第十一章 机械振动
机械振动
机械振动
机械振动
简谐运动的对称性和周期性
1．对称性
(1)速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
(2)加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
(3)时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。通过振动过程中任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等。21教育网
2．周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态，因此在处理实际问题中，要注意到多解的可能性。2-1-c-n-j-y
[典例1] 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置向右运动起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s质点第二次通过M点。
(1)若M点在平衡位置右方，其振动周期是多少？
(2)若M点在平衡位置左方，其振动周期又是多少？
[解析] (1)将物理过程模型化，画出具体化的图象如图甲所示。设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O到M运动时间为0.13 s，再由M经最右端A返回M经历时间为0.1 s，如图乙所示。【21教育】
由图可以看出M→A历时0.05 s，即由O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性可得T1＝4×0.18 s＝0.72 s。
(2)若M点在O点左方，如图丙所示，质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M点向左经最左端A′点返回M点历时0.1 s。
由图可以看出，由O→A→M历时t1＝ 0.13 s，由M→A′历时t2＝0.05 s，即O→A→M→A′历时0.18 s，则T2＝0.18 s，T2＝0.24 s。
[答案] (1)0.72 s (2)0.24 s
简谐运动的图象及应用
简谐运动的图象描述了振动质点的位移随时间的变化规律。从图象中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律，具体分析如下：
1．可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图所示，对应t1、t2时刻的位移分别是x1＝＋7 cm、x2＝－5 cm。
2．确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅。图中所示的振幅是10 cm。
3．确定振动的周期和频率，振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期，由图可知，OD、AE、BF的时间间隔都等于振动周期T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz。【21教育名师】
4．确定各时刻质点的振动方向(看临近的下一时刻质点到达的位置)。例如：图中t1时刻质点正远离平衡位置运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置运动。
5．比较各时刻质点的加速度(回复力)的方向和大小。例如：图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，两者方向相反；t2时刻，位移x2为负，则a2为正，又因为|x1|＞|x2|，所以|a1|＞|a2|。
6．比较不同时刻质点的势能、动能的大小。质点离平衡位置的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小，图中t1时刻质点的势能Ep1大于t2时刻的势能Ep2，而动能则Ek1＜Ek2。
[典例2] (多选)一质点做简谐运动的振动图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．振动图象上的A、B两点振动物体的速度相同
B．在t＝0.1 s和t＝0.3 s时，质点的加速度大小相等，方向相反
C．振动图象上A、B两点的速度大小相等，方向相反
D．质点在t＝0.2 s和t＝0.3 s时的动能相等
[解析]选BC A、B两点位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A错误，C正确。t＝0.1 s和t＝0.3 s质点离开平衡位置的位移最大，方向相反，由F＝－kx，a＝－可知，B正确。t＝0.2 s时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大；而t＝0.3 s时，速度为零，动能最小，故D错误。
解决简谐运动的物理思想方法
1．理想模型法
弹簧振子是一种理想化模型，它忽略了弹簧的质量及摩擦力和空气阻力。单摆是实际摆的理想化模型，忽略了绳的质量、粗细、伸缩及球的大小、空气阻力等。这种理想化的近似可以使问题大为简化，有利于对物理现象和物理规律的探究和认识。
2．图象法
图象法是物理学中常用的一种思维方法，它能够形象直观地反映物理规律，帮助我们认识物理现象和解决物理问题。用图象法研究物体的振动时，应注意物体振动的周期、振幅、相位等。
3．等效法
本章有两个重要的物理模型，分别是弹簧振子模型和单摆模型。凡是具有与它们相同运动规律的系统都可以等效为弹簧振子模型或单摆模型，可以用弹簧振子或单摆的有关知识分析。
4．对称法
由于简谐运动具有周期性和对称性，我们可以根据已知的一部分运动情况分析出其他阶段的运动情况。
[典例3] 光滑的水平面叠放着质量分别为m和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块之间的最大静摩擦力为f，要使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为( )www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.
[解析]选C 对质量为的木块分析，随质量为m的木块一起做类似弹簧振子的简谐运动，其最大加速度为a＝＝，即整体运动的最大加速度为a＝，则弹簧的最大弹力为kA＝(＋m)a解得A＝＝，C正确。
[典例4] 如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A点的距离远小于R，若同时释放小球B、C，要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点)，则小球B到A点的距离H应满足什么条件？
[解析] 因为小球C到A点的距离远小于R，所以C球沿圆弧做简谐运动，此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此摆等效摆长为R。
C球从开始释放至到达A点经历的最短时间为，也可能是T或T……即tC＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)。其中T＝2π。21*教*育*名*师
B球到达A点经历的时间tB＝ 。两球相遇时，tB＝tC，所以 ＝(2n＋1)＝(n＝0,1，2，…)。
故H应满足H＝R(n＝0,1,2，…)。
[答案] H＝R(n＝0,1,2，…)
受迫振动与共振
[典例5] (多选)如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
[解析]选ABC 题图的图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz。根据周期公式可得f＝＝ ，当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，所以g2>g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，选项A正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比l1∶l2＝∶＝25∶4，所以选项B正确；图线Ⅱ若是在地球上完成的，将g＝9.8 m/s2和f2＝0.5 Hz代入频率的计算公式可解得l2≈1 m，所以选项C正确，D错误。
[专题训练]
1．(多选)把一弹簧振子的弹簧拉长一些，然后由静止释放，0.5 s后振子经过平衡位置，则此弹簧振子的周期可能为( )21cnjy.com
A．1 s B．2 s
C．0.55 s D．0.4 s
解析：选BD 振子经0.5 s后回到平衡位置，可能是第一次回到平衡位置，也可能是第二次、第三次、…、第n次回到平衡位置。t＝0.5 s与周期有如下关系：t＝＋＝(n＝0,1,2，…)。周期T＝＝ s(n＝0,1,2，…)。当n＝0时，T0＝2 s；当n＝1时，T1＝ s≈0.667 s；当n＝2时，T2＝0.4 s，因此B、D正确。
2．(多选)下列说法中正确的是( )
A．有阻力的振动叫做受迫振动
B．物体振动时受到外力作用，它的振动就是受迫振动
C．物体在周期性外力作用下的振动叫做受迫振动
D．物体在周期性外力作用下振动，它的振动频率最终等于驱动力频率
解析：选CD 物体在周期性外力作用下的振动叫做受迫振动，选项C对，B错；有阻力的振动叫做阻尼振动，选项A错；受迫振动的频率最终等于驱动力频率，选项D对。
3．如图所示，在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图示P位置是弹簧振子处于自然伸长的位置，若将振子m向右拉动5 cm后由静止释放，经0.5 s振子m第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是( )21世纪教育网
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．若向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子m第一次回到P位置
C．若向左推动8 cm后由静止释放，振子m连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．在P位置给振子m任意一个向左或向右的初速度，只要位移不超过20 cm，总是经0.5 s速度就降为021*cnjy*com
解析：选D 由题意知，该弹簧振子振动周期为T＝0.5×4 s＝2 s，且以后不再变化，即弹簧振子固有周期为2 s，振动频率为0.5 Hz，所以B选项中应经过0.5 s第一次回到P位置，A、B选项错误；C选项中连续两次经过P位置的时间间隔为半个周期，是1 s，C选项错误；根据简谐运动中速度的变化规律易知，D选项正确。【21·世纪·教育·网】
4．(多选)一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点。t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为( )
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
解析：选ACD 若振幅A＝0.1 m，T＝ s，则 s为半个周期，从－0.1 m 处运动到0.1 m处，符合运动实际，4 s－ s＝ s为一个周期，正好返回0.1 m处，所以A对；若A＝0.1 m，T＝8 s， s只是T的，不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处，所以B错；若A＝0.2 m，T＝ s， s＝，振子可以由－0.1 m 处运动到关于平衡位置的对称位置，4 s－ s＝ s＝T，振子可以由0.1 m处返回0.1 m处，所以C对；若A＝0.2 m，T＝8 s， s＝2×，而sin＝，即两个时间内，振子可以从－0.1 m处运动到平衡位置，再从平衡位置运动到0.1 m 处，由正弦函数规律易知，再经 s又恰好能由0.1 m处运动到0.2 m 处后，再返回0.1 m处，所以D对。
(时间：45分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)
1．单摆通过平衡位置时，小球受到的回复力( )
A．指向地面 B．指向悬点
C．数值为零 D．垂直于摆线
解析：选C 做简谐运动的小球，只有在离开平衡位置时才受到回复力，“平衡位置”的意义就是回复力为零的位置，C正确。
2．下列现象中，属于共振现象的是( )
A．杂技演员荡秋千越荡越高
B．下雨前雷声隆隆不绝
C．在山谷里说话有回声
D．湖面上的树叶随水波荡漾
解析：选A 杂技演员用周期性外力驱动，使秋千越荡越高，且驱动力频率恰好等于秋千的固定频率，属于共振现象；B、C都属于声音的反射，D是受迫振动。
3．如图所示为某质点在0～4 s内的振动图象，则( )
A．质点振动的振幅是4 m
B．质点振动的频率为4 Hz
C．质点在4 s内经过的路程为8 m
D．质点在t＝1 s到t＝3 s的时间内，速度先沿x轴正方向后沿x轴负方向，且速度先增大后减小
解析：选C 由题图可知质点振动的振幅A＝2 m，周期T＝4 s，则频率f＝＝0.25 Hz，选项A、B错误；质点在4 s内经过的路程s＝4A＝8 m，选项C正确；质点从t＝1 s到t＝3 s的时间内，速度一直沿x轴负方向，选项D错误。
4．做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变，振幅改变
D．频率改变，振幅不变
解析：选C 单摆振动的频率只与摆长和所在地的重力加速度有关，与质量、振幅大小无关，题中单摆振动的频率不变；单摆振动过程中机械能守恒，振子在平衡位置的动能等于其在最大位移处的势能，因此，题中单摆的振幅改变，选项C正确。
5．脱水机把衣服脱水完毕后切断电源，电动机还要转一会儿才能停下来，在这一过程中，发现脱水机在某一时刻振动得很剧烈，然后又慢慢振动直至停止运转，其中振动很剧烈的原因是( )
A．脱水机没有放平稳
B．电动机在这一时刻转快了
C．电动机在这一时刻的转动频率跟脱水机的固有频率相近或相等
D．是脱水机出现了故障
解析：选C 由于电动机的转动，使脱水机做受迫振动。而切断电源后电动机转动的频率是逐渐变慢的，当它的频率接近或等于脱水机的固有频率时，发生共振现象，C正确。
6．两个弹簧振子，甲的固有频率是100 Hz，乙的固有频率是400 Hz，若它们均在频率是300 Hz的驱动力作用下做受迫振动，则振动稳定后( )
A．甲的振幅较大，振动频率是100 Hz
B．乙的振幅较大，振动频率是300 Hz
C．甲的振幅较大，振动频率是300 Hz
D．乙的振幅较大，振动频率是400 Hz
解析：选B 振动稳定后，受迫振动的频率等于驱动力频率，选项A、D错；由于乙的固有频率更接近驱动力频率，所以乙的振幅较大，选项B对，C错。
7．某同学在研究单摆的受迫振动时，得到如图所示的共振曲线。横轴表示驱动力的频率，纵轴表示稳定时单摆振动的振幅。已知重力加速度为g，下列说法中正确的是( )
A．由图中数据可以估算出摆球的摆长
B．由图中数据可以估算出摆球的质量
C．由图中数据可以估算出摆球的最大动能
D．如果增大该单摆的摆长，则曲线的峰将向右移动
解析：选A 从单摆的共振曲线可以得出单摆的固有频率，单摆的固有频率等于振幅最大时的驱动力的频率，根据单摆的频率可以计算出单摆的周期，根据单摆的周期公式可以算出单摆的摆长，选项A正确；从单摆的周期无法计算出单摆的摆球质量和摆球的最大动能，选项B、C错误；如果增大单摆的摆长，单摆的周期增大，频率减小，曲线的峰将向左移动，选项D错误。21·cn·jy·com
