第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
学习目标
1.结合具体情境分析确定函数表达式,体会二次函数的意义和相关概念.
2.在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究得到发现的乐趣,同时进一步体会建立函数模型的思想.
3.能利用二次函数解决简单的实际问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
(一)学生观看图片
雨后天空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线.
问题1:这些曲线能否用函数关系式表示?
问题2:如何画出这样的函数图象?
(二)列出下列问题中两个变量之间的关系式:
(1)圆的面积S与圆的半径r的关系;
(2)多边形的对角线线数d与边数n的关系;
(3)某公司的生产利润原来是100万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的关系式是怎样的?21教育网
二、信息交流,揭示规律
问题1:回忆一次函数的定义:
学生活动:以小组为单位,讨论交流一次函数的特征.
问题2:判断在前面问题中写出的三个函数式是什么类型的函数.
问题3:类比一次函数的特征,小组讨论得出二次函数的定义.
问题4:类比一元二次方程的知识,得出各部分的名称和意义.
三、运用规律,解决问题
下列函数中哪些是二次函数,哪些不是?若是二次函数,指出相应的a,b,c.
(1)y=-3x2+7;(2)y=x(x-5);(3)y=3x(2-x)+3x2;(4)y=(x+2)(2-x);(5)y=x4+2x2+1;(6)y=ax2+bx+c.
四、变式训练,深化提高
1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式,二次项为 ,一次项系数为 ,常数项为 .?21世纪教育网版权所有
2.关于x的函数y=(m+2)x2+(m-3)x+m,当m=0时,它是 函数;当m=-2时,它是 函数.?21cnjy.com
3.已知函数y=,当m= 时,它是二次函数.?
变形:已知函数y=(m+1),当m= 时,它是二次函数.?
4.九年级(2)班有x名学生,每2名学生之间握手1次,总握手次数y与人数x有什么关系?判断它是什么类型的函数.21·cn·jy·com
5.举出二次函数的例子.
6.编一个实际问题,使得列出的式子是二次函数.
五、反思小结,观点提炼
1.这节课你最大的收获是什么?
2.这节课你最大的困难是什么?
3.你还有什么疑问?
参考答案
一、设计问题,创设情境
(二)(1)S=πr2
(2)d=n2-n
(3)y=100x2+200x+100
二、信息交流,揭示规律
问题1:一般地,形如y=kx+b(k,b都是常数,k≠0)的函数叫做一次函数.
学生活动:一次函数的特征如下:
(1)自变量的指数为1;
(2)常数项可以为0;
(3)一次项不能为0,其系数是不为0的任意实数;
(4)解析式为整式.
问题2:二次函数.
问题3:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
问题4:a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
特别强调二次项系数a≠0.
三、运用规律,解决问题
(1)(2)(4)是二次函数.
(1)a=-3,b=0,c=7;
(2)a=1,b=-5,c=0;
(4)a=-1,b=0,c=4.
四、变式训练,深化提高
1.-3x2 -16 12
2.二次 一次
3.1或-1 1
4.y=x(x-1) 二次函数
五、反思小结,观点提炼
略
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,了解抛物线的有关概念.
2.通过观察图象能说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质.
3.会用待定系数法确定二次函数y=ax2(a≠0)的解析式.
4.在类比探究二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质的过程中,进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.21世纪教育网版权所有
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.一次函数y=kx+b(k≠0)和反比例函数y=(k≠0)图象是什么形状?它们分别有哪些性质?
2.通常怎样画一个函数的图象呢?
二、信息交流,揭示规律
问题1:画出二次函数y=x2的图象.
(一)列表
1.自变量x的取值范围是什么?x取整数还是取其他数较好?y是一个数的平方,它的值与x的值有什么关系?21教育网
2.若选7个点画图,你准备怎样选?
(二)描点
1.在画坐标系时x轴的正、负半铀和y轴的正、负半轴是否都要画的一样长?
2.根据所取得的点,如何画出坐标系?
(三)连线
1.观察这7个点的位置,它们是否在一条直线上?
2.我们应该怎样连接这7个点?
问题2:在同一坐标系中画出二次函数y=x2,y=-x2的图象.
问题3:观察两个函数图象回答下面的问题:
函数的图象有什么特点?你是怎样判断出函数的图象有上述特征的?
问题4:全班学生分为两组,分别在同一平面直角坐标系中画出(1)y=2x2,y=-2x2;(2)y=3x2,y=-3x2的图象.21cnjy.com
问题5:总结归纳二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质.
三、运用规律,解决问题
函数y=x2的图象开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .?
当x 时,有最 值,最小值为 ;当x 时,y随着x的增大而减小.?
四、变式训练,深化提高
1.已知抛物线的解析式是y=-x2,那么它的顶点坐标是 .?
2.已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最低点,则m的取值范围是 .?
3.若y=(2-m)是二次函数,且开口向上,则m的值是 .?
4.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点( )
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)
5.如果抛物线y=(2-a)x2的开口向下,直线y=(5-a)x经过第一、三象限,求以整数a的长为边的等边三角形的周长.21·cn·jy·com
五、反思小结,观点提炼
1.这节课你最大的收获是什么?
