5.1.2垂线同步训练（含答案）
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5.1.2 垂线
知识点一 垂线的定义及画法
1.两条直线相交所成的四个角中,下列说法正确的是 (D )
A.一定有一个锐角 B.一定有一个钝角
C.一定有一个直角 D.至少有一个不是钝角
2.过一条线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在 (D )
A.这条线段上 B.这条线段的端点
C.这条线段的延长线上 D.以上都有可能
3.(2017·辽宁大连一模)如图,点P在直线AB上,点C,D在直线AB的上方,且PC⊥PD,∠APC=28°,则∠BPD的度数为(C )
A.28° B.60° C.62° D.152°
知识点二 垂线的性质
4.(2017·河北沧州东光期中)如图,已知AB⊥BC,垂足为B,AB=3,点P是射线BC上的动点,则线段AP长不可能是(A )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
5.(2017·山东济南槐荫区期末)如图,要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据是垂线段最短 .?
知识点三 点到直线的距离
6.(2017·湖北襄阳老河口期中)下列图形中,线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(C )
7.如图所示,CD⊥OB于点D,EF⊥OA于点F,那么点O到CD的距离是线段OD的长度 ,点O到EF的距离是线段OF的长度 ,点C到OB的距离是线段CD的长度 ,点E到OA的距离是线段EF的长度 .?
拓展点一 与垂直有关的角的计算
1.(2017·河北石家庄新华区期末)如图,AB,CD交于点O,OE⊥AB,则∠1与∠2一定满足的关系是 (D )
A.对顶角 B.相等
C.互补 D.互余
2.(2017·山东潍坊高密期中)已知OA⊥OC,∠AOB∶∠AOC=2∶3,则∠BOC的度数为(D )
A.30°
B.60°
C.150°
D.30°或150°
3.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,CD⊥AB,∠AOE∶∠AOD=3∶5,求∠BOF与∠DOF的度数.
解因为∠AOE∶∠AOD=3∶5,∠AOD=90°,
所以∠AOE=90°×35=54°,
所以∠BOF=∠AOE=54°,
所以∠DOF=90°-54°=36°.
拓展点二 垂线的性质的应用
4
如图所示,村庄A要从河流l引水入村庄,需修一条水渠,请你画出修建水渠的路线图,并求出水渠的最短长度(比例尺为1∶200 000),你能用所学的知识解决吗?
解如图,从A向l作垂线,垂足为B,则AB为水渠路线,量得AB=1.4 cm,因为比例尺为1∶200 000,所以水渠的长为1.4×200 000=280 000(cm)=2.8(km).
5.小华站在长方形操场的左侧A处,
(1)若要到操场的右侧,怎样走最近,在上面左图中画出所走路线.这是因为 .?
(2)若要到操场对面的B处,怎样走最近,在上面右图中画出所走路线.这是因为 .?
解(1)如图(1),理由:垂线段最短;
(2)如图(2),理由:两点之间线段最短.
1. (2017·北京中考)如图所示,点P到直线l的距离是(B )
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段PD的长度
2.(2016·山东淄博中考)如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有(D )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
3.(2016·江苏常州中考)已知三角形ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是 (A )
A.2 B.4 C.5 D.7
4.(2016·江苏南通中考)已知,如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,∠COE=60°,则∠BOD=30 度.?
5.(2017·重庆江津区期中)如图,直线AB,CD相交于O点,∠AOC=80°,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.
解∵∠AOC=80°,
∴∠BOD=∠AOC=80°,
∵OF平分∠DOB,
∴∠DOF=12∠DOB=40°.
∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°.∵∠AOC=80°,
∴∠EOD=180°-90°-80°=10°,
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°.
6.如图①,∠AOB,∠COD都是直角.
(1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系.你能说明你猜想的正确性吗?
(2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置时,你的猜想还成立吗?为什么?
解(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下:
因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,∠BOD=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC,
即∠AOD+∠BOC=180°.
所以∠AOD与∠BOC互补.
(2)猜想仍然成立.说明如下:
因为∠AOB,∠COD都是直角,
所以∠AOB+∠COD=180°.
又因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,
所以∠BOC+∠AOD=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.
