1．1.1&1.1.2 变化率问题 导数的概念
预习课本P2～6，思考并完成下列问题
(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)平均变化率的几何意义：
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示．21教育网
[点睛] Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．2·1·c·n·j·y
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
定义式
＝
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢
[点睛] “Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
＝
记法
f′(x0)或y′|x＝x0
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
答案：A
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )【21·世纪·教育·网】
A．4 B．4x
C．4.2 D．4.02
答案：C
4．在f′(x0)＝ 中，Δx不可能为( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案：C
求函数的平均变化率
[典例] 求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近的平均变化率最大？21·世纪*教育网
[解] 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx；
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，
k3＝6＋＝，
由于k1＜k2＜k3，
故在x＝3附近的平均变化率最大．
求平均变化率的步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.
(3)求平均变化率＝.
[活学活用]
求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＝
＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为
3×12＋3×1×＋2＝.
求瞬时速度
[典例] 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解] (1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
＝＝3－Δt，li ＝li (3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为3.
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，
∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝ (－1－Δt)＝－1，
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
[活学活用]
一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )21cnjy.com
A．2 B．1
C. D.
解析：选A ∵＝＝Δt＋2，
∴ ＝ ＝2，故选A.
求函数在某点处的导数
[典例] (1)函数y＝在x＝1处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，
①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；
②求t1＝4时的导数．
[解析] (1)Δy＝－1，
＝＝，
li ＝，所以y′|x＝1＝.
答案：(1)
(2)解：①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，＝48.120 1.21·cn·jy·com
② ＝ [3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，
故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，
即y′|t1＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求极限 .
2．瞬时变化率的变形形式
＝
＝
＝
＝f′(x0)．
[活学活用]
求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解：因为Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，所以＝＝1＋.
当Δx→0时，→2，
所以函数y＝x－在x＝1处的导数为2.
层级一 学业水平达标
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．直线
解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率 ＝ ＝0，所以f(x)的图象为一条直线．
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
解析：选A ＝＝＝2.1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )www.21-cn-jy.com
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴ ＝ (18＋3Δt)＝18，故应选B.21*cnjy*com
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
解析：选C f′(0)＝
＝li ＝ (Δx－3)＝－3.故选C.
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
＝ ＝a，∴a＝2.
答案：2
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．【21cnj*y.co*m】
解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知kOA＜kAB＜kBC.
答案：1＜2＜3
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
解析：∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
答案：
9．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．21世纪教育网
解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，www-2-1-cnjy-com
∴在t＝2时，瞬时速度为 ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴ ＝
＝＝.
∴f′(4)＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝li (Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )【21教育名师】
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析：选C ＝＝＝＝2Δx＋4.
2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
解析：选B 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．2-1-c-n-j-y
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1，
∴选B.
4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
解析：选D f′(x)＝ ＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
5．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t. 又∵＝2，∴t＝－2.
答案：－2
6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当 (7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.
答案：
7．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，∴ ＝ ＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800 m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
解：(1)
＝－m ＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝
＝ －
＝4 －5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．
课件22张PPT。课件17张PPT。第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
预习课本P12～14，思考并完成下列问题
(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？21cnjy.com
(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？
1．几种常用函数的导数
函数
导数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
[点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明
(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．21·世纪*教育网
(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
原函数
导函数
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若y＝，则y′＝×2＝1.( )
(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( )
(3)f(x)＝，则f′(x)＝－.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0 B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2 D．若y＝x，则y′＝x
答案：D
3．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
答案：C
4．函数y＝在点处切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
答案：B
利用导数公式求函数导数
[典例] 求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.
(4)y′＝(3x)′＝3xln 3.
(5)y′＝(log5x)′＝.
求简单函数的导函数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝lg x；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解：(1)y′＝(lg x)′＝′＝.
(2)y′＝′＝xln ＝－xln 2.
(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.
(4)y′＝′＝＝－.
利用导数公式求切线方程
[典例] 已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．
[解] ∵y＝，∴y′＝－.
(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.21教育网
所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，
则可设过该点的切线的切点为A，
那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－.
则切线方程为y－＝－(x－a)．①
将Q(1,0)代入方程：0－＝－(1－a)．
将得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
[活学活用]
当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．
解：设切点为A(x0，x＋k)．∵y′＝2x，∴
∴故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为.