8．某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为：x＝3sin(t＋) cm，则下列说法不正确的是( )21·世纪*教育网
A．质点的振幅为3 cm
B．质点振动的周期为3 s
C．质点振动的周期为 s
D．t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
解析：选C 由x＝3sin(t＋) cm可知，A＝3 cm，ω＝，T＝＝3 s，A、B正确，C错误；将t＝0.75 s代入关系式中可得：x＝0，故t＝0.75 s时，质点回到平衡位置，D正确。
二、多项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)
9．一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大到一定数值的过程中，该物体的振幅可能( )
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．先逐渐增大，后逐渐减小
D．先逐渐减小，后逐渐增大
解析：选AC 当驱动力的频率等于固有频率时，做受迫振动的物体发生共振现象，振幅最大。由于没有说明驱动力的频率最后的情况，因此A、C选项都有可能。
10．如图甲所示，小球在内壁光滑的固定半圆形轨道最低点附近做小角度振动，其振动图象如图乙所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最小
B．t2时刻小球速度最大，轨道对它的支持力最小
C．t3时刻小球速度为零，轨道对它的支持力最大
D．t4时刻小球速度最大，轨道对它的支持力最大
解析：选AD 小球在t1和t3时刻，位移最大，小球速度为零，轨道对小球支持力最小；在t2和t4时刻，位移为零，小球速度最大，轨道对小球的支持力最大。A、D正确。
11．如图所示，在一条张紧的绳上挂7个摆，先让A摆振动起来，则其余各摆也随之振动，已知A、B、F三摆的摆长相同，则下列判断正确的是( )
A．7个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7个摆的振动频率都相同
C．B、F摆的摆长与A摆相同，它们的振幅最大
D．除A摆外，D、E摆离A摆最近，它们的振幅最大
解析：选BC 7个摆的摆长不完全相同，固有频率不相同，选项A错；A摆振动起来后，带动其余6个摆做受迫振动，振动稳定后7个摆的振动频率都相同，选项B对；B、F摆的摆长与A摆相同，发生共振，选项C对，D错。
12．一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，其中有两个时刻弹簧对振子的弹力大小相等，但方向相反，那么这两个时刻弹簧振子的( )
A．速度一定大小相等，方向相反
B．加速度一定大小相等，方向相反
C．位移一定大小相等，方向相反
D．以上三项都不对
解析：选BC 由弹簧振子的运动规律知，当弹簧弹力大小相等、方向相反时，这两时刻振子的位移大小相等、方向相反，加速度大小相等、方向相反，B、C正确；由于物体的运动方向在两时刻可能为同向，也可能为反向，故A错误。
13.如图所示为某质点沿x轴做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．在t＝4 s时质点速度最大，加速度为0
B．在t＝1 s时，质点的速度达到最大值
C．在0到1 s时间内，质点速度和加速度方向相同
D．在t＝2 s时，质点的位移沿x轴负方向，加速度也沿x轴负方向
解析：选BC t＝4 s时质点位于正的最大位移处，加速度值最大，A错误；在t＝1 s时质点位于平衡位置，速度达到最大，B正确；在0到1 s时间内，质点速度和加速度方向均为x轴负方向，C正确；在t＝2 s时加速度指向平衡位置，位移沿x轴负方向，D错误。
14．如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( )
A．甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B．t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D．甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等
解析：选AB 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故选项A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，乙摆在振动的最大位移处，故选项B正确；由单摆的周期公式T＝2π ，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，故选项C错误；因摆球摆动的最大偏角未知，故选项D错误。2·1·c·n·j·y
三、非选择题(本题共4小题，共44分)
15．(8分)根据单摆周期公式T＝2π ，可以通过实验测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小钢球，就做成了单摆。
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图乙所示，读数为________ mm。
(2)(多选)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________。
a．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T【21cnj*y.co*m】
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
解析：(1)按照游标卡尺的读数原则得小钢球直径为18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。
(2)单摆的构成条件：细线质量要小，弹性要小；球要选体积小、密度大的；偏角不超过5°，a、b正确，c错误；为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后取平均值计算出一次全振动所用的时间，d错误，e正确。
答案：(1)18.6 (2)abe
16．(10分)如图所示是一个单摆的共振曲线。
(1)若单摆所处环境的重力加速度g取9.8 m/s2，试求此摆的摆长；
(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的“峰”将怎样移动？
解析：(1)由题图知，单摆的固有频率f＝0.3 Hz。
由单摆的周期公式T＝2π得f＝
解得l＝＝ m≈2.8 m
(2)由f＝ 知，将单摆移动到高山上，重力加速度g减小，其固有频率f减小，故共振曲线的“峰”将向左移动。21-cnjy*com
答案：(1)2.8 m (2)向左移动
17．(12分)弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：www.21-cn-jy.com
(1)振动的周期和频率；
(2)振子在5 s内通过的路程及5 s末的位移大小；
(3)振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。
解析：(1)由题意可知，振子由B→C经过半个周期，即＝0.5 s，故T＝1.0 s，f＝＝1 Hz。
(2)振子经过1个周期通过的路程s1＝0.4 m。
振子5 s内振动了五个周期，回到B点，
通过的路程：s＝5s1＝2 m，
位移大小x＝10 cm＝0.1 m。
(3)由F＝－kx可知：在B点时FB＝－k×0.1，
在P点时FP＝－k×0.04，
故＝＝5∶2。
答案：(1)1.0 s 1 Hz
(2)2 m 0.1 m (3)5∶2
18．(14分)如图所示为一弹簧振子的振动图象，求：
(1)该振子简谐运动的表达式；
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
解析：(1)由题图可得：
A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0
则ω＝＝ rad/s
故该振子做简谐运动的表达式为：x＝5sin t cm。
(2)由题图可知，在t＝2 s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大。
当t＝3 s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。
(3)振子经过一个周期位移为零，路程为
5×4 cm＝20 cm，
前100 s刚好经过了25个周期，
所以前100 s振子位移x＝0，
振子路程s＝20×25 cm＝500 cm＝5 m。
答案：(1)x＝5sin t cm
(2)见解析 (3)0 5 m
第1节 简_谐_运_动
[目标早知道]
浙江选考·学习要求
知识内容
考试要求
1.简谐运动
加试b
2.简谐运动的描述
加试c
3.简谐运动的回复力和能量
加试b
4.单摆
加试c
5.外力作用下的振动
加试b
弹簧振子
[探新知·基础练]
1．弹簧振子
如图所示，如果球与杆或斜面之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子。21·cn·jy·com
2．平衡位置
振子原来静止时的位置。
3．机械振动
振子在平衡位置附近所做的往复运动，简称振动。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．弹簧振子可以用一根轻质弹簧和一个小球组成。(×)
2．小鸟在树枝间跳来跳去是振动。(×)
3．小球在两个对接的斜面上来回滚动是机械振动。(√)
[释疑难·对点练]
弹簧振子是一种理想模型，应满足以下条件
1．质量：弹簧质量比小球质量小得多，可以认为质量只集中于振子(小球)上。
2．体积：构成弹簧振子的小球体积要足够小，可以认为小球是一个质点。
3．阻力：在振动过程中可以忽略弹簧与小球受到的各种阻力。
4．弹性限度：振子拉离平衡位置的最大位移在弹簧的弹性限度内。
[特别提醒] 在平衡位置处，弹簧不一定处于原长。
[试身手]
1．(多选)下列关于理想弹簧振子的说法中正确的是( )
A．任意的弹簧和任意的小球就可以构成弹簧振子
B．弹簧振子中小球的振动范围不能超出弹簧的弹性限度
C．弹簧振子中小球的体积不能忽略
D．弹簧振子中的小球一旦振动起来就停不下来
解析：选BD 理想弹簧振子中弹簧的质量可以忽略，小球体积忽略不计，可看成质点，不计摩擦阻力，小球一旦振动起来将不会停下来，而小球振动时，弹簧不能超出弹性限度，故B、D正确，A、C错误。21·世纪*教育网
弹簧振子的位移—时间图象
[探新知·基础练]
1．振动位移
从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段。
2．建立坐标系的方法
以小球的平衡位置为坐标原点，沿振动方向建立坐标轴。一般规定小球在平衡位置右边(或上边)时，位移为正，在平衡位置左边(或下边)时，位移为负。2-1-c-n-j-y
3．图象绘制
用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．弹簧振子都是以小球的平衡位置为坐标原点，水平方向为坐标轴。(×)
2．振动位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段。(√)
3．弹簧振子振动情况可以用位移—时间图象描述。(√)
[释疑难·对点练]
1．对振动位移的理解
(1)振动位移的大小为平衡位置到振子所在位置的距离，方向由平衡位置指向振子所在位置。
(2)位移的表示方法：用振动图象中某时刻振子所在位置的坐标来表示(如图)。在t1时刻振子的位移为x1，t2时刻振子的位移为x2，t4时刻为－x4。【21cnj*y.co*m】
2．简谐运动的位移与机械振动的位移的区别
(1)机械振动的位移是从初位置到末位置的有向线段，而简谐运动的位移总是相对于平衡位置而言的，都是从平衡位置指向振子所在位置。21-cnjy*com
(2)机械振动的位移与一段时间对应，简谐运动的位移与一个时刻对应。
[特别提醒]
(1)振动的位移的起始位置都是平衡位置，位移的方向都是背离平衡位置的。
(2)x-t图象中，时间轴上方位移为正、时间轴下方位移为负，位移大小为图象到时间轴的距离。
[试身手]
2．关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法正确的是( )
A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B．机械振动的位移是总以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
解析：选B 简揩运动的平衡位置就是物体所受回复力为零的位置，不一定是振动范围的重心，比如单摆的平衡位置，故A错误；机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移，B正确；机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移不一定大，C错误；机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置的距离，偏离平衡位置最远时的位移叫振幅，D错误。
简谐运动及其图象
[探新知·基础练]
1．简谐运动
(1)定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。【21·世纪·教育·网】
(2)特点：简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。【21教育】
2．简谐运动的图象
(1)形状：正弦曲线，凡是能写成x＝Asin(ωt＋φ)的曲线均为正弦曲线。
(2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．简谐运动图象上可以看出振子的运动轨迹。(×)
2．运动图象是一条正弦曲线的振动是简谐运动。(√)
3．做简谐运动的质点，位移增大时，其速度一定减小。(√)
[释疑难·对点练]
由简谐运动图象能获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向：如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，
如图中所示a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻向上振动。
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况。具体如下：
[特别提醒]
(1)简谐运动图象并不是振子的运动轨迹，振子做直线运动，其运动图象却是正弦曲线。
(2)此处的向上运动、向下运动不是从空间位置来讲的，是针对图象来说的，向上是指沿x轴正方向，向下是指沿x轴负方向。【21教育名师】
[试身手]
3．装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是( )
解析：选D 装有砂粒的试管受到重力和浮力作用，竖直提起少许时，浮力小于重力，合力向下。试管释放时，试管处于最高点(正方向最大位移处)，将在合力作用下向下(负方向)做加速运动，之后试管将做简谐运动，故试管的振动图象中0时刻位移为正方向最大值，只有选项D正确。
弹簧振子与简谐运动的理解
[典例1] 如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是( )
A．大小为OC，方向向左
B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左
