是虚数单位，复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
解析：选B ＝＝＝2－i.
2．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选A ＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i，故选A.
3．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.www.21-cn-jy.com
4．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则等于( )
A．－1－2i B．－2＋i
C．－1＋2i D．1＋2i
解析：选C 由题意可得＝
＝＝－1＋2i，故选C.
5．已知复数z＝－＋i，则＋|z|＝( )
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
解析：选D 因为z＝－＋i，所以＋|z|＝－－i＋ ＝－i.
6．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为( )
A. B．－
C.i D．－i
解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i2 016＝i4＝1.∴z＝＝＋i，∴＝－i，∴的虚部为－.故选B.2-1-c-n-j-y
7．设z的共轭复数为，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．1 B．－i
C．±1 D．±i
解析：选D 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由条件可得解得因此或所以＝＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＝i，所以＝±i.21*cnjy*com
8．已知复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的向量的模为，则的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3，所以点(x，y)在以C(2,0)为圆心，以为半径的圆上，如图，由平面几何知识－≤≤.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解析：由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.【21cnj*y.co*m】
答案：－2
10．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________＝________.
解析：复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21，＝21－20i.
答案：21 21－20i
11．若a为实数，＝－i，则a＝________，2＋ai在第________象限．
解析：＝－i，可得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，所以a＝－，2＋ai＝2－i在第四象限．【21教育名师】
答案：－ 四
12．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则a＝______，＝________.
解析：∵z＝a－2＋3i(a∈R)是纯虚数，∴a＝2，
∴＝＝＝－i.
答案：2 －i
13．已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的实部是________，|z|＝________.
解析：∵z＝＝2＋i，∴z的实部是2.
|z|＝|2＋i|＝.
答案：2
14．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
解析：∵|a＋bi|＝＝，
∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.
答案：3
15．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i.【21教育】
答案：4i
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？21*教*育*名*师
(1)z是实数.
(2)z是纯虚数．
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2＞0，解得m＝－1或m＝－2，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，
求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)＞0，且m2＋3m＋2＞0，解得m＜－2或m＞3，故当m＜－2或m＞3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．21-cnjy*com
17．(本小题满分15分)已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，
∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i.
由复数相等，解得
解得
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
18．(本小题满分15分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解：(1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2)由条件，得＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
19．(本小题满分15分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋＜0，
∴
又x2＋y2＝1. ③
由①②③得
∴z＝－±i.
20．(本小题满分15分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.