2.这节课你最大的困难是什么?
3.你还有什么疑问?
布置作业
课本第32页练习.
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线.
2.利用描点法画函数的图象分三步:列表、描点、连线.
二、信息交流,揭示规律
问题1:
(一)列表:
1.略
2.(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9).
(二)描点:
1.x轴的正、负半轴画的一样长,y的正半轴画的较长,负半轴画的较短就可以.
2.略
(三)连线:
完成图象.
问题2:
问题3:两个图象都是轴对称图形.原因可以是:(1)观察图;(2)看列表;(3)直接根据解析式.
简单总结如下:二次函数的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.
实际上,二次函数的图象都是抛物线.
问题4:略
问题5:
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴是x轴,顶点是原点(0,0).
当a>0时,开口方向向上.当x>0时,y随x的增大而增大,当x<0时,y随x的增大而减小.当x=0时,y取最小值0.
当a<0时,开口方向向下.当x>0时,y随x的增大而减小,当x<0时,y随x的增大而增大.当x=0时,y取最大值0.
三、运用规律,解决问题
向上 y轴 (0,0) =0 小 0 x<0
四、变式训练,深化提高
1.(0,0) 2.m>-1 3.- 4.A 5.9或12
布置作业
(1)开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点.
(3)开口向上,对称轴是y轴,顶点是原点.
(4)开口向下,对称轴是y轴,顶点是原点.
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)
学习目标
1.能画出二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的联系.
3.能灵活运用二次函数y=ax2+k(a≠0)的知识解决简单的问题.
4.利用抛物线y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的联系解决简单的问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:一次函数y=2x与y=2x+2的图象的位置关系.
问题2:你能由此推测二次函数y=2x2与y=2x2+2的图象之间有何关系吗?
二次函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象之间又有何关系?
二、信息交流,揭示规律
问题1:在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+2的图象.观察这两个函数图象,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有哪些相同和不同之处?你能由此说出函数y=2x2与y=2x2+2的图象之间的关系吗?21世纪教育网版权所有
问题2:在同一平面直角坐标系中,画出函数y=-x2+1与y=-x2-1的图象,并说明:通过怎样的平移,可以由抛物线y=-x2+1得到抛物线y=-x2-1.21教育网
问题3:二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)的图象有什么关系?
三、运用规律,解决问题
1.把抛物线y=2x2向上平移5个单位长度,会得到抛物线 ,向下平移3个单位长度,会得到抛物线 .?21cnjy.com
2.抛物线y=x2+k的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它与抛物线y=x2有什么关系??21·cn·jy·com
四、变式训练,深化提高
1.函数y=x2-1的图象可由y=x2的图象向 平移 个单位长度得到.?
2.把函数y=3x2+2的图象向下平移5个单位长度,得到的图象的函数解析式为 .?
3.已知(m,n)在y=ax2+a的图象上,(-m,n) (填“在”或“不在”)y=ax2+a的图象上.?
4.若y=x2+(2k-1)的顶点是原点,则k ;若顶点位于x轴上方,则k ;若顶点位于x轴下方,则k .?www.21-cn-jy.com
五、反思小结,观点提炼
1.你有什么收获?
2.本节课你最大的困难是什么?
3.你还有什么疑问?
布置作业
课本第33页练习.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:平行.
问题2:后一个可以由前一个平移得到.
二、信息交流,揭示规律
问题1:解:列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
…
y=2x2+2
…
20
10
4
2
4
10
20
…
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图所示:
相同点:开口方向都向上,对称轴都是y轴;
不同点:顶点坐标不同.
函数y=2x2+2的图象是由函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度得到的.
问题2:图略.抛物线y=-x2+1沿对称轴向下平移2个单位长度便得到抛物线y=-x2-1.
问题3:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到:
当k>0时,向上平移k个单位长度.
当k<0时,向下平移-k个单位长度.
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
(0,0)
y=ax2+k
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
(0,k)
三、运用规律,解决问题
1.y=2x2+5 y=2x2-3
2.向上 y轴 (0,k) 它是由抛物线y=x2平移得到的
四、变式训练,深化提高
1.下 1 2.y=3x2-3 3.在 4.= > <
五、反思小结,观点提炼
(1)二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移而得到:
当k>0时,向上平移k个单位长度.
当k<0时,向下平移-k个单位长度.
(2)y=ax2+k(a≠0)中k决定图象与y轴的交点的位置.当k=0时,图象过原点;当k>0时,图象与y轴正半轴相交;当k<0时,图象与y轴负半轴相交.
布置作业
图略.
开口方向
对称轴
顶点
y=x2
向上
y轴
(0,0)
y=x2+2
向上
y轴
(0,2)
y=x2-2
向上
y轴
(0,-2)
y=x2+k:开口方向:向上;对称轴:y轴;顶点:(0,k).
当k>0时,抛物线y=x2向上平移k个单位长度得到抛物线y=x2+k;
当k<0时,抛物线y=x2向下平移-k个单位长度得到抛物线y=x2+k.
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第2课时)
学习目标
1.能画出二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2(a≠0)图象之间的联系.
3.能灵活运用二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的知识解决简单的问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系?