D．大小为AC，方向向右
[思路点拨] 简谐运动的位移有其特定含义，是由平衡位置指向所在位置的有向线段，与振子振动方向无关。
[解析]选B 振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右。B正确。
注意各物理量的区别，位移和路程不同，振动的位移与运动学中的位移不同。
简谐运动的图象
[典例2] 如图所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
(1)质点在第2 s末的位移是多少？
(2)质点振动过程中的最大位移是多少？
(3)在前4 s内，质点经过的路程是多少？
[解析] (1)由x-t图象可以读出2 s 末质点的位移为0。
(2)质点的最大位移在前4 s里发生在1 s末和3 s末，位移大小为10 cm。
(3)前4 s，质点先朝正方向运动了距离为10 cm的一个来回，又在负方向上运动了一个10 cm距离的来回，故总路程为40 cm。21教育网
[答案] (1)0 (2)10 cm (3)40 cm
图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。
[典例3] (多选)弹簧振子做简谐运动，振动图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．t1、t2时刻振子的速度大小相等，方向相反
B．t1、t2时刻振子的位移大小相等，方向相反
C．t2、t3时刻振子的速度大小相等，方向相反
D．t2、t4时刻振子的位移大小相等，方向相反
[解析]选AD 从图象可以看出，t1、t2时刻振子位于同一位置，位移大小相等，方向相同，速度大小相等，方向相反，A正确，B错误；t2、t3时刻振子位移大小相等，方向相反，速度大小相等，方向相同，C错误；t2、t4时刻振子分别位于平衡位置两侧且对称，位移大小相等，方向相反，D正确。www.21-cn-jy.com
(1)可以从简谐运动的图象中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、质点的最大位移。
(2)可比较不同时刻质点位移、速度的大小。
(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移、速度的方向和大小的变化趋势。
[课堂对点巩固]
1．(多选)关于简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线
B．由图象可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图象可判断任一时刻质点的速度方向
解析：选BCD 振动图象表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错误，C正确；由图象可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确。21cnjy.com
2．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图象是从振子通过平衡位置计时画出的
解析：选BC 从图象可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从振子通过正的最大位移处开始计时画出的图象，D项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此是通过平衡位置向负方向运动，A项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，B项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻正通过平衡位置向正方向运动，C项正确。
3．(多选)关于做简谐运动的物体的说法正确的是( )
A．加速度方向与位移方向有时相同，有时相反
B．速度方向与加速度方向有时相同，有时相反
C．速度方向与位移方向有时相同，有时相反
D．加速度方向总是与位移方向相反
解析：选BCD 做简谐运动的物体的加速度的方向与位移的方向始终相反，选项A错误，D正确；当远离平衡位置时，速度与位移的方向相同，当向平衡位置运动时，速度与位移的方向相反，故选项B、C正确。21*教*育*名*师
4．一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零
C．振子每次通过平衡位置时，速度相同
D．振子每次通过同一位置时，速度不一定相同
解析：选D 在简谐运动中，速度方向可能与位移方向相同，也可能相反，选项A错误；振子每次通过平衡位置时，速度都最大，但速度方向可能相同，也可能相反，选项B、C错误，D正确。
[课堂小结]
[课时跟踪检测一]
一、单项选择题
1．关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看做是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动
解析：选D 物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错；简谐运动是最简单的振动，B错；物体做简谐运动的轨迹线并不是正弦曲线，C错；物体振动的图象是正弦曲线，一定是做简谐运动，D对。21世纪教育网
2.如图所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度为零处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
解析：选D 钢球以平衡位置为中心做往复运动，在平衡位置处钢球受力平衡，运动过程中在此处速度最大，故A、B、C不正确，D选项正确。
3．简谐运动属于下列运动性质的是( )
A．匀变速运动 B．匀速直线运动
C．非匀变速运动 D．匀加速直线运动
解析：选C 简谐运动的速度是变化的，B错；加速度也是变化的，A、D错，C对。
4．一质点做简谐运动的图象如图所示，在4 s内具有最大负方向速度和具有最大正方向加速度的时刻分别是( )
A．1 s,4 s B．3 s,2 s
C．1 s,2 s D．3 s,4 s
解析：选C 质点具有最大速度时在平衡位置，由题图可知是1 s时和3 s时，在1 s时振子将向负最大位移处运动，所以此时速度为负方向最大，而3 s 时速度为正向最大，在2 s时和4 s时都有最大位移，所以此两时刻都有最大加速度，又因为加速度方向指向平衡位置，所以在2 s时有正方向最大加速度，4 s时有负方向最大加速度。故正确选项为C。
5．如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是( )
A．在a点时加速度最大，速度最大
B．在O点时速度最大，位移最大
C．在b点时位移最大，速度最小
D．在b点时加速度最大，速度最大
解析：选C O为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B错误；振子在a、b两位置时，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。
6.一简谐运动的图象如图所示，在0.1～0.15 s这段时间内( )
A．加速度增大，速度变小，加速度和速度的方向相同
B．加速度增大，速度变小，加速度和速度方向相反
C．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相同
D．加速度减小，速度变大，加速度和速度方向相反
解析：选B 由图象可知，在0.1～0.15 s 这段时间内，位移为负且增大，表明物体远离平衡位置运动，则加速度增大，速度减小，二者方向相反。故B正确。
7.如图所示为某物体做简谐运动的图象，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
解析：选A 由P→Q过程中，物体一直向正向最大位移处运动，其速度应越来越小，所以A正确，B错误；由M→N 过程中，物体先由x轴正方向某处向平衡位置运动，其正向位移逐渐变小，速度越来越大；后由平衡位置向x轴负方向运动，远离平衡位置，其负向位移越来越大，速度越来越小，所以C、D错误。2·1·c·n·j·y
8.在水平方向上做简谐运动的质点，其振动图象如图所示。假设向右的方向为正方向，则质点的位移向左且速度向右的时间段是( )www-2-1-cnjy-com
A．0到1 s内 B．1 s到2 s内
C．2 s到3 s内 D．3 s到4 s内
解析：选D 据题意，向右的方向为正方向，则质点的位移向左时为负值，即时间段在2～4 s内；根据位移时—间图象的切线斜率表示速度，可知速度向右，为正值，应在3～4 s 内，故D正确。
二、多项选择题
9．如图所示为质点P在0～4 s内的振动图象，下列叙述正确的是( )
A．再过1 s，该质点的位移是正向最大
B．再过1 s，该质点的速度方向向上
C．再过1 s，该质点运动到平衡位置
D．再过1 s，该质点的速度为零
解析：选AD 依题意，再经过1 s，振动图象将延伸到正向位移最大处，这时质点的位移为正向最大，速度为零，故A、D正确。
10．下列运动中属于机械振动的是( )
A．树枝在风的作用下运动
B．竖直向上抛出的物体的运动
C．说话时声带的运动
D．附近爆炸声引起窗扇的运动
解析：选ACD 物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动，故A、C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往复性，因此不属于机械振动，故B错误。
11．物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体( )
A．在A点和A′点的位移相同
B．在两点处的速度可能相同
C．在两点处的加速度可能相同
D．在两点处的动能一定相同
解析：选BD 根据简谐运动的特点可知，关于平衡位置的对称点，物体的位移大小相等，但方向相反，选项A错误；物体的速度大小相等，方向可以相同，也可以相反，故选项B正确；物体的加速度大小相等，方向相反，选项C错误；由于速度大小相等，动能一定相同，选项D正确。21*cnjy*com
三、非选择题
12．在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图(a)所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带的运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图(b)所示。若匀速拉动纸带的速度为1 m/s ，作出P的振动图象。
解析：题图(b)中P运动的不同位移值对应不同的时刻，由x＝vt可知，当x＝20 cm时，对应时刻t＝＝0.2 s，作出图象如图所示。
答案：见解析图
第2节 简谐运动的描述
描述简谐运动的物理量
[探新知·基础练]
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。
(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。
2．全振动
类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。
3．周期(T)和频率(f)
周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间
单位时间内完成全振动的次数
单位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
表示物体振动快慢的物理量
关系式
T＝
4．相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．简谐运动的振幅大，振动物体的周期一定大。(×)
2．简谐运动的振幅大，振动物体的最大位移一定大。(√)
3．简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述。(×)
[释疑难·对点练]
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五种特征：
(1)振动特征：一个完整的振动过程。
(2)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征：历时一个周期。
(4)路程特征：振幅的4倍。
(5)相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统的能量关系：
对一确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系：
振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程的关系：
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系——一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。21cnjy.com
(4)振幅与周期的关系：
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
3．弹簧振子四分之一周期内的路程
一质点做简谐运动的位移图象如图甲所示。O是平衡位置，B、C均为最大位移处，用A表示振幅，T表示周期，s表示时间内经过的路程。
(1)质点从位置P向平衡位置O运动，然后经过O点运动至Q点，假设从P到Q历时，那么在这段时间内质点运动的路程如何？比较质点由B到O的运动和由P到Q的运动，注意到PO段的运动是相同的；再来比较BP段和OQ段的运动，发现BP段质点运动得慢一些，OQ段质点运动得快一些，而两段运动的时间是相同的，所以＜。故质点从P运动到Q的路程大于从B运动到O的路程，即s＞A。www.21-cn-jy.com
(2)质点从Q点向位置C处运动，然后再从C往回运动至M，假设运动时间也是，如图乙所示，那么在这段时间内质点运动的路程如何？比较质点从O至C的运动和从Q到C再到M的运动，注意到QC段的运动是相同的，只需比较OQ段和CM段的运动，容易知道质点在OQ段比CM段运动得快，而运动时间相同，所以＞。故质点从Q运动到C再到M的路程小于从O运动到C的路程，即s＜A。
(3)连续观察质点从P到Q，再经C到M的过程。若运动的总时间为，容易证明，M和P关于平衡位置O对称，质点通过的总路程为2A。2·1·c·n·j·y
综上分析，可得到结论：做简谐运动的质点，在向平衡位置运动的过程中，取某一位置开始计时，质点在时间内通过的路程s＞A；在远离平衡位置的过程中，取某一位置开始计时，质点在时间内通过的路程s＜A；而如果计时起点就选在最大位移处或者平衡位置，那么质点在时间内通过的路程s＝A。【21·世纪·教育·网】
[特别提醒] 简谐运动的振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大。
[试身手]
1．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象。y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。由此图求得，振动的周期为______和振幅为______。21·世纪*教育网
解析：由图象可知，振子在一个周期内沿x方向的位移为2x0，水平速度为v，故周期T＝；又由图象知2A＝y1－y2，故振幅A＝。2-1-c-n-j-y
答案：
简谐运动的表达式
[探新知·基础练]
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)