知识点一 垂线的定义及画法
1.两条直线相交所成的四个角中,下列说法正确的是 (D )
A.一定有一个锐角 B.一定有一个钝角
C.一定有一个直角 D.至少有一个不是钝角
2.过一条线段外一点,画这条线段的垂线,垂足在 (D )
A.这条线段上 B.这条线段的端点
C.这条线段的延长线上 D.以上都有可能
3.(2017·辽宁大连一模)如图,点P在直线AB上,点C,D在直线AB的上方,且PC⊥PD,∠APC=28°,则∠BPD的度数为(C )
A.28° B.60° C.62° D.152°
知识点二 垂线的性质
4.(2017·河北沧州东光期中)如图,已知AB⊥BC,垂足为B,AB=3,点P是射线BC上的动点,则线段AP长不可能是(A )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
5.(2017·山东济南槐荫区期末)如图,要把池中的水引到D处,可过D点引DC⊥AB于C,然后沿DC开渠,可使所开渠道最短,试说明设计的依据是垂线段最短 .?
知识点三 点到直线的距离
6.(2017·湖北襄阳老河口期中)下列图形中,线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是(C )
7.如图所示,CD⊥OB于点D,EF⊥OA于点F,那么点O到CD的距离是线段OD的长度 ,点O到EF的距离是线段OF的长度 ,点C到OB的距离是线段CD的长度 ,点E到OA的距离是线段EF的长度 .?
拓展点一 与垂直有关的角的计算
1.(2017·河北石家庄新华区期末)如图,AB,CD交于点O,OE⊥AB,则∠1与∠2一定满足的关系是 (D )
A.对顶角 B.相等
C.互补 D.互余
2.(2017·山东潍坊高密期中)已知OA⊥OC,∠AOB∶∠AOC=2∶3,则∠BOC的度数为(D )
A.30°
B.60°
C.150°
D.30°或150°
3.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,CD⊥AB,∠AOE∶∠AOD=3∶5,求∠BOF与∠DOF的度数.
解因为∠AOE∶∠AOD=3∶5,∠AOD=90°,
所以∠AOE=90°×35=54°,
所以∠BOF=∠AOE=54°,
所以∠DOF=90°-54°=36°.
拓展点二 垂线的性质的应用
4
如图所示,村庄A要从河流l引水入村庄,需修一条水渠,请你画出修建水渠的路线图,并求出水渠的最短长度(比例尺为1∶200 000),你能用所学的知识解决吗?
解如图,从A向l作垂线,垂足为B,则AB为水渠路线,量得AB=1.4 cm,因为比例尺为1∶200 000,所以水渠的长为1.4×200 000=280 000(cm)=2.8(km).
5.小华站在长方形操场的左侧A处,
(1)若要到操场的右侧,怎样走最近,在上面左图中画出所走路线.这是因为 .?
(2)若要到操场对面的B处,怎样走最近,在上面右图中画出所走路线.这是因为 .?
解(1)如图(1),理由:垂线段最短;
(2)如图(2),理由:两点之间线段最短.
1. (2017·北京中考)如图所示,点P到直线l的距离是(B )
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段PD的长度
2.(2016·山东淄博中考)如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有(D )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
3.(2016·江苏常州中考)已知三角形ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是 (A )
A.2 B.4 C.5 D.7
4.(2016·江苏南通中考)已知,如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,∠COE=60°,则∠BOD=30 度.?
5.(2017·重庆江津区期中)如图,直线AB,CD相交于O点,∠AOC=80°,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.
解∵∠AOC=80°,
∴∠BOD=∠AOC=80°,
∵OF平分∠DOB,
∴∠DOF=12∠DOB=40°.
∵OE⊥AB,∴∠AOE=90°.∵∠AOC=80°,
∴∠EOD=180°-90°-80°=10°,
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°.
6.如图①,∠AOB,∠COD都是直角.
(1)试猜想∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系.你能说明你猜想的正确性吗?
(2)当∠COD绕点O旋转到如图②的位置时,你的猜想还成立吗?为什么?
解(1)∠AOD与∠BOC互补.说明如下:
因为∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+∠BOD,∠BOD=90°-∠BOC,所以∠AOD=90°+90°-∠BOC,
即∠AOD+∠BOC=180°.
所以∠AOD与∠BOC互补.
(2)猜想仍然成立.说明如下:
因为∠AOB,∠COD都是直角,
所以∠AOB+∠COD=180°.
又因为∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,
所以∠BOC+∠AOD=180°,
所以∠AOD与∠BOC互补.