导数的简单综合应用
[典例] (1)质点的运动方程是S＝sin t，则质点在t＝时的速度为________；质点运动的加速度为________．21·cn·jy·com
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．www-2-1-cnjy-com
[解析] (1)v(t)＝S′(t)＝cos t，
∴v＝cos ＝.
即质点在t＝时的速度为.
∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)
＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t.
答案： －sin t
(2)解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.2-1-c-n-j-y
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．【21cnj*y.co*m】
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析． 【21教育名师】
[活学活用]
曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选C 可求得y′＝x－，即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成三角形面积为××＝.
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．若f(x)＝sin α－cos x(α是常数)，则f′(α)＝( )
A．sin α B．cos α
C．－sin α D．－cos α
解析：选A f′(x)＝(sin α－cos x)′＝sin′α－cos′x＝sin x，
∴f′(α)＝sin α.
3．已知f(x)＝－3x，则f′(2)＝( )
A．10 B．－5x
C．5 D．－10
解析：选D ∵f′(x)＝－5x，∴f′(2)＝－5×2×＝－10，故选D.
4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A 若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.
5. 曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1 B．－
C. D.
解析：选C ∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
6．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln x)′＝，∴y′|x＝e＝.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
答案： x－ey＝0
7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.21世纪教育网
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．【21教育】
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．21*教*育*名*师
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为：
y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵s′＝t－.∴当t＝4时，
s′＝·＝ .
2．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C ∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
3．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
解析：选D 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn. 令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.21*cnjy*com
5．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0.
答案：2x－y－1－ln 2＝0
6．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．2·1·c·n·j·y
解析：∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.【21·世纪·教育·网】
答案：4
7．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P的坐标为(x0，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
8．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，
得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
课件21张PPT。0αxα－1cos x－sin xaxln aex 第二课时 导数的运算法则
预习课本P15～18，思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
1．导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
③′＝(g(x)≠0)．
[点睛] 应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．
(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
2．复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义：①一般形式是y＝f(g(x))．
②可分解为y＝f(u)与u＝g(x)，其中u称为中间变量．
(2)求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为：yx′＝yu′·ux′.21cnjy.com
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．( )
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
答案：B
3．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
答案：－xsin x
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案：1
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.
[解] (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′
＝2x＋.
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．
(3)y′＝′＝
＝＝－.
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′＝
＝＝.
复合函数的导数运算
[典例] 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝esin(ax＋b)；
(3)y＝sin2；(4)y＝5log2(2x＋1)．
[解] (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝－(1－2x2) (－4x)＝2x(1－2x2) .
(2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝eu·cos v·a
＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．
(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，
则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2
＝4sin vcos v＝2sin 2v＝2sin.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log2u)′·(2x＋1)′
＝＝.
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－2)2； (2)y＝ln(6x＋4)；
(3)y＝e2x＋1； (4)y＝；
(5)y＝sin；(6)y＝cos2x.
解：(1)y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝18x－12；
(2)y′＝·(6x＋4)′＝；
(3)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1；
(4)y′＝·(2x－1)′＝ .
(5)y′＝cos·′＝3cos.
(6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.
与切线有关的综合问题
[典例] (1)函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)，
①求f(1)＋f′(1)．
②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
[解析] (1)由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin＝－1.21世纪教育网
答案：－1
(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，21·cn·jy·com
即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，
即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．www.21-cn-jy.com
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用． 2·1·c·n·j·y
[活学活用]
若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a的值为( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1 B.
C．－1 D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.【21·世纪·教育·网】
3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.www-2-1-cnjy-com
4. 已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
5．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.21·世纪*教育网
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.2-1-c-n-j-y
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝；
(3)y＝；(4)y＝cos x·sin 3x.
解：(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sin x·(sin x)′＝sin2x＋xsin 2x.
(2)y′＝
＝ .
(3)y′＝
＝
＝.
