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冀教版小学数学五年级下册第八单元第一课时用集合图解决问题教学设计
课题 用集合图解决问题 单元 第八单元 学科 数学 年级 五年级
学习目标 经历具体事例，经历用集合图表示并解答简单实际问题的过程。能用集合图表示问题中的数量关系，能解决一些简单的实际问题。体验用图描述事物的直观性，认识到许多实际问题可以借助画图来分析和解决。
重点 能画图表示事物中的数量关系，能解决一些特殊的数学问题。
难点 能画图表示事物中的数量关系，能解决一些特殊的数学问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 谈话导入：你知道我们班的男、女生各有多少人吗？我们班的男、女生人数和全班人数有什么关系？ 学生回答。男生人数+女生人数=全班人数 通过联系实际，调查本班人数情况，激发学习数学的兴趣，为这节课做好铺垫。
讲授新课 用集合图表示人数。出示例题1：（1）六一班有40名学生，其中女生有18名。全班人数和女生人数怎样用图表示？图中哪部分表示女生人数呢？（2）六（1）班有18名学生参加数学小组，12名学生参加合唱小组，这些学生每人只参加了一个小组。六（1）班既没有参加数学小组，也没有参加合唱小组的学生有多少名？2、小组讨论：说说你是怎样表示的。（1）图中蓝色部分表示哪部分学生？列式计算：40-18-12=10（名）3、出示例题1第3个问题。（3）在学校春季运动会上，六（1）班学生参加了两项比赛。有18名学生参加田径比赛，10名学生参加篮球比赛，其中有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛，六（1）班共有多少名学生参加比赛？（1）你了解到了哪些信息？要解决什么问题？（2）小组讨论：有8名同学既参加了田径比赛，又参加了篮球比赛是什么意思？（3）小组讨论：你能用集合图来表示参赛同学间的关系吗？你会列式解答吗？五（1）班参加比赛的学生共有：18+10-8=20（名）为什么要减去8？二、小结：怎样解决这类包含、排斥问题？三、做一做。1、如图，一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形。求这个组合图形的面积。12×6+10×6-4×4=140（平方厘米）答：这个组合图形的面积是140平方厘米。2、某班有40名同学，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，每个人只能参加一个小组。有多少人两个小组都不参加？3、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？15+17-24=8（人）答：两科都得“优”的有8人。17-（24-15）=8（人）答：两科都得“优”的有8人。15-（24-17）=8（人）答：两科都得“优”的有8人。小结。（1）在解决整体与部分之间的关系问题时，可以借助集合图来解答，使问题简单化。（2）解答重叠问题的应用题，可以借助图形找出哪些是重复的，找出解答方法。（3）第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和。 这种图表示包含关系。女生是全班同学中的一部分，全班同学中包含女生。图中绿色部分表示男生人数。 用一个长方形表示全班学生，可以画图表示上面的问题。表示既没有参加数学小组，也没有参加合唱小组的学生。 了解到的信息有： 有18名学生参加田径比赛，10名学生参加篮球比赛，其中有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛。所求的问题是：五（1）班共有多少名学生参加比赛？ 这8名同学参加了这两项比赛。 参赛同学中有的只参加了田径比赛，有的只参加了篮球比赛，还有的两项比赛都参加了。 我用两个圆分别表示参加这两项比赛的学生，两项比赛都参加的学生就是这两个圆重叠的部分。 重叠的部分表示两项比赛都参加的学生。 把两项比赛的人数相加，有8名学生是算了两次，所以要减去8。 在计算包含、排斥问题时，一般用画图的方法。 第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和。 用这两个长方形面积之和减去重叠部分的正方形的面积。 绿色部分表示两个小组都不参加的人数。 40-15-18=7（人） 答：有7人两个小组都不参加。