问题2:函数y=(x-2)2的图象,能否也可以由函数y=x2平移得到?
二、信息交流,揭示规律
问题1:在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象:y=x2,y=(x+2)2,y=(x-2)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.21世纪教育网版权所有
问题2:在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象:y=-x2,y=-(x+1)2和y=-(x-1)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.21cnjy.com
问题3:二次函数y=ax2(a≠0)与y=a(x-h)2(a≠0)的图象有什么关系?
三、运用规律,解决问题
1.抛物线y=(x-1)2的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ,它可以看做是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的.?21教育网
2.与函数y=2(x-2)2形状相同的抛物线的解析式是 ( )
A.y=1+ B.y=(2x+1)2
C.y=(x-2)2 D.y=2x2
四、变式训练,深化提高
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是 .?21·cn·jy·com
2.二次函数y=2x-2图象的对称轴是直线 ,顶点是 .?
3.若-,y1,-,y2,,y3为二次函数y=(x-2)2图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为 .?www.21-cn-jy.com
五、反思小结,观点提炼
1.谈一谈自己的收获.
2.你认为怎样的学习模式有利于自己的学习?
布置作业
在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
y=-x2,y=-(x+2)2,y=-(x-2)2.
观察三条抛物线的位置关系,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到:
当k>0时,向上平移k个单位长度.
当k<0时,向下平移-k个单位长度.
问题2:应该可以.
二、信息交流,揭示规律
问题1:解:列表.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
2
0
2
…
y=(x+2)2
…
0
2
8
…
y=(x-2)2
…
8
2
0
…
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图所示.
它们的开口方向都向上;对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2;顶点坐标分别是(0,0),(-2,0),(2,0).
问题2:它们的开口方向都向下;对称轴分别是y轴、直线x=-1和直线x=1;顶点坐标分别是(0,0),(-1,0),(1,0).
问题3:二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移而得到:
当h>0时,向右平移h个单位长度.
当h<0时,向左平移-h个单位长度.
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
(a≠0)
当a>0时,向上
当a<0时,向下
y轴
(0,0)
y=a(x-h)2
(a≠0)
当a>0时,向上
当a<0时,向下
x=h
(h,0)
三、运用规律,解决问题
1.向上 直线x=1 (1,0) 右 1
2.D
四、变式训练,深化提高
1.y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
2.x=,,0
3.y1>y2>y3
布置作业
图略.把抛物线y=-x2向左平移2个单位长度,就得到抛物线y=-(x+2)2.把抛物线y=-x2向右平移2个单位长度,就得到y=-(x-2)2.
三条抛物线都是开口向下;对称轴依次是y轴.直线x=-2和直线x=2;顶点坐标依次是(0,0),(-2,0),(2,0).
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标
1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想.www.21-cn-jy.com
2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
问题2:函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
问题3:不画图象,你能直接说出二次函数y=x2-6x+21图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性吗?【来源：21·世纪·教育·网】
二、信息交流,揭示规律
问题1:能否将y=x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式?并解决一中的问题3.
问题2:将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.
问题3:由此你可以得到什么?
三、运用规律,解决问题
问题:用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质.
四、变式训练,深化提高
1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是 .?
2.抛物线y=2x2+8x的开口向 ,对称轴是 .?
3.抛物线y=-2x2-4x+8的开口向 ,顶点坐标是 .?
4.两人合作,其中一人说出一个二次函数,另一人说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
五、反思小结,观点提炼
本节课你有什么收获?有什么疑问?
布置作业
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2+2x
(2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8
(4)y=x2-4x+3
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:函数y=-4(x-2)2+1图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).
问题2:函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的.21世纪教育网版权所有
问题3:开口方向:向上.(对称轴、顶点坐标、增减性和最值师生共同探究.)
二、信息交流,揭示规律
问题1:y=x2-6x+21=(x-6)2+3.
开口方向:向上;对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).
在对称轴的左侧,抛物线从左向右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左向右上升.也就是说,当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,函数取最小值3.
问题2:y=ax2+bx+c=ax2+x+=ax2+x+2-2+=ax+2+=ax+2+.
问题3:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,顶点坐标是-,.当x=-时,函数取最值.21教育网
如果a>0,当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小;
三、运用规律,解决问题
y=-2x2-4x+1=-2(x2+2x-=-2x2+2x+1-1-=-2(x+1)2+3,平移y=-2x2的图象能得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象.如果直接画二次函数的图象,由图象的对称性列表时,自变量取顶点横坐标-1及其左右的值,然后描点画图.由图象可以看出,在对称轴的左侧,抛物线从左到右上升;在对称轴的右侧,抛物线从左到右下降.由此得出:当x<-1时,y随x的增大而增大;当x>-1时,y随x的增大而减小.21cnjy.com
四、变式训练,深化提高
1.(1,1) 2.上 x=-2 3.向下 (-1,10) 4.略
五、反思小结,观点提炼
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可转化为y=ax+2+,所以y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为-,,对称轴是x=-,a的正负决定抛物线的开口方向.21·cn·jy·com
2.一般的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(高)点,所以当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c取最小(大)值.2·1·c·n·j·y
布置作业
(1)开口向上,对称轴是x=-,顶点坐标是-,-;
(2)开口向下,对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,1);
(3)开口向下,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,0);
(4)开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-5).