(4)y′＝(cos x·sin 3x)′
＝(cos x)′sin 3x＋cos x(sin 3x)′
＝－sin xsin 3x＋3cos xcos 3x
＝3cos xcos 3x－sin xsin 3x.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．21*cnjy*com
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
层级二 应试能力达标
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e
C．2 D．1
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2，故选C.【21cnj*y.co*m】
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( )【21教育名师】
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
4．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )
A．(－1,2) B．(1，－3)
C．(1,0) D．(1,5)
解析：选C 设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以f′(x0)＝4x－1＝3，即x0＝1，把x0＝1代入函数f(x)＝x4－x得y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．
5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，
则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，
解之得a＝ln 2.
答案：ln 2
6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．21教育网
解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
答案：2－1
7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.
解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.
所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.
(2)因为f(0)＝－1＜0，
fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
因为x≥0，n≥2.
所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，
所以fn(x)在内单调递增，
因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.
由于fn(x)＝－1，
所以0＝fn(an)＝－1，
由此可得an＝＋a＞，
故＜an＜.
所以0＜an－＝a＜×n＋1＝.
课件22张PPT。课件25张PPT。课件25张PPT。课件26张PPT。1．3.1 函数的单调性与导数
预习课本P22～26，思考并完成下列问题
(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？
(2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？
(3)怎样求函数的单调区间？
1．函数的单调性与其导数正负的关系
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．【21·世纪·教育·网】
[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．21*教*育*名*师
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案：D
3．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
答案：A
4. 函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．
答案：上升
判断或讨论函数的单调性
[典例] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
[解] 由题设知a≠0.
f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)<0，
∴f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)>0，
∴f(x)在区间上是增函数．
当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.
∴f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)>0.
∴f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.
∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
利用导数证明或判断函数单调性的思路
[活学活用]
判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
解：∵y′＝(ax3－1)′＝3ax2.
①当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
②当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
③当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
求函数的单调区间
[典例] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解] (1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)＞0，则(x＋)(x－)＞0，
∴x＞，或x＜－.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，则(x＋)(x－)＜0，
∴－＜x＜，且x≠0.
∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f′(x)；
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
④根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 21教育网
[活学活用]
1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )
A．b2－4ac＞0 B．b＞0，c＞0
C．b＝0，c＞0 D．b2－3ac＜0
解析：选D ∵a＞0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＞0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac＜0，
∴b2－3ac＜0.
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.21·cn·jy·com
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.
∴a＋b＝1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴2a＋b＝5.②
解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.
(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3＝(3x－1)(x＋3)，
令f′(x)>0，可得x<－3或x>；
令f′(x)<0，可得－3
∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，，
单调减区间为.
利用导数求参数的取值范围
[典例] 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．21世纪教育网
[解] [法一 直接法]
f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，2·1·c·n·j·y
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]．
[法二 数形结合法]
如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
∵在(1,4)内f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
∴另一根在[4,6]上．
∴
即∴5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7]
[法三 转化为不等式的恒成立问题]
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．
即a(x－1)≥x2－1在(1, 4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.21*cnjy*com
故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．【21cnj*y.co*m】
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
[活学活用]
若f(x)＝(x∈R)在区间[－1,1]上是增函数，则a∈________.
解析：f′(x)＝2·，
∵f(x)在[－1,1]上是增函数，
∴f′(x)＝2·≥0.
∵(x2＋2)2＞0，
∴x2－ax－2≤0对x∈[－1,1]恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
则
即
∴－1≤a≤1.
即a的取值范围是[－1,1]．
答案：[－1,1]
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
解析：选B B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．
2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2，故选D.【21教育】
4.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，排除A，B.当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，排除D，故选C.
5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：选A y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
8．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是 .
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞3；
又令f′(x)＜0，解得－1＜x＜3.
所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数．
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．21cnjy.com
解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，
令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.
∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.
由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为.