(1)x表示振动物体相对于平衡位置的位移。
(2)A表示简谐运动的振幅。
(3)ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。
(4)ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．做简谐运动的质点先后通过同一点，速度、加速度、位移都是相同的。(×)
2．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(√)
3．做简谐运动的质点，位移增大时，其速度一定减小。(√)
[释疑难·对点练]
1．简谐运动的表达式理解
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：x＝Asin(ωt＋φ), 由简谐运动的表达式可以直接读出振幅A、圆频率ω和初相φ。据ω＝或ω＝2πf可求周期T或频率f，可以求某一时刻质点的位移x。【21cnj*y.co*m】
2．简谐运动的相位及相位差的理解
(1)ωt＋φ表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。【21教育】
(2)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异。
设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，它们的相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。可见，其相位差恰好等于它
们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。
(3)若Δφ＝φ2－φ1＞0，则称B的相位比A的相位超前Δφ或A的相位比B的相位落后Δφ； 若Δφ＝φ2－φ1＜0，则称B的相位比A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|。
①同相：表明两个振动物体步调相同，相差位Δφ＝0；
②反相：表明两个振动物体步调完全相反，相位差Δφ＝π。
[试身手]
2．两个简谐运动的表达式分别为x1＝4asin(4πbt＋)，x2＝2asin(4πbt＋)。求它们的振幅之比，各自的频率。
解析：它们的振幅之比＝＝；
它们的频率相同，都是f＝＝＝2b。
答案：2∶1 频率均为2b
描述简谐运动的物理量
[典例1] 弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，B、C相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程及位移大小。
[思路点拨] 对做简谐运动的弹簧振子而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称，其距离为2A。一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系。简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离。要注意各物理量之间的区别与联系。
[解析] (1)设振幅为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以
A＝10 cm。
(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此
T＝2t＝1 s；
再根据周期和频率的关系可得
f＝＝1 Hz。
(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，
s＝×4A＝5×40 cm＝200 cm
5 s的时间为5个周期，又回到起始点B，位移大小为10 cm。
[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm
10 cm
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A；
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；
③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。
简谐运动的周期性和对称性问题
1.周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态。
2．对称性
如图所示，物体在A和B之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间经过的时间相等，如tDB＝tBD；
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反；
②物体经过关于O点对称的两点(如C与D)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
[典例2] 一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动，它离开O点运动后经过3 s时间第一次经过M点，再经过2 s第二次经过M点，该质点再经过________s第三次经过M点。若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm，则质点做振动的振幅为________ cm。
[思路点拨] 根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题。
[解析] 作出该质点做振动的图象如图所示，则M点的位置可能有两个，即如图所示的M1或M2。
第一种情况：若是位置M1，由题图可知＝3 s＋1 s＝4 s，T1＝16 s，根据简谐运动的周期性，质点第三次经过M1时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间，故Δt1＝16 s－2 s＝14 s。
质点在20 s内(即n＝＝个周期)的路程为20 cm，故由5A1＝20 cm，得振幅A1＝4 cm。
第二种情况：若是位置M2，由题图可知＝3 s＋1 s＝4 s，T2＝ s。根据对称性，质点第三次经过M2时所需时间为一个周期减第二次经过M点的时间，故Δt2＝ s－2 s＝ s。
质点在20 s内(即n＝＝个周期内)的路程为20 cm，故由15A2＝20 cm，得振幅A2＝ cm。21*教*育*名*师
[答案] 14 4或
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：
(1)若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。
(2)若t2－t1＝nT＋T，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。
[课堂对点巩固]
1．如图所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：选D 振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm，C错误；3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，D正确。
2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下列说法正确的是( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等
解析：选C 对选项A，只能说明这两个时刻振子处于同一位置，设为P，如图所示，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，Δt可以是振子由P向B再回到P的时间，故认为Δt一定等于T的整数倍是错误的；对选项B，振子两次到P位置时速度大小相等、方向相反，但并不能肯定Δt等于的整数倍，选项B也是错误的；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必须相等，选项C是正确的；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置可位于与P相对称的P′处，在P处弹簧处于伸长状态，在P′处弹簧处于压缩状态，弹簧长度并不相等，选项D是错误的。
3．(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm，周期为3.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )21*cnjy*com
A．0.5 s B．0.75 s
C．1.0 s D．1.5 s
解析：选C 由于振幅A为20 cm，振动方程为y＝Asin ωt(从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝)，由于高度差不超过10 cm时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t1＝，t2＝，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt＝t2－t1＝＝1.0 s，选项C正确。【21教育名师】
4．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v。21-cnjy*com
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm。从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。21教育网
解析：(1)弹簧振子做简谐运动的示意图如图甲所示。由对称性可得：T＝ s×4＝1.0 s。
(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅
A＝×25 cm＝12.5 cm。
振子4.0 s内通过的路程为：
s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
(3)根据x＝Asin ωt，
A＝12.5 cm，ω＝＝2π。
得x＝12.5sin 2πt cm。
振动图象如图乙所示。
答案：(1)1.0 s (2)200 cm (3)x＝12.5sin 2πt cm 图象见解析图
[课堂小结]
[课时跟踪检测二]
一、单项选择题
1.如图所示，弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动，则( )
A．从B→O→C为一次全振动
B．从O→B→O→C为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．从D→C→O→B→O为一次全振动
解析：选C 由全振动的概念可知C正确。
2.如图所示，弹簧振子的频率为5 Hz，让振子从B位置开始振动，并开始计时，则经过0.12 s时( )21世纪教育网
A．振子位于BO之间，运动方向向右
B．振子位于BO之间，运动方向向左
C．振子位于CO之间，运动方向向右
D．振子位于CO之间，运动方向向左
解析：选C 因弹簧振子频率为5 Hz，则周期为0.2 s，题中所给的时间0.12 s＝ T＜T，而＜T＜T，因此在0.12 s时，振子应位于CO之间且正向右运动，所以选项C正确，A、B、D错误。
3．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x(弹性限度内)后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1,1∶1 B．1∶1,1∶2
C．1∶4,1∶4 D．1∶2,1∶2
解析：选B 弹簧的压缩量即为弹簧振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2。而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1，选项B正确。21·cn·jy·com
4．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为( )
A．15次，2 cm B．30次，1 cm
C．15次，1 cm D．60次，2 cm
解析：选B 已知该简谐运动的周期为2 s，半分钟为15个周期，一个周期的路程为4倍的振幅，故半分钟内振子经过平衡位置的次数为30次；15个周期的路程为60A，即60A＝60 cm，故A＝1 cm，B正确。
5.物体做简谐运动，其图象如图所示，在t1和t2两时刻，物体的( )
A．相位相同
B．位移相同
C．速度相同
D．加速度相同
解析：选C 由题图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝Asin ωt, 其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图象知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。
6．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为( )
A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s
解析：选A 简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，即0.2 s，A正确。
二、多项选择题
7．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析：选BD 振幅是标量，A错误；周期和频率互为倒数，即Tf＝1，B正确；简谐运动的周期、频率由系统本身决定，与振幅没有关系，所以C错误，D正确。
8．一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
解析：选BD 由题图知T＝4 s故f＝0.25 Hz，A错；在10 s内质点完成的全振动次数为n＝＝次，在一次全振动过程中质点通过的路程为4A＝8 cm，故10 s内通过的路程为×8 cm＝20 cm，B对；5 s末质点的相位为t＝×5＝π，故C错；由振动方程x＝Asint＝2sint知，当t1＝1.5 s时，x1＝ cm，当t2＝4.5 s 时，x2＝ cm，故D对。
9．弹簧振子在AOB之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B之间的距离为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A．振子的振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振子的振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．振子通过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
解析：CD 由题干知A、B之间的距离为8 cm，则A＝4 cm，A错；周期T＝ s＝2 s，所以振子的振动频率为f＝ Hz＝0.5 Hz，B错；振子完成一次全振动所通过的路程为4个振幅，即4A＝16 cm，C对；3 s内通过的路程是6个振幅，即6A＝24 cm，D对。
10.如图所示，弹簧振子的小球在B、C之间做简谐运动，O为B、C间的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法中正确的是( )
A．小球的最大位移是10 cm
