3.1
(1)如何用不等式(组)来表示不等关系？
(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法？
(3)不等式的性质有哪几条？
1．不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．21*教*育*名*师
2．比较两个实数a，b大小的依据
文字语言
符号表示
如果a>b，那么a－b是正数；
如果a
如果a＝b，那么a－b等于0，反之亦然
a>b?a－b>0
aa＝b?a－b＝0
3.不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；
推论(同向可加性)：?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：?ac>bc；?ac推论(同向同正可乘性)：?ac>bd；
(5)正数乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0?>(n∈N*，n≥2)．
[点睛] (1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2( )
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立( )
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d( )
解析：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．www.21-cn-jy.com
(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b
解析：选C 法一：∵A、B、C、D四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．
令a＝2，b＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，
即a>－b>b>－a.
法二：∵a＋b>0，b<0，∴a>－b>0，－a∴a>－b>0>b>－a，即a>－b>b>－a.
3．设a，b是非零实数，若aA．a2C.< D.<
解析：选C 因为a0，
所以－＝>0，故>.
4．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A，B的大小关系为________．
解析：由题意得，A＝x2＋10x＋21，B＝x2＋10x＋24，所以A－B＝－3<0.
答案：A用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
工时(h)
若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满足题意的不等式组．
[解] 由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．
因为每周所用工时不超过40 h，所以x＋y＋(120－x－y)≤40，即3x＋y≤120；
又每周至少生产冰箱20台，
所以120－x－y≥20，即x＋y≤100.
所以满足题意的不等式组为
1．将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
[活学活用]
1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．21教育网
解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
答案：4.5t<28 000
2．某企业准备投资1 200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：21cnjy.com
学段
硬件建设(万元)
配备教师数
教师年薪(万元)
初中
26/班
2/班
2/人
高中
54/班
3/班
2/人
因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班，请用数学关系式表示上述的限制条件(设开设初中班x个，高中班y个)．2·1·c·n·j·y
解：根据题意，限制条件为
即
不等式的性质
[典例] (1)已知b<2a,3dA．2a－c>b－3d B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d D．2a＋3d>b＋c
(2)下列说法不正确的是( )
A．若a∈R，则(a2＋2a－1)3>(a－2)3
B．若a∈R，则(a－1)4>(a－2)4
C．若0b
D．若0[解析] (1)由于b<2a,3d(2)对于A，因为(a2＋2a－1)－(a－2)＝a2＋a＋1＝2＋>0，所以a2＋2a－1>a－2，则(a2＋2a－1)3>(a－2)3，故A选项说法正确；对于B，当a＝1时，(a－1)4＝0，(a－2)4＝1，所以(a－1)4>(a－2)4不成立；对于C和D，因为0[答案] (1)C (2)B
1．利用不等式判断正误的2种方法
(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
2．利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[活学活用]
1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
解析：选C 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.
2．若a>b>0，c.
证明：∵c－d>0.
又a>b>0，∴a－c>b－d>0，则(a－c)2>(b－d)2>0，即<.
又e<0，∴>.
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
[解] (1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x<1，∴x－1<0.又2＋>0，
∴(x－1)<0.
∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－＝＝，
因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当01．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法
(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．21·cn·jy·com
2．作商法比较大小的步骤及适用范围
(1)作商法比较大小的三个步骤．
①作商变形；
②与1比较大小；
③得出结论．
(2)作商法比较大小的适用范围．
①要比较的两个数同号；
②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．
[活学活用]
1．已知a>b>0，比较与的大小．
解：－＝＝
＝.
∵a>b>0，∴2ab>0，a－b>0，a2＋b2>0，a＋b>0，
得>0，所以>.
2．若m>2，比较mm与2m的大小．
解：因为＝m，又因为m>2，所以>1，所以m>0＝1，所以mm>2m.
用不等式性质求解取值范围
[典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24.
∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.21·世纪*教育网
1．在本例条件下，求的取值范围．
解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是.
不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．www-2-1-cnjy-com
2．已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范围．
解：∵－6＜a＜8,2＜b＜3.
∴＜＜，
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由①②得：－3＜＜4.
故的取值范围为(－3,4)．
利用不等式性质求范围，应注意减少不等式使用次数．
3．已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
解：设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝，λ2＝－.【21cnj*y.co*m】
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，
所以－≤a＋3b≤1.
故a＋3b的取值范围为.
层级一 学业水平达标
1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )【21教育】
A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400
C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400
解析：选B x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.
2．已知a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)<0
C．cb20
解析：选A 由c0，c<0，故由b>c，a>0?ab>ac，A正确；由b0，B错误；由c3．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b
C．若a＞b，c＜d，则＞
D．若a2＞b2，则－a＜－b
解析：选B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.
4．设α∈，β∈，则2α－的范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π.
5．已知M＝2x＋1，N＝，则M，N的大小关系为( )
A．M>N B．MC．M＝N D．不确定
解析：选A ∵2x>0，∴M＝2x＋1>1，而x2＋1≥1，
∴≤1，∴M>N，故选A.
6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．
解析：根据题意得：
答案：
7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
答案：＞
8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(用区间表示)．21世纪教育网
解析：∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是[3,8]．
答案：[3,8]
9．两种药片的有效成分如下表所示：
成分
药片
阿司匹林(mg)
小苏打(mg)
可待因(mg)
A(1片)
2
5
1
B(1片)
1
7
6
若要求至少提供12 mg阿司匹林，70 mg小苏打和28 mg可待因，求两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．
解：设提供A药片x片，B药片y片，由题意可得：
10．(1)若a＜b＜0，求证：＜；
(2)已知a＞b，＜，求证：ab＞0.
证明：(1)由于－＝＝，
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴＜0，故＜.
(2)∵＜，∴－＜0，
即＜0，而a＞b，∴b－a＜0，∴ab＞0.
层级二 应试能力达标
1．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选A 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，故选A.21*cnjy*com
2．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．M≥N
解析：选B ∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴－10，∴M>N，故选B.
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为( )【21教育名师】
A. B.
C. D.
解析：选C x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C.21-cnjy*com
5．已知|a|＜1，则与1－a的大小关系为________．
解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.
∴1＋a＞0,1－a＞0.
即＝
∵0＜1－a2≤1，∴≥1，∴≥1－a.