根据“第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和”，可以求出两科都得“优”的人数。也可以先求只有数学得“优”的人数，再求两科都得“优”的人数。 或者先求只有语文得“优”的人数，再求两科都得“优”的人数。 用小组讨论的方式，让学生从讨论的过程中找到解决问题的方法，培养学生的语言表达能力、思维能力。在学生分组合作学习的方式中，学生相互交流，引发思维碰撞，进而使得不同层次学生的新知得到不断更正与整合。问题难度加深，给学生充足的时间，从题中了解信息。通过集合图的形式，帮助学生理解题意，解决问题。给学生充分发表自己意见的机会，培养学生的思维能力及表达能力。对解决这类问题进行方法总结，培养学生归纳能力及解决问题的能力。通过各种练习解决实际问题，培养学生能力。通过巩固练习，掌握新知识，培养思维能力。练习题循序渐进，难度逐渐加大，培养学生解决问题的能力。对本节课知识加以总结，加深学生印象，使学生能查漏补缺，更好地掌握本节课所学的知识点，使学生有清晰的认识。
巩固提升 1、某小学三年级四班参加美术小组的有28人，参加书法小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班参加美术和书法小组的一共有多少人？28+29-12=45（人）答：参加美术和书法小组的一共有45人。28-12+29=45（人）答：参加美术和书法小组的一共有45人。29-12+28=45（人）答：参加美术和书法小组的一共有45人。（29-12）+（28-12）+12=45（人）答：参加美术和书法小组的一共有45人。2、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条，已知焊接部分长4厘米。焊接后这根铁条有多长？38+53-4=87（厘米）答：焊接后这根铁条有87厘米。3、某年级有320人，其中参加篮球比赛的有92人，参加乒乓球比赛的有145人，参加这两项比赛的有37人。有多少人没有参加这两项比赛？92+145-37=200（人）320-200=120（人）答：有120人没有参加这两项比赛。 美术小组人数+书法小组人数-重叠部分人数=一共的人数。 也可以先求只参加美术小组的人数，再求一共的人数。 还可以先求只参加书法小组的人数，再求一共的人数。还可以先求只参加书法小组和只参加书法小组的人数，再求一共的人数。 两根铁条的长度和减去焊接部分就是焊接后铁条的长度。38+53-4=87（厘米）答：焊接后这根铁条有87厘米。先求参加比赛的总人数，再求没有参加比赛的人数。 通过巩固练习，使学生对本节课的知识掌握得更加牢固。对所学知识加以巩固练习，以便学生更牢固地掌握本课所学。拓展练习，使学生更好地掌握本课知识点。
课堂小结 这节课你学会了什么？ 对本课的知识点加以总结，使学生更能掌握本课的重点和难点。
板书教学反思 用集合图解决问题40-18-12=10（名） 18+10-8=20（名）联系生活实际，体现教学层次性。为帮助学生从具体中抽象出数学思想方法，教师注重了教学的层次性。从教学环节看：首先通过谈话引起学生兴趣，然后例题展现完整的集合图，帮助学生借助直观理解数量关系，体会用集合思想解决问题的策略。最后在练习时，通过让学生填不完整的集合图、自己尝试画图分析等，体现“给出元素—只给图填元素—没有图抽象思考”的学习层次，引导学生由直观过渡到抽象，进一步理解集合思想。从教学方法看：结合例题教学，引导学生借助直观图合作交流，自主探索——在教师指导下探索解决问题的策略——放手让学生独立思考解决问题，从而帮助学生主动参与到学习活动中来，提高解决问题的意识与能力。2、鼓励算法多样，体现思维训练过程。教学过程中教师不是要求学生去强行理解集合思想，而是鼓励学生独立思考，借助已有经验寻找解决问题的方法，逐步使学生理解利用集合思想解决问题的策略，从而在引导学生积极参与学习活动的同时，注重了对学生进行必要的思维训练，进一步提高学生的学习能力。学生在小组合作交流中想到了多种方法，这些方法是学生结合已有经验想到的解决问题的策略。
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《用集合图解决问题》练习
一．填空题。
1、五（1）班有42人订了报纸，其中有32人订了《小学生报》，27人订了《数学报》。两种报纸都订了的有（ ）人。21世纪教育网
2、一班有45人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了，这个班既没参加数学小组也没参加音乐小组的有（ ）人。