B．只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是零
C．无论小球在哪一位置，它的振幅都是5 cm
D．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm
解析：选CD 小球的最大位移是5 cm，故A错误；振幅是小球离开平衡位置的最大距离，即小球在任何位置时振幅都是5 cm，故B错误，C正确；从任意时刻起小球在一个周期内的路程为4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正确。
11．一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知( )
A．频率是2 Hz
B．振幅是5 cm
C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负
D．t＝0.5 s时质点所受的合外力为零
解析：选CD 由题图可知，质点振动的周期为2.0 s，易得频率为0.5 Hz。振幅为5 m，A、B选项错误；t＝1.7 s时的位移为负，加速度为正，速度为负，C选项正确；t＝0.5 s时质点在平衡位置，所受的合外力为零，D选项正确。
三、非选择题
12．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动。
(1)试写出用正弦函数表示的振动方程。
(2)10 s内通过的路程是多少？
解析：(1)简谐运动振动方程的一般表示式为
x＝Asin(ωt＋φ)。
根据题目条件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π。所以
x＝0.08sin(πt＋φ)m。
将t＝0，x＝0.04 m，代入得
0．04 m＝0.08sin φ m，
解得初相位φ＝或φ＝π，
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝π。
故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋π)m。
(2)周期T＝＝2 s，所以
10 s＝5T，
因1T内的路程是4A，
则10 s内通过的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝160 cm。
答案：(1)x＝0.08sin(πt＋π)m (2)160 cm
第3节 简谐运动的回复力和能量
简谐运动的回复力
[探新知·基础练]
1．简谐运动
如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
2．回复力
使振动物体回到平衡位置的力。
3．方向
总是指向平衡位置。
4．表达式
F＝－kx。即回复力与物体的位移大小成正比，“－”表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。21*教*育*名*师
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．简谐运动是匀变速运动。(×)
2．简谐运动回复力总是指向平衡位置。(√)
3．简谐运动的回复力可以是恒力。(×)
[释疑难·对点练]
对回复力的理解
(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。
(2)回复力可以由某一个力提供(如弹力、摩擦力等)，也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，总之，回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。
(3)简谐运动的回复力：
①表达式F＝－kx；
②由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，其中k为比例系数，由振动系统自身决定；
③由表达式可以看出，回复力的方向与位移的方向始终相反，即回复力的方向总是指向平衡位置；
④据牛顿第二定律，a＝＝－x，表示弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
[特别提醒]
(1)回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用来证明某个振动是否为简谐运动。
(2)对于在水平方向振动的弹簧振子来说，弹簧的弹力即为回复力，F＝－kx中的k为弹簧的劲度系数。对于其他的弹簧振子，F＝－kx中的k不一定是弹簧的劲度系数。
[试身手]
1．能正确表示简谐运动的回复力与位移关系的图象是选项图中的( )
解析：选C 由回复力和位移的关系式F＝－kx易知C选项正确。
简谐运动的能量
[探新知·基础练]
1．如果摩擦等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即机械能守恒。21-cnjy*com
2．简谐运动是一种理想化的模型。
3．简谐运动的机械能由振幅决定
对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)
2．振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)
3．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)
[释疑难·对点练]
1．简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O为平衡位置在AB之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
运动过程
变化规律
物理量
A→O
O→B
B→O
O→A
位移
大小
减小
增大
减小
增大
方向
O→A
O→B
O→B
O→A
回复力加速度
大小
减小
增大
减小
增大
方向
A→O
B→O
B→O
A→O
速度
大小
增大
减小
增大
减小
方向
A→O
O→B
B→O
O→A
动能
增大
减小
增大
减小
势能
减小
增大
减小
增大
2．振动系统的状态与能量的关系
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，因此简谐运动是一种理想化的模型。
[试身手]
2．(多选)关于振幅，以下说法中正确的是( )
A．物体振动的振幅越大，振动越强烈
B．一个确定的振动系统，振幅越大，振动系统的能量越大
C．振幅越大，物体振动的位移越大
D．振幅越大，物体振动的加速度越大
解析：选AB 物体的振动强烈程度表现为振幅的大小。对一个确定的振动装置来讲，振幅越大，振动越强烈，振动能量也就越大故A、B项对；在物体振动过程中，振幅是最大位移的大小，而偏离平衡位置的位移是不断变化的，故C项错；物体的加速度也是不断变化的，故D项错。21世纪教育网
对回复力的理解
[典例1] 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx
C.kx D.kx
[思路点拨] A、B相对静止，一起在弹簧作用下做简谐运动，当位移是x时，其回复力为kx，但kx并不是物体A的回复力，也不是物体B的回复力，是系统的。物体A随B一起做简谐运动的回复力就是B对A的摩擦力，可知，静摩擦力也可以提供回复力。物体A的加速度就是物体B的加速度，也是整体的加速度。21cnjy.com
[解析]选D 当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，以整体为研究对象，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律kx＝(m＋M)a，得a＝。以A为研究对象，使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝kx。故D正确。21·世纪*教育网
分析物体做简谐运动的回复力时，要明确回复力是效果力，等于物体在振动方向上所受的合力。
简谐运动过程中各量的变化
[典例2] (多选)如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定( )
A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小
B．从t2到t3时间内振幅不断增大
C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大
D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同
[思路点拨] 解答本题时应注意以下三个方面：
(1)简谐运动的振幅不变。
(2)根据位移x的变化确定动能、势能的变化。
(3)振子经过同一位置的速度大小和方向的特点。
[解析]选AC t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；振幅不随时间而改变，B错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C正确；t1和t4时刻振子位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。
(1)要明确简谐运动的动能和势能的变化规律，就必须明确物体的实际振动情况。结合路径草图或振动图象，确定物体所处的位置、状态及变化过程中的速度、位移的变化规律。
(2)做简谐运动的物体，在同一位置位移相同，回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同，但速度方向可能相同也可能相反。关于平衡位置对称的两点，动能、势能相同，加速度、回复力大小相等、方向相反；速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
[课堂对点巩固]
1．(多选)关于振子在振动过程中各量的情况，以下说法中正确的是( )
A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
解析：选ABD 振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，即动能与势能之和保持不变，D正确；在平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误。
2．(多选)做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的加速度方向，下列说法正确的是( )21·cn·jy·com
A．总是与速度方向相反
B．总是与速度方向相同
C．总是指向平衡位置
D．总是与位移方向相反
解析：选CD 回复力是指使物体回到平衡位置的力，对简谐运动而言，其大小必与位移大小成正比，其方向与位移方向相反；回复力是合力，故加速度的方向与回复力的方向相同，总是指向平衡位置，总是与位移的方向相反，故C、D正确。www.21-cn-jy.com
3．(多选)关于简谐运动的动力学公式F＝－kx，以下说法正确的是( )
A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度
B．k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C．对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定
D．因为k＝，所以k与F成正比
解析：选BC k是回复力与位移的比例常数，对弹簧振子系统，k是弹簧的劲度系数，由弹簧的性质决定，x是弹簧形变的长度，也是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，故B、C正确。www-2-1-cnjy-com
4．(多选)一质点做简谐运动的振动图象如图所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是( )
A．0～0.3 s
B．0.3～0.6 s
C．0.6～0.9 s
D．0.9～1.2 s
解析：选BD 质点做简谐运动时加速度的方向与回复力的方向一致，回复力方向与位移方向相反，总是指向平衡位置，位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反。易知B、D正确。2·1·c·n·j·y
[课堂小结]
[课时跟踪检测三]
一、单项选择题
1．对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是( )
A．k只表示弹簧的劲度系数
B．式中的负号表示回复力总是负值
C．位移x是相对平衡位置的位移
D．回复力只随位移变化，不随时间变化
解析：选C k是回复力跟位移的比例常数，由简谐运动的系统决定，A错误；位移x是相对平衡位置的位移，C正确；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反，B错误；回复力随时间推移做周期性变化，D错误。21教育网
2．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
解析：选D 回复力与位移成正比，在振子向着平衡位置运动的过程中回复力减小，故A错误；振子的位移是指由平衡位置指向振动振子所在位置的有向线段，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，故B错误；振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大，故C错误；由牛顿第二定律a＝可知，振子加速度逐渐减小，故D正确。
3．沿水平方向振动的弹簧振子如图所示，振子的受力情况是( )
A．重力、支持力和弹簧的弹力
B．重力、支持力、弹簧弹力和回复力
C．重力、支持力和回复力
D．重力、支持力、摩擦力和回复力
解析：选A 回复力是按力的作用效果命名的，不是性质力，在对振子进行受力分析时是对性质力进行分析，因此不能添加上回复力，故选项B、C、D错误，A正确。
4．弹簧振子的质量是2 kg，当它运动到平衡位置左侧2 cm 时，受到的回复力是4 N，当它运动到平衡位置右侧4 cm时，它的加速度是( )2-1-c-n-j-y
A．2 m/s2，向右 B．2 m/s2，向左
C．4 m/s2，向右 D．4 m/s2，向左
解析：选D 由F＝－kx知，在平衡位置左侧2 cm处，回复力为4 N，则在平衡位置右侧4 cm处，回复力F＝－8 N，负号表示方向向左，a＝＝－4 m/s2，负号表示方向向左，D项正确。21*cnjy*com
5．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是( )【21cnj*y.co*m】
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续增加
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
解析：选A t＝0.2 s时，振子的位移为正的最大，但由于没有规定正方向，所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点，A正确；t＝0.1 s时速度为正，t＝0.3 s时速度为负，两者方向相反，B错误；从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，位移大小相等，方向相反，故加速度大小相等，方向相反，D错误。【21教育名师】
6．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为( )
A．2T B．T C. D.