答案：≥1－a
6．给出下列四个命题：①若a>b，c>d，则a－d>b－c；②若a2x>a2y，则x>y；③a>b，则>；④若<<0，则ab解析：①由c>d得：－d>－c，同向不等式相加得：a－d>b－c；②若a2x>a2y，显然a2>0，所以x>y成立；③a>b，则>不一定成立，如a＝1，b＝－1；④若<<0，则b0，即ab答案：①②④
7．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a8．已知x，y为正实数，且1≤lg(xy)≤2,3≤lg ≤4，求lg(x4y2)的取值范围．
解：由题意，设a＝lg x，b＝lg y，
∴lg(xy)＝a＋b，lg ＝a－b，
lg(x4y2)＝4a＋2b.
设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
∴解得
又∵3≤3(a＋b)≤6,3≤a－b≤4，
∴6≤4a＋2b≤10，
∴lg(x4y2)的取值范围为[6,10]．
课件30张PPT。3.2
第一课时 一元二次不等式及其解法
(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？
(2)如何求解一元二次不等式？
(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．21*教*育*名*师
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
或x>x2}
R
Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c<0(a>0)
的解集
?
?
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R( )
解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．不等式x(2－x)＞0的解集为( )
A．{x|x＞0} B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
解析：选D 原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－1解析：选B 由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
解析：原不等式变形为3x2－5x＋4<0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，
所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.
答案：?
一元二次不等式解法
[典例] 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2＋4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
[解] (1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，
作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．
由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，【21cnj*y.co*m】
作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图所示．
由图可得原不等式的解集为
.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为?.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[活学活用]
已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
解析：选A ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}
＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}.
三个“二次”关系的应用
[典例] (1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为( )
A．14 B．－10
C．10 D．－14
(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解析] (1)由已知得，
ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0.
∴解得
∴a＋b＝－14.
[答案] D
(2)解：因为x2＋px＋q＜0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，21世纪教育网
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.www-2-1-cnjy-com
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
[活学活用]
1．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为( )
解析：选B 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.
2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知即
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，解得－所以所求不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式
[典例] 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；www.21-cn-jy.com
当a＝－1时，原不等式解集为?；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
解含参数的一元二次不等式时的注意点
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
[活学活用]
设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.
解：(1)当a＝0时， 不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－.
①当a<－时，解不等式得－②当a＝－时，不等式无解，即原不等式的解集为?；
③当－④当a>0时，解不等式得x<－或x>2，即原不等式的解集为.
层级一 学业水平达标
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为( )
A. B．{x|x>a}
C. D.
解析：选A ∵a<－1，∴a(x－a)·<0?(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选B 由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，
所以－24．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg 2}
B．{x|－1C．{x|x>－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
解析：选D f(x)<0的解集为，
所以f(x)>0的解集为，
∴0<10x<∴x5．函数y＝的定义域为( )
A．[－7,1] B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：选B 由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－76．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
解析：先把原不等式可化为x2＋3x－4<0，再把左式分解因式得(x－1)(x＋4)<0，所以不等式的解集为(－4,1)．
答案：(－4,1)
7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．
解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，∴0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，∴a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0.
解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，
方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a.
所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；
当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}．
10．若函数f(x)＝的定义域是R，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，有即所以0综上可知，实数a的取值范围是[0,2)．
层级二 应试能力达标
1．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．[－4,4]
解析：选A 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.21教育网
2．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )21·cn·jy·com
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)
C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A 由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α解析：选A ∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.
4．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}
解析：选A 因为05．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：由f(x)>x，得或解得x>5或－5答案：(－5,0)∪(5，＋∞)
6．对于实数x，当且仅当n≤x解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x答案：[2,8)
7．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．
解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，
因此所求解集为(－∞，0)∪.
(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，
由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，
因此?m＝－.
8．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为；当a>时，原不等式的解集为.
第二课时 一元二次不等式及其解法(习题课)
解简单的分式不等式
[典例] 解下列不等式：
(1)≥0；(2)>1.
[解] (1)原不等式等价于
即?－2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
(2)原不等式可化为－1>0，即<0.
等价于(3x－2)(4x－3)<0.
∴∴原不等式的解集为.
(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．
(2)分式不等式的4种形式及解题思路
①>0?f(x)g(x)>0；
②<0?f(x)g(x)<0；
③≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)＝0；
④≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)＝0.
(3)不等式与不等式组的同解关系
①f(x)g(x)≥0?或
②f(x)g(x)≤0?或
③f(x)g(x)>0?或
④f(x)g(x)<0?或
[活学活用]
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：选B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 依题意，a>0且－＝1.
>0?(ax－b)(x－2)>0?(x－2)>0，
即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.
不等式中的恒成立问题
[典例] 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．2·1·c·n·j·y
[解] 由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，【21教育名师】
则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4.【21教育】
故a的取值范围是(0,4)．
对于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．
1．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．
解：若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．
由图象可知，此时a应该满足即
解得
这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．
对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．
2．已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．
解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．
要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，
只需满足即
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，
所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．
a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值)；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值)．
(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方．
一元二次不等式的实际应用
[典例] 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
[解] (1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，得0所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为.
用一元二次不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
[活学活用]
某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．2-1-c-n-j-y
解：设花卉带的宽度为x m(0故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.
层级一 学业水平达标
1．不等式≥2的解集为( )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
解析：选B 不等式≥2，即－2≥0，即≥0，所以≤0，等价于x(x＋1)≤0且x≠0，所以－1≤x<0.
2．不等式＞0的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞或x＜－，此不等式的解集为.
3．若不等式x2＋mx＋>0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)
解析：选D ∵不等式x2＋mx＋>0，对x∈R恒成立，∴Δ<0即m2－2m<0，∴04．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0A．[15,20] B．[10,15]
C．(10,15) D．(0,10]
解析：选B 由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，
解得10≤t≤15.
5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )
A．1 B．－1
C．－3 D．3
解析：选C 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.
6．不等式≥1的解集为________．
解析：因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－4答案：
7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
答案：
8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________．
解析：根据定义得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－答案：
9．已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；
(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．
解：(1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，
∴3x2－a(5－a)x－b<0.
又f(x)>0的解集为(－1,3)，
∴∴或
(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，
即2a2－10a＋(12－b)>0.
又对任意实数a，f(2)<0恒成立，
∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，
∴b<－，∴实数b的取值范围为.
10．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：
(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；
(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；
(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．
解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，
即f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，
其中0(1)由解得2≤P≤6.
故P的范围为[2,6]．
(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，
∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额，
f(2)＝4 800(万元)．
(3)∵0g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，
∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元．
层级二 应试能力达标
1．不等式≥2的解是( )
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
解析：选D ≥2??∴x∈∪(1,3]．
2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( )
A．M∩N B．M∪N
C．?R(M∩N) D．?R(M∪N)
解析：选D <0?(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－33．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]???x<1或x>3.