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 习题课
学习目标
1.体会二次函数的意义,会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向和对称轴.21世纪教育网版权所有
3.会利用抛物线上点的坐标确定二次函数的解析式.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.已知函数y=2(x-1)2+5,当x< 时,y随x的增大而减小;当x> 时,y随x的增大而增大.?21cnjy.com
2.已知函数y=-2x2+4x-7,当x< 时,y随x的增大而增大;当x> 时,y随x的增大而减小.?21·cn·jy·com
3.一个二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,求这个二次函数的解析式.
4.汽车刹车后行驶的距离s(单位:m)关于行驶的时间t(单位:s)的函数解析式是s=15t-6t2.汽车刹车后到停下来前进了多远?www.21-cn-jy.com
二、信息交流,揭示规律
1.下列各式中是二次函数的有( )
(1)y=2x2-3x+5;(2)y=3-2x+5x2;(3)y=+2x-3;(4)y=(2x-3)(3x-2)-6x2;(5)y=ax2+bx+c;(6)y=(m2+1)x2+3x-4;(7)y=m2x2+4x-3.2·1·c·n·j·y
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图,函数y=ax2(a≠0)和y=-ax+b(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为( )
3.二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点是(-1,-3),则b,c的值为( )
A.b=2,c=4 B.b=2,c=-4
C.b=-2,c=4 D.b=-2,c=-4
三、运用规律,解决问题
1.二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的,则b= ,c= .?【来源：21·世纪·教育·网】
2.抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上,则b= .?
3.已知二次函数y=x2-4x-3,若-1≤x≤6,则y的取值范围为 .?
四、变式训练,深化提高
1.若二次函数y=(m+8)x2+2x+m2-64的图象经过原点,则m= .?
2.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2开口方向相反,形状相同,顶点坐标为(3,5).求抛物线的解析式.21教育网
五、反思小结,观点提炼
自行整理本节主要内容,并再次理解记忆.
布置作业
1.求二次函数y=x2-2x+3的最小值.
2.已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),B(0,-3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.1 1 2.1 1 3.y=4x2+5x 4. m
二、信息交流,揭示规律
1.C 2.D 3.D
三、运用规律,解决问题
1.-8 7 2.8或-8 3.-7≤y≤9
四、变式训练,深化提高
1.8 (1)y=-2x2+12x-13
五、反思小结,观点提炼
略
布置作业
1.2 2.(1)y=x2+2x-3 (2)(2,5),(-4,5)
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的根的几何意义,知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
2.探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会数形结合思想,感受数学的严谨性及数学结论的确定性,提高学生的估算能力.21·cn·jy·com
3.培养独立思考的习惯与合作交流的意识,激发学习兴趣,体验探索成功后的快乐.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 确定.?
2.在式子h=50-20t2中,如果h=15,那么50-20t2= ;如果h=20,那么50-20t2= ;如果h=0,那么50-20t2= .?www.21-cn-jy.com
3.利用函数图象求一元一次方程y=3x-4的解.
4.如图,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30度角的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t-5t2.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)小球的飞行高度能否达到15 m?若能,需要多长飞行时间?
(2)小球的飞行高度能否达到20 m?若能,需要多长飞行时间?
(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m?若能,需要多长飞行时间?
(4)小球从飞出到落地要用多长时间?
二、信息交流,揭示规律
问题1:画出函数y=x2-x-的图象,根据图象回答下列问题:
(1)图象与x轴交点的坐标是什么?
(2)当x取何值时,y=0?
(3)你能从中得到什么启发?
问题2:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的解吗?
(1)y=x2+x-2
(2)y=x2-6x+9
(3)y=x2-x+1
三、运用规律,解决问题
已知函数y=x2-4x+3.
(1)画出这个函数的图象;
(2)观察图象,当x取哪些值时,函数值为0?
四、变式训练,深化提高
1.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m= ,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有 个交点.?21世纪教育网版权所有
2.已知抛物线y=x2+mx-2m2(m≠0),求证:该抛物线与x轴有两个不同的交点.
3.两人合作,一人画出二次函数的图象,另一个同学说出相应一元二次方程的解.
五、反思小结,观点提炼
从知识、思想方法方面谈谈收获.
布置作业
在下列情形中,如果a>0,抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么位置?
(1)方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;
(2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
(3)方程ax2+bx+c=0无实数根.
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.b2-4ac
2.15 20 0
3.图象略 x=
4.(1)当小球飞行1 s和3 s时,它的飞行高度为15 m
(2)当小球飞行2 s时,它的飞行高度为20 m
(3)小球的飞行高度达不到20.5 m
(4)4 s时小球落回地面
二、信息交流,揭示规律
问题1:
(1)(-0.5,0),(1.5,0) (2)当x=-0.5或x=1.5时,y=0
(3)从“形”的方面看,函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标即为方程x2-x-=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解.21教育网
问题2:图略.