解析：选C 简谐运动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，由简谐运动关于平衡位置的对称性可知C正确。
二、多项选择题
7．关于简谐运动，以下说法中正确的是( )
A．回复力总指向平衡位置
B．加速度、速度方向永远一致
C．在平衡位置加速度、速度均达到最大值
D．在平衡位置速度达到最大值，而加速度为零
解析：选AD 回复力是使物体回到平衡位置的力，选项A正确；加速度方向始终指向平衡位置，速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，选项B错误；平衡位置位移为零，据a＝－ 知此处加速度为零，势能最小，动能最大，速度最大，选项C错误，D正确。
8．某质点做简谐运动的图象如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1、t2时刻的速度相同
B．从t1到t2这段时间内，速度与加速度同向
C．从t2到t3这段时间内，速度变大，加速度变小
D．t1和t3时刻的加速度相同
解析：选CD t1时刻振子速度最大，t2时刻振子的速度为零，故A错误；从t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度背离平衡位置，而加速度指向平衡位置，所以二者方向相反，故B错误；从t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而加速度在减小，故C正确；t1和t3时刻振子在平衡位置，故加速度均为零，选项D正确。
9．(2016·浙江瑞安测试)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示，已知弹簧的劲度系数为20 N/cm, 则( )
A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向
B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为3.5 cm
解析：选AB 由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知，题图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为F＝|kx|＝20×0.25 N＝5 N，方向指向x轴的负方向，振子正在远离O点向x轴的正方向运动，A、B正确；由题图可读出周期为2 s,4 s内振子做两次全振动，通过的路程是s＝2×4A＝2×4×0.5 cm＝4 cm，C、D错误。
10．当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是( )
A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等
B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供
D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒
解析：选CD 振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供，且运动过程中机械能守恒，故C、D对。【21·世纪·教育·网】
三、非选择题
11.如图所示，在竖直悬挂的劲度系数为k的轻弹簧下端挂一个质量为m的小球，用一个竖直向下的力将小球竖直拉向下方，当小球静止时拉力的大小为F，若撤去拉力，小球便在竖直面内做简谐运动，求：【21教育】
(1)小球在最低点受到弹簧对它的弹力的大小；
(2)小球经过平衡位置时弹簧的伸长量；
(3)小球在振动过程中通过最高点时的加速度的大小和方向。
解析：(1)由于撤去F前小球静止，
故弹簧的弹力FT＝F＋mg。
(2)小球在平衡位置时弹力等于重力，
故弹簧的伸长量为Δx＝。
(3)小球振动过程中在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，而在最低点，其合外力为F，
故在最高点时，加速度a＝，加速度方向竖直向下。
答案：(1)F＋mg (2) (3) 竖直向下
第4节 单____摆
单摆、单摆的回复力
[探新知·基础练]
1．单摆
用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。
(3)单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)
2．单摆的回复力是重力和拉力的合力。(×)
3．一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。(×)
[释疑难·对点练]
1．单摆
(1)单摆是实际摆的理想化模型。
(2)实际摆看作单摆的条件
①摆线的形变量与摆线长度相比小得多；
②悬线的质量与摆球质量相比小得多；
③摆球的直径与摆线长度相比小得多。
2．单摆的回复力
如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F＝G1＝mgsin θ。
3．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
[试身手]
1．(多选)制作一个单摆，合理的做法是( )
A．摆线细而长 B．摆球小而不太重
C．摆球外表面光滑且密度大 D．端点固定且不松动
解析：选ACD 根据构成单摆的条件判断，易知A、C、D正确。
单摆的周期
[探新知·基础练]
1.探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量无关；
②振幅较小时周期与振幅无关；
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．周期公式
荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2π。21世纪教育网
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．荷兰物理学家惠更斯发现单摆振动的周期与振幅无关。(×)
2．单摆在振幅较小时周期较大。(×)
3．单摆的周期公式都可以用T＝2π求解。(×)
[释疑难·对点练]
1．对周期T的理解
(1)单摆的周期T＝2π为单摆的固有周期，相应地f＝为单摆的固有频率。
(2)单摆的周期公式在最大偏角小于5°时成立。
(3)周期为2 s的单摆叫秒摆。
2．对单摆周期公式中摆长l和重力加速度g的理解
(1)l为单摆的摆长：因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，而且OO′＝l，求各摆的周期。21cnjy.com
甲：等效摆长l′＝lsin α，T甲＝2π 。
乙：等效摆长l′＝lsin α＋l，T乙＝2π 。
丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变为O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为(l－)，即为l，则单摆丙的周期为T丙＝π ＋π 。
(2)等效重力加速度g不一定等于9.8 m/s2
g由单摆所在的空间位置决定。由g＝G知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。
g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆球处于超重状态，沿轨迹圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g′＝g＋a，若升降机加速下降，则g′＝g－a。单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。21·cn·jy·com
[试身手]
2．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( )【21·世纪·教育·网】
A．甲先到达平衡位置 B．乙先到达平衡位置
C．甲、乙同时到达平衡位置 D．无法判断
解析：选C 由单摆的周期公式T＝2π，可知周期T只与l、g有关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故甲、乙同时到达平衡位置，C正确。
探究单摆周期与摆长的关系
[探新知·基础练]
1．实验原理图
2．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论
①单摆振动的周期与摆球的质量无关；
②振幅较小时，周期与振幅无关；
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
3．定量探究单摆的周期与摆长的关系
(1)周期的测量：用停表测出单摆做N(30～50)次全振动所用的时间t，利用T＝计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T?l、T?l2或T? 图象，得出结论。
4．周期公式
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。
(3)应用——测重力加速度：由T＝2π得g＝，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。www-2-1-cnjy-com
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．测量单摆周期时，应在摆球摆到最高处开始计时，并数准全振动的次数。(×)
2．用毫米刻度尺量出放在桌面的细线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。(×)【21cnj*y.co*m】
3．小球应该选择体积小、密度大的金属球。(√)
[释疑难·对点练]
1．实验所需器材
带孔小钢球一个、细线一条(约1 m长)、铁架台、刻度尺、停表、游标卡尺等。
2．实验步骤
(1)做单摆：
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；
②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。
(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，以毫米为单位记录数据；用游标卡尺测量出摆球的直径D，以毫米为单位记录数据；则l＝l′＋，即为单摆的摆长。
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。
(4)秒表的读数方法
所测时间超过半分钟时，半分钟的整数倍部分由分针读出，不足半分钟的部分由秒针读出，总时间为两针示数之和。如图甲所示，小圆刻度盘上分针所指示的刻度数值超过了1.5 min，指针在1.5 min和2 min之间，其分针指示时间数可记为t1＝1.5 min，而大圆刻度盘上秒针所指示的刻度线为21.4，故秒针所测得的数值为t2＝21.4 s，所测时间读数为：t＝t1＋t2＝1 min 30 s＋21.4 s＝1 min 51.4 s。图乙的读数是2 min 7.6 s。
(5)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。
(6)作图象，探规律。
3．实验操作注意事项
(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。
(2)摆球在同一平面内振动且摆角小于10°。
(3)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。
(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。
(5)选用长一米左右的细线。
[试身手]
3．(多选)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是( )
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
解析：选AC 适当加长摆线有利于测量摆长，使相对误差减小，另外有利于控制摆角不过大，因此选项A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，选项B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，因为若偏角太大，单摆的运动就不能看作简谐运动，选项C正确；经过一次全振动后停止计时，所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，选项D错误。
对单摆回复力的理解
[典例1] 振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是( )
A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点
B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线
C．合力不为零，方向沿轨迹的切线
D．回复力为零，合力也为零
[解析]选A 单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)。故A正确。
(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。
(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。
(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。
单摆周期的应用
[典例2] 若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的( )
A．频率不变，振幅不变
B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅不变
D．频率改变，振幅改变
[解析]选B 单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T＝2π不变，频率f＝不变；摆长不变时，摆角越小，振幅越小，选项B正确。
(1)在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时对应的周期。
(2)改变单摆振动周期的途径：①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。
(3)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。
探究影响单摆周期的因素
[典例3] 某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。
(1)(多选)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的是________(填字母代号)。www.21-cn-jy.com
A．保证摆动过程中摆长不变
B．可使周期测量得更加准确
C．需要改变摆长时便于调节
D．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为________ mm，单摆摆长为________m。
(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号)。
[解析] (1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，选项A、C正确。
(2)根据游标卡尺读数规则可得，摆球直径为12.0 mm，单摆摆长为L－d/2＝0.999 0 m－0.006 0 m＝0.993 0 m。21*教*育*名*师
(3)测量单摆的周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A。
[答案] (1)AC (2)12.0 0.993 0 (3)A
[课堂对点巩固]
1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )
A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等
B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力
C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零
D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零
解析：选C 单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿圆弧轨迹的切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为F向＝m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，故应选C。
2．(多选)下列关于单摆周期的说法正确的是( )
A．用一个装满沙的漏斗和长细线做成一个单摆，在摆动时沙从漏斗中缓慢漏出，周期不变
B．当升降机向上做匀加速运动时(aC．将单摆由赤道移到北极，其振动周期减小
D．将单摆的摆角由5°增加到10°(不计空气阻力)，单摆的周期减小
解析：选BC 沙从漏斗中缓慢漏出时，等效摆长变化，周期变化，选项A错误；升降机以加速度a向上做匀加速运动时T1＝2π ，做匀速运动时T2＝2π，T13．如图所示是两个单摆的振动图象。
(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？
解析：(1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的，即
T甲＝T乙，
由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4。
(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2 s，振动了周期，甲振动了周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动。
答案：(1)1∶4 (2)甲振动到平衡位置，此时向左运动
4．某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图甲所示，可读出摆球的直径为________cm。把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L。
(2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图乙所示，该单摆的周期是T＝________s(结果保留三位有效数字)。
(3)测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2?L图线如图丙，此图线斜率的物理意义是( )
A．g B. C. D.