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15,30] B．[12,25]
C．[10,30] D．[20,30]
解析：选C 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.
5．若函数f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.
解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
6．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．
解析：5%<<6%，
解得x的范围是(100,400)．
答案：(100,400)
7．已知不等式mx2－2x＋m－2<0.
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；
(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．
当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有
解得m<1－，
综上可知，m的取值范围是(－∞，1－)．
(2)设g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x2＋1>0，知g(m)在[－2,2]上为增函数，则只需g(2)<0即可，
即2x2＋2－2x－2<0，解得0故x的取值范围是(0,1)．
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，必须且只需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.∴a的取值范围为[－6,2]．
(2)f(x)＝x2＋ax＋3＝2＋3－.
①当－<－2，即a>4时，
f(x)min＝f(－2)＝－2a＋7，
课件24张PPT。课件15张PPT。课件23张PPT。课件23张PPT。二元一次最大值最小值线性约束条件可行解最大值最小值3.3
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
(1)二元一次不等式是如何定义的？
(2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域？
(3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域？
1．二元一次不等式
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2．二元一次不等式组
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
3．二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
4．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．www.21-cn-jy.com
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
5．二元一次不等式表示的平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
[点睛] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域( )
(2)点(1,2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内( )
(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的( )
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( )
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( )
解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x＝的右侧(不包括边界)．
(2)错误．把点(1,2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是( )
解析：选C 原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
3．在不等式2x＋y－6<0表示的平面区域内的点是( )
A．(0,7) B．(5,0)
C．(0,1) D．(2,3)
解析：选C 对于点(0,1)，代入上述不等式2×0＋0×1－6<0成立，故此点在不等式2x＋y－6<0表示的平面区域内，故选C.
4．已知点A(1,0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．
解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.
答案：
二元一次不等式(组)表示的平面区域
[典例] 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；
(2)
[解] (1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－1×0－6＝－6＜0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6＜0，因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0,0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
(2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定．
[活学活用]
若关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 如图，易知直线kx－y＋1＝0经过定点A(0,1)，又知道关于x，y的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，且k>0，所以k·＝－1，解得k＝2，故选B.21·世纪*教育网
二元一次不等式(组)表示平面区域的面积
[典例] 不等式组表示的平面区域的面积为( )
A. B.
C. D.
[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A的坐标为，点B的坐标为(－2，－2)，点C的坐标为(8，－2)，所以△ABC的面积是×[8－(－2)]×＝.21·cn·jy·com
[答案] A
求平面区域的面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
[活学活用]
不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC，
由可得A(1,1)，
又B(0,4)，C，∴S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝，故选C.
用二元一次不等式组表示实际问题
[典例] 某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2 500件，月产Q产品最多有1 200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14 000个，B零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．
[解] 设分别生产P，Q产品x件，y件，依题意则有用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．
用二元一次不等式组表示实际问题的方法
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．
(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式．
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．
[活学活用]
某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．【21cnj*y.co*m】
解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x和y，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
层级一 学业水平达标
1．设点P(x，y)，其中x，y∈N，满足x＋y≤3的点P的个数为( )
A．10 B．9
C．3 D．无数个
解析：选A 作的平面区域，
如图所示，符合要求的点P的个数为10.
2．不在3x＋2y＞3表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
解析：选A 将(0,0)代入，此时不等式3x＋2y＞3不成立，故(0,0)不在3x＋2y＞3表示的平面区域内，将(1,1)代入，此时不等式3x＋2y＞3成立，故(1,1)在3x＋2y＞3表示的平面区域内，将(0,2)代入，此时不等式3x＋2y＞3成立，故(0,2)在3x＋2y＞3表示的平面区域内，将(2,0)代入，此时不等式3x＋2y＞3成立，故(2,0)在3x＋2y＞3表示的平面区域内，故选A.2-1-c-n-j-y
3．不等式组表示的平面区域为( )
解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C表示的阴影中，故选C.
4．已知点M(2，－1)，直线l：x－2y－3＝0，则( )
A．点M与原点在直线l的同侧
B．点M与原点在直线l的异侧
C．点M与原点在直线l上
D．无法判断点M及原点与直线l的位置关系
解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M与原点在直线l的异侧，故选B.【21教育】
5．若不等式组表示的平面区域为Ⅰ，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD，而B(－2,0)，O(0,0)，C(0,1)，D，E(0,2)，△CDE为直角三角形．
∴S四边形BOCD＝×2×2－×1×＝.
6．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有________个．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线2x＋y－10＝0过点A(5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点(5,0)．
答案：1
7．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
8．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y＝a过A(0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC，当5＜a＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
9．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx－2y＋1<0表示的平面区域内，求k的取值范围．
解：点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，
由题意，得
即
解得－5≤k≤－3.
故k的取值范围是[－5，－3]．
10．已知实数x，y满足不等式组Ω：
(1)画出满足不等式组Ω的平面区域；
(2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．
解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．
(2)解方程组
得A，
解方程组
得D，
所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为
S四边形ABCD＝S△AEF－S△BCF－S△DCE＝×(2＋3)×－×(1＋2)×1－×(3－1)×＝.
层级二 应试能力达标
1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由图易知平面区域在直线2x－y＝0的右下方，在直线x＋y＝3的左下方，在直线y＝1的上方，故选B.www-2-1-cnjy-com
2．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．{0,2}
C．(0,2) D．[0,2]
解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，所以－a(2－a)<0，即a(a－2)<0，解得03．由直线x－y＋1＝0，x＋y－5＝0和x－1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意，得所围成的三角形区域在直线x－y＋1＝0的左上方，直线x＋y－5＝0的左下方，及直线x－1＝0的右侧，所以所求不等式组为
4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200，＝，x，y∈N*，故选C.
5．不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C(4,0)，B(4,2)，D(0,3)，A(2,3)，所以平面区域的面积为3×4－×2×1＝11.
答案：11
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，－m)，把直线x－2y＝2转化为斜截式y＝x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，则点C在直线x－2y＝2的右下方，因此－m<－1，解得m>，故m的取值范围是.
答案：
7．已知点M(a，b)在由不等式组表示的平面区域内，求N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积．
解：由题意，得a，b满足不等式组
设n＝a－b，m＝a＋b，则a＝，b＝，
于是有即这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB内部(含边界)，其面积为×(2＋2)×2＝4，即点N(a－b，a＋b)所在的平面区域的面积为4.