(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,它们的横坐标分别是-2,1.当x取公共点的横坐标时,函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.21cnjy.com
(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,这个点的横坐标是3.当x=3时,函数的值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.2·1·c·n·j·y
(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,由此可知方程x2-x+1=0没有实数根.
三、运用规律,解决问题
(1)图象略 (2)1或3
四、变式训练,深化提高
1.1 1
2.Δ=m2-4×1×(-2m2)=9m2,∵m≠0,
∴9m2>0,
∴抛物线与x轴有两个不同的交点.
3.略
布置作业
(1)x轴下方 (2)x轴上 (3)x轴上方
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
22.3 实际问题与二次函数(第1课时)
学习目标
1.能根据实际问题列出函数关系式,并根据问题的实际情况确定自变量取何值时,函数取得最值.
2.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力,提高用数学的意识;在解决问题的过程中体会数形结合思想.21cnjy.com
学习过程
一、设计问题,创设情境
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,并写出其最值.
(1)y=x2-4x-5(配方法)
(2)y=-x2-3x+4(公式法)
二、信息交流,揭示规律
用总长为40 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.
(1)写出S关于l的函数关系式;
(2)写出l的取值范围,并画出这个函数的图象;
(3)当l是多少时,场地的面积最大?
三、运用规律,解决问题
用20 m的篱笆围一个矩形的花圃(如图),设垂直于墙的一边为x m,矩形的面积为y m2.
(1)写出y关于x的函数关系式及x的取值范围;
(2)当x是多少时,矩形的面积y最大?最大是多少?
四、变式训练,深化提高
1.用6 m长的铝合金型材料做成一个形状如图所示的矩形窗框,应做成长、宽各多少时,才能使窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?21·cn·jy·com
2.设计一个实际问题,使得列出的函数解析式是二次函数,并求出此实际问题的最值.
五、反思小结,观点提炼
回顾本节课所学主要内容,回答以下问题:
1.如何求二次函数的最大(小)值?如何利用二次函数的最大(小)值解决实际问题?
2.在解决问题的过程中要注意哪些数学问题?学到了哪些思考问题的方法?
布置作业
1.下列抛物线有最高点或最低点吗?如果有,写出这些点的坐标.
(1)y=-4x2+3x (2)y=3x2+x+6
2.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,应如何定价才能使利润最大?21教育网
参考答案
一、设计问题,创设情境
(1)开口方向:向上;对称轴是x=2;顶点坐标是(2,-9);最小值是-9.
(2)开口方向:向下;对称轴是x=-;顶点坐标是-,;最大值为.
二、信息交流,揭示规律
(1)S=-l2+20l;
(2)0(3)当l=10 m时,场地的面积最大,最大值是10 m2.
三、运用规律,解决问题
(1)y=-2x2+20x,0(2)当x=5时,矩形的面积y最大,面积的最大值是50 m2.
四、变式训练,深化提高
1.设窗框的长为x m,则宽为 m,透光面积为y m2,根据题意得:
y=x·=-x2+3x,
当x=1时,y取得最大值,最大透光面积是1.5 m2.
2.略
布置作业
1.(1)有最高点,, (2)有最低点,-,.21世纪教育网版权所有
2.设利润为y元,则y=(x-30)(100-x)=-x2+130x-3 000.
当x=65时,y有最大值,最大利润是1 225元.
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
22.3 实际问题与二次函数(第2课时)
学习目标
1.能根据实际问题列出函数关系式,并根据问题的实际情况确定自变量取何值时,函数取得最值.
2.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养分析问题、解决问题的能力,提高用数学的意识;在解决问题的过程中体会数形结合思想.21·cn·jy·com
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.给你长8 m的铝合金条,设问:
(1)你能用它制成一矩形窗框吗?
(2)怎样设计,窗框的透光面积最大?
2.如果你去买商品,你会买哪一家的?如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?
二、信息交流,揭示规律
某同学的父母开了一个服装店,现在正出售一种进价为40元的服装,每件售价60元,每星期可以卖出300件.21cnjy.com
问题1:求现在一周的利润是多少?
问题2:该同学对父母的服装店很感兴趣,因此他对市场作了调查:如果调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件,应如何定价才能使利润最大?最大是多少?www.21-cn-jy.com
问题3:该同学对市场又进行了调查,得出调查报告:如果调整价格,每降价1元,每星期可多卖出20件,应如何定价才能使利润最大?最大是多少?21世纪教育网版权所有
三、运用规律,解决问题
一件工艺品进价为100元,按标价135元销售,每天可售出100件,根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,每天可多售出4件,问:降价几元时,每天获得的利润最大?
四、变式训练,深化提高
小组合作,设计一个实际问题,使得列出的函数解析式是二次函数,并求出此实际问题的最值.
五、反思小结,观点提炼
回顾本节课所学主要内容,回答以下问题:
1.如何求二次函数的最大(小)值?如何利用二次函数的最大(小)值解决实际问题?
2.在解决问题的过程中要注意哪些数学问题?学到了哪些思考问题的方法?
布置作业
某宾馆有50个房间供游客居住.当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大?21教育网
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.(1)能;(2)设计成边长为2 m的正方形,此时透光面积最大.