解析：(1)摆球的直径为
d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm＝2.06 cm。
(2)秒表的读数为t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，根据题意
t＝T＝T，所以周期T＝≈2.28 s。
(3)根据单摆的周期公式
T＝2π，可得
＝＝k(常数)，所以选项C正确。
答案：(1)2.06 (2)2.28 (3)C
[课堂小结]
[课时跟踪检测四]
一、单项选择题
1．单摆振动的回复力是( )
A．摆球所受的重力
B．摆球重力在垂直悬线方向上的分力
C．悬线对摆球的拉力
D．摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力
解析：选B 摆球振动的回复力是其重力沿圆弧轨迹切向方向的分力，即摆球重力在垂直悬线方向上的分力，B正确。21教育网
2．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )2-1-c-n-j-y
A．不变
B．变大
C．先变大后变小再回到原值
D．先变小后变大再回到原值
解析：选C 单摆的周期与摆球的质量无关，但当水从空心铁球中向外流出时，等效摆长是先变长后变短再回到原长，因而周期先变大后变小再回到原值，故选项C正确。
3．如图所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是( )21·世纪*教育网
A．C点 B．C点右侧
C．C点左侧 D．不能确定
解析：选A 由于轨道半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆。因此周期只与轨道半径有关，与运动的弧长无关，所以A、B两球到达平衡位置C的时间相同，故选项A正确。
4.要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是( )
A．增大摆球的质量 B．缩短摆长
C．减小摆动的角度 D．升高气温
解析：选B 由单摆的周期公式T＝2π，可知周期只与l、g有关，而与摆球质量、摆动的角度无关。当l减小时，周期减小，频率增大，所以选B。
5．对于做简谐运动的单摆，下列说法中正确的是( )
A．在位移为正的区间，速度和加速度都一定为负
B．当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，振动的能量也逐渐增大
C．摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，摆线所受拉力最大
D．摆球在最大位移处时，速度为零，处于平衡状态
解析：选C 在位移为正的区间，回复力F＝－kx为负，加速度为负，但速度可正可负，选项A错误；当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，振动的能量不变，选项B错误；平衡位置为摆球最低位置，摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，由FT－mg＝m知，在平衡位置摆线所受拉力最大，选项C正确；摆球在最大位移处，速度为零，但加速度不为零，并不处于平衡状态，选项D错误。21*cnjy*com
6．已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆长la与lb分别为( )
A．la＝2.5 m，lb＝0.9 m B．la＝0.9 m，lb＝2.5 m
C．la＝2.4 m，lb＝4.0 m D．la＝4.0 m，lb＝2.4 m
解析：选B 设两个单摆的周期分别为Ta和Tb。由题意，10Ta＝6Tb得Ta∶Tb＝3∶5。根据单摆周期公式T＝2π，可知l＝，由此得la∶lb＝Ta2∶Tb2＝9∶25，则la＝×1.6 m＝0.9 m，lb＝×1.6 m＝2.5 m。故B正确。
二、多项选择题
7．如图所示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图象，其中实线表示A的运动图象，虚线表示B的运动图象。关于这两个单摆的以下判断中正确的是( )
A．这两个单摆的摆球质量一定相等
B．这两个单摆的摆长一定不同
C．这两个单摆的最大摆角一定相同
D．这两个单摆的振幅一定相同
解析：选BD 从题中图象可知：两单摆的振幅相等，周期不相等，所以两单摆的摆长和最大摆角一定不同，故B、D对，C错；单摆的周期与质量无关，故A错。
8．单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆周期发生变化( )
A．摆长减为原来的
B．摆球的质量减为原来的
C．振幅减为原来的
D．重力加速度减为原来的
解析：选AD 由单摆周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关。故A、D正确。
9．如图所示为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1
C．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1【21教育名师】
D．若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶421-cnjy*com
解析：选BD 由图象可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；若两单摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4。故B、D正确。
三、非选择题
10．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：
(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm。
(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________。(填选项前的字母)
A．把单摆从平衡位置拉开30°的偏角，并在释放摆球的同时开始计时
B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为
C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大
D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小
解析：(1)主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9 cm＋7×0.1 mm ＝0.97 cm。
(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝，B错误；由T＝2π得g＝，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误。2·1·c·n·j·y
答案：(1)0.97 (2)C
11．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，且R?l弧AB。甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球由A点由静止释放，问两球第一次到达C点的时间之比是多少？【21教育】
解析：甲球做自由落体运动，R＝gt12，
所以t1＝ 。
对乙球，由于l弧AC?R，所以θ<5°，所以可知乙球沿弧形槽做简谐运动，此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，则等效摆长为R，所以周期为T＝2π，
因此乙第一次到达C处的时间为t2＝T＝，所以t1∶t2＝2∶π。
答案：2∶π
第5节外力作用下的振动
阻尼振动
[探新知·基础练]
1．固有振动和固有频率
(1)固有振动：不受外力作用的振动。
(2)固有频率：固有振动的频率。
2．阻尼振动
(1)阻尼：当振动系统受到阻力作用时，振动受到了阻尼。
(2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图所示。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．阻尼振动的振幅是逐渐减小的。(√)
2．做阻尼振动的物体机械能可能不变。(×)
3．做阻尼振动的物体频率是不变的。(√)
[释疑难·对点练]
1．阻尼振动的特点
阻尼振动中振幅逐渐减小，其机械能逐渐减小，但振动的频率不会变化，此频率称为固有频率，由振动系统决定。21教育网
2．阻尼振动与简谐运动的比较
阻尼振动
简谐运动
产生原因
受到阻力作用
不受阻力作用
振幅
如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小
振幅不变
振动能量
有损失
保持不变
振动图象
实例
汽车上的减振器的振动
弹簧振子在光滑面上的振动
[试身手]
1．(多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
解析：选BD 因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越来越小。而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身条件决定的，是不变的，故A项错误，B项正确；又因单摆做阻尼振动的过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减小，即机械能在减少，所以C项错误，D项正确。21cnjy.com
受迫振动
[探新知·基础练]
1．自由振动
在没有任何阻力的情况下，给振动系统一定能量，使它开始振动，这样的振动叫自由振动。自由振动的周期是系统的固有周期。如果把弹簧振子拉离平衡位置后松手，弹簧振子的振动就是自由振动。【21教育】
2．驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力。
3．受迫振动
(1)定义：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。
(2)受迫振动的频率(周期)：做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。21*教*育*名*师
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率。(√)
2．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)
3．做受迫振动的系统的机械能守恒。(×)
[释疑难·对点练]
受迫振动的特点
(1)做受迫振动的物体，其振动频率由驱动力频率决定，即其振动频率总等于驱动力的频率，驱动力频率改变，物体做受迫振动的频率就改变，与系统的固有频率无关。
(2)物体的固有频率对其所做的受迫振动也有影响，表现在其振幅的大小上，驱动力频率越接近物体的固有频率，其振幅越大。【21教育名师】
[试身手]
2．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
解析：选B 受迫振动是振动物体在系统驱动力作用下的运动，故只有B对。
共振的条件
[探新知·基础练]
1．共振的条件
驱动力的频率等于系统的固有频率。
2．特征
在受迫振动中，共振时受迫振动的振幅最大。
3．共振曲线(如图所示)
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．发生共振时，驱动力可能对系统做正功，也可能对系统做负功。(×)
2．发生共振时，受迫振动的振幅最大。(√)
3．驱动力的频率等于系统的固有频率时发生共振。(√)
[释疑难·对点练]
1．对共振条件的理解
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。21·cn·jy·com
(2)从功能关系看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力的频率等于物体的固
有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2．自由振动、受迫振动和共振的比较
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受周期性驱动力作用
受周期性驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T固或f驱＝f固
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
[试身手]
3．如图所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz；然后以60 r/min的转速匀速转动摇把，当振子振动稳定时，它的振动周期为( )21·世纪*教育网
A．0.25 s B．0.5 s C．1 s D．2 s
解析：选C 弹簧振子受摇把的作用而振动，做受迫振动，所以其振动的周期等于驱动力的周期。故正确答案为C。21*cnjy*com
阻尼振动的能量
[典例1] (多选)如图所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图象，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是( )2-1-c-n-j-y
A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．振子在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