8．已知点P在|x|＋|y|≤1表示的平面区域内，点Q在表示的平面区域内．
(1)画出点P和点Q所在的平面区域；
(2)求P与Q之间的最大距离和最小距离．
解：(1)不等式|x|＋|y|≤1等价于
不等式组等价于
由此可作出点P和点Q所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD内部(含边界)，四边形EFGH内部(含边界)．
(2)由图易知|AG|(或|BG|)为所求的最大值，|ER|为所求的最小值，易求得|AG|＝＝＝5，|ER|＝|OE|＝.
3．3.2 简单的线性规划问题
(1)约束条件，目标函数，可行解，线性规划问题是如何定义的？
(2)如何求解线性目标函数的最值问题？
线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件
变量x，y满足的一组条件
线性约束条件
由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的二元一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
[点睛] (1)线性约束条件包括两点：一是变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.
(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)可行域是一个封闭的区域( )
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的( )
(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解( )
(4)线性规划问题一定存在最优解( )
解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．
(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．21教育网
(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
解析：选C 由约束条件作出可行域如图：
由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，z最小，最小值为－5，故选C.【21·世纪·教育·网】
3．已知实数x，y满足若可行域内存在点使得x＋2y－a＝0成立，则a的最大值为( )
A．－1 B．1
C．4 D．5
解析：选D 作出不等式对应的可行域如图所示，由x＋2y－a＝0可得y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，
当直线y＝－x＋经过点A时，直线y＝－x＋的截距最大，此时a最大，由解得故A(1,2)，此时a的最大值是a＝x＋2y＝1＋2×2＝5.
4．已知实数x，y满足条件则的取值范围是________．
解析：由约束条件
作出可行域如图所示 ，所以即是可行域内的点与原点连线的斜率，故可得∈[0,2]，所以＝∈.
答案：
求线性目标函数的最大(小)值
[典例] 设z＝2x＋y，变量x，y满足条件求z的最大值和最小值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．
解方程组得A点坐标为(5,2)，
解方程组得B点坐标为(1,1)，
∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3.
解线性规划问题的基本步骤
(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解．
(4)答：根据所求得的最优解得出答案．
[活学活用]
1．若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝x－t在点处取得最大值，即tmax＝2－2×＝4－a＝2，得a＝2，故选C.
2．已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝2x＋ay仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是________．
解析：作出不等式对应的平面区域如图所示，
若a＝0，则目标函数为z＝2x，即此时函数在A(3,4)时取得最大值，不满足条件．
当a≠0，由z＝2x＋ay得y＝－x＋，若a＞0，目标函数斜率－＜0，
此时平移y＝－x＋，得y＝－x＋在点A(3,4)处的截距最大，此时z取得最大值，不满足条件．
若a＜0，目标函数斜率－＞0，要使目标函数y＝－x＋仅在点A(3,4)处取得最小值，则－∴a<－2.
答案：(－∞，－2)
求非线性目标函数的最值
题点一：距离型最值
1．设x，y满足条件求u＝x2＋y2的最大值与最小值．
解：画出满足条件的可行域如图所示，x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大．取(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
题点二：斜率型最值
2．在题点一的条件下，求v＝的最大值与最小值．
解：v＝表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5,0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，
所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有：
① 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
线性规划的实际应用
[典例] 某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：21cnjy.com
产品A(件)
产品B(件)
研制成本、
搭载费用之
和(万元)
20
30
计划最大投资金额300万元
产品质量(千克)
10
5
最大搭载质
量110千克
预计收益
(万元)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
[解] 设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，约束条件为即作出可行域如图阴影部分所示，
作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解得M(9,4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
(1)解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：
①在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．
②线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．
③结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．
(2)寻找整点最优解的两个方法
①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
②调整优值法：先求出整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
[活学活用]
一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )
A．甲7件，乙3件 B．甲9件，乙2件
C．甲4件，乙5件 D．甲2件，乙6件
解析：选D 设甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为
作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－x＋，斜率为－>－，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值，故选D.
层级一 学业水平达标
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为( )
A．3 B．4 C．18 D．40
解析：选C 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.
2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )
A.z＝20x＋40y
B.z＝20x＋40y
C.z＝20x＋40y
D.z＝40x＋20y
解析：选A 由题意知A正确．
3．已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.∪[6，＋∞)
C．(－∞，3]∪[6，＋∞) D．(3,6]
解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B，A(1,6)，故的取值范围是.
4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为( )
A．2,4 B．3,3
C．4,2 D．不确定
解析：选B 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．
5．已知若z＝ax＋y的最小值是2，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z＝ax＋y的最小值为2，若a>－2，则(1,0)为最优解，所以a＝2；若a≤－2，则(3,4)为最优解，解得a＝－，舍去，故a＝2.2·1·c·n·j·y
6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．
解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n－m的最大值为3.
答案：3
7．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.
由
得A(1,2)，所以|AO|2＝5.
答案：5
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．21世纪教育网
解析：设购买铁矿石A，B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y.
由得记P(1,2)，
画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.21-cnjy*com
答案：15
9．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4故所求a的取值范围为(－4,2)．
10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
解：设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得【21教育名师】
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为x＝2，y＝1，
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
层级二 应试能力达标
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D.
解析：选A 作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.
2．已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.
3．已知实数x，y满足：z＝|2x－2y－1|，则z的取值范围是( )
A. B．[0,5]
C．[0,5) D.
解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u＝2x－2y－1，当直线2x－2y－1－u＝0经过点A(2，－1)时，u＝5，经过点B时，u＝－，21*教*育*名*师
则－≤u<5，所以z＝|u|∈[0,5)，故选C.
4．x，y满足约束条件若z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．1或－
C．2或1 D．2或－1
解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z＝y－2ax，得y＝2ax＋z.当2a＝2或2a＝－1，即a＝1或a＝－时，z＝y－2ax取得最大值的最优解不唯一，故选B.
5．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________.
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.
答案：3
6．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．
解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为
即
投资者获得的利润设为z，则有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值．
解得B(10,40)．
所以，当x＝10，y＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．
答案：10 40
7．某运输公司每天至少要运送180 t货物，公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，且有10名驾驶员．A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天花费320元，每辆B型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？
解：设每天调用A型卡车x辆，B型卡车y辆，每天花费z元．
则即目标函数z＝320x＋504y.作出可行域，如图中阴影部分所示．
当直线320x＋504y＝z经过直线4x＋5y＝30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x＋504y＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．
所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆．
8．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求的取值范围．
解：可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f(x)＝x2＋ax＋2b必满足f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，即画出可行域如图中阴影部分所示，由线性规划可知，点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM∵A(－3,1)，B(－1,0)，∴<<1，即的取值范围为.