3、一个班有42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有（ ）人。2-1-c-n-j-y
4、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中有11人两个小组都参加，还有5人什么小组都没有参加。这个班有（ ）人。
二、判断题。
1、1~20自然数中是2的倍数或者是5的倍数的自然数有14个。 （ ）
2、某班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。语文数学都写完的有8人。（ ）
3、五年级图书角有图书196本，其中科技书89本，故事书67本。其余的是连环画。连环画有30本。（ ）www.21-cn-jy.com
4、五年级喜欢吃香蕉的有16人，喜欢吃苹果的有18人，既喜欢吃香蕉又喜欢吃苹果的有4人。还有10人这两种水果都不喜欢吃。五年级一共有48人。（ ）
三、选择题。
1、五年级一班有45人，每人至少参加了跳绳、长袍两项体育运动中的一项。参加跳绳运动的有28人，参加长跑运动的有30人，两项运动都参加的有（ ）人。
17 B、15 C、13 D、43
2、 学校运动场共有彩旗60面，其中红旗有25面，黄旗有20面，其余是蓝旗，蓝旗有（ ）面。 21*教*育*名*师
A、35 B、15 C、40 D、45
3、商店新进50瓶饮料，雪碧有20瓶，可乐有15瓶，剩下的是果汁，果汁有（ ）瓶。
A、 15 B、45 C、30 D、35
4、期末考试，三（2）班有17人数学得满分，有15人语文得满分，并且有5人数学、语文都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有（ ）人。21-cnjy*com
A、32 B、2 C、27 D、7
四、解决问题。
1、两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米，另一根木棍长多少厘米？【21教育】
2、五（1）班有38名学生，其中有18人参加音乐小组，有16人参加手工制作小组，这些学生每人最多只参加了一个小组，两个小组都没有参加的有多少人？
3、五（3）班学生每人家里至少有钢琴和电脑中的一种，其中家中有钢琴的有18人，有电脑的有45人，两者都有的有11人，这个班有学生多少人？21·cn·jy·com
参考答案
一．填空题。
1、答案：17
解析：五（1）班有42人订了报纸，其中有32人订了《小学生报》，27人订了《数学报》。两种报纸都订了的有多少人，订《小学生报》的人数加订《数学报》的人数+两种报纸都订了的人数=订报纸的总人数。所以求两种报纸都订了的人数列式为32+27-42=17人。
答案：15
解析：一班有45人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了，可以求出参加这两个小组的同学一共有多少人。列式为12+23-5=30，再求这个班既没参加数学小组也没参加音乐小组的有多少人，列式为45-30=15人。
答案：13
解析：一个班有42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人，列式为30+25-42=13人。21教育网
答案：36
解析：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中有11人两个小组都参加，还有5人什么小组都没有参加。求这个班有多少人。可以先求参加这两个小组的同学一共有多少人，列式为24+18-11=31人，再求这个班有多少人，用31+5=36人。21cnjy.com
二、判断题。
1、答案：×
解析：1~20自然数中是2的倍数的自然数有20÷2=10个，是5的倍数的自然数有20÷5=4个，既是2的倍数又是5的倍数的自然数有20÷10=2个，所以1~20自然数中是2的倍数或者是5的倍数的自然数有10+4-2=12个。2·1·c·n·j·y
答案：√
解析：某班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。语文数学都写完的有多少人。先求写完数学语文作业的学生有多少人，列式为48-6=42人，再求语文数学都写完的有多少人，列式为30+20-42=8人。【21·世纪·教育·网】
答案：×
解析：五年级图书角有图书196本，其中科技书89本，故事书67本。其余的是连环画。求连环画有多少本。列式为196-89-67=40本。21·世纪*教育网
4、答案：×