2.哪家便宜就去买哪家的;略
二、信息交流,揭示规律
问题1:6 000元
问题2:设每件涨价x元,利润为y元,根据题意得:
y=(60+x-40)(300-10x)=-10x2+100x+6 000,其中0≤x≤30.
当x=5时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6 250元.2·1·c·n·j·y
或者:设定价为x元,利润为y元,根据题意得:
y=(x-40)[300-10(x-60)]=-10x2+1 300x-36 000,其中x≥60.【来源：21·世纪·教育·网】
当x=65时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,定价为65元时,利润最大,最大利润是6 250元.
问题3:设每件降价x元,利润为y元,根据题意得:
y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6 000,其中0≤x≤20.
当x=2.5时,y最大,也就是说,在降价的情况下,降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6 125元.21·世纪*教育网
或者:设定价为x元,利润为y元,根据题意得:
y=(x-40)[300+20(60-x)]=-20x2+2 300x-60 000,其中40≤x≤60.www-2-1-cnjy-com
当x=57.5时,y最大,也就是说,在降价的情况下,定价为57.5元时,利润最大,最大利润是6 125元.2-1-c-n-j-y
三、运用规律,解决问题
设降价x元,利润为y元,根据题意得:
y=(135-x-100)(100+4x)=-4x2+40x+3 500.
当x=5时,y最大.即降价5元时,每天获得的利润最大.
布置作业
定价为350元时,宾馆利润最大.
第22章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
22.3 实际问题与二次函数(第3课时)
学习目标
1.掌握二次函数模型的建立过程,并能运用二次函数的知识解决实际问题.
2.通过建立平面直角坐标系解决实际问题中变量之间的二次函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验.
3.在用所学知识解决实际问题的同时,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的解析式.
2.已知二次函数的图象经过A(0,1),B(1,3),C(-1,1)三点.求二次函数的解析式.
二、信息交流,揭示规律
一座抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水面下降1 m,水面宽度增加多少?
三、运用规律,解决问题
如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位AB时,水面宽20米,水位上升3米,就达到警戒线CD,这时水面宽为10米.www.21-cn-jy.com
(1)求抛物线形拱桥的解析式.
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2米的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时就能达到拱桥顶?
(3)在正常水位时,有一艘宽8米,高2.5米的小船能否安全通过这座桥?
四、变式训练,深化提高
小组合作,设计一个实际问题,建立适当的平面直角坐标系,并求出相应的函数解析式.
五、反思小结,观点提炼
用抛物线的知识解决一些实际问题的一般步骤:
布置作业
根据条件,分别确定二次函数的解析式:
(1)抛物线y=ax2+bx+c过点(-3,2),(-1,-1),(1,3);
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-,,与y轴交点的纵坐标是-5.
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0).
因为顶点坐标为(8,9),所以y=a(x-8)2+9(a≠0).
又因为图象过点(0,1),可得a(0-8)2+9=1,解得:a=-,
所以二次函数的解析式为y=-(x-8)2+9.
2.设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
因为图象过(0,1),(1,3),(-1,1)三点,可得:
解得:21世纪教育网版权所有
所以二次函数的解析式是y=x2+x+1.
二、信息交流,揭示规律
以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0).21教育网
由抛物线经过点(2,-2),可得:
-2=a×22,解得a=-.
故这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.
当水面下降1 m时,水面的纵坐标为-3,此时的x=±,水面的宽度为2 m,水面的宽度增加(2-4) m.21cnjy.com
还可以有其他的建立平面直角坐标系的方法,如
1.以水面l为x轴y轴过抛物线的顶点,建立坐标系;
2.以水面l为x轴,水面的左端点为原点,建立坐标系.
三、运用规律,解决问题
(1)以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0).21·cn·jy·com
根据条件可设抛物线的图象过点(10,m)(5,m+3),
可得:
解得
所以抛物线解析式为y=-x2.
可以建立不同的平面直角坐标系,得出不同的函数解析式.
(2)5小时.
(3)能.
变式训练,深化提高
略
五、反思小结,观点提炼
1.建立直角坐标系;
2.求二次函数解析式;
3.得出实际问题的答案.
布置作业:
(1)y=x2+2x+ (2)y=x2-x-5
第22章 二次函数
复习课(第1课时)
学习目标
1.理解二次函数的有关概念.
2.会根据图象确定a,b,c,Δ的符号,能从图象上认识二次函数的性质.
3.会求二次函数图象的顶点坐标、对称轴方程及其与x轴的交点坐标,会解决二次函数的最值问题.
4.会构建二次函数模型解决以二次函数为基础的综合型题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
顶点坐标
对称轴
最值
y=ax2(a≠0)
y=ax2+c(a≠0)
y=a(x-h)2(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
二、信息交流,揭示规律
(一)二次函数的定义:
(二)二次函数的解析式:
一般式:
顶点式:
(三)抛物线的平移:
将y=ax2沿着y轴(上“+”,下“-”)平移k(k>0)个单位长度得到函数 .?
将y=ax2沿着x轴(左“+”,右“-”)平移h(h>0)个单位长度得到 .?
(四)抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a,b,c的作用:
a的正负决定了 :?