由－2a＋7≥a，得a≤，∴a∈?.
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝3－，
由3－≥a，得－6≤a≤2.∴－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)min＝f(2)＝2a＋7，
由2a＋7≥a，得a≥－7，∴－7≤a<－4.
综上，可得a的取值范围为[－7,2].
3.4
(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
(2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？
(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．21世纪教育网
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．【21·世纪·教育·网】
(3)变形：ab≤2≤，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
[点睛] 基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则≠，即只能有＜.www-2-1-cnjy-com
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝4( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤2( )
解析：(1)错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)错误．只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．
(3)正确．因为≤，所以ab≤2.
答案：(1)× (2)× (3)√
2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D．a＞＞＞b
解析：选B a＝＞＞＞＝b，因此B项正确．
3．若x>0，则x＋＋2有( )
A．最小值6 B．最小值8
C．最大值8 D．最大值3
解析：选B 由x＋＋2≥2＋2＝8(当且仅当x＝，即x＝3时，取等号)，故选B.
4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( )
A．y＝|x|2＋≥2＝4≥0
B．y＝sin x＋≥2＝4(x为锐角)
C．已知ab≠0，＋≥2＝2
D．y＝3x＋≥2＝4
解析：选D 在A中，4不是常数，故A选项错误；在B中，sin x＝时无解，y取不到最小值4，故B选项错误；在C中，，未必为正，故C选项错误；在D中，3x，均为正，且3x＝时，y取最小值4，故D选项正确．21·世纪*教育网
利用基本不等式比较大小
[典例] (1)已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．mC．m＝n D．不确定
(2)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则P，Q，R的大小关系是________．21·cn·jy·com
[解析] (1)因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.
(2)因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，
所以Q＝(lg a＋lg b)>＝P；
Q＝(lg a＋lg b)＝lg ＋lg ＝lg 所以P[答案] (1)A (2)P利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．
(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
[活学活用]
已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．
解：因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
所以 ≥(a＋b)，
同理 ≥(b＋c), ≥(c＋a)，
所以 ＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]，
即＋＋≥(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
利用基本不等式证明不等式
[典例] 已知a，b，c均为正实数， 求证：＋＋≥3.
[证明] ∵a，b，c均为正实数，
∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)，
将上述三式相加得＋＋≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)，
即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．21cnjy.com
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．
[活学活用]
已知a，b，c为正实数， 且a＋b＋c＝1，求证：≥8.
证明：因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥.
同理，－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，
相乘得≥··＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.
利用基本不等式求最值
[典例] (1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值．
(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．
(3)已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．
[解] (1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，
即ab＝100，且a＞0，b＞0，
因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2 ＝20，
当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.
(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，
∴xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝，
当且仅当2x＝3y，
即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
(3)∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·
＝1＋＋＋9＝＋＋10，
又∵x＞0，y＞0，
∴＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．
由得
即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.
(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．2·1·c·n·j·y
(2)常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式．
(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．
[活学活用]
1．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：选C 由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6·(2a＋b)＝6≥6×(5＋4)＝54，当且仅当＝时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.
2．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 因为a>b>0，所以a－b>0，
所以a2＋＋
＝a(a－b)＋＋ab＋
≥2＋2＝4，
当且仅当a(a－b)＝且ab＝，
即a＝，b＝时等号成立.
利用基本不等式解应用题
[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：21教育网
(1)仓库面积S的最大允许值是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
[解] (1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×45y＋20xy＝3 200，【21教育名师】
由基本不等式得
3 200≥2＋20xy
＝120＋20xy，
＝120＋20S.
所以S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，
故≤10，从而S≤100，
所以S的最大允许值是100平方米，
(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，
求得x＝15，即铁栅的长是15米．
求实际问题中最值的解题4步骤
(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．
(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．www.21-cn-jy.com
(4)正确写出答案．
[活学活用]
某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．【21教育】
解：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．
层级一 学业水平达标
1．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析：选B A中，当02．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C.21-cnjy*com
3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
A.＋<1 B.＋≥1
C.＋<2 D.＋≥2
解析：选B 因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.
4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A.> B.<
C.＝ D.≤
解析：选A 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>.
5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( )
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
解析：选D 由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.
6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．
解析：∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.
答案：4
7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
解析：由题意得，y＝，
∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
答案：3
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案：
9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)∵x<3，
∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，
即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.
证明：因为a>0，b>0，c>0，
所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，
所以＋＋≥6，
当且仅当＝，＝，＝，
即a＝b＝c时，等号成立．
所以＋＋≥6.
层级二 应试能力达标
1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
解析：选A ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．21*cnjy*com
2．已知实数a，b，c满足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则＋＋的值( )
A．一定是正数 B．一定是负数
C．可能是0 D．正负不确定
解析：选B 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，所以a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，
所以＋＋＝－＋＋，
因为b<0，c<0，所以b＋c≤－2，
所以－≤，又＋≤－2，
所以－＋＋≤－2＝－<0，故选B.
3．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D 由题意，知所以＝＝＝＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
4．若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
解析：选D ＋＝＋，
设t＝>0，
∴原式＝＋＝＋＝1＋＝1＋.
∵2t＋≥2，
∴最大值为1＋＝4－2.
5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋解析：因为不等式x＋0，y>0，且＋＝1，所以x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号是成立的，所以min＝4，所以m2－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4.21*教*育*名*师
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
6．若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________．
解析：由a＋b＝1，知＋＝＝，又ab≤2＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴9ab＋10≤，∴≥.
答案：
7．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2016年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．
8．已知k>，若对任意正数x，y，不等式x＋ky≥ 恒成立，求实数k的最小值．
解：∵x>0，y>0，
∴不等式x＋ky≥恒成立等价于＋k≥恒成立．
又k>，
∴＋k≥2，
∴2≥，解得k≤－(舍去)或k≥，
∴kmin＝.
课件25张PPT。3.5
(1)什么是绝对值三角不等式？它的几何意义是什么？
(2)怎样求解形如|x|＜a型、|x|＞a型、|ax＋b|≤c型、|ax＋b|≥c型、|x－a|＋|x－b|≤c型、|x－a|＋|x－b|≥c型的不等式？
(3)怎样利用分类讨论求解含参数的绝对值不等式？
1．绝对值三角不等式
(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．
(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．21-cnjy*com
(3)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．
②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b 反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．
③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(4)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
[点睛] 绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
2．含绝对值的不等式解法
(1)形如|x|＜a型与|x|＞a型不等式的解法
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
?