[思路点拨] 通过振幅的变化反映弹簧振子能量的变化，根据能量的转化与守恒分析整个过程中能量变化的趋势，根据动能定理分析某一段运动中动能与势能的变化。
[解析]选BD 由于弹簧振子做阻尼振动，所以A时刻的机械能大于B时刻的机械能，选项C错，D对；由于弹簧的弹性势能与弹簧的形变量(即位移)有关，所以选项B对；振子在A时刻的动能大于B时刻的动能，选项A错。【21cnj*y.co*m】
受迫振动的理解
[典例2] 如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。问：
(1)开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，测得振子在10 s内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
(2)在振子正常振动过程中，以转速4 r/s匀速转动把手，振子的振动稳定后，振子做什么振动？其周期是多少？21-cnjy*com
[解析] (1)用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力与位移成正比，方向与位移方向相反(F＝－kx)，所以做简谐运动，其周期和频率是由它本身的结构性质决定的，称固有周期(T固)和固有频率(f固)，根据题意T固＝＝ s＝0.5 s，f固＝＝ Hz＝2 Hz。由于摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，振幅越来越小，故振动为阻尼振动。www.21-cn-jy.com
(2)由于把手转动的转速为4 r/s，它给弹簧振子的驱动力频率为f驱＝4 Hz，周期T驱＝0.25 s，故振子做受迫振动。振动达稳定状态后，其频率(或周期)等于驱动力的频率(或周期)，而跟固有频率(或周期)无关。即f＝f驱＝4 Hz，T＝T驱＝0.25 s。
因为振子做受迫振动得到驱动力对它做功的能量，补偿了振子克服阻力做功所消耗的能量，所以振子的振动属于受迫振动。
[答案] (1)简谐运动 0.5 s 2 Hz 阻尼振动
(2)受迫振动 0.25 s
(1)受迫振动的频率等于驱动力的频率。
(2)处理实际问题时，注意区分固有频率、受迫振动频率和驱动力的频率。
共振现象
[典例3] (多选)把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就形成了一个共振筛，筛子在做自由振动时，每次全振动用时 2 s，在某电压下电动偏心轮转速是36 r/min。已知如果增大电压可以使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么，要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是( )
A．提高输入电压 B．降低输入电压
C．增加筛子质量 D．减小筛子质量
[解析]选BD 筛子的固有周期为T0＝2 s，而偏心轮的转动周期T偏＝ s＝ s，那么要想使筛子振幅最大，可增大偏心轮的转动周期，或减小筛子的固有周期，由题意可知，应降低输入电压或减小筛子的质量，故B、D正确。
(1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件：驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最大。
(2)在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件进行求解。
[课堂对点巩固]
1．单摆在空气中做阻尼振动，下列说法中正确的是( )
A．位移逐渐减小
B．速度逐渐减小
C．动能逐渐减少
D．振动的能量逐渐转化为其他形式的能
解析：选D 单摆在空气中做阻尼振动时，由于克服阻力做功，所以振动能量会逐渐减少，转化为其他形式的能，选项D对；但是其位移、速度以及动能会交替变化，所以选项A、B、C错。
2．如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。如果匀速转动摇把，振子开始振动，当振子振动稳定时，其振动周期为0.25 s，则摇把的转速为( )
A．220 r/min B．240 r/min
C．260 r/min D．280 r/min
解析：选B 振子稳定时的振动周期等于驱动力的周期T＝＝0.25 s，则n＝240 r/min，所以选B。
3．(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小。下列说法正确的是( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
解析：选AD 单摆在振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为其他形式的能，选项A和D对；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C不对。
4．如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率之间的关系图线，由图可知( )
A．振子振动频率为f1时，它处于共振状态
B．驱动力频率为f3时，振子振动频率为f3
C．若撤去驱动力让振子做自由振动，频率是f3
D．振子做自由振动的频率可以为f1、f2、f3
解析：选B 由题图的共振图线可知A错误；振子固有频率为f2，D错误；受迫振动的频率等于驱动力的频率，故B正确，C错误。21世纪教育网
[课堂小结]
[课时跟踪检测五]
一、单项选择题
1．在敲响古刹里的大钟时，有的同学发现，停止对大钟的撞击后，大钟仍“余音未绝”，分析其原因是( )2·1·c·n·j·y
A．大钟的回声
B．大钟在继续振动
C．人的听觉发生“暂留”的缘故
D．大钟虽停止振动，但空气仍在振动
解析：选B 停止对大钟的撞击后，大钟的振动不会立即消失，因为振动能量不会凭空消失，再振动一段时间后，由于阻尼的作用振动才逐渐消失，B选项正确。
2．下列说法错误的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
解析：选B 实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C正确；只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动，B错误；受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定，与自身物理条件无关，D正确。
3．如图所示，一根水平张紧的绳子上系着五个单摆，摆长从左至右依次为、l、、l、2l，若让D摆先摆动起来，周期为T，稳定时A、B、C、E各摆的情况是( )
A．B摆振动的振幅最大
B．E摆振动的振幅最大
C．C摆振动周期小于T
D．A摆振动周期大于T
解析：选A 此振动为受迫振动，由D摆提供驱动力，提供A、B、C、E摆振动的能量，A、B、C、E摆做受迫振动，其振动的频率和周期等于D摆的振动频率和周期，故C、D错误；因为B摆的摆长与D摆相等，B摆的固有周期等于驱动力的周期，满足发生共振的条件，B摆发生共振，振幅最大，故A正确，B错误。www-2-1-cnjy-com
4．一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是( )
①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大 ②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小 ③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率 ④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
A．② B．③ C．①④ D．②④
解析：选C 洗衣机切断电源后，波轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内洗衣机发生了强烈的振动，说明此时波轮的频率与洗衣机的固有频率相同，发生了共振。此后波轮转速减慢，则f驱＜f固，所以共振现象消失，洗衣机的振动随之减弱，所以答案是C。
5．如图所示，两个质量分别为m0和m的小球，悬挂在同一根水平细线上，当m0在垂直于水平细线的平面内摆动时，下列说法不正确的是( )
A．两摆的振动周期是相同的
B．当两摆的摆长相等时，m摆的振幅最大
C．悬挂m0的竖直细线长度变化时，m的振幅不变
D．m摆的振幅可能超过m0摆的振幅
解析：选C m0摆动时，m摆做受迫振动，稳定后，m摆的振动周期应等于驱动力的周期，即等于m0摆的周期，故选项A正确；当m摆长与m0摆长相等时，两者的固有周期相等，而m0摆的固有周期就是使m做受迫振动的驱动力的周期，m摆与m0摆发生共振，m摆振幅最大，选项B正确；m0摆长发生变化，使m做受迫振动的驱动力周期发生变化，由于m的固有周期不变，则m的振幅发生变化，选项C错误；单摆振动的能量不仅与振幅有关，还跟振动系统的质量有关，如果m0的质量比m大得多，从m0向m传递的能量有可能使m的振幅大于m0的振幅，选项D正确。
6．如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率f固＝2 Hz，电动机皮带轮的直径d1是曲轴皮带轮d2的。为使弹簧振子的振幅最大，则电动机的转速应为( )
A．60 r/min B．120 r/min
C．30 r/min D．240 r/min
解析：选D 为使弹簧振子振幅最大，则曲轴转动频率为f＝2 Hz，即转速为2 r/s。由于＝＝，ω1r1＝ω2r2，故＝，所以电动机转速为4 r/s，即240 r/min，D正确。
二、多项选择题
7．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是( )
A．当f＜f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小
B．当f＞f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
解析：选BD 由共振条件及共振曲线可知：驱动力频率f驱越接近振动系统的固有频率f0，振动系统振幅越大，故可知：当f＜f0时，振幅随f的增大而增大，A错误；当f＞f0时，振幅随f的减小而增大，B正确；系统振动稳定时，振动频率等于驱动力频率f，与固有频率f0无关，D正确，C错误。
8．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。每根钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s。下列说法正确的是( )
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止桥梁发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
解析：选ABD 对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v＝＝40 m/s，A正确；为了防止共振现象发生，列车过桥时需要减速，B正确；为了防止列车发生共振现象，其运行的振动频率与其固有频率不能相等，C错误，由v＝知，L增大时，T不变，v变大，D正确。
9．下列关于共振和防止共振的说法，正确的是( )
A．共振现象总是有害的，所以要避免共振现象发生
B．队伍过桥要慢行是为了不产生周期性的驱动力，从而避免产生共振
C．火车过桥慢行是为了使驱动力的频率远小于桥的固有频率，从而避免产生共振
D．利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率；防止共振危害时，应使驱动力的频率远离振动物体的固有频率
解析：选CD 共振现象不一定总是有害的，有的时候我们要利用共振现象，如共振筛，共振转速计等，故A错误；队伍过桥慢行也会产生周期性的驱动力，即会产生共振，故B错误；火车过桥要慢行，目的是使驱动力频率远小于桥梁的固有频率，以免发生共振损坏桥，C正确；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动物体的固有频率，防止共振危害时，应尽量使驱动力频率远离振动物体的固有频率，故D正确。
10．某简谐振子，自由振动时的振动图象如图甲中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图甲中的曲线Ⅱ所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是图乙中的( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
解析：选AD 振子的固有周期与驱动力周期的关系是T驱＜T固，所以受迫振动的状态一定不是题图乙中的b点和c点，可能是a点，故选A、D。【21·世纪·教育·网】
三、非选择题
11．如图所示为用频闪照相的方法拍到的一个水平放置的弹簧振子振动情况。甲图是振子静止在平衡位置的照片，乙图是振子被拉伸到左侧距平衡位置20 mm 处，放手后向右运动周期内的频闪照片。已知频闪的频率为10 Hz。求：
(1)相邻两次闪光的时间间隔t0、弹簧振子振动的周期T0；
(2)若振子的质量为20 g，弹簧的劲度系数为50 N/m，则振子的最大加速度是多少？
解析：(1)T＝＝0.1 s，即相邻两次闪光的时间间隔为t0＝0.1 s
振子从最大位移处运动到平衡位置经历时间为0.3 s，故振子振动周期T0＝1.2 s
(2)am＝＝＝50 m/s2
答案：(1)0.1 s 1.2 s (2)50 m/s2