层级二 应试能力达标
1.已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)C．f(3)解析：选A 在(0，＋∞)内，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )www-2-1-cnjy-com
解析：选C 由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.【21教育名师】
3．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
解析：选A y′＝xcos x，当－π＜x＜－时，cos x＜0，∴y′＝xcos x＞0，当0＜x＜时，cos x＞0，∴y′＝xcos x＞0.21-cnjy*com
4．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2 016)>e2 016f(0)
B．f(2)e2 016f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2 016)解析：选C ∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2 016)5．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则实数b的取值范围为________________．
解析：若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意知，b＜－1或b＞2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．
解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，
∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，
g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
7．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)；单调减区间为(－1,0)．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
①若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
②当a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)＜0，即f(x)＜0，不符合题意，
综上得a的取值范围为(－∞，1]．
8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．21·世纪*教育网
(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．
但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，
即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，
即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．
即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
1．3.2 函数的极值与导数
预习课本P26～29，思考并完成下列问题
(1)函数极值点、极值的定义是什么？
(2)函数取得极值的必要条件是什么？
(3)求可导函数极值的步骤有哪些？
1．函数极值的概念
(1)函数的极大值
一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．
(2)函数的极小值
一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．2·1·c·n·j·y
[点睛] 如何理解函数极值的概念
(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．
(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．
(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
(5)单调函数一定没有极值．
2．求函数y＝f(x)极值的方法
一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0. 当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
[点睛] 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．【21·世纪·教育·网】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( )
(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
(3)函数f(x)＝有极值．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，其中在x＝0处取得极小值的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
答案：B
3．已知函数y＝|x2－1|，则( )
A．y无极小值，且无极大值
B．y有极小值－1，但无极大值
C．y有极小值0，极大值1
D．y有极小值0，极大值－1
答案：C
4. 函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为( )
A．0 B.
C. D.
答案：B
运用导数解决函数的极值问题
题点一：知图判断函数的极值
1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值
解析：选C 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.
题点二：已知函数求极值
2．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
解：函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2·e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值0
?
极大值4e－2
?
因此当x＝0时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.
题点三 已知函数的极值求参数
3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( )【21cnj*y.co*m】
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．(－1,0)
解析：选D 若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；【21教育名师】
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，∴选D.
4．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
无极值
?
极小值
?
由表可知：
又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.
(2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
1．求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．21·cn·jy·com
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性． 21*cnjy*com
函数极值的综合应用
[典例] 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．21*教*育*名*师
[解] 因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．
[一题多变]
1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4”在x＝处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围．
解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′＝0，
可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，
则f′(x)＝－3x2＋4x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
－4
?
－
?
作出函数f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.
2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．21教育网
(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
层级一 学业水平达标
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选B 由y′＝2x＋x·2xln 2＝0，得x＝－.
2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )www-2-1-cnjy-com
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )21·世纪*教育网
A.，0 B．0，
C．－，0 D．0，－
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.
6．函数y＝的极大值为________，极小值为_______．
解析：y′＝，令y′＞0得－1＜x＜1，令y′＜0得x＞1或x＜－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.
答案：1 －1
7．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图，观察图象得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．
答案：(－2,2)
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减↘
2(1－ln 2＋a)
单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln 2处取得极小值．
极小值为f(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
层级二 应试能力达标
1．下列函数中，x＝0是极值点的是( )
A．y＝－x3 B．y＝cos2x
C．y＝tan x－x D．y＝
解析：选B y＝cos2x＝，y′＝－sin 2x，x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，∴x＝0是函数的极大值点．21cnjy.com
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.www.21-cn-jy.com
3．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(2)＝－4，故①②错误，③④正确．2-1-c-n-j-y
4．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，x∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )21-cnjy*com
A. B.
C. D.
解析：选B f′(x)＝2exsin x，令f′(x)＝0得sin x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1答案：[1,5)
7．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解：由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
则(*)
(1)当a＝3时，由(*)式得
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a＞0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．21世纪教育网
由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，
∴解得1≤a≤9.
即a的取值范围是[1,9]．
8．已知f(x)＝2ln(x＋a)－x2－x在x＝0处取得极值．
(1)求实数a的值．
(2)若关于x的方程f(x)＋b＝0的区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－2x－1，当x＝0时，f(x)取得极值，
所以f′(0)＝0，解得a＝2，检验知a＝2符合题意．
(2)令g(x)＝f(x)＋b＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x＞－2)．
g(x)，g′(x)在(－2，＋∞)上的变化状态如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
2ln 2＋b
?
由上表可知函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，
只需
即
所以－2ln 2＜b≤2－2ln 3.