?
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x≠0}
R
(2)形如|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或 ax＋b≤－c.
(3)形如|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．
③构造函数，结合函数的图象求解．
[点睛] (1)|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．21*教*育*名*师
(2)形如|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0( )
(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0( )
(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．不等式|2x＋1|＞3的解集为( )
A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2, ＋∞)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2,1)
答案：C
3．不等式|2x－1|＋|x＋1|＞2的解集为( )
A．(－∞，0)∪ B.
C．(－∞，－1)∪ D．(－∞，0)
答案：A
4．若存在实数x，使不等式|x－a|＋|x－1|≤3能成立，则实数a的取值范围是________．
答案：[－2,4]
绝对值三角不等式定理的应用
[典例] (1) 设ab＜0，a，b∈R，则下列不等式正确的是( )
A．|a＋b|＞|a－b| B．|a－b|＜|a|＋|b|
C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||
(2)以下四个命题：
①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
③若|x|＜2，|y|＞3，则＜；
④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋lg|B|)．
其中正确的命题有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
[解析] (1)法一：取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－2＜0，这样有|a＋b|＝|1－2|＝1，|a－b|＝|1－(－2)|＝3，|a|＋|b|＝1＋2＝3，||a|－|b||＝|1－2|＝1，
∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．故选C.
法二：由ab＜0得a，b异号，易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|，|a－b|＞||a|－|b||，www.21-cn-jy.com
∴选项C成立，A、B、D均不成立．故选C.
(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；
1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；
|y|＞3，∴＜.又∵|x|＜2，∴＜，③正确；
2＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg≥lg|A||B|.∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．故选A.
[答案] (1)C (2)A
应用绝对值三角不等式定理的三个注意点
(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时．
(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．
(3)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.
[活学活用]
1．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m≤n
解析：选D ∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，∴m＝≤＝1，n＝≥＝1，
∴m≤1≤n.故选D.
2．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析：法一：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，
当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5.
法二：∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.
又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，
从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，
∴|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
含绝对值的不等式的解法
[典例] (1)设x∈R，则不等式|x－3|＜1的解集为_______．
(2) 解关于x的不等式：|x－1|＋|x＋2|≥5.
[解析] (1)|x－3|＜1?－1＜x－3＜1?2＜x＜4，故不等式|x－3|＜1的解集为(2,4)．2·1·c·n·j·y
[答案] (2,4)
(2)解：[法一 不等式的几何意义法]
如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
[法二 零点分段法]
原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5?
或
或解得x≤－3或x≥2，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
[法三 构造函数法]
将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，
则f(x)＝
作出函数的图象，如图所示．
由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁；若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．
[活学活用]
解关于x的不等式：
(1)|2x－1|＋|3x＋2|＜11；
(2)|x＋3|－|2x－1|＜＋1.
解：(1)当x＞时，原不等式等价于2x－1＋3x＋2＜11，即＜x＜2；
当－≤x≤时，原不等式等价于1－2x＋3x＋2＜11，即－≤x≤；
当x＜－时，原不等式等价于1－2x－3x－2＜11，即－＜x＜－.
所以，原不等式的解集为.
(2)①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜10，∴x＜－3.
②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得x＜－，∴－3≤x＜－.
③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.
综上可知，原不等式的解集为.
利用绝对值三角不等式求最值
[典例] 已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．
[解] |a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋1≤2，
|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.21教育网
①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；
②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.
而当即a＝8，b＝－8时，|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.
求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：①借助绝对值的定义，即零点分段；②利用绝对值几何意义；③利用绝对值不等式性质定理． 21*cnjy*com
[活学活用]
1．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．
解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥
|1－x＋x＋1|＝2，
当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，
即－1≤x≤1时取等号．
∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|
取得最小值2.
2．求函数y＝|x－4|－|x＋3|的最大值和最小值．
解：法一：∵||x－4|－|x＋3||≤|x－4－(x＋3)|＝7，
∴－7≤|x－4|－|x＋3|≤7，
∴ymax＝7，ymin＝－7.
法二：把函数看作分段函数y＝|x－4|－|x＋3|＝
∴－7≤y≤7.
∴ymax＝7，ymin＝－7.
含参数的绝对值不等式问题
[典例] 已知不等式|x＋1|－|x－3|>a.
(1)若不等式有解，则实数a的取值范围为________；
(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为__________．
[解析] 因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，
即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.由绝对值的几何意义知，PA－PB的最大值为AB＝4，最小值为－AB＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.21·cn·jy·com
(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a<4.
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a<－4.
法二：由||x＋1|－|x－3||≤|x＋1－(x－3)|＝4，可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
(1)若不等式有解，则a<4.
(2)若不等式的解集为R，则a<－4.
[答案] (1)(－∞，4) (2)(－∞，－4)
不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为?的对立面(如f(x)>m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立?a[活学活用]
1．若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：＝|x|＋≥2，当且仅当|x|＝1时，min＝2.要使不等式恒成立，只要|2a－1|≤2即可，则由－2≤2a－1≤2，得－≤a≤.
答案：
2．若关于x的不等式|2＋x|＋|x－a|＜5有解，则实数a的取值范围是 _________.
解析：由题意得，关于x的不等式|2＋x|＋|x－a|＜5有解，所以|2－x|＋|x－a|的最小值小于5，而|2＋x|＋|x－a|表示数轴上的x对应点到a，－2对应点的距离之和，它的最小值为|a＋2|，所以有|a＋2|＜5，可得－7＜a＜3.
答案：(－7,3)
利用绝对值三角不等式证明不等式
[典例] (1)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
(2)已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.
[证明] (1)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，
从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.
(2)①若|a|＞|b|，左边＝＝≥＝.
∵≤，≤，∴＋≤.∴左边≥＝右边．
②若|a|<|b|，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．
③若|a|＝|b|，原不等式显然成立．
综上可知，原不等式成立．
含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
[活学活用]
若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|＜1，
求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．
层级一 学业水平达标
1．若0＜b＜a＜1，则下列结论中不正确的是( )
A．logab＞logba
B．|logab＋logba|＞2
C．(logba)2＜1
D．|logab|＋|logba|＞|logab＋logba|
解析：选D 因为0＜b＜a＜1，所以logab＞0，logba＞0，由绝对值的有关性质可得|logab＋logba|＝|logab|＋|logba|，所以应选D.