当a>0时,开口 ,在对称轴x=-的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴x=-的右侧,y随x的增大而 ,此时y有最 值 ,顶点-,为最 点;?21世纪教育网版权所有
当a<0时,开口 ,在对称轴x=-的左侧,y随 x的增大而 ,在对称轴x=-的右侧,y随x的增大而 ,此时y有最 值 ,顶点( , )为最高点.?21教育网
|a|越大,开口 ,|a|越小,开口 .?
a,b的符号共同决定了对称轴的位置,当b=0时,对称轴为 ,当a,b同号时,对称轴x=- 0,当a,b异号时,对称轴x=- 0.?21cnjy.com
c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置,c=0时,抛物线经过 ;c>0时,与y轴交于 ;c<0时,与y轴交于 .以上a,b,c的符号与图象的位置是共同作用的,也可以互相推出.?21·cn·jy·com
三、运用规律,解决问题
1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( )www.21-cn-jy.com
A.a>0 B.b<0
C.c<0 D.a+b+c>0
2.如图所示为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,且此图象通过(-1,1),(2,-1)两点.下列关于此二次函数的叙述,正确的是( )2·1·c·n·j·y
A.y的最大值小于0
B.当x=0时,y的值大于1
C.当x=1时,y的值大于1
D.当x=3时,y的值小于0
3.如图所示,在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:
(1)b2-4ac>0 (2)c>1 (3)2a-b<0 (4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
四、变式训练,深化提高
1.两人合作,其中一人画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,另一同学得出a,b,c,b2-4ac的符号.【来源：21·世纪·教育·网】
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是( )21·世纪*教育网
3.已知二次函数y=-x2-x+.
(1)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(2)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围;
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位,请写出平移后图象所对应的函数关系式.
4.如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边OA,AB,BC组成,隧道的最大高度为4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆高为4 m,宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问:如果不考虑其他因素,汽车的右侧离开隧道右壁BC多少米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)
五、反思小结,观点提炼
自行整理本章主要内容,并再次理解记忆.
布置作业
已知关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m-1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.
参考答案
一、设计问题,创设情境
y=ax2(a≠0)
(0,0)
y轴
0
y=ax2+c(a≠0)
(0,c)
y轴
c
y=a(x-h)2(a≠0)
(h,0)
x=h
0
y=a(x-h)2+k(a≠0)
(h,k)
x=h
k
y=ax2+bx+c(a≠0)
-,
x=-
二、信息交流,揭示规律
(一)一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0)的函数,叫做二次函数.
当b=c=0,a≠0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
(二)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),通常要知道图象上的三个点的坐标才能得出此解析式;
顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式.
(三)y=ax2±k y=(x±h)2
(四)开口方向
向上 减小 增大 小 低
向下 增大 减小 大
越小 越大
y轴 < >
原点 正半轴 负半轴
三、运用规律,解决问题
1.D 2.D 3.D
四、变式训练,深化提高
1.略 2.B
3.(1)略 (2)x<-3或x>1 (3)y=-x2+2x
4.由已知条件知,该抛物线顶点的横坐标为=5,纵坐标为4.9-2.4=2.5,C点坐标为(0,0),设抛物线的函数解析式为y=a(x-5)2+2.5.
把(0,0)或(10,0)代入上式,得0=25a+2.5,解得a=-.
∴y=-(x-5)2+2.5.
当y=4-2.4=1.6时,1.6=-(x-5)2+2.5,
解得x1=8,x2=2(不合题意,舍去).
∴x=8,∴OC-x=10-8=2(m).
故汽车离开右壁至少2 m,才不会碰到顶部.
五、反思小结,观点提炼
略
布置作业m≤-
第22章 二次函数
复习课(第2课时)
学习目标
1.理解二次函数的相关概念,从整体上掌握二次函数的图象和性质.
2.应用二次函数的图象和性质解决问题,提高对知识的整合和分析能力.
学习过程
一、设计问题,创设情境
1.一位同学自愿在黑板上画出二次函数y=ax2(a≠0)的草图,另一位同学口述二次函数的概念.
2.以函数y=ax2(a≠0)为基础,归纳二次函数的性质,其他同学进行补充.
二、信息交流,揭示规律
1.抛物线y=3(x+4)2-3开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它是由y=3x2向 平移4个单位长度,再向 平移3个单位长度得到的,当x时,y随x的增大而减小.?21教育网
2.把抛物线y=x2-4x+3配方后化为y=a(x-h)2+k的形式为 ,其对称轴是 ,顶点坐标是 .?2·1·c·n·j·y
3.已知y=(m+2)x2+(3m+4)x-m2是关于x的二次函数,则m的取值范围是 .?
4.抛物线y=2x2-8x+1可以取得最 值,这个值是 .?
5.抛物线y=x2-3x+2与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标是 .?
三、运用规律,解决问题
如果某产品的成本是每件10元,其售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:y是x的一次函数www.21-cn-jy.com
x(元)
15
20
30
y(件)
25
20
10
(1)求产品的日销售量y(件)与售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的售价应定为多少元?此时每日的最大利润是多少?