故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．
1．3.3 函数的最大(小)值与导数
预习课本P29～31，思考并完成下列问题
(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？
(2)函数的最值与极值有什么关系？
(3)求函数最值的方法和步骤是什么？
1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
[点睛] 对函数最值的三点说明
(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a,_b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[点睛] 函数极值与最值的关系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x)( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
答案：B
3．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
答案：1
4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．
答案：(－4，－2)
求函数的极值
[典例] 求函数f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5在区间[－2，＋∞)上的最值．
[解] f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，
得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
57
?
－
?
由于当x＞时，f′(x)＞0，
所以f(x)在上为增函数．
因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．
求函数最值的四个步骤
第一步求函数的定义域．
第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
第四步求极值、端点值，确定最值．
[活学活用]
函数y＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B y′＝1－2sin x，令y′＝0，得sin x＝，
∵x∈，∴x＝. 由y′>0得sin x<，
∴0≤x<；由y′<0得sin x>，∴∴原函数在上单调递增，在上单调递减．当x＝0时，y＝2，当x＝时，y＝，当x＝时，y＝＋，∵＋>2>，∴当x＝时取最大值，故应选B.
由函数的最值求参数的取值范围
[典例] (1)函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于( )
A．3 B．1 C．2 D．－1
(2)已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2，2]上的最大值．21教育网
[解析] (1)f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，
则f(2)最大，即a＋2＝3，
所以a＝1.
答案：B
(2)解：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40.
f(0)>f(2)>f(－2)，
所以当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3.
所以当x＝0时，f(x)max＝3.
已知函数最值求参数的步骤
(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值．
(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值．
(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[活学活用]
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．显然a≠0.
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
极小值
单调递增?
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以b＝－29.
又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
f(2)>f(－1)．
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2，
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
与最值有关的恒成立问题
[典例] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
所以函数f(x)的递增区间为和(1，＋∞)；
递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，f＝＋c为极大值，21世纪教育网
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[一题多变]
1．[变设问]若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)解：由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
又f(－1)＝＋c>c－，
所以f(1)＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)所以只需c2>f(1)＝c－，即2c2－2c＋3＞0，
解得c∈R.
2．[变条件，变设问]已知函数f(x)＝x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－.
(1)求f(x)的单调递增区间．
(2)若f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；
再由f(2)＝－，得b＝4.
所以f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．
(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，
f(3)＝1，
所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.
要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，
只需m2＋m＋≥，
解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
恒成立问题向最值转化的方法
(1)要使不等式f(x)f(x)max，则上面的不等式恒成立．21·cn·jy·com
(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
层级一 学业水平达标
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0 B．小于0
C．等于1 D．不确定
解析： 选A 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8 B．1，－8
C．12，－15 D．5，－16
解析：选A y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
3．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1?(－1,1)，
∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
4．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
5．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
解析：选A 令y′＝＝＝0?x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.
∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.
∴x＝时，ymax＝－＝.
答案：
7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.www.21-cn-jy.com
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，
则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.21·世纪*教育网
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，www-2-1-cnjy-com
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
极大值
?
极小值
?
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.21cnjy.com
2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10 B．－71
C．－15 D．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.2-1-c-n-j-y
3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为( )21*cnjy*com
A．1 B.
C. D.
解析：选D 因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln x，设h(x)＝x2－ln x，则h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.
4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选B ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3.【21教育名师】
5．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．【21教育】
解析：由题意知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0(x＞1)，
∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
∴g(x)＜g(1)，
∵g(1)＝1，
∴＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，
∴a≥1.
答案：[1，＋∞)
6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解之得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
答案：－
7．已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)当a＝3时，求f(x)的零点；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值．
解：(1)当a＝3时，f(x)＝x2(x－3)，
令f(x)＝0，解得x＝0或x＝3.
(2)设此最小值为m，
而f′(x)＝3x2－2ax＝3x，x∈(1,2)，
①当a≤0时，在1＜x＜2时，f′(x)＞0，
则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以m＝f(1)＝1－a；
②当a＞0时，
在x＜0或x＞时，f′(x)＞0，
从而f(x)在区间上是增函数；
在0＜x＜时，f′(x)＜0，
从而f(x)在区间上是减函数．
ⅰ当a≥2，即a≥3时，m＝f(2)＝8－4a；
ⅱ当1＜a＜2，即＜a＜3时，m＝f＝－.