2．不等式3≤|5－2x|＜9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
解析：选D 由3≤|5－2x|＜9，得3≤5－2x＜9或－9＜5－2x≤－3，解得－2＜x≤1或4≤x＜7，故选D.
3．若关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0的解集为R，则实数m的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－∞，4]
解析：选A 令f(x)＝|x＋1|＋|x－2|，则f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3；因为关于x的不等式|x＋1|＋|x－2|＋m－7＞0的解集为R?3＋m－7＞0，解得m∈(4，＋∞)．故选A.
4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞|c|－|a| D．b＜||a|－|c||
解析：选D ∵|a－c|＜b，令a＝1，c＝2，b＝3.
则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|＜|b|＋|c|成立．
|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|＜|a|＋|b|成立．
||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b＞||c|－|a||成立．
故b＜||a|－|c||不成立．
5．若a＞0，则使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范围是( )
A．0＜a＜1 B．a＝1
C．a＞1 D．以上均不对
解析：选C 由|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，当a≤1时，|x－4|＋|x－3|＜a的解集为?，故使不等式|x－4|＋|x－3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值范围是a＞1，故选C.【21教育名师】
6．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
解析：∵|a|≤3，|b|≤2，∴－3≤a≤3，－2≤b≤2，
∴－5≤a＋b≤5，故0≤|a＋b|≤5.
答案：5 0
7．不等式|2x－1|－x＜1的解集是________．
解析：原不等式等价于|2x－1|＜x＋1?－x－1＜2x－1＜x＋1??0＜x＜2.
答案：{x|0＜x＜2}
8．不等式|2x＋1|－|x－1|＞2的解集为____________．
解析：原不等式等价于或或解不等式组最后取并集可得解集为(－∞，－4)∪.
答案：(－∞，－4)∪
9．设m，ε＞0，|x－a|＜，|y－b|＜，|a|≤m，|y|≤m，求证：|xy－ab|＜mε.
证明：|xy－ab|＝|xy－ay＋ay－ab|≤|xy－ay|＋|ay－ab|＝|y(x－a)|＋|a(y－b)|
＝|y||x－a|＋|a||y－b|＜m×＋m×＝mε.
∴|xy－ab|＜mε.
10．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，a∈R.
(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；
(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝4时，由不等式f(x)≥5得|x－1|＋|x－4|≥5，因为在数轴上到点1和4的距离之和等于5的点为0和5，所以|x－1|＋|x－4|≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．
(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|a－1|，所以若不等式f(x)≥4对x∈R恒成立，则|a－1|≥4，解得{a|a≤－3或a≥5}．21cnjy.com
层级二 应试能力达标
1．不等式|2－x|＋2＞x的解集是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选A |2－x|＋2＞x可化为|x－2|＞x－2，则x－2＜0，解得x＜2，即不等式|2－x|＋2＞x的解集为(－∞，2)．故选A.21·世纪*教育网
2．已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是( )
A．|x＋y|＋|x－y|＞2 B．x2＋y2＜1
C．x＋y＜1 D．xy＋1＞x＋y
解析：选D 可用排除法．对于A选项，当x＝y＝0时，|x＋y|＋|x－y|＞2不成立；对于B选项，当x＝y＝时，x2＋y2＝1，所以x2＋y2＜1不成立；对于C选项，当x＝y＝时，x＋y＝1，所以x＋y＜1不成立；故选D.【21cnj*y.co*m】
3．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[0，＋∞)
解析：选C 作出y＝|x＋1|与l1：y＝kx的图象如图，当k＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知k∈[0,1]．故选C.
4．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|，若不等式f(x)≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a的值为( )
A．－7或3 B．－7或5
C．3 D．3或5
解析：选C 当x＝－2时，由|－2＋1|＋|－2－a|＝6，即|a＋2|＝5得a＝3或a＝－7；当a＝4时，由|4＋1|＋|4－a|＝6，即|4－a|＝1得a＝5或a＝3.综上可知a＝3，故选C.
5．关于x不等式x＋|2x＋3|≥3的解集是___________．
解析：当x≥－，不等式为3x＋3≥3?x≥0，
当x＜－，不等式为x－2x－3≥3?x≤－6，
故不等式的解为{x|x≤－6或x≥0}．
答案：{x|x≤－6或x≥0}
6．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，f(x)≤|x－4|的解集为A，若[1,2]?A，则实数a的取值范围为________.
解析：由1≤x≤2，不等式|x＋a|＋|x－2|≤|x－4|可化为|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，所以－a－2≤x≤2－a，即要使[1,2]?A，借助数轴可得解得－3≤a≤0，因此a的取值范围是[－3,0]．
答案：[－3,0]
7．已知函数f(x)＝|x＋6|－|m－x|(m∈R)．
(1)当m＝3时，求不等式f(x)≥5的解集；
(2)若不等式f(x)≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
解：(1)当m＝3时，f(x)≥5即|x＋6|－|x－3|≥5，
①当x＜－6时，得－9≥5，所以x∈?；
②当－6≤x≤3时，得x＋6＋x－3≥5，即x≥1，所以1≤x≤3；
③当x＞3时，得9≥5，成立，所以x＞3.
故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≥1}．
(2)因为|x＋6|－|m－x|≤|x＋6＋m－x|＝|m＋6|.
由题意得|m＋6|≤7，则－7≤m＋6≤7，解得－13≤m≤1，
故m的取值范围是[－13,1]．
8．已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝－1时，解不等式f(x)≤g(x)；
(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，不等式f(x)≤g(x)，即|x＋1|≤2|x|－1，从而即x≤－1，或即－1＜x≤－，或21世纪教育网
即x≥2.
从而不等式f(x)≤g(x)的解集为.
(2)存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)，即存在x0∈R，使得|x0＋1|≥|x0|＋，
即存在x0∈R，使得≤|x0＋1|－|x0|.
设h(x)＝|x＋1|－|x|＝则h(x)的最大值为1，因而≤1，即a≤2.
故实数a的取值范围为(－∞，2]．
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是( )
A. .
C. .
解析：选D 结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c<0，则
2．不等式组所表示的平面区域是( )
解析：选D 不等式x－y＋5≥0表示的区域为直线x－y＋5＝0及其右下方的区域，不等式x＋y＋1>0表示的区域为直线x＋y＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.
3．已知aA.> B．ab<1
C.>1 D．a2>b2
解析：选D 由ab2，故选D.
4．若－4A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：选D f(x)＝＝，
又∵－40.