解析：五年级喜欢吃香蕉的有16人，喜欢吃苹果的有18人，既喜欢吃香蕉又喜欢吃苹果的有4人。还有10人这两种水果都不喜欢吃。五年级一共有多少人。先求喜欢吃苹果和香蕉这两种水果的学生有多少人，列式为16+18-4=30人，再求五年级一共有多少人，列式为30+10=40人。www-2-1-cnjy-com
三、选择题。
1、答案：C
解析五年级一班有45人，每人至少参加了跳绳、长袍两项体育运动中的一项。参加跳绳运动的有28人，参加长跑运动的有30人，两项运动都参加的有多少人，列式为28+30-45=13人。21*cnjy*com
答案：B
解析：学校运动场共有彩旗60面，其中红旗有25面，黄旗有20面，其余是蓝旗，蓝旗有多少面。列式为60-25-20=15面。 【21cnj*y.co*m】
3、答案：A
解析：商店新进50瓶饮料，雪碧有20瓶，可乐有15瓶，剩下的是果汁，果汁有多少瓶。列式为50-20-15=15瓶。【21教育名师】
4、答案：C
解析：期末考试，三（2）班有17人数学得满分，有15人语文得满分，并且有5人数学、语文都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学多少人，列式为17+15-5=27人。
四、解决问题。
1、答案：66-（48-12）=30（厘米）
答：另一根木棍长30厘米。
解析：两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米，求另一根木棍长多少厘米，第一根木棍的长度+第二根木棍的长度-重叠部分=66厘米，所以求第二根木棍的长度，列式为66-（48-12）=30厘米。
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用集合图解决问题
数学冀教版 五年级下
导入新知
你知道吗？
你知道我们班的男、女生各有多少人吗？
男生人数+女生人数=全班人数
导入新知
表示人数
（1）六一班有40名学生，其中女生有18名。
1
全班人数和女生人数怎样用图表示？
全班40名学生
女生18名
这种图表示包含关系。
导入新知
表示人数
全班40名学生
女生18名
图中哪部分表示男生人数呢？
图中绿色部分表示男生人数。
女生是全班同学中的一部分，全班同学中包含男女。
新知讲解
兴趣小组
六（1）班有18名学生参加数学小组，12名学生参加合唱小组，这些学生每人只参加了一个小组。六（1）班既没有参加数学小组，也没有参加合唱小组的学生有多少名？
2
小组讨论：说说你是怎样表示的。
全班40名学生
新知讲解
兴趣小组
用一个长方形表示全班学生，可以画图表示上面的问题。
合唱小组学生
数学小组学生
全班40名学生
新知讲解
兴趣小组
合唱小组学生
数学小组学生
图中蓝色部分表示哪部分学生？
表示既没有参加数学小组，也没有参加合唱小组的学生。
列式计算：
40-18-12=10（名）
新知讲解
比赛问题
在学校春季运动会上，六（1）班学生参加了两项比赛。有18名学生参加田径比赛，10名学生参加篮球比赛，其中有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛，六（1）班共有多少名学生参加比赛？
3
你了解到了哪些信息？要解决什么问题？
新知讲解
比赛问题
小组讨论：有8名同学既参加了田径比赛，又参加了篮球比赛是什么意思？
新知讲解
比赛问题
有8名同学既参加了田径比赛，又参加了篮球比赛是什么意思？
这8名同学参加了这两项比赛。
参赛同学中有的只参加了田径比赛，有的只参加了篮球比赛，还有的两项比赛都参加了。
新知讲解
比赛问题
小组讨论：你能用集合图来表示参赛同学间的关系吗？
新知讲解
比赛问题
我用两个圆分别表示参加这两项比赛的学生，两项比赛都参加的学生就是这两个圆重叠的部分。
参加田径比
赛的学生
参加田径比
赛的学生
田径和篮球比赛都参加的学生
8人
新知讲解
比赛问题
参加田径比
赛的学生
参加田径比
赛的学生
田径和篮球比赛都参加的学生
重叠的部分表示两项比赛都参加的学生。
你会列式解答吗？
8人
新知讲解
比赛问题
参加田径比
赛的学生
参加田径比
赛的学生
田径和篮球比赛都参加的学生
五（1）班参加比赛的学生共有：
18+10-8=20（名）
为什么要减去8？
把两项比赛的人数相加，有8名学生是算了两次，所以要减去8。
8人
新知讲解
包含、排斥问题
怎样解决这类包含、排斥问题？
在计算包含、排斥问题时，一般用画图的方法。
第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和。