ⅲ当0＜a≤1，即0＜a≤时，m＝f(1)＝1－a.
综上所述，所求函数的最小值m＝
8．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解：函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；【21·世纪·教育·网】
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，【21cnj*y.co*m】
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；21*教*育*名*师
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；21-cnjy*com
综上所述，a的值为.
1．1.3 导数的几何意义
预习课本P6～8，思考并完成下列问题
(1)导数的几何意义是什么？
(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？
1．导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．【21教育名师】
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．2·1·c·n·j·y
2．导函数的概念
(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ .
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
(3)函数f(x)＝0没有导函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：D
4．抛物线y2＝x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．
答案：y轴 x轴
求曲线的切线方程
[典例] 已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
[解] 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝ ＝
＝[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4.
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝ .
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
[活学活用]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，
若切点为(1，－1)，则由f′(1)＝
＝
＝[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，
∴切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，
即x－y－2＝0.
若切点不是(1，－1)，设切点为(x0，y0)，
则k＝＝＝
＝x＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝
＝ ＝3x－2，
∴x＋x0－1＝3x－2，
∴2x－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－.
∴k＝x＋x0－1＝－，
∴切线方程为y－(－1)＝－(x－1)，
即5x＋4y－1＝0，故选A.
求切点坐标
[典例] 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°.
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
[解] 设切点坐标为(x0，y0)，则
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点的坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[活学活用]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．21cnjy.com
解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为y′＝ ＝3x2－2x，
则y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－，
当x0＝1时，y0＝x－x＋1＝1，
又(x0，y0)在直线y＝x＋a上，
将x0＝1，y0＝1代入得a＝0与已知条件矛盾舍去．
当x0＝－时，y0＝3－2＋1＝，
则切点坐标为，将代入直线y＝x＋a中得a＝.
答案：
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．21·cn·jy·com
2．曲线y＝在点的切线的斜率为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选D 因为y′＝ ＝
＝ ＝－.
所以曲线在点的切线斜率为k＝y′|x＝＝－4.
3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1 B. C. D．－
解析：选B ∵y′＝
＝ ＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选A ∵y′|x＝1＝ ＝
li ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
5．过正弦曲线y＝sin x上的点的切线与y＝sin x的图象的交点个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin x，
则f′＝
＝ .
当Δx→0时，cos Δx→1，
∴f′＝0.
∴曲线y＝sin x的切线方程为y＝1，且与y＝sin x的图象有无数个交点．
6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.21教育网
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，由点M在切线上得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.www.21-cn-jy.com
答案：3
7．已知曲线f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________．【21·世纪·教育·网】
解析：由，得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(x)＝ ＝ ＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0，
答案：x－2y＋1＝0
8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，
f′(x0)＝
＝ ＝2x0－3＝1，故x0＝2，
y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
答案：(2，－2)
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，21·世纪*教育网
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵＝
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.
∴当Δx→0时，→3x－4x0，
即f′(x0)＝3x－4x0，
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或(2,3)，
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
当a＝时，切点为；
a＝－5时，切点为(2,3)．
层级二 应试能力达标
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0 B．2
C．4 D．6
解析：选D Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3， ＝[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.www-2-1-cnjy-com
3．设f(x)存在导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )2-1-c-n-j-y
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选B l
＝ ＝f′(x)＝－1.
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D 由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.21*cnjy*com
5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则【21cnj*y.co*m】
＝______.
解析：由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．【21教育】
解析：由导数的定义，得f′(0)＝
＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
答案：2
7．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：联立两曲线方程，得
解得即交点坐标为(1,1)．
曲线y＝在点(1,1)处的切线的斜率为
f′(1)＝ ＝ ＝－1，
所以曲线y＝在点(1,1)的切线方程为y－1＝－1(x－1)，即y＝－x＋2.
同理，曲线y＝x2在点(1,1)处的切线的斜率为
f′(1)＝ ＝
＝ (2＋Δx)＝2.