∴f(x)＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
5．已知关于x的不等式：|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2(其中m∈N*)，则关于x的不等式：|x－1|＋|x－3|≥m的解集为( )
A．(－∞，0] B．[4，＋∞)
C．(0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
解析：选D 由不等式|2x－m|≤1，可得≤x≤ ，
∵不等式的整数解为2，
∴≤2≤，解得 3≤m≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m＝4.问题转化为解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，
当x≤1时，不等式为 1－x＋3－x≥4，解得 x≤0；
当1＜x≤3时，不等式为 x－1＋3－x≥4，解得x∈?.
当x＞3时，不等式为x－1＋x－3≥4，解得x≥4.
综上，不等式解为(－∞，0]∪[4，＋∞)．故选D.
6．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
解析：选A 令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，则不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a7．不等式组的解集为D，下列命题中正确的是( )
A．?(x，y)∈D，x＋2y≤－1
B．?(x，y)∈D，x＋2y≥－2
C．?(x，y)∈D，x＋2y≤3
D．?(x，y)∈D，x＋2y≥2
解析：选B 画出不等式组所表示的区域如图所示，作直线l：x＋2y＝0，平移l，从而可知当经过点A，即x＝2，y＝－1时，(x＋2y)min＝0，即x＋2y≥0，故只有B成立，故选B.
8．已知x>0，y>0，若不等式2log[(a－1)x＋ay]≤1＋log(xy)恒成立，则4a的最小值为( )
A. B.
C.＋2 D.＋
解析：选C 由于 2log [(a－1)x＋ay]≤1＋log(xy)得log [(a－1)x＋ay]≤＋log (xy)，即log [(a－1)x＋ay]≤log，所以(a－1)x＋ay≥·，所以a≥，整理得a≥，令1＋·＝t>1，则＝(t－1)，所以a≥＝＝，而≤＝，所以4a≥＋2.故选C.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
9．已知函数f(x)＝，a∈R的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
解析：函数f(x)＝，a∈R的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－a|≥2恒成立，|x＋1|＋|x－a|几何意义是数轴上的点到－1，a的距离的和，到－1，a的距离的和大于或等于2的a满足a≤－3或a≥1.
答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)
10．若一次函数f(x)满足f(f(x))＝x＋1，则f(x)＝________，g(x)＝(x>0)的值域为________．
解析：试题分析：由已知可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又因为f(f(x))＝x＋1，所以有?故有f(x)＝x＋；从而g(x)＝＝x＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当x＝(x>0)即x＝时等号成立．故g(x)的值域为[2，＋∞)．
答案：x＋ [2，＋∞)
11．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋mx＋4，要使x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有即解得m≤－5.
答案：(－∞，－5]
12．已知实数x，y满足若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m的取值范围为________，如果目标函数z＝2x－y的最小值为－1，则实数m＝________.
解析：作出可行域如图所示，由解得要使不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点A(1,1)在直线x＋y＝m的左下方， 即1＋12.当目标函数z＝2x－y经过点B(1，m－1)时，z取得最小值－1，即2－(m－1)＝－1，所以m＝4.
答案：(2，＋∞) 4
13．若正实数x，y满足xy＋x＋2y＝6，则xy的最大值为________，x＋y的最小值为________．
解析：因为6＝xy＋x＋2y≥xy＋2，所以(－)(＋3)≤0，≤，即xy≤2 ，所以xy的最大值为2.
由xy＋x＋2y＝6得x＝，0答案：2 4－3
14．已知f(x)＝则不等式f(x2－x)>－5的解集为________．
解析：先解不等式f(t)>－5，即或解得t≤0或0－5的解集为(－∞，2)，所以要求解不等式f(x2－x)>－5的解集，只需求x2－x<2，解得－1答案：(－1,2)
15．已知实数x，y满足则的取值范围为________，的取值范围为________．
解析：作出可行域如图所示，设直线y＝kx(x>0)与曲线y＝x2＋相切，联立?x2－4kx＋1＝0?Δ＝16k2－4＝0?k＝，所以∈?∈[1,2]，又＝＝1＋＝1＋，令t＝∈[1,2]，令f(t)＝＋＝t＋，t∈[1,2]，所以可知f(t)在[1，)上单调递减；f(t)在 (，2]上单调递增；所以f(t)max＝3，f(t)min＝2，所以的取值范围为.
答案：[1,2]
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(14分)解下列不等式(组)：
(1)
(2)6－2x≤x2－3x<18.
解：(1)原不等式组可化为即0(2)原不等式等价于即
因式分解，得所以
所以－3所以不等式的解集为{x|－317．(15分)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2，
(1)解不等式|g(x)|＜5；
(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由||x－1|＋2|＜5得－5＜|x－1|＋2＜5，
∴|x－1|＜3，解得－2＜x＜4 .
所以原不等式的解集为{x|－2＜x＜4}．
(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，
所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，又
f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，
g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，从而a≥－1或a≤－5.
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．
18．(15分)已知f(x)＝x2－x＋1.
(1)当a＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0.
解：(1)当a＝时， 有不等式f(x)＝x2－x＋1≤0，
∴(x－2)≤0，∴≤x≤2，
即所求不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝(x－a)≤0，a>0，且方程(x－a)＝0的两根为x1＝a，x2＝，
∴当>a，即0当1时，不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，不等式的解集为{1}．
19．(15分)某公司计划在2017年同时出售变频空调和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润最大．已知这两种产品的直接限制因素是资金和劳动力，经调查，得到这两种产品的有关数据如下表：2-1-c-n-j-y
每台产品所需资金(百元)
月投入资金(百元)
空调
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力
(工资)
5
10
110
利润
6
8
试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
解：设空调、洗衣机的月供应量分别是x台，y台，总利润是z百元，可得
即
目标函数为z＝6x＋8y.
作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝6x＋8y得y＝－x＋，由图可得，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(4,9)，满足x，y∈N，
所以zmax＝6×4＋8×9＝96.
答：当空调的月供应量为4台，洗衣机的月供应量为9台时，可获得最大利润，最大利润为9 600元．
20．(15分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米．【21教育】
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．
解：设AN的长为x米(x>2)，
由＝，得|AM|＝，
∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
(1)由S矩形AMPN>32，得>32，
又x>2，则3x2－32x＋64>0，解得28，
即AN长的取值范围为∪(8，＋∞)．
(2)y＝＝
＝3(x－2)＋＋12
≥2＋12＝24，
当且仅当3(x－2)＝，即x＝4时，取等号，
∴当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．
课件38张PPT。{x|－a＜x＜a}{x|x＞a或x＜－a}