新知讲解
做一做
1.如图，一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形。求这个组合图形的面积。
12×6+10×6-4×4=140（平方厘米）
用这两个长方形面积之和减去重叠部分的正方形的面积。
答：这个组合图形的面积是140平方厘米。
12
8
10
6
4
新知讲解
做一做
2.某班有40名同学，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，每个人只能参加一个小组。有多少人两个小组都不参加？
40-15-18=7（人）
绿色部分表示两个小组都不参加的人数。
答：有7人两个小组都不参加。
共40人
数学小组15人
航模小组18人
新知讲解
做一做
3.四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？
15+17-24=8（人）
根据“第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和，可以求出两科都得”优‘的人数。
答：两科都得“优”的有8人。
语文
15人
数学
17人
24人
？人
新知讲解
做一做
17-（24-15）=8（人）
也可以先求只有数学得“优”的人数，再求两科都得“优”的人数。
答：两科都得“优”的有8人。
语文
15人
数学
17人
24人
？人
新知讲解
做一做
或者先求只有语文得“优”的人数，再求两科都得“优”的人数。
答：两科都得“优”的有8人。
语文
15人
数学
17人
24人
？人
15-（24-17）=8（人）
新知讲解
用集合图解决问题
02
解答重叠问题的应用题，可以借助图形找出哪些是重复的，找出解答方法。
01
在解决整体与部分之间的关系问题时，可以借助集合图来解答，使问题简单化。
03
第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和。
巩固提升
1.某小学三年级四班参加美术小组的有28人，参加书法小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班参加美术和书法小组的一共有多少人？
答：参加美术和书法小组的一共有45人。
28+29-12=45（人）
美术
28人
？人
书法
29人
12人
美术小组人数+书法小组人数-重叠部分人数=一共的人数。
巩固提升
答：参加美术和书法小组的一共有45人。
28-12+29=45（人）
美术
28人
？人
书法
29人
12人
也可以先求只参加美术小组的人数，再求一共的人数。
巩固提升
答：参加美术和书法小组的一共有45人。
29-12+28=45（人）
美术
28人
？人
书法
29人
12人
还可以先求只参加书法小组的人数，再求一共的人数。
巩固提升
答：参加美术和书法小组的一共有45人。
（29-12）+（28-12）+12=45（人）
美术
28人
？人
书法
29人
12人
还可以先求只参加书法小组和只参加书法小组的人数，再求一共的人数。
巩固提升
2.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条，已知焊接部分长4厘米。焊接后这根铁条有多长？
答：焊接后这根铁条有87厘米。
38+53-4=87（厘米）
两根铁条的长度和减去焊接部分就是焊接后铁条的长度。
4厘米
38厘米
53厘米
？厘米
巩固提升
3.某年级有320人，其中参加篮球比赛的有92人，参加乒乓球比赛的有145人，参加这两项比赛的有37人。有多少人没有参加这两项比赛？
答：有120人没有参加这两项比赛。
92+145-37=200（人）
先求参加比赛的总人数，再求没有参加比赛的人数。
参加篮球比
赛的92人
参加乒乓球
比赛的145人
37人
320-200=120（人）
课堂小结
这节课你学会了什么？
3.第一部分+第二部分-重叠部分=两部分之和。
1.在解决整体与部分之间的关系问题时，可以借助集合图来解答，使问题简单化。
2.解答重叠问题的应用题，可以借助图形找出哪些是重复的，找出解答方法。
作业布置
完成教材91页1、2题。
板书设计
用集合图解决问题
全班40名学生
合唱小组学生
数学小组学生
田径和篮球比赛都参加的学生
参加篮球
比赛的学生
参加田径比
赛的学生
40-18-12=10（名）
18+10-8=20（名）
谢谢
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