所以曲线y＝x2在点(1,1)的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，两条切线y＝－x＋2和y＝2x－1与x轴所围成的图形如图所示．所以S＝×1×＝.故三角形的面积为.21*教*育*名*师
8．过点P(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，求切线方程．
解：设切线过抛物线上的点Q(x0，x＋x0＋1)，则y′|x＝x0＝ ＝ (2x0＋Δx＋1)＝2x0＋1，因为切线过点P(－1,0)和点Q(x0，x＋x0＋1)，其斜率满足＝2x0＋1，所以x＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2，所以点(0,1)，(－2,3)是抛物线上的点．21-cnjy*com
因此在点(0,1)的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0；在点(－2,3)的切线方程为y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0.所以所求切线方程为x－y＋1＝0和3x＋y＋3＝0.
1.4
几何中的最值问题
[典例] 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，21cnjy.com
V(x)＝(a－2x)2x,0即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点．
为此，先求V(x)的极值点．在开区间内，
V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.
解得x1＝a，x2＝a(舍去)．
x1＝a在区间内，x1可能是极值点．且
当00；
当x1因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V(x)的最大值点．
即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．
1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；21·世纪*教育网
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
2．几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
[活学活用]
1．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝，
又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，
V′(r)＝，
令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，因为V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积量大．www-2-1-cnjy-com
又r＝，∴h＝2＝.
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为.
答案：
2．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？21*cnjy*com
解：设弯成圆的一段长为x(0＜x＜100)，另一段长为100－x，记正方形与圆的面积之和为S，则S＝π2＋2(0＜x＜100)，则S′＝－(100－x)．
令S′＝0，则x＝.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x＝ cm时，面积之和最小．
故当截得弯成圆的一段长为 cm时，两种图形面积之和最小．
用料、费用最少问题
[典例] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解] (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．
[活学活用]
某工厂要围建一个面积为128 m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长、宽应分别是多少？
解：设场地宽为x m，则长为 m，
因此新墙总长度为y＝2x＋(x＞0)，
y′＝2－，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.
因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，
所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8 m，长为16 m.
即当堆料场的长为16 m，宽为8 m时，可使砌墙所用材料最省.
利润最大问题
[典例] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．【21·世纪·教育·网】
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3＜x＜6.
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增↗
极大值42
单调递减↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．2-1-c-n-j-y
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[活学活用]
工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝(c为常数，且0(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)
解：(1)当x>c时，p＝，y＝·x·3－·x·＝0；
当0∴y＝·x·3－·x·＝.
∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
y＝(c为常数，且0(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.
当0∴y′＝·＝，
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)，
∴①当00，∴y在区间(0，c]上单调递增，∴y最大值＝f(c)＝.
②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0，∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减．【21cnj*y.co*m】
∴y最大值＝f(3)＝.
综上，若0层级一 学业水平达标
1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
解析：选D 设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
则S(x)＝×2×＋×2×＝，∴S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，
当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，
∴当x＝6时，S(x)最小．
∴S＝＝2(cm2)．
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
解析：选D 由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B．2
C. D.V
解析：选C 设底面边长为x，则高为h＝，
∴S表＝3××x＋2×x2＝＋x2，
∴S表′＝－＋x，
令S表′＝0，得x＝.
经检验知，当x＝时，S表取得最小值．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R B．2R
C.R D.R
解析：选C 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当00；当6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
答案：45.6
7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．21世纪教育网
解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝.
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，
y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，
y取最大值．
答案：25
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N*)．21·cn·jy·com
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．
因为次品率p＝，当每天生产x件时，
有x·件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x·
＝25·(x∈N*)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
当0层级二 应试能力达标
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．2πr2 B．πr2
C．4πr2 D.πr2
解析：选A 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π. 令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·＝4π·r·r＝2πr2.
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为( )
A．80元 B．85元
C．90元 D．95元
解析：选B 设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D．以上都不对
解析：选B 设矩形的宽为x，则长为2，
则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00，当R所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，2·1·c·n·j·y
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
答案：20
6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大．
解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)
＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)，
V′＝(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2
7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，
则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4，
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？
(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？
解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时，要耗油
×＝11.95(升)．
(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，
×＝22.5，
∴a＝，
设h(x)＝x2＋－，
则当h(x)最小时，a取最大值，
h′(x)＝x－＝，
令h′(x)＝0?x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，
故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，
当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
a＝＝200.