四、变式训练,深化提高
某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,进价是每件80元,售价是每件120元,为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降低1元,商场平均每天可多售出2件,但每件最低价不得低于108元.21世纪教育网版权所有
(1)若每件衬衫降低x元(x取整数),商场平均每天盈利y元,试写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;21·cn·jy·com
(2)每件衬衫降低多少元时,商场每天(平均)盈利最多?
五、反思小结,观点提炼
自行整理本章主要内容,并再次理解记忆.
布置作业
已知抛物线y=x2+x+c与x轴无交点.
(1)求c的取值范围;
(2)试确定直线y=cx+1经过的象限,并说明理由.
参考答案
二、信息交流,揭示规律
1.上 x=-4 (-4,-3) 左 下 <-4
2.y=(x-2)2-1 x=2 (2,-1)
3.m≠-2
4.小,-7
5.(0,2) (1,0)和(2,0)
三、运用规律,解决问题
(1)y=-x+40.
(2)设销售利润为w元,根据题意得:w=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400.
当x=25时,w最大.即售价定为25元时,利润最大,最大利润是225元.
四、变式训练,深化提高
(1)y=(120-x-80)(20+2x)=-2x2+60x+800,0≤x≤12且x为整数.
(2)因为对称轴是x=15,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大.所以当x=12时,y最大.即每件衬衫降低12元时,商场每天盈利最多.21cnjy.com
五、反思小结,观点提炼
略
布置作业
(1)c> (2)第一、二、三象限 理由略
第22章 二次函数
数学活动
学习目标
能够从数学问题中抽象出二次函数关系,并运用二次函数的图象及性质解决具体数学问题.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题:解决与二次函数有关的实际问题你用到了什么知识?所用知识在解决生活中的问题时,应注意哪些问题?
二次函数解决实际问题的方法:
1.由于抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,当x= 时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值 .?21教育网
2.列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围.
3.在自变量的取值范围内,求出二次函数的最大值或最小值.
二、信息交流、揭示规律
问题:观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9,个位上的数的和等于10),猜想其中哪个积最大.21cnjy.com
91×99,92×98,…,98×92,99×91.
如何利用二次函数的知识来解决?
三、运用规律,解决问题
问题:观察下列两个三位数的积(两个乘数的百位上的数都是9,十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100),猜想其中哪个积最大.21·cn·jy·com
901×999,902×998,…,998×902,999×901.
如何用二次函数的知识来解决?
四、变式训练,深化提高
问题:(1)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(0,2).在x轴上任取一点M,完成以下作图步骤:www.21-cn-jy.com
①连接AM,作线段AM的垂直平分线l1,过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置,用①的方法得到相应的点P,把这些点用平滑的曲线连接起来.
观察画出的曲线L,猜想它是我们学过的哪种曲线.
(2)对于曲线L上任意一点P,线段PA与PM有什么关系?设点P的坐标是(x,y),你能由PA与PM的关系得到x,y满足的关系式吗?你能由此确定曲线L是哪种曲线吗?你得出的结论与先前你的猜想一样吗?(提示:根据勾股定理用含x,y的式子表示线段PA的长.)
五、反思小结,观点提炼
1.这节课学习了用什么知识解决哪类问题?
2.解决问题的一般步骤是什么?应注意哪些问题?
3.学到了哪些思考问题的方法?
布置作业
点E,F,G,H分别在菱形ABCD的四条边上,BE=BF=DG=DH,连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)设AB=a,∠A=60°,当BE为何值时,矩形EFGH的面积最大?
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.-
二、信息交流,揭示规律
设第一个两位数的个位上的数为x,则第二个两位数的个位上的数为(10-x).两个两位数的乘积
y=(90+x)[90+(10-x)]=-x2+10x+9 000
当x=5时,两个两位数的乘积最大,即95与95的乘积最大,最大值为9 025.
三、运用规律,解决问题
设第一个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为x,则第二个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为(100-x).两个三位数的乘积21世纪教育网版权所有
y=(900+x)[900+(100-x)]=-x2+100x+900 000
当x=50时,两个三位数的乘积最大,即950与950的乘积是最大值,最大值为902 500.
四、变式训练,深化提高
答案如下:
(1)如图.猜这条曲线是抛物线.
(2)PA=PM.过点A作AB⊥PM,连接PA.
在Rt△PAB中,
有PB2+AB2=PA2,
∴PA2=(y-2)2+x2.
∵PA=PM,
∴(y-2)2+x2=y2,
整理,得y=x2+1,
从而说明曲线L是抛物线.
布置作业
解:(1)证明:∵DG=DH,
∴∠DHG=∠DGH=,
同理,∠CGF=,
∴∠DGH+∠CGF=.
又∵菱形ABCD中,AD∥BC,
∴∠D+∠C=180°
∴∠DGH+∠CGF=90°,
∴∠HGF=90°.
同理,∠GHE=90°,∠EFG=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
(2)AB=a,∠A=60°,则菱形ABCD的面积是a2,
设BE=x,则AE=a-x,
则△AEH的面积是,
△BEF的面积是,
则矩形EFGH的面积y=a2--x2,
即y=-x2+ax,
则,当x==时,函数有最大值,
此时BE=.