故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
解析：选A y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．
3．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是( )
A.
B.
C. ，
D.，
解析：选A ∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.
4．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：选A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )【21教育】
解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
6．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)A．{x|－1C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}
解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，
∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，
∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，
g(x)<0，即2f(x)7．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台 B．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：选A 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．21*教*育*名*师
8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有( )
A．af(a)＜bf(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＞bf(b) D．af(b)＞bf(a)
解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0，
∴函数x·f(x)是R上的减函数，
∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
答案：5
10．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________，f′(2)＝________.
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝，∴f′(2)＝22－2××2＋1＝.
答案：
11．函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为________，单调递减区间为________．
解析：由题意，x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) (－∞，－1)
12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．
解析：y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，
令y′＞0，得x＞或x＜－，
令y′＜0，得－＜x＜，
∴当x＝－时取得极大值a＋4，
当x＝时取得极小值a－4.
答案：a＋4 a－4
13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________.www.21-cn-jy.com
解析：y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，
由根与系数的关系得，
∴
答案：－3 －9
14．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
因为f′(x)＝1＋cos x≥0，
故f(x)在上是增函数，
∵>π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c答案：c15．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，
f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，
故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．
∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．
(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.
∵f′(x0)＝3(x－1)，
故切线的方程为y－y0＝3(x－1)(x－x0)．
注意到点A(0,16)在切线上，有16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．
化简得x＝－8，解得x0＝－2.
∴切点为M(－2，－2)，切线方程为9x－y＋16＝0.
17. (本小题满分15分)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设有即
解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，
g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
18．(本小题满分15分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解：(1)由投资额为零时收益为零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，
则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，
则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)
＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值，
S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，
他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
19．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ax2＋2ln(1－x)(a为常数)．
(1)若f(x)在x＝－1处有极值，求a的值并判断x＝－1是极大值点还是极小值点；
(2)若f(x)在[－3，－2]上是增函数，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2ax－，x∈(－∞，1)，
f′(－1)＝－2a－1＝0，
所以a＝－.
f′(x)＝－x－＝.
∵x<1，∴1－x>0，x－2<0，
因此，当x<－1时f′(x)>0，
当－1∴x＝－1是f(x)的极大值点．
(2)由题意f′(x)≥0在x∈[－3，－2]上恒成立，
即2ax－≥0在x∈[－3，－2]上恒成立
∴a≤在x∈[－3，－2]上恒成立，
∵－x2＋x＝－2＋ ∈[－12，－6]，
∴∈，
∴min＝－，a≤－.
即a的取值范围为.
20．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x＋(t＞0)和点P(1,0)，过点P作曲线y＝f(x)的两条切线PM，PN，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．21教育网
(1)求证：x1，x2为关于x的方程x2＋2tx－t＝0的两根；
(2)设|MN|＝g(t)，求函数g(t)的表达式；
(3)在(2)的条件下，若在区间[2,16]内总存在m＋1个实数a1，a2，…，am＋1(可以相同)，使得不等式g(a1)＋g(a2)＋…＋g(am)＜g(am＋1)成立，求m的最大值．
解：(1)证明：由题意可知：y1＝x1＋，y2＝x2＋
∵f′(x)＝1－，
∴切线PM的方程为：y－＝(x－x1)，
又∵切线PM过点P(1,0)，
∴0－＝(1－x1)，
即x＋2tx1－t＝0，①
同理，由切线PN也过点P(1,0)，
得x＋2tx2－t＝0.②
由①②，可得x1，x2是方程x2＋2tx－t＝0(*)的两根
(2)由(*)知
|MN|＝
＝
＝，
∴g(t)＝(t＞0)．
(3)易知g(t)在区间[2,16]上为增函数，
∴g(2)≤g(ai)≤g(16)(i＝1,2，…，m＋1)，
则m·g(2)≤g(a1)＋g(a2)＋…＋g(am)＜g(am＋1)≤g(16)．
即m·g(2)＜g(16)，
即m＜，
所以m＜ ，由于m为正整数，所以m≤6.
又当m＝6时，存在a1＝a2＝…＝a6＝2，a7＝16满足条件，所以m的最大值为6.
课件21张PPT。